文档内容
专题 27.35 相似三角形几何模型-一线三等角（培优篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得 PAD与
PBC相似，则这样的P点共有（ ） △
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一动点（与B，C不重合）连接
AP，作PE⊥AP交∠BCD的外角平分线于E，设BP= ，△PCE的面积为 ，则 与 的函
数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平面直角坐标系中，直线 不经过第四象限，且与 轴， 轴分
别交于 两点，点 为 的中点，点 在线段 上，其坐标为 ，连结 ， ，
若 ，那么 的值为（ ）
A． B．4 C．5 D．6
4．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
则点C的坐标是（ ）A．（4，2） B．（3， ） C．（3， ） D．（2， ）
二、填空题
5．如图，将等边三角形ABC折叠，使得点C落在边AB上的点D处，折痕为EF，点
E，F分别在AC和BC上．若AC＝8，AD＝2，则 ＝_______________．
6．如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE
折叠，若点D的对应点D′，连接D′B，以下结论中：①D′B的最小值为3；②当DE＝ 时，
△ABD′是等腰三角形；③当DE＝2是，△ABD′是直角三角形；④△ABD′不可能是等腰直
角三角形；其中正确的有_____．（填上你认为正确结论的序号）
7．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，点E为AB边的中点，∠DEC=∠A．有下列
结论：①DE平分∠AEC；②CE平分∠DEB；③DE平分∠ADC；④EC平分∠BCD．其
中正确的是_______________.（把所以正确结论的序号都填上）三、解答题
8．如图，四边形 是正方形，点 是 边上动点(不与 重合)．连接 过
点 作 交 于点 ．
求证： ；
连接 ，试探究当点 在 什么位置时， ，请证明你的结论．
9．如图，在 中，点 分别在边 上，连接 ，且
．
（1）证明： ；
（2）若 ，当点D在 上运动时（点D不与 重合），且
是等腰三角形，求此时 的长．10．如图，已知△ABC是边长为12的正三角形，AD是边BC上的高线，CF是外角
ACE的平分线，点P是边BC上的一个动点（与点B，C不重合），∠APQ ＝60°，射线
PQ分别与边AC，射线CF交于点N，Q．
（1）求证：△ABP∽△PCN；
（2）不管点P运动到何处，在不添辅助线的情况下，除第（1）小题中的一对相似三
角形外，请写出图中其它的所有相似三角形；
（3）当点P从BD的中点运动到DC的中点时，点N都随着点P的运动而运动．在此
过程中，试探究：能否求出点N运动的路径长？若能，请求出这个长度；若不能，请说明
理由．
11．如图，已知直线 与 轴相交于点 （ ， ），与 轴交于点 ，将
y=- x+b y B 0 3 x A
沿 轴折叠，使点 落在 轴上的点 ．
△AO（B ）y求点 的坐标；A x C
1 C（ ）设点 为线段 上的一个动点，点 与点 、 不重合．联结 ．以点 为端
点作射2线 交P 于点 CA，使 ．P A C PB P
①求证PM： AB M ． ∠BPM=∠BAC
②是否存△在P点BC∽，△使MPA 为直角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，
请说明理由． P △PBM P
12．如图①,在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与A,B重合),分别连接
ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做
四边形ABCD的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形
ABCD的边AB上的“强相似点”.
【试题再现】如图②,在△ABC中,∠ACB=90°,直角顶点C在直线DE上,分别过点A,B
作AD⊥DE于点D,BE⊥DE于点E.求证:△ADC∽△CEB．
【问题探究】在图①中,若∠A=∠B=∠DEC=40°,试判断点E是否是四边形ABCD的边
AB上的相似点,并说明理由.
【深入探究】如图③,AD∥BC,DP平分∠ADC,CP平分∠BCD交DP于点P,过点P作
AB⊥AD于点A,交BC于点B．
(1)请证明点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.
(2)若AD=3,BC=5,试求AB的长.13．如图，四边形 是矩形，点 是对角线 上一动点(不与 、 重合)，连
接 ，过点 作 ，交射线 于点 ，已知 ， .
(1)求 的值；
(2)当 是以PC为底的等腰三角形时.请求出AP的值;
14．（1）【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三
角板（ ）放入一个“ ”形槽中，使三角形的三个顶点 、 、
分别在槽的两壁及底边上滑动，已知 ，在滑动过程中，你发现线段 与
有什么关系？试说明你的结论；
（2）【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图
2，在 中，点 、 、 分别在边 、 、 上，若 ，则这三
个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以
说理；
（3）【拓展应用】如图3，在 中， ， ，点 、 分别是边、 上的动点，且 ．以 为腰向右作等腰 ，使得 ，
，连接 ．
①试判断线段 、 、 之间的数量关系，并说明理由；
②如图4，已知 ，点 是 的中点，连接 、 ，直接写出 的最
小值．
15．感知∶
（1）数学课上，老师给出了一个模型∶如图1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由
∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因为
∠ACB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，进而得到 ．我们把这个数学
模型称为“一线三等角”模型．
应用∶
（2）实战组受此模型的启发，将三等角变为非直角，如图2，在△ABC中，点D在边
BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的长度（用含a，b的代
数式表示）．
拓展∶
（3）创新组突发奇想，将此模型迁移到平行四边形中，如图3，在平行四边形ABCD
中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF=∠B．求证∶AB·FE=BE·DE．16．[模型建立](一线三等角)
（1）如图1，等腰 中， 直线 经过点 ，过点 作
于点 过点 作 于点 求证： ；
[模型应用]
（2）如图2，直线 与坐标轴交于点 直线 经过点 与直线 垂直，
求直线 的函数表达式．
（3）如图3，平面直角坐标系内有一点 过点 作 轴于点 轴
于点 点 是线段 上的动点，点 是直线 上的动点且在第四象限内．若
成为等腰直角三角形，请直接写出点 的坐标．参考答案
1．C
解：设AP=x，则BP=7-x，然后根据对应关系，分情况为：
①当△ADP∽△BCP时，可得 ，即 ，解得x= ，这时有一个P
点；
②当△ADP∽△BPC时，可得 ，即 ，解得x=1或x=6，因此这
样的点有两个；
因此符合条件的P点共有3个.
故选C
【点拨】此题主要考查了相似三角形的性质，解题时，先根据相似三角形的性质，和
相似三角形的对应关系，列出相应的比例式，求解即可.
2．C
解：过点E作EH⊥BC的延长线于点H,因为∠APB+∠EPC=90°, ∠BAP+∠APB=90°,
所以∠BAP=∠EPH,因为∠B=∠H,所以△ABP∽△PHE,设EH=a,因为∠ECH=45°,
∠H=90°,所以CH=EH=a,因为BP=x,所以CP=4-x,根据相似三角形的性质,可知 ,即
,整理得: ,解得 ,所以y与x
的函数关系式为: ,故选C.3．D
【分析】
典型的“一线三等角”，构造相似三角形 AOB∽△DPC,即可证明 PCD∽△BPA，由相
似比求得边的相应关系，从而求解． △ △
解：在x轴上找点D（4,0），连接CD.
由 可得A(-2m，0 )，B(0，m )，直线 不经过第四象限，所以
m>0,
所以OA=2m，OB=m；因为 坐标为 ，点D（4,0）所以OC=2，OD=4,
因为 ,∠AOB=∠DOC=90° ,所以 AOB∽△DPC,所以∠CDO=∠BAO.
△
又因为 ，所以根据三角形内角和和平角定义可得：
∠APB+∠1=∠APB+∠CPD
所以∠1=∠CPD，又因为∠CDO=∠BAO，所以 PCD∽△BPA，所以 ,
△
因为点 为 的中点，所以AP=OP=m，PD=m+4，Rt AOB中，由勾股定理得
△
AB= m，同理得CD=2 ，因为 ，所以 ，解得m=6.
故选D.
【点拨】本题考查一次函数综合题．需要掌握待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形面积的求法等知识点，
4．B
【分析】
首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性
质得出CM＝ ，MO＝3，进而得出答案．
解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于
点N，
过点C作CM⊥x轴于点M．
∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，
∴∠EAO=∠COM，
又∵∠AEO=∠CMO=90°，
∴△AEO∽△OMC，
∴ ，
∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，
∴∠BAN=∠EAO=∠COM，
在 ABN和 OCM中，
△ △
，
∴△ABN≌△OCM（AAS），
∴BN=CM．
∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是 ，
∴BN ，∴CM ，
∴ ，
∴MO=3，
∴点C的坐标是：（3， ）．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角
形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.
5．
解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=AC=BC=8，∵AD=2，
∴DB=6，由折叠的性质可知，∠EDF=∠C=60°，EC=ED，FC=FD，
∴∠AED+∠EDA=120°，∠EDA+∠BDF=120°，∴∠AED=∠BDF，∴△AED∽△BDF，∴
= = = = ，∴ = = ，故答案为 ．
点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的
判定定理和性质定理、翻转变换的性质是解题的关键．
6．①②④
【分析】
当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，此时D′B＝AB﹣AD＝3，得出①正确；
过D′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，设AN＝x，则EM＝x﹣2.5，证出
∠ED′M＝∠D′AN，因此 EMD′∽△D′NA，得出对应边成比例 ，求出x＝4，得
△
出AN＝BN，因此AD′＝D′B，得出②正确；
当DE＝2时，假设 ABD′是直角三角形，则E、D′、B在一条直线上，作EF⊥AB于
点F，由勾股定理求出D△′B、EB，得出③不正确；
当AD′＝D′B时，由勾股定理的逆定理得出 ABD′不是直角三角形，当 ABD′是直角
三角形时，由勾股定理求出D′B，得出AD′≠D′B△，因此 ABD′不可能是等腰△直角三角形，
得出④正确． △解：当D′落在线段AB上时，D′B的值最小，如图1所示：
此时D′B＝AB﹣AD＝8﹣5＝3，
∴①正确；
过D′作MN⊥AB交AB于点N，交CD于点M，如图2所示：
设AN＝x，则EM＝x﹣2.5，
∵∠AD′N＝∠DAD′，∠ED′M＝180°﹣∠AD′E﹣∠AD′N＝180°﹣90°﹣∠AD′N＝90°
﹣∠AD′N，
∴∠ED′M＝90°﹣∠DAD′，
∵∠D′AN＝90°﹣∠DAD′，
∴∠ED′M＝∠D′AN，
∵MN⊥AB，
∴∠EMD′＝∠AND′，
∴△EMD′∽△D′NA，
∴ ，
即，
解得：x＝4，
∴AN＝BN，
∴AD′＝D′B，
即 ABD′是等腰三角形，
∴△②正确；
当DE＝2时，假设 ABD′是直角三角形，
则E、D′、B在一条△直线上，
作EF⊥AB于点F，如图3所示：
D′B＝ = ,EB= ，
∵ ≠
∴③不正确；
当AD′＝D′B时，52+52≠82，
∴△ABD′不是直角三角形，当 ABD′是直角三角形时，D′B＝ = ，
△
∴AD′≠D′B，
∴△ABD′不可能是等腰直角三角形，
∴④正确；
故答案为①②④．
【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、
勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌
握矩形的性质和翻折变换的性质是解决问题的关键．
7．③④
解：试题分析：在△ADE中，∠ADE+∠AED+∠A=180°，又
∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，可得∠ADE+∠AED+∠A =∠AED+∠DEC+∠BEC，由
∠A=∠DEC，可得∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，根据两角对应相等的两三角形相似，可得
△ADE∽△BEC，可得 ，又AE=BE，得到 ，又∠DEC=∠B，根据两边
对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可知△CDE∽△CEB，然后根据相似三角形的对应角相等，可得∠DCE=∠BCE，因此EC平分∠BCD，即④成立；同理△ADE∽△EDC，因此
DE平分∠ADC；即③成立；而①DE平分∠AEC不一定成立；②CE平分∠DEB不一定成
立．
故答案为：③④.
8．（1）证明见分析；（2）点 在 中点位置时， ，证明见分析．
【分析】
（1）先根据正方形的性质可得 ，再根据直角三角形的性质、角的和差可
得 ，然后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）如图（见分析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得
，再根据三角形全等的判定定理与性质可得 ，然后根据
等腰三角形的判定与性质可得 ，最后根据等量代换即可得．
解：（1） 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
；
（2）点 在 中点位置时， ，证明如下：
如图，连接 ，延长 于 的延长线相交于点H，
为 中点，
，
四边形 是正方形，
，
，
在 和 中， ，，
，
，
是等腰三角形，
，
，
故当点 在 中点位置时， ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性
质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角
形和等腰三角形是解题关键．
9．(1)理由见详解；（2） 或 ，理由见详解．
【分析】
（1）根据题目已知条件易得： ，
，所以得到 ，问题得证．
（2）由题意易得 是等腰直角三角形，所以 ，当 是等腰三角
形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与
重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等
角”及 ，求出问题即可．
解：（1）如图可知：
在 中，
又
．
（2） ，
是等腰直角三角形
BC=2， AB=AC= BC=
①当AD=AE时，
，
点D在 上运动时（点D不与 重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②
当AD=DE时，
由（1）结论可知：
AB=DC=
．
③当AE=DE时，
是等腰直角三角形
，
，即
．
综上所诉： 或 ．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，关键是利用
“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进
而求解问题．
10．（1）详见分析；（2） ABD≌△ACD； APN∽△ACP； APN∽△QCN；
ACP∽△QCN ；（3）1.5． △ △ △
△ 【分析】
（1）根据等边三角形性质得到∠ABP＝∠PCN＝60°，利用角的和差证明∠BAP＝
∠CPN，根据相似三角形的判定定理证明结论；（2）因为 ABC是正三角形，AD是边BC
上的高线，由三线合一可证 ABD≌△ACD；因为∠APN=∠A△CP=60°，∠PAN=∠CAP,所以
APN∽△ACP；因为∠APN=△∠NCQ=60°，∠PNA=∠CNQ,所以 APN∽△QCN；因为
△APN∽△ACP， APN∽△QCN，所以 ACP∽△QCN ；（3）当△点P在BD的中点运动到
△DC的中点时，利△用相似三角形性质，△设PB＝x，CN＝y，则3≤x≤9，由第（1）题利用相似
三角形性质可得： ，解得 ，又利用函数图象可知：当x＝3或9时，
y＝ ，当x＝6时，y ＝3，所以点N运动的路径长为：（3－ ）×2＝1.5．
最大
解：（1）在正三角形ABC中，∠ABP＝∠PCN＝60°，
∴∠BAP +∠BPA＝120°，又∵∠APQ ＝60°，
∴∠CPN +∠BPA＝120°， ∴∠BAP＝∠CPN，
∴△ABP∽△PCN；
（2） ABD≌△ACD； APN∽△ACP； APN∽△QCN； ACP∽△QCN ；
理由：△∵ ABC是正三△角形，AD⊥BC，△由三线合一可证△ ABD≌△ACD；
∵∠APN=∠A△CP=60°，∠PAN=∠CAP，∴ APN∽△ACP；∵△∠APN=∠NCQ=60°，
△∠PNA=∠CNQ,∴ APN∽△QCN；∵ APN∽△ACP， APN∽△QCN，∴ ACP∽△QCN ；
△ △ △ △
（3）能，设PB＝x，CN＝y，由第（1）题可得： ，
∴ ，又3≤x≤9，利用函数图象可知：
当x＝3或9时，y＝ ，当x＝6时，y ＝3；
最大
∴点N运动的路径长为：（3－ ）×2＝1.5．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正三角形的性质，掌握相关的性质
定理、灵活运用所学知识是解题的关键．
11．（ ） （ ， ）；（ ）①证明见分析，②存在．使 为直角三角形的点
1 C -4 0 2 △PBM P
有两个 （ ， ）， （ ， ）．
P1 - 0 P2 0 0
【分析】
（1）根据B点坐标求得直线解析式，再求得A点坐标，然后根据A与C关于y轴对
称，据此即可确定C的坐标；
（2）①根据点C与点A关于y轴对称，即可得到BC=BA，则∠BCP=∠MAP，再根据
三角形的外角的性质即可证得∠PMA=∠BPC，从而证得两个三角形相似；
②首先求得B的坐标，当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，根据相似三角形的对应
边的比相等，即可求得PO的长，求得P的坐标；
当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°时，BP⊥AC，则此时点P与点O重合．则P的坐标
可以求得．
（1）解：∵直线y=- x+b与y轴相交于点B（0，3），
∴b=3，
∴直线的解析式为y=- x+3，
令y=0，得到x=4，
∴A（4，0），
∵点C与点A关于y轴对称，
∴C（-4，0）；
（2）①证明：∵∠BPM=∠BAC，且∠PMA=∠BPM+∠PBM，∠BPC=∠BAC+∠PBM，
∴∠PMA=∠BPC，
又∵点C与点A关于y轴对称，且∠BPM=∠BAC，
∴∠BCP=∠MAP，
∴△PBC∽△MPA；
②解：存在．
由题意：A（4，0），B（0，3），C（-4，0）
当∠PBM=90°时，则有△BPO∽△ABO，
∴ = ，即 = ，
∴PO= ，即：P（- ，0）．
1
当∠PMB=90°时，则∠PMA═90°，
∴∠PAM+∠MPA=90°，
∵∠BPM=∠BAC，
∴∠BPM+∠APM=90°，
∴BP⊥AC．
∵过点B只有一条直线与AC垂直，
∴此时点P与点O重合，即：符合条件的点P 的坐标为：P（0，0）．
2 2
∴使△PBM为直角三角形的点P有两个P（- ，0），P（0，0）．
1 2
【点拨】本题是属于一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、
一次函数的应用等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
12．【试题再现】见分析；【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
理由见分析；【深入探究】(1) 点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点，见分析；
(2)
解：试题分析：【试题再现】易证∠BCE=∠CAD，又∠ADC=∠CEB=90°，故得
△ADC∽△CEB.
【问题探究】要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角
形相似就行，很容易证明△ADE∽△BEC，所以问题得解．
【深入探究】（1）分别证明△ADP∽△PDC,△BPC∽△PDC,从而△ADP∽△PDC∽△BPC,故点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.
（2）过点P作PE⊥DC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,通过证
明△ADP≌△EDP和△CBP≌△CEP得DC =8，再求出CF=2，在Rt△CDF中,由勾股定理,得
AB=2 .
解：【试题再现】
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∵AD⊥DE,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠BCE=∠CAD,
∵∠ADC=∠CEB=90°,
∴△ADC∽△CEB.
【问题探究】点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
理由如下:
∵∠DEC=40°,
∴∠DEA+∠CEB=140°.
∵∠A=40°,
∴∠ADE+∠AED=140°,
∴∠ADE=∠CEB,
又∵∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC,
∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
【深入探究】
(1)∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∵DP平分∠ADC,CP平分∠BCD,
∴∠CDP+∠DCP= (∠ADC+∠BCD)=90°,
∵DA⊥AB,DA∥BC,
∴CB⊥AB,
∴∠DPC=∠A=∠B=90°,∵∠ADP=∠CDP,
∴△ADP∽△PDC,同理△BPC∽△PDC,
∴△ADP∽△PDC∽△BPC,即点P是四边形ABCD的边AB上的一个强相似点.
(2)过点P作PE⊥DC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则四边形ABFD是矩形,
∴DF=AB,
在△ADP与△EDP中,
∴△ADP≌△EDP,
∴AD=DE,
同理△CBP≌△CEP,∴BC=EC,
∴DC=AD+BC=8.
在Rt△CDF中,CF=BC-BF=BC-AD=5-3=2,
由勾股定理,得DF= =2 ,
∴AB=2 .
13．(1) ;(2) .
分析：（1）如图，过点P作CD的垂线，分别交AB、CD于M、N，易证
PNE∽△BMP,从而证得
△
（2）首先证明BP=BC,再过点B作BF垂直AC得PF=CF,由 得
根据AP=AC-PC即可求解.解：（1）
（2）【点拨】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，正
确作出辅助线、灵活运用相关的定理是解题的关键．
14．【小问1】 ，说明见分析
【小问2】 ， ；说理见分析
【小问3】① ，理由见分析；② 的最小值为
【分析】
（1）【问题情境】证明 ，即可求解．
（2）【变式探究】利用等量代换即可求解．
（3）【拓展应用】①等量代换即可求解；②在 上截取 ，连接 ，作点
关于 的对称点 ，连接 ， ，先证明 ，得到EM＝CM，在
求出 ，即可确定E点在射线CE上运动，当A、E、N三点共线时，EA
＋EG的值最小，最小值为AN，在 中求出AN即可．
解：（1）【问题情境】
，理由如下：
，
，
，
，，
，
；
（2）【变式探究】
， ；理由如下：
，
，
， ；
（3）【拓展应用】
① ，
，
，
，
；
②在 上截取 ，连接 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，
，
， ，
，
，
，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
点在射线 上运动，
点与 的关于 对称，
，
，
当 、 、 三点共线时， 的值最小，最小值为 ，， ，
，
，
由对称性可知， ，
，
点 是 的中点， ，
，
，
在 中， ，
的最小值为 ．
【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握三角形全等的判定及性质，轴对称求最短
距离的方法是解题的关键．
15．（1） ；（2）CE=a-b；（3）见分析
【分析】
（1）根据相似三角形的性质即可求得结果；
（2）由已知易证△ADB≌△DEC，从而由全等三角形的性质即可求得CE的长度；
（3）作CG//FE交DE于点G，易证得△FBE∽△EGC，从而可得 = ；可证得
△DGC∽△DCE，可得 = ，即有 = ，再由AB=CD即可得要证的结论．
解：（1）∵△ABC∽△DAE
∴故答案为： ；
（2）∵∠B=∠ADE=∠C，∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠EDC=∠BAD
又∵DA=DE
∴△ADB≌△DEC
∴EC=BD，AB=DC=b
∴BD=BC-DC=a-b．
即：CE=a-b．
（3）∵∠DEF=∠B
∴∠BFE+∠BEF=∠BEF+∠DEC
∴∠BFE=∠DEC．
作CG//FE交DE于点G，如图3．
∴∠DEF=∠EGC
∴∠B=∠EGC
∴△FBE∽△EGC
∴ =
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B+∠BCD=180°
∵∠EGC+∠DGC=180°，且∠B=∠EGC
∴∠DGC=∠BCD
又∵∠EDC=∠CDG
∴△DGC∽△DCE
∴ =∴ =
∴DC·FE=BE·DE
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=DC
∴AB·FE=BE·DE
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行
四边形的性质等知识，（3）问中作辅助线是难点，灵活运用这些知识是重点．
16．（1）答案见分析；（2）直线l2的函数表达式为：y＝ ；（3）点D的坐
标为 或(8，﹣14)或
【分析】
（1）由垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，平角的定义和同角的余角的相等求出
∠DAC=∠ECB，最后由角角边证明：△BEC≌△CDA；
（2）如图2，仿照（1）作辅助线，构建三角形全等，同理证明△BOA≌△AED，求出
点D的坐标为（-7，3），最后利用待定系数法可得直线l2的函数表达式；
（3）分三种情况：①如图3，∠CPD=90°时，②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重
合，③如图5，∠CDP=90°，分别作辅助线，构建三角形全等，根据全等三角形的性质可
得点D的坐标．
解：（1）如图1所示：
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
又∵∠ACD+∠ACB+∠BEC=180°，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BEC=90°，又∵∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠ECB，
在△CDA和△BEC中， ，
∴△CDA≌△BEC（AAS）；
（2）如图2，在l 上取D点，使AD=AB，过D点作DE⊥OA，垂足为E，
2
∵直线y= x+4与坐标轴交于点A、B，
∴A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
由（1）得△BOA≌△AED，
∴DE=OA=3，AE=OB=4，
∴OE=7，
∴D（-7，3）
设l 的解析式为y=kx+b，
2
∴
解得
∴直线l 的函数表达式为：y＝ ；
2
（3）点D的坐标为 或（8，﹣14）或分三种情况：
①如图3，∠CPD=90°时，过P作MH∥x轴，过D作DH∥y轴，MH和DH交于
H，
∵△CPD是等腰直角三角形，∠CPD=90°，
∴CP=PD，
同理得△CMP≌△PHD（AAS），
∴DH=PM=6，PH=CM，
设PH=a，则D（6+a，a-8-6），
∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内．
∴a-8-6=-2（6+a）+2，
解得：a= ，
∴D（ ）；
②如图4，∠PCD=90°，此时P与A重合，过D作DE⊥y轴于E，∵△CPD是等腰直角三角形，
同理得△AOC≌△CED，
∴OA=CE=6，OC=DE=8，
∴D（8，-14）；
③如图5，∠CDP=90°，过点D作MQ∥x轴，延长AB交MQ于Q，则
∠Q=∠DMC=90°，
∵△CDP是等腰直角三角形，同理得△PQD≌△DMC，
∴PQ=DM，DQ=CM，
设CM=b，则DM=6-b，AQ=8+b，
∴D（6-b，-8-b），
∵点D是直线y=-2x+2上的动点且在第四象限内，
∴-8-b=-2（6-b）+2，
解得：b= ，
∴D（ ）；
综上，点D的坐标为 或（8，﹣14）或
【点拨】本题是一次函数和四边形的综合题，综合考查了矩形的性质，全等三角形的
性质和判定，一次函数上点的坐标的特点等知识点，重点是运用类比的方法，作辅助线，
构建全等三角形依次解决问题．
