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专题31 一次函数与菱形结合
1．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=10，边OA=6，把矩形OABC沿直线DE对折
使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D、F、E，点M在y轴上，以M、D、
F、N为项点的四边形是菱形，满足条件的点N有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．如图，直线y=- x+4 分别与x轴，y轴交于点A，B，点C在直线AB上，D是y轴右侧平面
内一点，若以点O，A，C，D为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标是_______________．
3．如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC
是菱形，求OD的长．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣ x+8分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线
1
l：y＝ x交于点A．
2
（1）直接写出A、B、C的坐标，A的坐标是 ，B的坐标是 ，C的坐标是 ．
（2）若M是线段OA上的点，且△COM的面积为24，求直线CM的函数表达式．（3）在（2）的条件下，设E是射线CM上的点，在平面内是否存在点F，使以O、C、E、F为顶
点的四边形是菱形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
5． 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 在 轴正半轴上， ， ， 的长满
足 ．过点 的直线交 于点 ， 的面积等于 面积的 ，请解
答下列问题：
（1）求点 ，点 的坐标：
（2）过点 作 于 ，交 轴于点 ，求线段 的长；
（3）点 在 轴上，平面内是否存在点 ，使以 ， ， ， 为顶点的四边形是菱形？若存
在，直接写出点 坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知：在平面直角坐标系中，直线 与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线 经过
点A，与y轴交于点 ．(1)求直线 的解析式；
(2)如图1，点P为直线 一个动点，若 的面积等于10时，请求出点P的坐标；
(3)如图2，将 沿着x轴平移，平移过程中的 记为 ，请问在平面内是否存在点
D，使得以 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．
7．在平面直角坐标系中，直线 与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线 经
过点B，与x轴相交于点C，点D是线段AB上的一个动点．
(1)b的值是______；
(2)如图1，过点D作BC的平行线与直线 相交于点P，直线 与直线AB相交于点Q．当
时，求点D坐标；
(3)如图2，点D在移动过程中，是否存在点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若
存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在 、 轴的正半轴上，点B的坐标为（6，8），一次函数 的图象与边OC、AB分别交于点D、E，并且满足OD=BE，点M是线段DE上的一
个动点．
（1）求 的值；
（2）连结OM，若△ODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1：2，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方平面内的一点，以O、M、D、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的
坐标．
9．如图1，在平面直角坐标系中，直线 ： 与 ： 交于点A，分别与x轴、y
轴交于点B、C．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段 上的点，且 的面积为12，求直线 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线 上的点．
如图2，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出
点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（3，4），一次函数y＝ 的图象与边OC，AB分别交于点D，E，并且满足OD＝BE，点M是线段DE上的
一个动点．
（1）求b的值；
（2）当DM：ME＝1：2时，求点M的坐标；
（3）设点N是x轴上方的平面内的一点，当以点O，M，D，N为顶点的四边形是菱形时，直接写
出点N的坐标．
11．如图1，已知在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点 的坐标是 ，动点 从点
出发，沿线段 向终点 运动，同时动点 从点 出发，沿线段 向终点 运动．点 ，
的运动速度均为1个单位/秒，运动时间为 秒．过点 作 交 于点 ．
（1）求直线 的解析式；
（2）在点 ， 的运动过程中，当 为直角三角形时，请求出 的值；
（3）在动点 运动的过程中，在矩形 内（包括边界）是否存在一点 使以 ， ， ，
为顶点的四边形是菱形，若存在，请求出 的坐标，若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴、 轴分别交于 两点．
（1）求出 两点的坐标；（2） 为 轴上一点，将直线AC沿着直线AB平移，使得点A落在点B处，此时点C的对应
点为D，求出点D的坐标，请判断四边形ABDC的形状，并说明理由．
（3）点M为 轴上一点，点N为坐标平面内另一点，若以 为顶点的四边形是菱形，请
求出所有符合条件的点N的坐标．
13．如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 相交于点 ．
（1）求点 的坐标；
（2）动点 从原点 出发，以每秒 个单位长度的速度在线段 上向点 作匀速运动，连接 ，
设运动时间为 秒， 的面积为 ，求 关于 的函数关系式；
（3）若点 是 轴上的点，点 是坐标平面内的点若以 为顶点的四边形是菱形，请直
接写出点 的坐标．
14．在平面直角坐标系之中，点O为坐标原点，直线 分别交x、y轴于点B、A，直线
与直线 交于点C．
（1）如图1，求点C的坐标．（2）如图2，点P（t，0）为C点的右侧x轴上一点，过点P作x轴垂线分别交AB、OC于点N、
M，若MN=5NP，求t的值．
（3）如图3，点F为平面内任意一点，是否存在y轴正半轴上一点E，使点E、F、M、N围成的四
边形为菱形，若存在求出点E坐标；若不存在，请说明理由．
15．如图，直线 与x轴y轴分别交于A、B两点，直线BC与x轴、y轴分别交于C、B两
点，连接BC，且 .（1）求点A的坐标及直线BC的函数关系式；
（2）若点P在x轴上，平面内是否存在点Q，使点B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，
请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点M在x轴上，连接MB，当 时，求点M的坐标.
16．如图，已知一次函数 图象交直线OA于点A（1，2），交y轴于点B，点C为坐标平
面内一点．
（1）求k值；
（2）若以O、A、B、C为顶点的四边形为菱形，则C点坐标为 ；
（3）在直线AB上找点D，使 的面积与（2）中菱形面积相等，则D点坐标为 ．
17．如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长
分别是一元二次方程 的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为
S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？
若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．直线 与 轴、 轴、直线 分别交于点A、B、C 三点，E为 轴正半轴上一
点，O为坐标原点．
(1)求出C点的坐标；
(2)若过C、E的直线把三角形 的面积平分，求直线 对应的函数关系式；
(3)在平面内是否存在点F，使得以O、C、E、F 为顶点的四边形为菱形？ 若存在，请求出点F
的坐标，若不存在，请说明理由．
