文档内容
第 06 讲 平行四边形【12 个必考点】
【人教版】
【知识点1 平行四边形的概念】..............................................................................................................................1
【知识点2 平行四边形的性质】..............................................................................................................................1
【必考点1 利用平行四边形的性质求角度】.........................................................................................................2
【必考点2 利用平行四边形的性质求线段长】.....................................................................................................3
【必考点3 利用平行四边形的性质求面积】.........................................................................................................4
【必考点4 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】.....................................................................................5
【知识点3 两条平行线之间的距离】.....................................................................................................................6
【必考点5 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】.....................................................................................6
【知识点4 平行四边形的判定】..............................................................................................................................7
【必考点6 平行四边形的判定条件】.....................................................................................................................8
【必考点7 根据平行四边形的判定确定平行四边形的个数】.............................................................................9
【必考点8 平行四边形的判定解动点问题】.......................................................................................................10
【必考点9 证一个四边形是平行四边形】............................................................................................................11
【必考点10 平行四边形的判定与性质综合】.....................................................................................................13
【知识点5 三角形的中位线及其定理】...............................................................................................................14
【必考点11 三角形中位线定理的应用】..............................................................................................................14
【必考点12 平行四边形中多结论问题】.............................................................................................................15
【知识点1 平行四边形的概念】
1.定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.表示方法
平行四边形通常用符号“▱”表示。以平行四边形ABCD为例，记作“▱ABCD”，其中A、B、C、D为平行
四边形的四个顶点，且顶点字母要按顺时针或逆时针方向依次排列。
【知识点2 平行四边形的性质】
性质 数学语言 图示
边 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
边相等
角 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角相等对角线 平行四边形的对
四边形 是平行四边形，
角线互相平分
【拓展延伸】
（1）证明平行四边形的性质时，一般通过作对角线把四边形转化为三角形来解答.
（2）平行四边形的性质为证明线段平行或相等、角相等提供了理论依据.
（3）平行四边形的每条对角线都将平行四边形分成两个全等的三角形.
（4）平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等，每个小三角形的面积都等于平行四边形
面积 的 四分之一 ；相邻两个三角形周长之差的绝对值等于平行四边形两邻边之差的绝对值.
【规律方法】
（1）平行四边形的邻角互补；
（2）若一条直线经过平行四边形两条对角线的交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积.
【必考点1 利用平行四边形的性质求角度】
【例1】在平行四边形ABCD中，∠A比∠B大40°，那么∠D的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．110°
【变式1】如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E．已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为（
） ▱
A．70° B．75° C．80° D．85°
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E，连接AC．若AB＝AE，∠EAC＝
20°，则∠ACD的度数为（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【变式3】如图，在 ABCD中，∠B+∠C+∠D＝240°，线段AE在平行四边形内部，∠BAE＝2∠DAE，作
EF∥AB，交边BC▱于点F，以AE，EF为邻边构造 AEFG，则∠BFG的度数为（ ）
▱A．35° B．40° C．45° D．50°
【必考点2 利用平行四边形的性质求线段长】
【例1】如图，在 ABCD中，BE垂直平分CD于点E，∠BAD＝45°，AD＝2，则 ABCD的对角线AC的
长为（ ） ▱ ▱
2
A．5 B．10 C． D．2❑√5
3
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线和∠CDA的平分线交于BC上一点E，若AB＝
2，AE＝3，则DE的长为（ ）
A．5 B．❑√7 C．❑√6 D．2.5
【变式2】如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF分别交CD边于点E，
F．若AD＝3，EF＝1，则AB的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【变式3】已知在平行四边形ABCD中，AC＝6，E是AD上一点，△DCE的周长是平行四边形ABCD周长
的一半，且EC＝4，连接EO，则EO的长为（ ）A．3 B．5 C．2❑√5 D．❑√7
【必考点3 利用平行四边形的性质求面积】
【例1】如图，在 ABCD中，点E是DC边上一点，连接AE、BE，已知AE是∠DAB的平分线，BE是
∠CBA的平分线▱，若AE＝3，BE＝2，则平行四边形ABCD的面积为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．12
【例2】如图， ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N，
若△CON的面▱积为2，△DOM的面积为4，则 ABCD的面积是（ ）
▱
A．12 B．16 C．24 D．32
【变式1】如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE＝2cm，AF＝3cm，
则平行四边形ABCD的面积为（ ）cm2．
A．4 B．6 C．8 D．12
【变式2】如图，在 ABCD中，AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，连接OE，2AB＝BC＝
AC＝4，则△OCE▱的面积为（ ）❑√15 ❑√15 ❑√17 ❑√17
A． B． C． D．
2 4 2 4
【变式3】如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝20厘米，BC边上的高是8厘米．EF是
AD和BC的平行线，图中阴影部分的面积是（ ）平方厘米．
A．75 B．80 C．85 D．90
【必考点4 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），D（1，
1），C（5，2），则顶点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，3） B．（4，﹣1） C．（3，﹣1） D．（3，﹣2）
【变式1】在平面直角坐标系中， PQMN的三个顶点坐标分别是P（﹣5，﹣10），Q（15，﹣3），M
（6，8），则N点坐标是（ ▱）
A．（﹣15，5） B．（﹣14，1） C．（﹣14，5） D．（﹣15，1）
【变式2】如图， ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（﹣4，﹣4），（4，﹣4），则顶点
▱D的坐标是（ ）
A．（8，2） B．（4，1） C．（﹣8，2） D．（4，﹣1）
【变式3】在平面直角坐标系中，已知点A（0，0）、B（5，0）、C（2，3），以A、B、C三点为顶点画
平行四边形，则第四个顶点D的坐标不可能是（ ）
A．（7，3） B．（﹣3，3） C．（3，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【知识点3 两条平行线之间的距离】
1.定义：两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条
平行线之间的距离.
2.性质：
①如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等，即平行线间的距离处处相等.
②两条平行线之间的任意两条平行的线段长都相等.
【必考点5 平面直角坐标系中平行四边形的性质应用】
【例1】如图，a∥b，AB∥CD，CE⊥b，FG⊥b，点E，G为垂足，则下列说法中错误的是（ ）
A．AB＝CD
B．CE＝FGC．直线a，b之间的距离是线段AB的长
D．直线a，b之间的距离是线段CE的长
【变式1】已知直线a，b，c在同一平面内，且a∥b∥c，a与b之间的距离为5cm，b与c之间的距离为
2cm，则a与c之间的距离是（ ）
A．3cm B．7cm
C．3cm或7cm D．以上都不对
【变式2】如图，直线l ∥l ，l 和AB的夹角∠BAD＝135°，且AB＝5，则两平行线l 和l 之间的距离是（
1 2 1 1 2
）
5❑√2
A．5❑√2 B． C．5 D．2.5
2
【变式3】如图，l ∥l ，直线l 与直线l 之间的距离为4，点A是直线l 与l 外一点，点A到直线l 的距离
1 2 1 2 1 2 1
为2，点B，D分别是直线l 与直线l 上的动点，以点B为圆心，AD的长为半径作弧，再以点D为圆
1 2
心，AB的长为半径作弧，两弧交于点C，则点A与点C之间距离的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【知识点4 平行四边形的判定】
判定方法 数学语言 图形
两组对边分别平行的四边形
是平行四边形.（定义）
四边形ABCD是平行四边形.
两组对边分别相等的四边形
边 是平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.
一组对边平行且相等的四边 （或 ），
形是平行四边形.
四边形 是平行四边形.两组对角分别相等的四边形
角
是平行四边形. ，
四边形ABCD是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是
对角线
平行四边形.
四边形ABCD是平行四边形.
【必考点6 平行四边形的判定条件】
【例1】在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出六组条件：①AB＝DC，AD∥BC；
②AB＝CD，AB∥CD；③AB∥CD，AD∥BC；④OA＝OC，OB＝OD；⑤AB＝CD，AD＝BC；
⑥AD∥BC，∠ABC＝∠ADC．能判定此四边形是平行四边形的有（ ）组．
A．5 B．4 C．3 D．2
【例2】如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（
）
A．∠ABD＝∠BDC，OA＝OC
B．∠ABC＝∠ADC，AB＝CD
C．AD∥BC，OB＝OD
D．∠ABD＝∠BDC，∠ADB＝∠CBD
【变式1】下面给出了四组四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能确定四边形ABCD
为平行四边形的是（ ）
A．2：3：6：7 B．3：4：5：6 C．3：3：5：5 D．4：5：4：5
【变式2】如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与
原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【变式3】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP
＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案：甲：添加BM＝PC；
乙：添加BM∥PC；
丙：添加MP＝BC．
则正确的方案（ ）
A．只有甲、乙才对 B．只有乙、丙才对
C．只有甲、丙才对 D．甲、乙、丙都对
【变式4】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD相交于点O．下列条件：①AD∥BC，
②AB＝CD，③AD＝BC，④∠ADC＝∠ABC，⑤BO＝DO，⑥∠DBA＝∠CAB．若添加其中一个，
可得到该四边形是平行四边形，则添加的条件可以是（ ）
A．①②③⑤ B．①②④⑤ C．①②④⑥ D．①③④⑥
【必考点7 根据平行四边形的判定确定平行四边形的个数】
【例1】如图，在3×3的正方形网格中，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则
这样的平行四边形最多可以画（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式1】在如图的网格中，以格点A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点，你能画出平行四边形的个数
为（ ）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式2】如图，是由小正方形组成的3×3的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的两个端点都
是格点，以AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（
）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】如图，我们称四个顶点都恰好在格点的四边形为格点四边形，A，B为4×4的正方形网格中的两
个格点，在此图中以A，B为顶点的格点四边形是平行四边形的个数是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【必考点8 平行四边形的判定解动点问题】
【例1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝18，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长
度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向
点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动，当运动时间t秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四
边形是平行四边形，则t的值为 ．【变式1】如图，在等边三角形ABC中，BC＝6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的
速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t
（s）当t＝ s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，BC＝10cm，动点P、Q分别从A、C同时出
发，点P以1cm/s的速度由A向D运动，点Q以2cm/s的速度由C向B运动，其中一动点到达终点时，
另一动点随之停止运动，设运动时间为t秒．当点P、Q与四边形ABCD的任意两个顶点所形成的四边
形是平行四边形时，t＝ ．
【变式3】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC=4❑√5cm，其中BD是AC边上的高．点M从点A出
发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，
过点P的直线PQ∥AC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：
（1）线段BP＝ cm，AM＝ cm（用含t的代数式表示）；
（2）求AD的长；
（3）当t为何值时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形？
【必考点9 证一个四边形是平行四边形】
【例1】如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE＝DF，∠BAC＝∠DCA．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【变式 1】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 BD 上一点，且 BE＝BC，AB＝EF，∠ABD＝
∠BFE，求证：四边形ABCD为平行四边形．
【变式 2】如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，E和F为对角线 AC 上的两点，AE＝CF，∠ABE＝
∠CDF．
求证：四边形ABCD为平行四边形．
【变式3】如图，点A、F、C、D在一条直线上，AB∥DE且AB＝DE，AF＝DC，求证：四边形BCEF是
平行四边形．
【变式4】如图，D为AB上一点，DF交AC于点E，E为AC的中点，CF∥AB．连接DC，FA．求证：四
边形AFCD是平行四边形．【必考点10 平行四边形的判定与性质综合】
【例1】如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC．
（1）求证：四▱边形BEDG是平行四边形；
（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F．若 ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC ．
▱
【变式1】如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，延长CD至点E，使CD＝DE，连接
AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）若AC平分∠BAE，AC＝8，AE＝6，求△ACE的面积．
【变式2】如图，在 ABCD的对角线BD上依次取点E，F（BE＜BF），且BE＝DF，作GE∥FH，分别
交边AB，CD于点▱G，H．
（1）求证：四边形GEHF为平行四边形．
（2）若GF＝HD，∠EHD＝140°，求∠ABD的度数．
【变式3】如图，在 ABCD中，E，F是直线BD上的两点，DE＝BF．
（1）求证：四边▱形AECF是平行四边形；（2）若AD⊥BD，AB＝5，BC＝3，且EF﹣AF＝2，求DE的长．
【知识点5 三角形的中位线及其定理】
1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
【必考点11 三角形中位线定理的应用】
【例1】如图，点D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，且∠AFC＝90°．若
AC＝6，DF＝5，则BC的长为（ ）
A．4.5 B．3.5 C．3 D．4
【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动
点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（ ）
12 24
A．2 B． C．3 D．
5 5
【变式2】如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的角平分线，AE⊥CE于点E，连接DE．
若AB＝7，DE＝1，则AC的长度是（ ）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【变式3】如图，在△ABC中，ED，EF是中位线，连接EC和DF，交于点O．
1
（1）求证：OE= EC；
2
（2）若OD＝2，求AB的长．
【变式4】如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD中点，EF分别
交AC、BD于点H、G．求证：OG＝OH．
【必考点12 平行四边形中多结论问题】
【例1】如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB
▱
1 1
= BC，连接OE．下列结论：①AE＝CE；②S平行四边形ABCD ＝AB×AC；③S△ABC ＝2S△ACE ；④OE=
2 4
BC，成立的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式1】如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF．下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝
AF；④S△BEF ＝S△ABE ．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC＝45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于
H，BF与AD的延长线相交于点G，下面给出四个结论：①BD=❑√2BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝
BH；④△BCF≌△DCE，其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式3】在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中
点，连接▱GF、GE、EF，GE 交 OB 于点 N．下列结论：① GN＝NE；② AE⊥GF；③ AC 平分
∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的结论是（ ）
A．①③ B．①② C．②③④ D．①②③④
