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专题30 圆与二次函数结合
1．一动点 在二次函数 的图像上自由滑动，若以点 为圆心，1为半径的圆与坐
标轴相切，则点 的坐标为______．
【答案】 或 或
【分析】根据题意可分两种情况讨论：①当 与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，则得一元二
次方程，解方程即可；②当 与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则可得点P的坐标，综上
即可求解．
【详解】解：如图所示：
则可分两种情况：
①当 与x轴相切时，则点P的纵坐标为1，令 ，
解得 ， ，
此时点P的坐标为： 或 ，
②当 与y轴相切时，点P的横坐标为1或-1，则此时点P的坐标为： 或 ，
综上所述：点P的坐标为： 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质和圆的切线的应用，掌握切线的性质，巧妙运用分类
讨论思想解决问题是解题的关键．
2．如图，平面直角坐标系中，以点C（2， ）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
若二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式为 ____________．
【答案】y=x2-4x+3
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，然后利用垂径定理求出CH、AH和BH的长度，进而得到点A
和点B的坐标，再将A、B的坐标代入函数解析式求得b与c，最后求得二次函数的解析式．
【详解】解：过点C作CH⊥AB于点H，则AH=BH，
∵C（2， ），
∴CH= ，
∵半径为2，
∴AH=BH= ＝1，
∵A（1，0），B（3，0），
∴二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3，
故答案为：y=x2-4x+3．
【点睛】本题考查了圆的垂径定理、二次函数的解析式，解题的关键是过点C作CH⊥AB于点
H，利用垂径定理求出点A和点B的坐标．3．如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半
径是1，点P是直线AC上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长PQ的最小值是__．
【答案】
【分析】先根据解析式求出点A、B、C的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P的坐标，根据过
点P作⊙B的切线，切点是Q得到PQ的函数关系式，求出最小值即可.
【详解】令 中y=0，得x=- ，x=5 ，
1 2
∴直线AC的解析式为 ，
设P（x， ），
∵过点P作⊙B的切线，切点是Q，BQ=1
∴PQ2=PB2-BQ2，
=(x-5 )2+（ ）2-1，
= ，
∵ ，
∴PQ2有最小值 ，
∴PQ的最小值是 ，
故答案为： ，【点睛】此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解
析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ、BQ、PB之间的关系式是解题的关
键.
二、解答题
4．如图，在平面直角坐标系中，以 为圆心的圆与 轴相切于点 ，与 轴相交于 、 两
点，且 ．
(1)求经过 、 、 三点的抛物线的解析式；
(2)设抛物线的顶点为 ，证明直线 与 相切；
(3)在 轴下方的抛物线上，是否存在一点 ，使 面积最大，最大值是多少，并求出 点坐
标．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在．当 时， 最大，最大值为 ，此时 ．
【分析】（1）连接 ，由 轴是 的切线，可得 轴，过点 作 于点 ，根据
垂径定理可得 ，连接 ，在 中可求出 ，即圆的半径，然后利用矩形的
判定证明四边形 是矩形，得到 ， ， ，从而得到 、 、 三点的坐标，
再利用待定系数法即可确定经过点 、 、 三点的抛物线的解析式；
（2）因为点 为圆心，点 在圆周上， ，利用勾股定理的逆定理证明 即可；
（3）设存在点 ，过点 作 轴，交 于点 ，求出直线 的解析式，设点 的坐标，则可得点 的坐标为 ，从而根据 ，表示出
的面积，利用配方法可确定最大值，继而可得出点 的坐标．
(1)
解：如图，连接 ， ，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵以 为圆心的圆与 轴相切于点 ，且 ， ，
∴ 轴， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
设经过点 、 、 三点的抛物线解析式为： ，
将点 、 、 三点的坐标代入可得：
，
解得： ，
∴经过 、 、 三点的抛物线的解析式为： ．(2)
证明：∵点 为圆心，点 在圆周上，
由（1）知， ，
抛物线解析式为： ，且顶点 的坐标为 ，
又∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴直线 与 相切．
(3)
解：存在点 ，使 面积最大，
如图，过点 作 轴，交 于点 ，
∵ ， ，
设直线 的解析式为： ，
∴ ，
解得： ，∴直线 的解析式为： ，
设点 的坐标为 ，
∵ 轴，交 于点 ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，
∴
，
当 时， 最大，最大值为 ，此时 ．
【点睛】本题考查了二次函数及圆的综合应用，涉及垂径定理，矩形的判定和性质，切线的判定
与性质，勾股定理及勾股定理逆定理，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识．
由 得到 与 的函数关系是解题的关键．
5．定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．(1)已知点P（2，2），以P为圆心， 为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的
坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求 POA周长的最小
值； △
(3)已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四
个交点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【答案】(1)⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆，理由见解析
(2) POA周长的最小值为6
△
(3)
【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P
（2，2）为圆心， 为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以
POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
△（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由
对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=
m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在Rt PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得
出a的值． △（1）
对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝ ，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）
如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）
如图2，连接CD，PA，
设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
∵AB＝ ，
∴AF＝BF＝ ，
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝ m，PF＝4﹣m，
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为 ，
∴ ，即 ，
在Rt PAF中，PA2＝PF2+AF2，
△
∴ ，
即 ，
化简，得 ，解得 ，
∴ ．
【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
6．已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是
△BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的
圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．
【答案】（1） ；（2）存在，点P坐标（ ， ）或（ ，
）；（3）面积的最小值为 ，E点坐标（ ， ）
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到
直线EP为y＝x﹣1，联立方程组求解即可；
（3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到
△EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可；
【详解】（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
，解得： ，
故函数解析式为 ；
（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，∴ ，解得：x＝3，x＝2，
1 2
∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，
∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，
∵直线AB解析式为y＝x﹣3，
∴直线EP为y＝x﹣1，
由 解得 或 ，
∴点P坐标（ ， ）或（ ， ）．
（3）如图2中，作BD⊥OA于D．
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，
∴∠OAC＝∠BAD＝45°，
∵∠OAF＝∠BAD＝45°，
∴∠EAF＝90°，∴EF是△AEO的外接圆的直径，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝∠EAO＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
∴CE＝AE，OE＝ AC＝ ，
∴E（ ， ），S EOF＝ ．
△
∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为 ，E点坐标（ ， ）．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关
键．
7．如图，在直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－2与x轴交于点A(－3,0)、B(1,0)，与y轴交于点
C．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）在抛物线上是否存在点D，使得 ABD的面积等于 ABC的面积的 倍？若存在，求出点D
△ △
的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，点F是AE的中点，请直接写出线段OF
的最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2）存在，理由见解析；D(－4, )或（2， ）；（3）最大
值 ； 最小值
【分析】（1）将点A、B的坐标代入函数解析式计算即可得到；（2）点D应在x轴的上方或下方，在下方时通过计算得 ABD的面积是 ABC面积的 倍，判
△ △
断点D应在x轴的上方，设设D(m,n)，根据面积关系求出m、n的值即可得到点D的坐标；
（3）设E(x,y)，由点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点,用两点间的距离公式得到点E的
坐标为E ,再根据点F是AE中点表示出点F的坐标 ，再设设
F(m,n),再利用m、n、与x的关系得到n= ，通过计算整理得出
，由此得出F点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，再计算最大
值与最小值即可.
【详解】解：（1）将点A(－3,0)、B(1,0)代入y＝ax2＋bx－2中，得
，解得 ，
∴
（2）若D在x轴的下方，当D为抛物线顶点（－1， ）时， ，
ABD的面积是 ABC面积的 倍，
△ △
，所以D点一定在x轴上方．
设D(m,n), ABD的面积是 ABC面积的 倍，
△ △
n＝
＝ m＝－4或m＝2
D(－4, )或（2， ）
（3）设E(x,y),∵点E是以点C为圆心且1为半径的圆上的动点，
∴ ,
∴y= ,
∴E ,
∵F是AE的中点,
∴F的坐标 ,
设F(m,n),
∴m= ,n= ,
∴x=2m+3,
∴n= ,
∴2n+2= ,
∴(2n+2)2=1-(2m+3)2,
∴4(n+1)2+4( )2=1,
∴ ,
∴F点的轨迹是以 为圆心，以 为半径的圆，
∴最大值： ，
最小值：
最大值 ； 最小值
【点睛】此题是二次函数的综合题，考察待定系数法解函数关系式，图像中利用三角形面积求点
的坐标，注意应分x轴上下两种情况，（3）还考查了两点间的中点坐标的求法，两点间的距离的确定方法：两点间的距离的平方=横坐标差的平方+纵坐标差的平方.
8．如图，点M（4，0），以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B．已知抛物线y＝
x2+bx+c过点A和B，与y轴交于点C．
(1)求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象（要求过点A、B、C，开口方向、顶点和对称轴相对
准确）
(2)点Q（8，m）在抛物线y＝ x2+bx+c上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ+PB的最
小值；
(3)CE是过点C的⊙M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式．
【答案】（1）C（0，2），图象见解析；（2）PQ+PB的最小值 ；（3）OE的解析式为y=
．
【详解】试题分析：（1）根据题意可知点A，B的坐标分别为（2，0），（6，0），代入函数解
析式即可求得抛物线的解析式，即可得点C的坐标；
（2）根据图象可得PQ+PB的最小值即是AQ的长，所以抛物线对称轴l是x=4．所以Q（8，m）
抛物线上，∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，求的AQ的值即
可；
（3）此题首先要证得OE∥CM，利用待定系数法求得CM的解析式，即可求得OE的解析式．
试题解析：（1）由已知，得A（2，0），B（6，0），
∵抛物线y= x2+bx+c过点A和B，
则解得
则抛物线的解析式为y= x2- x+2．
故C（0，2）．
（说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确）
（2）如图①，
抛物线对称轴l是x=4．
∵Q（8，m）在抛物线上，
∴m=2．过点Q作QK⊥x轴于点K，则K（8，0），QK=2，AK=6，
∴AQ= ．
又∵B（6，0）与A（2，0）关于对称轴l对称，
∴PQ+PB的最小值=AQ=2 ．
（3）如图②，连接EM和CM．
由已知，得EM=OC=2．
∵CE是⊙M的切线，
∴∠DEM=90°，
则∠DEM=∠DOC．又∵∠ODC=∠EDM．
故 DEM≌△DOC．
∴△OD=DE，CD=MD．
又在 ODE和 MDC中，∠ODE=∠MDC，∠DOE=∠DEO=∠DCM=∠DMC．
则OE△∥CM．△
设CM所在直线的解析式为y=kx+b，CM过点C（0，2），M（4，0），
∴
解得
直线CM的解析式为y＝− x+2．
又∵直线OE过原点O，且OE∥CM，
∴OE的解析式为y=− x或y=0.5x．
9．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），
点P是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点C，交直线AB于点D，设P（x，0）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当0＜x＜3时，求线段CD的最大值；
（3）在△PDB和△CDB中，当其中一个三角形的面积是另一个三角形面积的2倍时，求相应x的
值；
（4）过点B，C，P的外接圆恰好经过点A时，x的值为 ．（直接写出答案）
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）当x= 时，CD = ；（3）x=± 或x=±2；（4）1．
最大
【详解】分析：（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）先确定出直线AB解析式，进而
得出点D，C的坐标，即可得出CD的函数关系式，即可得出结论；（3）先确定出CD=|-x2+3x|，DP=|-x+3|，再分两种情况解绝对值方程即可；
（4）利用四个点在同一个圆上，得出过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，
也在线段PC的垂直平分线上，建立方程即可．
本题解析：
（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（3，0），与y轴交于点B（0，3），∴﹣
9+3b+c=0，c=3，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（3，0），B（0，3），∴直线AB解析式为y=﹣x+3，
∵P（x，0）．∴D（x，﹣x+3），C（x，﹣x2+2x+3），
∵0＜x＜3，∴CD=﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣ ）2+ ，当x= 时，CD = ；
最大
（3）由（2）知，CD=|﹣x2+3x|，DP=|﹣x+3|
①当S =2S 时，∴PD=2CD，即：2|﹣x2+3x|=|﹣x+3|，∴x=± 或x=3（舍），
PDB CDB
△ △
②当2S =S 时，∴2PD=CD，即：|﹣x2+3x|=2|﹣x+3|，∴x=±2或x=3（舍），
PDB CDB
△ △
即：综上所述，x=± 或x=±2；
（4）直线AB解析式为y=﹣x+3，∴线段AB的垂直平分线l的解析式为y=x，
∵过点B，C，P的外接圆恰好经过点A，
∴过点B，C，P的外接圆的圆心既是线段AB的垂直平分线上，也在线段PC的垂直平分线上，
∴ ，∴x=± ，故答案为
10．如图，已知抛物线的对称轴为直线 ： 且与 轴交于点 与 轴交于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究在此抛物线的对称轴 上是否存在一点 ，使 的值最小？若存在，求
的最小值，若不存在，请说明理由；
（3）以 为直径作⊙ ,过点 作直线 与⊙ 相切于点 ， 交 轴于点 ，求直线 的解析式．
【答案】解：（1）如图，由题意，设抛物线的解析式为：
∵抛物线经过 、 .
∴
解得：a= ， .
∴ ，
即： .
（2）存在.
令 ， 得
即 ，
抛物线与 轴的另－交点 .
如本题图2，连接 交 于点 ，则点 即是使 的值最小的点.
因为 关于 对称，则 , ,即 的最小值为 .
∵ ,
的最小值为 ；
（3）如图3，连接 ，∵ 是⊙ 的切线,∴ ,
由题意，得
∵在 中,
，
∴ ，
,
设 ，则 ,
则在 △ 中，又 ，
∴ ,解得 ，
∴ （ ，0）
设直线 的解析式为 ，∵直线 过 （0，2）、 （ ，0）两点，
，解方程组得： .
∴直线 的解析式为 .
【详解】试题分析：（1）根据题意设抛物线的解析式为 ，将 、
代入解析式，即可求出a，k的值，得出抛物线的解析式，令 ，即可求出抛物线与 轴另
－交点 ；（2）连接 交 于点 ，则点 即是使 的值最小的点. 则 的最
小值为 ，在Rt OBC中，根据勾股定理即可求出BC的值；（3）连接 ，根据已知条件可
△得 ，根据全等三角形的对应边相等可得 ，在 △ 中，
根据勾股定理求出OD，即可得出D点坐标，设直线 的解析式为 ，代入C，D两点坐
标，即可解得直线 的解析式.
考点：二次函数的综合题.
点评：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，
也考查了二次函数与圆的综合，本题综合性强，有一定难度.
11．如图，已知二次函数 的图象与x轴交于点A（1，0）、B（ ，0），与y轴的
正半轴交于点C．
(1)求二次函数 的表达式；
(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接
CF，探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；
(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心， 为半径的圆与直线BC相切，若存在，求
点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
(3)存在，点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或( )或( )
【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可；（2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，由此可知∠CEF=45°，因此可分∠CFE=90°、
∠ECF=90°两种情况讨论；
（3）过点P作PG⊥BC，过点P作PH∥BC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点
M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可．
（1）
解：将点 代入 ，得：
，
解得： ，
∴二次函数解析式为 ．
（2）
解：∵二次函数解析式为
∴点C的坐标为（0，3），
∴直线BC的解析式为 ．
① 当∠CFE=90°时，CF∥OB
∴点C，F关于抛物线对称轴直线 对称，
∴点F（-2，3），
此时点D坐标为（-2，0）
②当∠ECF=90°时，作FG⊥y轴于G，由OB=OC，∠BOC=90°，可知∠BCO=45°
∵CF⊥CB，
∴∠FCG=45°，
∴△CFG是等腰直角三角形，
设CG=a，则点F坐标为(-a,a+3)，
代入 得：
解得 ， （舍去）
点F（-1，4），
此时点D坐标为（-1，0）．
综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）
（3）
解：① 当点P在BC上方时，过点P作PG⊥BC于点G，作PM⊥x轴，交BC于点N ，过点P 作
直线PH∥BC．
则 是等腰直角三角形，∵PG= ，
∴PN=2，
∵PM⊥x轴，
∴直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为 ．
联立直线PH和抛物线的解析式，得：
，
解得： 或 ．
∴点P坐标为(-1，4)或(-2，3) ．
② 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，
∴直线PH的解析式为 ．
，
解得： 或 ．
∴点P坐标为( )或( )．
综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或( )或( )．
【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的
切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度适中．
12．已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（－1，0），交y轴于点C（0，－3），P这抛
物线上一动点，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式：
(2)当△PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：
(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴
相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说
明理由．（写出过程）
【答案】(1)
(2)点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；
(3)点P的坐标为 或 ，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）分当∠PAC=90°时，当∠PCA=90°时，两种情况讨论求解即可；
（3）由圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，可得点P的纵坐标
为-2，由此求出点P的坐标即可；过点P作PE⊥MN于E，由垂径定理可得MN=2ME，利用勾股
定理求出ME即可得到答案．
(1)
解：设抛物线解析式为 ，把点C（0，-3）代入得，
，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ；(2)
解：如图所示，当∠PAC=90°时，设PA与y轴交点为D，
∵点A坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），
∴OA=OC=3，
∵∠AOC=90°，
∴∠CAO=45°，
∴∠DAO=45°，
∴OA=OD=3，
∴点D的坐标为（0，3），
设直线AD的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线AD的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍去），
∴点P的坐标为（-2，5）；
当∠PCA=90°，设直线PC与x轴的交点为E，
同理可证∠ECO=45°，即OE=OC，
∴点E的坐标为（-3，0），
同理可以求出直线PC的解析式为 ，
联立 ，
解得 或 （舍去），
∴点P的坐标为（1，-4），综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；
(3)
解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∴点A和点B到抛物线的对称轴的距离都为2，
∵圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，
∴点P的纵坐标为-2，
当 时， ，
解得 ，
∴点P的坐标为 或 ，
过点P作PE⊥ME交抛物线对称轴于E，
∴ 或 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 或 ，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函
数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键．
13．如图，二次函数 的图象与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于
点C，且OA=OC
(1)求二次函数的解析式；
(2)若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若
存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为
(3)存在，点 的坐标为 ，点 的坐标为
【分析】（1）由题意可知C坐标，根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形，确定出A坐标，代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；
（2）由题意连接OD，作DE∥y轴，交x轴于点E，DF∥x轴，交y轴于点F，如图1所示，由圆
O与直线AC相切于点D，得到OD垂直于AC，由OA=OC，利用三线合一得到D为AC中点，进
而求出DE与DF的长，确定出D坐标即可；
（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=-x-4，与抛物线
解析式联立求出P坐标；经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，与抛物线解析式联立
求出P坐标即可．
(1)
解：∵二次函数 的图象与y轴交于点C，
∴点C的坐标为 ，
∵二次函数 的图象与x轴交于点A，tan∠OAC＝1，
∴∠CAO＝45°，
∴OA＝OC＝4，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∴二次函数的解析式为 ；
(2)
连接OD，作 轴，交x轴于点E， 轴，交y轴于点F，如图1所示，
∵⊙O与直线AC相切于点D，∴OD⊥AC，
∵OA＝OC＝4，
∴点D是AC的中点，
∴ ， ，
∴点D的坐标为 ；
(3)
直线OD的解析式为y＝－x，如图2所示，
则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y＝－x－4，
解方程组 ，消去y，得 ，即 ，
∴ ， （舍去），
∴y＝－12，
∴点 的坐标为 ；直线AC的解析式为y＝x＋4，
则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y＝x，
解方程组 ，
消去y，得 ，即 ，
∴ ， （舍去），∴ ，
∴点 的坐标为 ．
【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图
形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形
的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
14．如图，已知二次函数 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为
D，连接BC；
(1)求顶点D的坐标；
(2)求直线BC的解析式；
(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值；
(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由
【答案】(1)
(2)
(3)16
(4)直线与圆M相交，理由见解析
【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；
（2）先解得 ，再利用待定系数法，代入点B、C的坐标即可解答；
（3）根据中点公式解得点M的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM，MD的长，比较
MD
