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专题 27.36 相似三角形几何模型-双垂线等角
（知识讲解）
【非共顶点双垂线等角模型】
【双垂线共顶点等角模型】
【双垂线共顶点等角模型拓展】
【典型例题】
类型一、非共顶点双垂线等角模型
1．如图，在 中，CD是斜边AB上的高．
求证： ．
【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．
解：证明：如图，∵在 中，CD是斜边AB上的高
∴
∵ 是公共角
∴ ．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，
准确运用进行推理证明．
举一反三
【变式1】（1）问题情境：如图1，Rt 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，我们可以利
用 与 相似证明AC2＝AD•AB，这个结论我们称之为射影定理，试证明这个定
理．
（2）结论运用：如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，
点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，试利用射影定理证明
．
【分析】
（1）由AA证明 ，再结合相似三角形对应边成比例即可解题；
（2）根据正方形的性质及射影定理解得BC2＝BO•BD，BC2＝BF•BE，再运用SAS证
明 BOF∽△BED即可．
△证明：（1）如图1，（2）如图2，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，
∴BC2＝BO•BD，
∵CF⊥BE，
∴BC2＝BF•BE，
∴BO•BD＝BF•BE，即 ，
而∠OBF＝∠EBD，
∴△BOF∽△BED．
【点拨】本题考查射影定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，是重
要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【变式2】【问题情境】如图1，在 中， ，垂足为D，
我们可以得到如下正确结论：① ；② ；③ ，这些
结论是由古希酷著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定
理”，又称“欧几里德定理”．
(1)请证明“射影定理”中的结论③ ．
(2)【结论运用】如图2，正方形 的边长为6，点O是对角线 、 的交点，
点E在 上，过点C作 ，垂足为F，连接 ．
① 求证： ．
② 若 ，求 的长．
【答案】(1)见分析；(2)①见分析；② ．【分析】
（1）由AA证明 ，再由相似三角形对应边称比例得到
，继而解题；
（2）①由“射影定理”分别解得 ， ，整理出 ，
再结合 即可证明 ；
②由勾股定理解得 ，再根据 得到 ，代入
数值解题即可．
(1)证明：
(2)① 四边形ABCD是正方形② 在 中，
在 ，
．
【点拨】本题考查相似三角形的综合题，涉及勾股定理、正方形等知识，是重要考点，
掌握相关知识是解题关键．
类型二、双垂线共顶点等角模型
2．如图，已知CD为Rt△ABC斜边上的中线，过点D作AC的平行线，过点C
作CD的垂线，两线相交于点E． 求证：△ABC∽△DEC.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出CD=AD，进而可得出
∠A=∠ACD，由平行线的性质可得出∠CDE=∠ACD=∠A，再结合∠ACB=∠DCE=90°，即可证出 ABC∽△DEC.
解△：∵CD为Rt△ABC斜边上的中线，
∴ .
∴ .
∵DE∥AC.
∴ .
∴ .
∵ ，CE⊥CD，
∴ .
∴△ABC∽△DEC.
【点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，解题关键是
找出证明三角形相似的条件.
举一反三
【变式1】如图，在矩形 中， ，点E是 边上的任一点（不包
括端点D，C），过点A作 交 的延长线于点F，设 ．
(1) 求 的长（用含a的代数式表示）；
(2) 连接 交 于点G，连接 ，当 时，求证：四边形 是菱形．
【答案】(1) (2)见详解
【分析】
（1）根据矩形的性质可得 ，然后可证 ，进而
根据相似三角形的性质可求解；
（2）如图，连接AC，由题意易证四边形 是平行四边形，然后可得
，进而可证 ，则可证 ，最后问题可求证．
(1)解：∵四边形 是矩形，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ；
(2)证明：由题意可得如图所示：
连接AC，
在矩形 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形．
【点拨】本题主要考查相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定，熟练掌
握相似三角形的性质与判定、矩形的性质及菱形的判定是解题的关键．
【变式2】如图①，在正方形 中， ， 为对角线 上任意一点（不与
重合），连接 ，过点 作 ，交线段 于点 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ；
（3）如图②，连接 交 于点 ．若 ，求 的值．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） .
【分析】
(1)如图，过 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，则四边形
是平行四边形，先证明四边形 是正方形，继而证明 ，即可得
结论；
(2)由(1)得 ， ，根据比例线段可得 ， ，再根据
可得 ，从而求得AN、BN长即可得结论；(3)把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ，进而可
推导得出 ， ，证明 是等腰直角三角形，继而证明
，可得MG=HG，根据题意设 ，则 ，根据勾股定理
可求得 ，再结合正方形的性质可求得a的值，继而证明 ， 根据相
似三角形的性质即可求得答案.
解：(1)如图，过 分别作 交 于点 ， 交 于点 ，则四边形
是平行四边形，
四边形 是正方形，
， ，
，
平行四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
，
；
(2)由(1)得： ， ，
，
， ，
，
，
， ，；
(3)把 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ，
， ，
， ， ， .
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，则 ，
正方形 的边长为 ，
，
，
，
， ，， ，
，
，
.
【点拨】本题考查的是四边形的综合题，涉及了正方形判定与性质，全等三角形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，正确把握相关的判
定定理与性质定理是解题的关键.
类型三、双垂线共顶点等角模型拓展
3．如图，已知∠EAC＝∠DAB，∠D＝∠B，求证：△ABC∽△ADE．
【分析】由∠EAC＝∠DAB，可推出∠BAC=∠DAE，再由∠B=∠D，即可证明
△ABC∽△ADE．
解：∵∠EAC＝∠DAB，
∴∠EAC+∠DAC=∠DAB+∠DAC，即∠BAC=∠DAE，
又∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
举一反三
【变式1】（1）已知线段 线段c是线段 和b的比例中项，求线段c
的长．
（2）如图所示，在 和 中， ．
①写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．
②请写出其中一对三角形相似理由．
【答案】（1）6cm；（2）①△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；②见分析
【分析】
（1）根据线段比例中项的概念得出a：c=c：b，再根据a=4cm，b=9cm，求出c的值，
注意把负值舍去．
（2）①根据有两组对角对应相等的三角形相似可得出△ABC∽△ADE，再由两组对应
边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得出△ABD∽△ACE；
②由①中可得对应线段成比例，又根据其对应角相等，即可判定其相似．
解：（1）∵线段c是线段a和b的比例中项，a=4cm，b=9cm，
∴c2=ab=36，
解得：c=±6，
又∵线段是正数，
∴c=6cm．
（2）①由题意可得：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；
②证明：∵ ，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，
又∵ ，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ，∴AB×AE=AC×AD，
∴ ，
∵∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
【点拨】本题考查的是相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解答此题的
关键．
【变式2】如图，D为 ABC内一点，E为 ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝
∠4． △ △
求证：（1） ABD∽△CBE； （2） ABC∽△DBE．
△ △
【分析】
（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE；
（2）先利用得到∠1=∠2得到∠ABC=∠DBE，再利用△ABD∽△CBE得 ,
根据比例的性质得到 , 然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三
角形相似可判断△ABC与△DBE相似．
解：（1）相似．理由如下：
∵∠1=∠2，∠3=∠4．
∴△ABD∽△CBE；
（2）相似．理由如下：
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+DBC，即∠ABC=∠DBE，
∵△ABD∽△CBE，∴ = ，
∴ = ，
∴△ABC∽△DBE．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题关键．
