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专题 3.1 一元一次方程中的综合
【典例1】定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程2x−1=3和x+1=0为“美好方程”．
（1）请判断方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是否互为“美好方程”；
x
（2）若关于x的方程 +m=0与方程3x−2=x+4是“美好方程”，求m的值；
2
1 1
（ 3 ） 若 关 于 x 方 程 x−1=0与 x+1=3x+k是 “ 美 好 方 程 ” ， 求 关 于 y 的 方 程
2022 2022
1
(y+2)+1=3 y+k+6的解．
2022
【思路点拨】
（1）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
（2）分别解出两个方程，再根据“美好方程”的定义，即可求解；
1 1
（3）先求出 x−1=0的解为x=2022，根据“美好方程”的定义，可得方程 x+1=3x+k的解
2022 2022
1 1
为：x=−2021，然后把 (y+2)+1=3 y+k+6化为 (y+2)+1=3(y+2)+k，可得
2022 2022
y+2=−2021，即可求解．
【解题过程】
解：（1）是，理由如下：
由4x−(x+5)=1解得x=2；
由−2y−y=3解得：y=−1．
∵−1+2=1
∴方程4x−(x+5)=1与方程−2y−y=3是“美好方程”．
（2）解：由3x−2=x+4解得x=3；
x
由 +m=0解得x=−2m．
2
x
∵方程3x−2=x+4与方程 +m=0是“美好方程”
2∴−2m+3=1，
解得m=1．
1
（3）解：由 x−1=0解得x=2022；
2022
1 1
∵方程 x−1=0与方程 x+1=3x+k是“美好方程”
2022 2022
1
∴方程 x+1=3x+k的解为：x=1−2022=−2021，
2022
1 1
又 (y+2)+1=3 y+k+6可化为 (y+2)+1=3(y+2)+k
2022 2022
∴y+2=−2021，
解得：y=−2023．
| 2| | 4|
1．（2022·浙江·七年级单元测试）满足方程 x+ + x− =2的整数x有（ ）个
3 3
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【思路点拨】
4 2 2 4
分类讨论：x≥ ，x≤− ，− 0时和x=0时三种情况讨论，列出方程求解即可．
【解题过程】
解：当x<0时，max{x,−x,0}=−x，
1
即3x−2=−x，解得x= （不符合题意，舍去）；
2
当x>0时，max{x,−x,0}=x，即3x−2=x，解得x=1，
当x=0时，max{x,−x,0}=0，
2
即3x−2=0，解得x= （不符合题意，舍去），
3
综上所述，x=1，
故答案为：x=1．
x
7．（2022·河北保定·七年级期末）已知关于x的一元一次方程 +a=2020x的解为x=2020，那么关
2020
1−y
于y的一元一次方程 =2020(1−y)+a的解为________.
2020
【思路点拨】
x x
方程 +a=2020x整理得： −2020x=−a，该方程的解是：x=2020；
2020 2020
1−y 1−y
方程 =2020(1−y)+a整理得： −2020(1−y)=a，令1−y=n，得n=−2020，
2020 2020
得到关于y的一元一次方程可解得答案.
【解题过程】
根据题意得：
x x
方程 +a=2020x整理得： −2020x=−a
2020 2020
该方程的解是：x=2020
1−y 1−y
方程 =2020(1−y)+a整理得： −2020(1−y)=a
2020 2020
令1−y=n
n
则原方程可以整理得： −2020n=a
2020
则n=−2020，
即1−y=−2020
解得：y=2021
故答案是：2021
x x x
8．（2022·全国·七年级课时练习）解关于x的一元一次方程 + +⋯+ =2020．
1×3 3×5 2019×2021
【思路点拨】
先裂项相消，再根据一元一次方程的解法求解．【解题过程】
解： x {1[( 1− 1) + (1 − 1) +⋯+ ( 1 − 1 )]} =2020 ，
2 3 3 5 2019 2021
{1[ 1 1 1 1 1 ]} ，
x 1− + − +⋯+ − =2020
2 3 3 5 2019 2021
[1( 1 )] ，
x 1− =2020
2 2021
1010
⋅x=2020，
2021
x=4042．
9．（2022·上海·七年级专题练习）解关于x的方程：（k+1）（k﹣1）x﹣2（k+1）（k+2）＝0．
【思路点拨】
将k看作已知数，按一元一次方程的解法步骤求解即可．
【解题过程】
解：移项，（k+1）（k﹣1）x＝2（k+1）（k+2），
当k+1≠0，且k﹣1≠0，
2(k+1)(k+2)
即当k≠±1时，系数化为1，得x＝ ，
(k+1)(k−1)
2k+4
化简，得x＝ ．
k−1
当k=1时，方程无解．
当k=-1时，方程有无数解．
10．（2022·全国·七年级课时练习）解方程：|x-|3x+1||＝4．
【思路点拨】
利用绝对值的性质，将方程转化为x﹣|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝﹣4，再分情况讨论： 当3x+1＞0时
可得到|3x+1|=3x+1；当3x+1＜0时可得到|3x+1|=-3x-1，分别求出对应的方程的解即可．
【解题过程】
解：原方程式化为x-|3x+1|＝4或x﹣|3x+1|＝-4，
1
当3x+1＞0时，即x＞﹣ ，
3
由x-|3x+1|＝4得x-3x-1＝4，
5 1
∴x＝﹣ 与x＞﹣ 不相符，故舍去；
2 3
由x-|3x+1|＝-4得
x﹣3x﹣1＝﹣4，
3
∴x＝ ，符合题意；
2
1
当3x+1＜0时，即x＜﹣ ，
3
由x-|3x+1|＝4得
x+3x+1＝4，
3 1
∴x＝ 与x＜﹣ 不相符，故舍去；
4 3
由x-|3x+1|＝-4得
x+3x+1＝﹣4，
5
∴x＝﹣ ，符合题意；
4
3 5
故原方程的解是x＝ 或x＝﹣ ．
2 4
3x−4 2x+1
11．（2022·全国·七年级课时练习）如果方程 −7= −1 的解与方程
2 3
4x−(3a+1)=6x+2a−1 的解相同，求式子 a2−a+1 的值．
【思路点拨】
先解关于x的方程得出x=10，将其代入方程4x-（3a+1）=6x+2a-1求得a的值，继而代入计算可得．
【解题过程】
3x−4 2x+1
−7= −1
2 3
3(3x−4)−42=2(2x+1)−6
9x−12−42=4x+2−6
5x=−4+12+42
x=10
将x=10代入方程 4x−(3a+1)=6x+2a−1
40-（3a+1）=60+2a-1，
解得a=-4．即a2-a+1=（-4）2-（-4）+1=21．
3x−1
12．（2022·江苏·七年级单元测试）嘉淇在解关于x的一元一次方程 +＝3时，发现正整数被污
2
染了；
3x−1
(1)嘉淇猜是2，请解一元一次方程 +2=3；
2
(2)若老师告诉嘉淇这个方程的解是正整数，则被污染的正整数是多少？
【思路点拨】
3x−1
（1）由题意得方程 +2=3，按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
2
3x−1 7−2m
（2）设被污染的正整数为m，得方程 +m=3，求解得x= ，再根据解是正整数求解即可．
2 3
【解题过程】
3x−1
（1）解： +2=3，
2
去分母，得3x−1+4=6；
移项，合并同类项，得3x=3；
系数化为1，得x=1．
（2）解：设被污染的正整数为m，
3x−1
则有 +m=3，
2
7−2m
解之得，x= ，
3
7−2m
∵ 是正整数，且m为正整数，
3
∴m=2．
3 y−a 5 y−7a
13．（2021·吉林松原·七年级期末）某同学在解关于y的方程 − =1去分母时、忘记将方程
4 6
右边
的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10．
（1）求a的值；
（2）求方程正确的解．
【思路点拨】
（1）按照该同学去分母的方法得到3(3 y−a)−2(5 y−7a)=1，把y=10代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到答案；
（2）把a=1代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可.
【解题过程】
解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12，
则原方程变为3(3 y−a)−2(5 y−7a)=1，
此时方程的解为y=10，
代入得3(30−a)−2(50−7a)=1
整理得：11a=11,
解得a=1
3 y−a 5 y−7a
（2）将a=1代入方程 − =1，
4 6
3 y−1 5 y−7
得 − =1
4 6
去分母：3(3 y−1)−2(5 y−7)=12
去括号：9 y−3−10 y+14=12
整理得：−y=1
解得y=−1
即原方程的解为y=−1
14．（2022·湖北省直辖县级单位·七年级期末）一题多解是培养发散思维的重要方法，方程“
6(4x−3)+2(3−4x)=3(4x−3)+5”可以有多种不同的解法．
(1)观察上述方程，假设y=4x−3，则原方程可变形为关于y的方程：_________ ，通过先求y的值，从而
可得x=_____；
1 1
(2)利用上述方法解方程：3(x−1)− (x−1)=2(x−1)− (x+1)．
3 2
【思路点拨】
（1）把原方程化为6(4x−3)−2(4x−3)=3(4x−3)+5，再把y=4x−3整体代入求解y，再求解x即
可；
1 1
（2）把原方程整理为：3(x−1)− (x−1)=2(x−1)− (x−1+2)，设x−1= y, 则原方程化为：
3 2
1 1
3 y− y=2y− (y+2),先求解y，再求解x即可．
3 2
【解题过程】(1)解：设y=4x−3，则原方程可变形为
6 y−2y=3 y+5,
解得：y=5,
∴4x−3=5,
解得：x=2.
故答案为：6 y−2y=3 y+5,2
1 1
(2)解：3(x−1)− (x−1)=2(x−1)− (x+1)
3 2
设x−1= y, 则原方程化为：
1 1
3 y− y=2y− (y+2),
3 2
去分母得：18 y−2y=12y−3(y+2),
6
整理得：y=− ,
7
6
∴x−1=− ,
7
1
解得：x= .
7
x x x
15．（2022·全国·七年级专题练习）解关于x的方程 + + ＝0，我们也可以这样来解：
3 5 7
1 1 1
（ + + ）x＝0，
3 5 7
1 1 1
因为 + + ≠0．
3 5 7
所以方程的解：x＝0．
请按这种方法解下列方程：
x−1 x−1 x−1 x−1
(1) + + + ＝0；
3 5 7 9
x−23 x−19 x−15 x−11 x−7
(2) + + + + ＝10．
2 4 6 8 10
【思路点拨】
1 1 1 1
（1）利用乘法的分配律得到（x﹣1）( + + + )＝0，然后根据等式的性质解方程；
3 5 7 9
x−27 x−27 x−27 x−27 x−27
（2）先变形为 + + + + ＝0，然后与（1）一样解方程．
2 4 6 8 10【解题过程】
1 1 1 1
（1）解：∵（x﹣1）( + + + )＝0，
3 5 7 9
∴x﹣1＝0，
∴x＝1；
x−23 x−19 x−15 x−11 x−7
（2）解：∵ + + + + =10，
2 4 6 8 10
x−23 x−19 x−15 x−11 x−7
∴ + + + + -10=0，
2 4 6 8 10
x−23 x−19 x−15 x−11 x−7
∴ −2+ −2+ −2+ −2+ −2＝0，
2 4 6 8 10
x−27 x−27 x−27 x−27 x−27
即 + + + + ＝0，
2 4 6 8 10
1 1 1 1 1
∴（x﹣27）( + + + + )＝0，
2 4 6 8 10
∴x﹣27＝0，
∴x＝27．
16．（2022·河南·南阳市第九中学校七年级阶段练习）仔细观察下面的解法，请回答为问题．
3x−1 4x+2
解方程： = −1
2 5
解：15x﹣5＝8x+4﹣1，
15x﹣8x＝4﹣1+5，
7x＝8，
7
x= ．
8
(1)上面的解法错误有 处．
3x−1 4x+2 1
(2)若关于x的方程 = ＋a，按上面的解法和正确的解法得到的解分别为x ，x ，且x − 为
2 5 1 2 ❑2 x
1
非零整数，求|a|的最小值．
【思路点拨】
（1）找出解方程中错误的地方即可；
（2）利用错误的解法与正确的解法求出x ，x ，根据题意确定出a的值，即可得到结果．
1 2
【解题过程】3x−1 4x+2
（1）解：正确解法为： = −1
2 5
去分母得，15x﹣5＝8x+4﹣10，
移项得，15x﹣8x＝4﹣10+5，
合并同类项得，7x＝﹣1，
1
系数化为1得，x=− ．
7
可知上面的解法错误有2处；
故答案为：2；
3x−1 4x+2
（2） = +a，
2 5
错误解法为：15x﹣5＝8x+4+a，
移项得：15x﹣8x＝4＋a+5，
合并同类项得：7x＝9+a，
7 7
解得：x= ，即x = ；
9+a 1 9+a
正确解法为：
去分母得：15x﹣5＝8x+4+10a，
移项合并得：7x＝9+10a，
9+10a 9+10a
解得：x= ，即x = ，
7 2 7
1 9+10a 9+a 9a
根据题意得：x − = − = ，
2 x 7 7 7
1
9a 7
由 为非零整数，得到|a|最小值为 ．
7 9
17．（2021·江苏·苏州市相城区阳澄湖中学七年级阶段练习）已知，对于任意的有理数a、b、c、d，我们
a b 1 0 2x+1 −4
规定了一种运算：| |＝ad﹣bc，例如| |＝1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当| |＝19时，
c d 2 −2 x−1 3
求x的值．
【思路点拨】
由新定义得3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，解一元一次方程即可．
【解题过程】ab 2x+1−4
解：∵| |＝ad﹣bc，| |＝19，
cd x−1 3
∴3（2x+1）﹣（﹣4）（x﹣1）＝19，
∴6x+3+4x﹣4＝19，
∴10x＝20，
∴x＝2．
18．（2022·全国·七年级专题练习）航天创造美好生活，每年4月24日为中国航天日．学习了一元一次方
程以后，小悦结合中国航天日给出一个新定义：若x 是关于x的一元一次方程的解，y 是关于y的方程的
0 0
一个解，且x ，y 满足x + y =424，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一
0 0 0 0
元一次方程4x=5x−400的解是x=400，方程|y|=24的解是y=24或y=−24，当y=24时，满足
x + y =400+24=424，所以关于y的方程|y|=24是关于x的一元一次方程4x=5x−400的“航天方
0 0
程”．
(1)试判断关于y的方程|y−1|=20是否是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”？并说明理由；
2x−2a
(2)若关于y的方程|y−1|−3=13是关于x的一元一次方程x− =2a+1的“航天方程”，求a的值．
3
【思路点拨】
（1）根据新定义的概念进行分析计算；
（2）分别求得两个方程的解，然后根据新定义概念分情况讨论求解．
【解题过程】
解：（1）是，理由如下：x+403=2x，解得：x=403，
|y−1|=20，解得：y=21或y=−19，
∵403+21=424，
∴关于y的方程|y−1|=20是关于x的一元一次方程x+403=2x的“航天方程”；
2x−2a
（2）x− =2a+1，
3
解得：x=4a+3，
|y−1|−3=13，
解得：y=17或y=−15，
2x−2a
∵关于y的方程|y−1|−3=13是关于x的一元一次方程x− =2a+1的“航天方程”，
3
①当4a+3+17=424时，解得：a=101；
②当4a+3−15=424时，解得：a=109，综上，a的值为101或109．
19．（2022·全国·七年级专题练习）已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这
个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x
＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
(1)已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 ；
(2)已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
(3)已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的
值．
【思路点拨】
（1 ）利用“恰解方程”的定义，得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出k的值；
1
（2 ）解方程﹣2x＝mn+n得出x＝﹣ （mn+n），由﹣2x＝mn+n是“恰解方程”得出x＝﹣2+mn+n，再
2
结合x＝n，即可求出m，n的值；
9
（ 3）根据“恰解方程”的定义得出mn+n＝− ，把3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n化简后代入计算
2
即可．
【解题过程】
（1）解：（1 ）解方程3x+k＝0得：
k
x＝﹣ ，
3
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
k
∴﹣ ＝3﹣k，
3
9
解得：k＝ ；
2
（2）解：解方程﹣2x＝mn+n得：
1
x＝﹣ （mn+n），
2
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
1
∴﹣ （mn+n）＝﹣2+mn+n，
2∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
2
解得：n＝﹣ ，
3
2 2
把n＝﹣ 代入mn＝2得：m×（﹣ ）＝2，
3 3
解得：m＝﹣3；
（3）解：解方程3x＝mn+n得：
mn+n
x＝ ，
3
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
mn+n
∴ ＝3+mn+n，
3
9
∴mn+n＝− ，
2
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
9
＝2×（− ）
2
＝﹣9．
20．（2022·福建福州·七年级期末）定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0
（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方
程”．
(1)请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
x−2m
(2)若关于x的方程x﹣ ＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求
3
n的值；(3)若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的
式子表示k．
【思路点拨】
（1）分别解出两个方程，再根据新定义，即可求解；
|−3m−4mn|
（2）分别解出两个方程，再根据新定义，得到 =m，再根据m为正数，即可求解；
2
|k−1|
（3）分别解出两个方程，再根据新定义，得到m= ，即可求解．
2
【解题过程】
（1）解：是，理由如下：
2x＝5x﹣12，
解得：x=4 ，
3（y﹣1）﹣y＝1，
去括号得：3 y−3−y=1 ，
解得：y=2 ，
∴|x−y|=|4−2|=2 ，
∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；
x−2m
（2）解：x﹣ ＝n﹣1，
3
去分母得：3x−x+2m=3n−3 ，
3n−2m−3
解得：x= ，
2
2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m
去括号得：2y−4mn−3n+3=m ，
4mn+3n+m−3
解得：y= ，
2
x−2m
∵关于x的方程x﹣ ＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，
3
|3n−2m−3 4mn+3n+m−3|
∴ − =m，
2 2
|−3m−4mn|
即 =m ，
2
−3m−4mn −3m−4mn
∴ =m 或 =−m，
2 2即5m=−4mn 或m=−4mn
∵m为正数，
5 1
∴n=− 或n=− ；
4 4
ℎ−t
（3）解：sx+t＝h，解得：x= ，
s
ℎ−t
s（y﹣k+1）＝h﹣t，解得：y= +k−1 ，
s
∵关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，
∴|(ℎ−t ) ℎ−t| ，
+k−1 − =2m
s s
|k−1|
解得：m= ，
2
即m=1±2k．
