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专题 26.20 反比例函数与二次函数专题（专项练习）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．反比例函数 与二次函数 在同一平面直角坐标系中的大致图
像是（ ）
A． B． C． D．
2．函数y＝x＋2与y＝ 的图象交点横坐标可由方程x＋2＝ 求得，由此推断：方程
m3＋2m＋4＝0中m的大致范围是（ ）
A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
3．二次函数 的图象如图，则一次函数 与反比例函数 ．
在同一坐标系内的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．武汉数学著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”请运用
这句话中提到的思想方法判断方程 －2＝x2－4x的根的情况是（ ）
A．有三个实数根B．有两个实数根 C．有一个实数根 D．无实数根5．方程 的实数根就是方程 的实数根，用“数形结合”思想判定
方程 的根的情况，正确的是（ ）
A．方程有3个不等实数根 B．方程的实数根 满足
C．方程的实数根 满足 D．方程的实数根 满足
6．中国著名数学家华罗庚说过“数形结合百般好，隔裂分家万事非”．请运用这句话
中提到的思想方法判断方程 的根的情况是（ ）
A．有一个实数根B．有两个实数根 C．有三个实数根 D．有四个实数根
7．方程x2＋2x－1＝0的根是函数y＝x＋2与函数y＝ 的图象交点的横坐标，利用此
方法可推出方程x3＋x－1＝0的实数根x 所在的范围是（ ）
0
A．－1＜x＜0 B．0＜x＜1 C．1＜x≤2 D．2＜x＜3
0 0 0 0
8．已知x、x、x 为方程x3+3x2-9x-4=0的三个实数根，则下列结论一定正确的是（
1 2 3
）
A．xxx<0 B．x+x-x>0 C．x-x-x>0 D．x+x+x<0
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
9．已知在同一直角坐标系中二次函数 和反比例函数 的图象如图所示，
则一次函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．10．一次函数 、二次函数 和反比例函数 在同
一直角坐标系中图象如图，A点为（－2，0）．则下列结论中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．反比例函数 与二次函数 的图像的交点个数为_______．
12．若抛物线y=2x2-8x-1的顶点在反比例函数y= 的图像上，则k的值为_______．
13．若直线y=m（m为常数）与函数y= 的图象恒有三个不同的交点，则常
数m的取值范围是_____．
14．已知抛物线 开口向上且经过点 ,双曲线 经过点 ．
给出下列结论：① ；② ；③ , 是关于 的一元二次方程
的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
15．函数 的图象如图所示，在下列结论中：①该函数自变量 的取值范围
是 ；② 该函数有最小值 ；③方程 有三个根；④如果 和
是该函数图象上的两个点，当 时一定有 ．所有正确结论的序号是______．16．如图抛物线y=ax2与反比例函数 交于点C（1，2），不等式 的解集
是_________．
17．如图，双曲线 与抛物线 交于点P，P点的纵坐标
为-1，则关于x的方程 的解是_____．
18．已知二次函数 和反比例函数 在同一个坐标系中的图象如图所
示，则k的值为_______；不等式 的解集是________．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）对于方程m2+2（1+ ）=0，用一般的方法去分母将是一个一元三次方程，
且好像没有整数解．请你考虑可以采取什么特殊方法找到它的解的范围，要求这个范围在
相邻的两个整数之间，并写出这两个整数．
20．（8分）如图，抛物线 （常数t＞0）与x轴从左到右的交点
为B，A，过线段OB的中点M作MP⊥x轴，交双曲线 于点P．
(1) 当t＝1时，求AB长，并求直线MP与L对称轴之间的距离；
(2) 当直线MP与L对称轴之间的距离为1时，求t的值．
(3) 把L在直线MP右侧部分的图象（含与直线MP的交点）记为G，用t表示图象G
最低点的坐标；
(4) 设L与双曲线有个交点的横坐标为x，且满足﹣6≤x≤﹣4，通过L位置随t变化
0 0
的过程，直接写出t的取值范围．21．（10分）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图
象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数 性质及其应用的部分过程，请按要
求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
… 0 1 2 3 4 5 …
… 0 3 …
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是 轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 时，函数取得最大值
3；当 时，函数取得最小值 ；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当 或 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大；其
中正确的是__（只写序号）（3）已知函数 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式
的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
22．（10分）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这
样的函数为分段函数．
下面参照学习函数的过程和方法，探究分段函数 的图象与性质．
列出表格：
… 0 1 2 3 4 5 6 7 …
… 4 1 0 1 4 2 1 …
描点连线：
（1）以自变量 的取值为横坐标，以相应的函数值 为纵坐标，请在所给的平面直角
坐标系中描点，并用平滑曲线画出函数 的图象．探究性质：
（2）结合（1）中画出的函数图象，请回答下列问题：
①当 时，该函数图象的对称轴为______，最低点坐标为______．
②点 ， 在该函数图象上，则 ______ （填“＞”“＜”或
“＝”）．
③请写出该函数的一条性质：______________________．
解决问题：
（3）①当直线 时，与该函数图像的交点坐标为_________________．
②在直线 的左侧的函数图象上有两个不同的点 ， ，且 ，
求 值．
23．（10分）在函数的学习中，我们经历了“确定函数表法式－画函数图象－利用函
数图象研究函数性质－利用图象解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们常常通过描点的方法画函数图象．已知函数， 探究函数的表达式、图象和
性质、解决问题的过程如下：
（1）下表是 与 的几组值，则函数表达式中的 _______，表格中的 ______
0 1 2 3 4 5 6 …
8 6 3 4 3 0 …
（2）在平面直角坐标系中，补全描出表格中数据对应的各点，补全函数图象：
（3）观察函数 的图象，请描述该函数（当 时）的一条
性质：____________．
（4）若直线 （ 为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则 的取值范围为
_________．
24．（12分）数学活动课上，老师出示了如下问题：如图1，在矩形 中，
， ，点E是 边上一动点（不与点A，D重合），连接 ，过点E作，交 边于点F，点G在 边上，且 ．当 时，求
的长．
某个小组的探究过程如下，请补充完整．
（1）初步分析
当点E在 边上运动时，设 ，则 ______， ______．（用含x的代
数式表示）
（2）建立函数模型
“当 时，求 的长”可以转化为求二次函数 ______（ ）与反
比例函数 的图象的交点的横坐标．
（3）画出函数图象
在如图2所示的平面直角坐标系中已经画出了（2）中的反比例函数的图象，描出了
（2）中二次函数图象上的部分点，参照自变量x的取值范围请用平滑曲线画出该二次函数
的图象．（4）得出结论
结合函数图象可知，当 时， 的长约为______．（结果精确到0.1）
参考答案1．D
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函
数图像与性质，二次函数图像和性质进行判断即可．
解：当k＞0时，二次函数 的图像开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例
函数 图像在第一、三象限；
当k＜0时，二次函数 的图像开口向上，顶点在y轴的负半轴；反比例函数
图像在第二、四象限，故选项D正确；
故选：D．
【点拨】本题考查反比例函数的图像、二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，
利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
2．A
【分析】由m3＋2m＋4＝0可变形为 ，因此作函数y=x2+2与函数y=- 图
象，观察交点横坐标即可得答案．
解：由m3＋2m＋4＝0可变形为： ，
作函数y=x2+1与函数y=- 图象如下：
根据图象可得：两函数图象交点M横坐标满足-20,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从
而得出答案．
解：∵抛物线 开口向上且经过点 ,双曲线 经过点 ,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0 0,故②错误．
∴关于 的一元二次方程 可以转化为： ,则
或 ,故③正确．
故答案为：①③【点拨】本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的
条件,利用数形结合的思想解答问题．
15．①③##③①
【分析】根据函数解析式可知 中 ，则可判断①，根据函数图像不存在最小值，
进而判断②，根据 与 存在3个交点可判断③当 时， 随 的增大而减
小，进而即可判断④
解： 则， ，即函数图象与 轴无交点，
该函数自变量 的取值范围是 ；
故①正确；
根据函数图象可知，该函数图像不存在最小值，
故②不正确；
如图 与 存在3个交点，则方程 有三个根；
故③正确
当 时， 随 的增大而减小，如果 和 是该函数图象上的两个点，
当 时一定有 ．
故④不正确
故正确的有①③
故答案为：①③
【点拨】本题考查了函数的图象与性质，类比反比例函数和二次函数的图象与性质是
解题的关键．16． 或
【分析】根据两函数图象的上下关系结合点C的坐标，即可得出不等式的解集．
解：从图象得出当 或 时，二次函数y=ax2的图象在双曲线 的上方，
∴不等式 的解集为 或 ．
故答案为： 或
【点拨】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，关键是由C点坐标，利用数
形结合的思想解决问题．
17． ．
解：∵P的纵坐标为－1，
∴ ，∴ ，
∵ 可化为关于x的方程 的形式，
∴此方程的解即为两函数图象交点的横坐标的值，
∴ ．
故答案为 ．
考点：1．二次函数的图象；2．反比例函数的图象；3．反比例函数图象上点的坐标特
征．
18． 或
【分析】把点（1，-2）代入 即可求出k的值，根据当 或 时，抛
物线在双曲线的下方，即可求出不等式的解．
解：∵反比例函数 的图像在过点（1，-2）
∴k=1×（-2）=-2；
∵当 或 时，抛物线在双曲线的下方，
∴不等式 的解集是： 或 ．
故答案是：2； 或 ．
【点拨】本题主要考查反比例函数和二次函数综合，掌握函数图像的交点坐标与不等
式的关系，是解题的关键．19．m2+2（1+ ）=0的解在﹣2与﹣1之间．
【分析】根据等式的性质，可化简方程，根据函数与方程的关系，可得答案．
解：由等式的性质，得
m2+2=﹣ ．
在同一平面直角坐标系内画出n=m2+2，n=﹣ ，
，
由图象，得
n=m2+2与n=﹣ 的交点坐标在﹣2与﹣1之间，
即方程m2+2（1+ ）=0的解在﹣2与﹣1之间．
【点评】本题考查了函数图象，利用等式的性质把方程转化成m2+2=﹣ ，利用函数
与方程的关系是解题关键．
20．(1) (2)t＝2(3)（t﹣2，﹣2）(4)不存在
【分析】（1）当t＝1时，令y＝0，得： ，解得：x＝1，x＝﹣
1 2
3，A（1，0），B（﹣3，0），求出AB的长为4；由 ，写
出抛物线对称轴为直线x＝﹣1，根据M为OB中点，写出 ，求出直线MP与L对称轴之间的距离为 ；
（2）求出抛物线 的对称轴为直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点
为A（t，0），B（t﹣4，0），写出线段OB的中点 ，根据M与对称轴的距离为
1， 解得t＝2．
（3）配方 ，当 ，即t≤0时，不合
题意，当 ，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）；
（4）满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为 和二次函数反比例函数解
析式得到 ，求出 ，推出 时，
， 时， ，从t值最大到最小分段讨论得到 ，
，由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在．
解：(1)当t＝1时，令y＝0，得： ，
解得：x＝1，x＝﹣3，
1 2
∴A（1，0），B（﹣3，0），
∴AB＝4；
∵抛物线L： ，
∴抛物线L的对称轴为直线x＝﹣1，
∵M为OB中点，
∴ ，
∴直线MP与L对称轴之间的距离为 ；(2)∵抛物线 的对称轴为：直线x＝ ＝t﹣2，
抛物线L与x轴交点为A（t，0），B（t﹣4，0）
∴线段OB的中点 ，
由题意得： ，
解得：t＝2或﹣2，
∵t＞0，
∴t＝2；
(3)∵ ，
∴当 ，即t≤0时，不合题意，舍去
当 ，即t＞0时，图象G最低点为抛物线L的顶点（t﹣2，﹣2）；
(4)满足条件的t的取值范围不存在．
如图∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵﹣6≤x≤﹣4，
0
当 时， ， 或 ，
当 时， ，t＝﹣1或﹣3，
随着t的逐渐减小，抛物线L的位置随着A（t，0）向左平移，当t＝﹣1时，L左侧过点C；
当 时，L左侧过点D，即 ；
当 时，L左侧离开了点C，而右侧未到达点D，
即L与该段无交点，舍去；
当t＝﹣3时，L右侧过点C，
当 时，L右侧过点D，即 ．
综上所述， 或 ．
由于t＞0，所以满足条件的t的取值范围不存在．
【点拨】本题主要考查了二次函数和反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握二次函
数和反比例函数的图象性质，（1）问，当t＝1时，令y＝0，求得 A（1，0），B（﹣3，
0），求出AB的长为4；把L的解析式配方，写出其对称轴为直线x＝﹣1，根据OB中点
，求出直线MP与L对称轴之间的距离为 ；（2）问，求出抛物线的对称轴为
直线x＝t-2，求出抛物线与x轴交点A（t，0），B（t﹣4，0），再求出线段OB的中点
，根据M与对称轴的距离为1求出t＝2．（3）问，将解析式配方配方
，分 ， 两种情况讨论，即t＞0时，得图象G最
低点为（t﹣2，﹣2）；（4）问，满足条件的t的取值范围不存在．根据交点横坐标为 ，联立二次函数反比例函数解析式求出， ，对 时与 时求
出t值，然后按大到小的顺序分段讨论得到t的取值范围，由于此范围不合t＞0，所以满足
条件的t的取值范围不存在．
21．（1） ， ，见分析；（2）②③④；（3） 或
【分析】（1）分别代入x求y．
（2）观察图象，逐条分析判断即可．
（3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集．
解：（1）当x=-3时，
当x=3时，
故填： ，
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当 时，函数取得最大值
3；当 时，函数取得最小值 ，正确；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
④当 或 时， 随 的增大而减小；当 时， 随 的增大而增大，正
确；
故答案为：②③④；
（3）由图象得， 或
【点拨】本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．22．（1）见分析；（2）①直线x=-2；（-2，0）；②＜；③图象有最低点（-2，
0）；（3）①（-4，1），（0，1），（6，1）；②x+x=-4．
3 4
【分析】（1）根据画函数图象的步骤解答即可；
（2）观察图象的对称性，最低点特征，即可求解①②；
③根据函数有最低点写出即可；
（3）①观察图象可直接得出结论；
②分析题意可得P、Q两点关于直线x=-2对称，得P、Q连线的中点在直线x=-2上，
根据中点坐标公式即可得出结果．
解：（1）该函数图象如图所示；
（2）结合（1）中画出的函数图象，
①当x≤2时，该函数图象的对称轴为：直线x=-2；最低点坐标为 （-2，0）；
故答案为：直线x=-2；（-2，0）；
②点A（-3，y），B（-8，y）在该函数图象上，且A、B在对称轴左侧，
1 2
观察图象，对称轴左侧是y随x的增大而减小，
y＜y；
1 2
故答案为：＜；
③写出该函数的一条性质：图象有最低点（-2，0）；
故答案为：图象有最低点（-2，0）；
（3）①当直线y=1时，观察图象经过（-4，1），（0，1），（6，1）
∴与该函数图象的交点坐标为 （-4，1），（0，1），（6，1）；
故答案为：（-4，1），（0，1），（6，1）；
②在直线x=2的左侧的函数图象上有两个不同的点P（x，y），Q（x，y），且
3 3 4 4
y=y，
3 4
∴P、Q两点关于直线x=-2对称，
∴P、Q连线的中点在直线x=-2上，
∴根据中点坐标公式得：x+x=-4．
3 4【点拨】本题考查了分段函数的图象画法，函数的增减性，最值问题，图象上点的坐
标特征，解题关键是数形结合思想的综合运用．
23．（1）6， ；（2）见分析；（3）当 时， 随 的增加而减小；（4）
或 或
【分析】（1）根据表格信息，利用待定系数法解决即可求得 ，把 代入
即可求得 ．
（2）利用描点法画出函数图象即可，结合图形描述函数的性质即可．
（3）根据图象即可求得；
（4）判断出直线与双曲线有交点的 的取值范围即可．
解：（1）把 ， 代入 得， ，
解得 ，
把 代入 得， ，
，
故答案为：6， ．
（2）函数图象如图所示．（3）性质：当 时， 随 的增加而减小．
故答案为：当 时， 随 的增加而减小．
（4）观察图象可知，若直线 为常数）与该函数图象有且仅有两个交点，则
的取值范围为 或 或 ，
故答案为 或 或 ．
【点拨】本题考查反比例函数与二次函数的性质，解题的关键是理解题意，学会利用
图象法解决问题，属于中考常考题型．
24．（1） ， ；（2） ；（3）答案见分析；（4）
3.6或8.1．
【分析】(1)设 ，根据 ， ， ，
，进而求得；
(2) 当 时， ，求AE的长，可转化为求二次函数
与反比例函数 的图象的交点的横坐标，即
可得出结论；
(3) 根据二次函数 ，即可求得图象；
(4) 当 时，求AE的长，可结合函数图象解答即可．
解：（1）设 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
；
（2）故(1)可知 ， ，
当 时， ，
即 ，
∴当 时，求AE的长，可转化为求二次函数 与
反比例函数 的图象的交点的横坐标，
故答案为： ．
（3）∵二次函数 ，
∴图象如图所示：（注： 和 处用空心圆圈）（4）当 时，求AE的长，可转化为求二次函数
与反比例函数 的图象的交点的横坐标，
观察函数图象可得 或 ，
故答案：3.6或8.1（可以有0.1-0.2的误差）．
【点拨】本题主要考查了二次函数与反比例函数的综合，正确作出辅助线，理解题意
是解题的关键．
