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专题 27.34 相似三角形几何模型-一线三等角（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，矩形ABCD中，AD＝2，AB＝5，在边CD上取一点P，使得 PAD与 PBC
相似，则这样的点P共有（ ） △ △
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过E作BE的垂线
交BC延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
3．如图，在正方形 中， 为 中点， ． 联结 ．那么
下列结果错误的是( )
A． 与 相似 B． 与 相似
C． 与 相似 D． 与 相似
4．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC相交于
点F，图中相似的三角形有（ ）对．A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，在矩形 中，点 分别在 边上， 于点 ，
与 交于点 ， 与 交于点 ，则下列结论错误的是
A． B．
C． D．
6．如图，已知矩形 中，点 是边 上的任一点，连接 ，过 作 的垂线
交 延长线于点 ，交边 于点 ，则图中共有相似三角形（ ）
A．6对 B．5对 C．4对 D．3对
7．如图， 是正方形 的边 上一点，下列条件中：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中能使 的有
（ ）A．①② B．①②③
C．①②③④ D．①②③④⑤
8．如图，在矩形ABCD中，点E为AD上一点，且AB＝8，AE＝3，BC＝4，点P为
AB边上一动点，连接PC、PE，若△PAE与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个
数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知矩形AOBC的顶点O在坐标原点，点A的坐标是（－2，1），点B的
纵坐标是3，则点C的坐标是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为 ．将△ABC沿AC
翻折，得到△ADC，则点D的坐标是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，P是CD边上的一个动点，则当 ADP
与 BCP相似时，DP=__________． △
△
12．如图，将边长为 的正方形 折叠，使点 落在 边的中点 处，折痕
为 ，点 落在点 处， 与 交于点 ，则 的周长是________ ．
13．如图，将矩形纸片 沿 折叠，使点 落在对角线 上的点 处，再沿
折叠，使点 落在矩形内的点 处，且 、 、 在同一直线上，若 ， ，
则 ______， ______．
14．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线
BM上，BE＝ DB，作EF⊥DE，并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C，设
BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为_____．15．如图，在边长为7的正方形ABCD中放入四个小正方形后形成一个中心对称图形，
其中两顶点E，F分别在边BC，AD上，则放入的四个小正方形的面积之和为___ ．
16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P
的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q，当BP＝5时，CQ＝_____．
17．如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD
于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有_____对．
18．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，使点D恰好落
在BC边上的F点处．已知折痕 ，且 ，那么该矩形的周长为
______cm．19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点M是BC边上的一个动点（点M不
与点B、C重合），BM＝x，将△ABM沿着AM折叠，使点B落在射线MP上的点B′处，
点E是CD边上一点，CE＝y，将△CME沿ME折叠，使点C也落在射线MP上的点C′处，
当y取最大值时，△C′ME的面积为_____．
20．如图，在 中，已知 ， ， 是 边上的一动点（ 不与
点 、 重合）.连接 ， ，边 与 交于点 ，当 为等腰三角形
时，则 之长为_________.
三、解答题
21．如图， ，点P在 上移动，当以P，
C，D为顶点的三角形与 相似时，求 的长．
22．如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝
∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且
△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
23．如图，在 中， ，点 在边 上，满足 ，且点 ，
分别在边 ， 上． 求证： ．
24．如图，已知 ， .
（1）若 ， ， ，请问在 上是否存在点P，使以P，A，B三点
为顶点的三角形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？若存在，求 的长；若不存在，
请说明理由；
（2）若 ， ， ，请问在 上存在几个点使以三点为顶点的三角
形与以P，C，D三点为顶点的三角形相似？并求 的长.25．如图1，两个全等的等边三角形如图放置，AC与DE交于点G，点D是AB的中
点，BC与DF交于点K，连接GK.
（1）写出两对相似（不含全等）三角形；
（2）求证： ；
（3）若将条件中的两个全等的等边三角形改为两个全等的等腰三角形（
），如图2，其余条件不变，直接判断（1）（2）中的结论是否依然
成立.
26．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点 在直线 上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我
们把它称为“一线三等角”模型．
(1)如图2， 中， ， ，直线 经过点 ，过 作
于点 ，过 作 于点 ．求证： ；
(2)如图3，在 中， 是 上一点， ， ， ，
，求点 到 边的距离；
(3)如图4，在 中， 为边 上的一点， 为边 上的一点．若 ，
， ，求 的值．参考答案
1．C
【分析】
如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P，P，连接AP，BP，AP，BP．则
1 2 1 1 2 2
△ADP ∽△△PCB，，△ADP ∽△△PCB，取CD的中点P，连接AP，BP，则
1 1 2 2 3 3 3
△ADP ∽△PCB，由此可得结论．
3 3
解：如图，以AB为直径作⊙O交CD于点P，P，连接AP，BP，AP，BP．
1 2 1 1 2 2
∵AB为⊙O直径，
∴ ，
∴ ，
为矩形， ，
∴ ，
∴ ，
∴△ADP ∽△PCB，
1 1
同理△ADP ∽△PCB，
2 2取CD的中点P，连接AP，BP，则同理△ADP ∽△PCB，
3 3 3 3 3
故选：C．
【点拨】本题考查相似三角形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
2．A
【分析】
根据矩形的性质，得到直角和平行线，利用相似三角形的判定和性质进行推理判断即
可．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EDP=∠FCP=90°，
∵∠EPD=∠FPC，
∴ EDP∽ FCP；
∵△∠FEP=∠△FCP=90°，
∵∠F=∠F，
∴ FEB∽ FCP；
∴△FEB∽△EDP；
∵△四边形△ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠BEF=90°，
∴∠AEB+∠DEP=90°，∠AEB+∠ABE=90°，
∴∠DEP=∠ABE，
∴ EDP∽ BAE；
∴△FCP∽△BAE；
∴△FEB∽△BAE；
共△有6对，△
故选A．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，互余原理，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题的关键．
3．C
【分析】
根据正方形的性质及勾股定理逆定理可以判断△AEF是直角三角形，再根据三角形相
似的判定可以选出结果错误的选项．
解：设正方形边长为1 ，则由已知可得：
，
∴ ，∴△AEF是直角三角形，
∴在RT△ABE、RT△ECF、RT△ADF、RT△AEF中，
∠B=∠C=∠AEF=∠D， ，
∴RT△ABE、RT△ECF、RT△AEF两两相似，但是△ABE 与 △ADF 不相似，
∴A、B、D正确，C错误，
故选C．
【点拨】本题考查正方形与三角形相似的综合应用，灵活运用正方形的性质和三角形
相似的判定是解题关键．
4．C
【分析】
由等边三角形的性质得出∠BAC＝∠B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，得出
ABC∽△ADE，再证出∠BAD＝∠FAE，得出 ABD∽△AEF；由∠AFE＝∠DFC，∠E＝
△∠C，证出 AEF∽△DCF，得出 ABD∽△DCF△；由∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，即可得
出 ADF∽△△ACD． △
△解：图中的相似三角形有 ABC∽△ADE， ABD∽△AEF， AEF∽△DCF，
ABD∽△DCF， ADF∽△ACD△；理由如下： △ △
△ ∵△ABC△和 ADE均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠△B＝∠C＝∠DAE＝∠ADE＝∠E＝60°，
∴△ABC∽△ADE；
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠FAE，∴△ABD∽△AEF；
∵∠AFE＝∠DFC，∠E＝∠C，
∴△AEF∽△DCF，
∴△ABD∽△DCF；
∵∠DAF＝∠CAD，∠ADF＝∠C，
∴△ADF∽△ACD，
故选：C．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握等边三
角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
5．D
【分析】
根据矩形四个角都是直角，又 ，利用等角的余角相等，逐个判别可
以得出结论.
解：如图：
A. 在 中，
∵四边形 是矩形，且
∴ ，
，且
，A正确；
B. 在 中，
∵四边形 是矩形，且
∴ ， ，则
∵ ， ，则
，B正确；
C. 在 中
由前面知： ，又 ， , 则,
又∵ ，
，C正确；
D.在 中
已经知道： ，而AE并不是 的角平分线，
∴ ,
,错误.
故选D．
【点拨】本题考查了矩形的性质，同角或等角的余角相等，相似三角形的证明，熟练
掌握相似三角形的证明方法是解题的关键.
6．A
【分析】
根据的性质得到∠A=∠ABC=∠D=∠DCB=90°，根据邻补角的定义得到∠PCF=90°，根
据余角的性质得到∠ABE=∠DEP，根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴图中共有相似三角形有6对，
故选A.
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和
性质是解题的关键．
7．D
【分析】
对于①②④，直接利用相似三角形的判定方法判断即可；对于③，先利用同角的余角相等转化为①，即可进行判断，对于⑤，利用比例的性质和勾股定理进行判断.
解：∵∠B=∠C=90°，∴只要满足 或 ，均可判定
△ABE∽△ECF，所以①②都正确；
③中，当 时，∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，∴△ABE∽△ECF，故③正确；
④中对应边成比例，且夹角均为90°，∴△ABE∽△ECF，故④正确；
⑤中，当 时，则 ，即 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
又∵∠B=∠C=90°，∴△ABE∽△ECF，∴⑤正确；
综上，故选D.
【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、比例的性质和勾股定
理等知识，熟知相似三角形的判定与性质是判断①②③④的关键，对于⑤，则需综合运用
比例的性质和勾股定理进行判断.
8．C
【分析】
设AP＝x，则BP＝8﹣x，分△PAE∽△PBC和△PAE∽△CBP两种情况，根据相似三角形
的性质列出比例式，计算即可．
解：设AP＝x，则BP＝8﹣x，
当△PAE∽△PBC时， ，即 ，
解得， ，
当△PAE∽△CBP时， ，即 ，
解得，x＝2或6，
可得：满足条件的点P的个数有3个．
故选：C．
【点拨】本题考查了相似三角形的性质，解答时，注意分情况讨论思想的灵活运用．
9．A
【分析】作 轴于点D， 过点A作 轴于点E，过点C作 轴于点G，先通过
角度等量代换证明 ，求出 ，再证明 ，求出 ， ，
则 ， ，由此可解．
解：如图，
作 轴于点D， 过点A作 轴于点E，过点C作 轴于点G，
∵点A的坐标是（－2，1），点B的纵坐标是3，
∴ ， ， ，
∵ 轴， 轴， 轴，
∴ ，
∵ 四边形AOBC是矩形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∵ 四边形AOBC是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标是 ．
故选A．
【点拨】本题考查矩形的性质、平面直角坐标系内点的坐标，全等三角形的判定与性
质，相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线构造全等及相似三角形是解题的关
键．
10．A
【分析】
如图，过 作 轴于点 ，延长 交 于 ，由题意知，四边形 是矩
形，由翻折的性质可知 ， ， ，则 ，
，证明 ，则 ，即 ，计算求出
、 的长，进而可得 点坐标．
解：如图，过 作 轴于点 ，延长 交 于 ，由题意知，四边形 是矩形，由翻折的性质可知 ， ，
，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 ， ，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解
题的关键在于构造 、 ，利用相似的判定与性质求出线段 、 的长．
11．2或8或5
【分析】
需要分类讨论： APD∽△PBC和 PAD∽△PBC，分别根据相似三角形的对应边成比例
求得DP的长度即可．△ △
解：在矩形ABCD中，AB=CD=10，AD=BC=4，
①当 APD∽△PBC时，
△
可得 ，即 ，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当 PAD∽△PBC时，
△可得 ，即 ，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案为：2或8或5．
【点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质．熟练掌握相似三角形的性质是
解题的关键．
12．12
【分析】
首先根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=xcm，表示出AF，然后利用勾股定理列方程
求出x，从而得到AF、EF的长，再证出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成
比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．
解：由翻折的性质得，DF=EF，设EF=xcm，则AF=(6−x)cm，
∵点E是AB的中点，
∴ ，
在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，即32+(6−x)2=x2，
解得 ，
∴ ， ，
∵∠FEG=∠D=90°，
∴∠AEF+∠BEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠BEG =∠AFE，
又∵∠B=∠A=90°，
∴△BGE∽△AEF，
∴ ，
即 ，
∴BG=4cm，EG=5cm，
∴△EBG的周长=3+4+5=12(cm)．故答案为：12．
【点拨】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性
质并求出△AEF的各边的长，利用相似三角形的性质求出△EBG各边的长是解题的关键．
13． 4 ##2.5
【分析】
根据折叠的性质得到BE=EF， ，利用勾股定理求出AC，进而求出CF，设
，则 ， ，在 中，由勾股定理得 ，即
，解方程求出BE，进而求出CE，再证 ，即有 ，
则问题得解．
解：根据折叠的性质有BE=EF， ，
∵ ， ，
则设 ，则 ， ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
根据折叠的性质有∠B=∠AFE=90°,
则有∠EFC=90°，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
∴ ， ，
由折叠的性质得， ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：4， ．
【点拨】本题考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、一元二次方
程的应用等知识，证得 进而得到 是解答本题的关键．
14．y＝ （0＜x≤2）
【分析】
作FH⊥BC于H．证明△DBE≌△EHF，则FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，由
求得自变量的范围，根据FH∥AB，得 ＝ ，即可求解．
解：作FH⊥BC于H．
∵∠DBE＝∠DEF＝∠EMF＝90°，
∴∠DEB+∠BDE＝90°，∠DEB+∠FEH＝90°，
∴∠BDE＝∠FEH．
在△DBE和△EHF中，
，
∴△DBE≌△EHF，
BE＝ DB，
∴FH＝BE＝x，EH＝BD＝2BE＝2x，, AB＝4，
，即
∵FH∥AB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝ （0＜x≤2）．
故答案为：y＝ （0＜x≤2）．
【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，函数关系
式，证明 是解题的关键．
15．22
【分析】
作GH⊥BC，证明△GHE∽△EMN，根据相似三角形的性质得到GH=2EM，HE=2MN
，根据正方形的性质列方程求出MN，根据勾股定理、正方形的面积公式计算，得到答案.
解：如图，作GH⊥BC，
则∠HGE+∠HEG=∠HEG+∠MEN=90°,
∴∠HGE=∠MEN，
∵∠GHE=∠EMN=90°，
∴△GHE∽△EMN，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
即： ，
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四个小正方形的面积之和 .
故答案为：22.
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质、中心对称图形的概念，掌握相似三
角形的判定定理和性质定理、正方形的性质是解题的关键.
16．
【分析】
通过证明△ABP∽△PCQ，可得 ，即可求解．
解：如图，
∵BP＝5，BC＝4，
∴CP＝1，
∵PQ⊥AP，∴∠APQ＝90°＝∠ABC，
∴∠APB+∠BAP＝90°＝∠APB+∠BPQ，
∴∠BAP＝∠BPQ，
又∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，
∴△ABP∽△PCQ，
∴ ，
∴
∴CQ＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查相似三角形、矩形的性质．根据题意找相似的条件是关键．利用相
似比计算线段的长度是常用的方法．
17．3
【分析】
先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明
△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
解：∵∠CPD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△PCF∽△BCP．
∵∠CPD＝∠A，∠D＝∠D，
∴△APD∽△PGD．
∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠APG＝∠B+∠C，∠BFP＝∠CPD+∠C
∴∠APG＝∠BFP，
∴△APG∽△BFP．
则图中相似三角形有3对，
故答案为：3．
【点拨】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要
注意正确找出两三角形的对应边、对应角．
18．72
【分析】
根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据
，设CE=3k，CF=4k，推出EF=DE=5k，AB=CD=8k，利用相似三角形的性质求出
BF，再在Rt△ADE中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，
∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，
∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF，
∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°，
∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
∵ ，
∴设CE=3k，CF=4k，
∴ ，
∵∠BAF=∠EFC，且∠B=∠C=90°
∴△ABF∽△FCE，
∴ ，即 ，
∴BF=6k，
∴BC=BF+CF=10k=AD，
∵AE2=AD2+DE2，
∴500=100k2+25k2，
∴k=2
∴AB=CD =16cm，BC=AD=20cm，
∴四边形ABCD的周长=72cm
故答案为72.
【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的
关键是学会利用参数构建方程解决问题．
19． ．
【分析】
由折叠的性质得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，得出∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，得出∠BAM＝∠EMC，证出△ABM∽△MCE，得出
，求出 ，当x＝ 时，y取最大值 ，
即CE＝ ，由三角形面积公式即可得出△C'ME的面积．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠AMB+∠BAM＝90°，
由折叠的性质得：∠AMB'＝∠AMB，∠EMC'＝∠EMC，
∵∠AMB'+∠AMB+∠EMC'+∠EMC＝180°，
∴∠AME＝90°，∠AMB+∠EMC＝90°，
∴∠BAM＝∠EMC，
∴△ABM∽△MCE，
∴
∴ ，
当x＝ 时，即CE＝ 即BM＝ ，CM＝BC﹣BM＝ 时，y取最大值 ，即CE
＝ ，
此时△C'ME的面积＝△CME的面积 ，
故答案为 ．
【点拨】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质等知识；
熟练掌握翻折变换的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
20．2或
【分析】
分别讨论AP=PD、PD=AD、PA=AD三种情况，当AP=PD时，可证明APB≌ PDC，可得PC=AB，进而可求出PB的长；当PD=AD时，可证明
△APC∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出PC的长，进而可得PB的长；当PA=AD
△时，P点△与点B重合，不符合题意；综上即可得答案.
解：①当AP=PD时，
∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，∠B=∠APD，
∴∠DPC=∠BAP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠B=∠C，∠DPC=∠BAP，AP=PD，
∴ APB≌ PDC，
∴△PC=AB=△4，
∴PB=BC-PC=2，
②当PD=AD时，
∵AD=PD，∠APD=∠B，
∴∠APD=∠PAD=∠B，
∵∠PAD=∠B，∠C=∠C，
∴△APC∽ BAC，
△
∴ ，即 ，
解得：PC= ，
∴PB=BC-PC= .
③当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；
综上所述：PB的长为2或 .
故答案为2或
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判
定定理及性质并运用分类思想是解题关键.
21．当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三
角形相似．
【分析】设DP=x，则BP=BD-x=14-x，根据垂直的定义得到∠B=∠D=90°，再根据两组对应边
的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当 时，△ABP∽△CDP，即
；当 时，△ABP∽△PDC，即 ；然后分别解方程求出x即可．
解：设DP=x，则BP=BD-x=14-x，
∵AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，
∴∠B=∠D=90°，
∴当 时，△ABP∽△CDP，即 ，
解得 ；
当 时，△ABP∽△PDC，即 ，
整理得x2-14x+24=0，
解得x=2，x=12，
1 2
BP=14-2=12，BP=14-12=2，
∴当BP为8.4或2或12时，以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的
三角形相似．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个
三角形相似．
22．（）见分析；（2） 或 ．
【分析】
（1）根据题目已知条件可知 ，
，所以得到 ，即可得证．
（2）由题意易得 是等腰直角三角形，所以 ，当 是等腰三角
形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与
重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等
角”及 ，求出问题即可．
解：（1）
在 中，又
；
（2） ，
是等腰直角三角形
BC=6，
AB=AC= BC=3
①当AD=AE时，则
，
点D在 上运动时（点D不与 重合）,点E在AC上
此情况不符合题意．
②当AD=DE时，如图，
由（1）可知
又
AB=DC=
．③当AE=DE时，如图
，
平分 ,
．
综上所述： 或 ．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是
利用“K”型相似模型及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，
进而求解问题．
23．见详解．
【分析】
由等边对等角得 ，由三角形的内角和定理，得到 ，即可得到
结论成立．
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定定理：两个角对应相等，则这两个三角形相似．
24．（1）存在， ，见分析；（2）存在2个点P点， 或 ，见分析.
【分析】
（1）存在1个P点，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当或 时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点
的三角形相似，代入求出即可；
（2）存在两个P点，设BP=x，根据∠B=∠D=90°和相似三角形的判定得出当
或 时，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点
的三角形相似，代入求出即可.
解：（1)存在1个P点.
设 ，则 .
∵ ， ，
∴ .
当 时， ，即 .
整理，得 ，
∵ ，
∴此方程没有实数解；
②当 时， ，
即 ，解得 .
综上所述， 的长为 ；
(2)存在2个点P.
设 ，则 .
∵ ， ，∴ .
①当 时， ，即 ，
解得 ；
②当 时，即 ，即 ，
解得 .综上所述， 的长为6或 .
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，根据题意进行分
类讨论是解题关键．
25．（1） ， ；（2）见分析；（3）成立.
【分析】
（1）由等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠EDF=60°，再由三角形的外角性质得出
∠AGD=∠BDK，证出△DAG∽△KBD，得出对应边成比例 ，证出AD=BD=2，得
出 ，证出△KDG∽△KBD即可；
（2）由（1）知：△KDG∽△KBD，根据相似三角形的对应角相等可得出结论；
（3）解法同（1）（2）.
解：（1） ， .
理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等边三角形，
∴∠A=∠B=∠EDF=60°，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴ ，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴ ，
又∵∠B=∠GDK=60°，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ .
（3）解：（1）（2）中的结论依然成立；理由如下：
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰三角形，DF=EF=AC=BC，∴∠A=∠B=∠EDF，
∵∠BDG=∠A+∠AGD，∠BDG=∠BDK+∠EDF，
∴∠AGD=∠BDK，
∴△DAG∽△KBD，
∴ ，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴ ，
∴△KDG∽△KBD，
∴∠GKD=∠BKD.
【点拨】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性
质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识.熟练掌握相似三角形的判定与性质是解
答本题的关键.
26．(1)见分析(2) (3)
【分析】
（1）根据“AAS”证明 即可；
（2）过 作 于点 ，过 作 交 延长线于点 ，可根据“AAS”
证 即可求解；
（3）过 作 交 的延长线于点 ，可得 ，由平行四边形
ABCD易证 ，故 ，由相似三角形的性质可求．
(1)证明：∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
(2)解：如图，过 作 于点 ，过 作 交 延长线于点 ．∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
∵ ，∴ ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，即点 到 边的距离为 ．
(3)解：如图，过 作 交 的延长线于点 ，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，∴ ．
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，相似三角形的判
定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
