文档内容
专题4.1几何图形（知识讲解）
【学习目标】
1．理解几何图形的概念，并能对具体图形进行识别或判断；
2. 掌握立体图形从不同方向看得到的平面图形及立体图形的平面展开图，在平面图形
和立体图形相互转换的过程中，初步培养空间想象能力；
3. 理解点线面体之间的关系，掌握怎样由平面图形旋转得到几何体，能够借助平面图
形剖析常见几何体的形成过程.
【要点梳理】
要点一、几何图形
1．定义：把从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形．
特别说明：几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不
注重它的其它属性，如重量，颜色等.
2．分类：几何图形包括立体图形和平面图形
(1) 立体图形：图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方
体，圆柱，圆锥，球等.
(2) 平面图形：有些几何图形(如线段、角、三角形、圆等)的各部分都在同一平面内，
它们是平面图形．
特别说明：
(1) 常见的立体图形有两种分类方法：
(2) 常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中
常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．
(3) 立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．
要点二、从不同方向看
从不同的方向看立体图形，往往会得到不同形状的平面图形．一般是从以下三个方向：
(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看到的图形分别称为正视图(也
称主视图)、左视图、俯视图．
要点三、简单立体图形的展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形，
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图．
特别说明：
(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形．
(2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开，也可
得到不同的平面图．
要点四、点、线、面、体长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围
着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两
种；线和线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关系.
此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.
【典型例题】
类型一、几何图形
1．(1)下面这些基本图形和你很熟悉，试写出它们的名称；
(2)将这些几何体分类，并写出分类的理由．
【答案】(1)从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．(2)按柱、锥、球划分，
则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为锥体；球为球体
【分析】(1)针对立体图形的特征，直接填写它们的名称即可；(2)按柱体、锥体、球体
进行分类即可．
解：(1) 从左向右依次是球、圆柱、圆锥、长方体、三棱柱．
(2) 观察图形，按柱、锥、球划分，则有圆柱、长方体、三棱柱为柱体；圆锥为
锥体；球为球体．
【点拨】本题考查了立体图形的认识和几何体的分类，熟记立体图形的特征是解决本
题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，请写出下列立体图形是由哪些几何体组合而成的．
【分析】根据生活中常见的几何体的特征进行求解即可得到答案．
解：图①是由底面完全重合的圆锥和圆柱组合而成的；
图②是由底面完全重合的两个圆锥组合而成的；
图③是由完全相同的四个正方体组合而成的．
【点拨】本题主要考查了立体图形中的几何体，解题的关键在于能够熟练掌握常见的几何体的特征．
【变式2】请将下图中的几何体进行分类，并说明它们是由哪些面围成的．
【答案】（1）、（2）、（6）是柱体，（3）、（4）锥体，（5）是球体．
【分析】根据几何体的特征可分为柱体、锥体、球体，将图中的图形归类即可解答．
解：图中（1）、（2）、（6）是柱体，其中图（1）是长方体，它由6个长方体的平
面围成；图（2）是圆柱体，它由2个圆和一个曲面围成；图（6）是棱柱体，它是由2个
三角形平面和三个长方形平面围成；
图中（3）、（4）锥体，其中图（3）是圆锥体，它由一个圆和一个曲面围成；图
（4）是棱锥体，它是由4个三角形平面围成；
图（5）是球体，它由一个曲面围成．
【点拨】本题主要考查了几何体的分类，按照几何体的特征进行分类是解本题的关键．
2．如图是一个长方体形状的包装纸盒的展开图，已知纸盒中相对两个面上的数
互为相反数．
(1)填空： ______， ______， ______；
(2)求代数式 的值．
【答案】(1)1，-2，-3；(2)0
【分析】（1）先根据长方体的平面展开图确定a、b、c所对的面的数字，再根据相对
的两个面上的数互为相反数，确定a、b、c的值；
（2）化简代数式后将a、b、c的值代入化简后的式子求值．
（1）解：∵ 由长方体纸盒的平面展开图知，a与-1、b与2、c与3是相对的两个面上
的数字或字母，相对的两个面上的数互为相反数，
∴ 所以a=1，b=-2，c=-3．
故答案为：1，-2，-3．（2）
=
= ，
当a=1，b=﹣2，c=﹣3时，
原式= ．
【点拨】本题考查了长方体的平面展开图、相反数及整式的化简求值．解决本题的关
键是根据平面展开图确定a、b、c的值．
举一反三：
【变式1】如图是由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，请分别画出从正面、
左面、上面所看到的该几何体的形状图．
【答案】见分析
【分析】根据正面、左面、上面所看到的形状画图即可.
解：如图所示：
【点拨】此题考查了从不同方向看几何体，有良好的空间想象能力是解答本题的关键．
【变式2】一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状图如
图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，请画出从正面和左面看
到的这个几何体的形状图．【答案】见详解
【分析】由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3；从
左面看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3，据此画出图形即可．
解：由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，3；从左面
看有3列，每列小正方形数目分别为2，3，3，图形如下图所示，
【点拨】本题考查从不同方向看几何体，由几何体的从上面看到的图形以及小正方形
内的数字，可知从正面看的图形的列数与上面看到的图形的列数相同，且每列小正方形数
目为从上面看到的图形中该列小正方形数字中的最大数字．从左面看到的图形的列数与从
上面看到的图形的行数相同，且每列小正方形数目为从上面看到的图形中相应行中正方形
数字中的最大数字．
类型二、从不同方向看
2．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数 、面数 、棱数
（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模
型，解答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数 棱数（E）
四面体长方体
正八面体
正十二面体
你发现顶点数 、面数 、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼
接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体外表面三角形的个数为 个，
八边形的个数为 个，求 的值．
【答案】(1)6；6； ；(2)12；(3)14
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-楼数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）根据题意得到多面体的棱数，可求得面数即为x+y的值．
（1）解：完成表格，如下：
顶点数
多面体 面数 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
根据表格得：顶点数 、面数 、棱数（E）之间存在的关系式是 ；
故答案为： ；
（2）解：由题意得： ，
解得 ；
故答案为：12
（3）解： 有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
共有 条棱，
那么 ，解得 ，
．【点拨】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．
举一反三：
【变式1】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、
棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面
体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼
接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为 个，
八边形的个数为 个，求 的值．
【答案】(1)6；6；V+F-E=2(2)12(3)a+b=14．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；
（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为a+b的值．
（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F-E=2；
故答案为：6；6；V+F-E=2；
（2）解：∵一个多面体的面数比顶点数小8，∴V=F+8，
∵V+F-E=2，且E=30，
∴F+8+F-30=2，
解得F=12；
故答案为：12；
（3）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，
解得F=14，
∴a+b=14．
【点拨】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的
关系及灵活运用．
【变式2】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱
数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体
模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则 ______， ______．
顶点数
多面体 面数（F） 棱数（E）
（V）
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12
正十二面体 20 12 30
(2) 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3) 一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)这个多面体的面数为16
【分析】（1）观察图形即可得出结论；（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；
（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．
（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
故答案为：8；6；
（2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（3）解：由题意得：F+F-30=2，
解得F=16，
∴这个多面体的面数为16．
【点拨】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理
解题意是解题的关键．
类型三、几何体的点、棱、面及之间关系
3.如图所示是一个多面体的展开图形，每个面（外表面）都标注了字母，请你根
据要求回答问题：
(1)这个多面体是什么常见几何体；
(2)如果 在前面， 在左面，那么哪一面在上面．
【答案】(1)长方体(2) 在上面
【分析】（1）根据多面体的展开图形可知，多面体是长方体；
（2）根据长方体及其表面展开图的特点可知，其中面“ ”与面“ ”相对，面“
”与面“ ”相对，面“ ”与面“ ”相对．
（1）解：根据多面体的展开图形可知，多面体是长方体；（2）解：根据长方体及其表面展开图的特点可知，
面“ ”与面“ ”相对，
面“ ”与面“ ”相对，
面“ ”与面“ ”相对，
如果 在前面， 在左面，
则 在下面， 在上面．
【点拨】本题主要考查了长方体的展开图，根据展开图形分析出面“ ”与面“ ”
相对，面“ ”与面“ ”相对，面“ ”与面“ ”相对，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、
棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面
体模型，回答下列问题：
(1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4
长方体 8 6 12
正八面体 8 12
正十二面体 20 12 30
四面体棱数是 ；正八面体顶点数是 ．
你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是 ．
(2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 ．
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼
接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为 个，
八边形的个数为 个，求 的值．
【答案】(1)6；6；V+F-E=2(2)12(3)a+b=14．
【分析】（1）观察可得顶点数+面数-棱数=2；（2）代入（1）中的式子即可得到面数；
（3）得到多面体的棱数，求得面数即为a+b的值．
（1）解：四面体的棱数为6；
正八面体的顶点数为6；
关系式为：V+F-E=2；
故答案为：6；6；V+F-E=2；
（2）解：∵一个多面体的面数比顶点数小8，
∴V=F+8，
∵V+F-E=2，且E=30，
∴F+8+F-30=2，
解得F=12；
故答案为：12；
（3）解：∵有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线；
∴共有24×3÷2=36条棱，
那么24+F-36=2，
解得F=14，
∴a+b=14．
【点拨】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的
关系及灵活运用．
【变式2】18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱
数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体
模型，解答下列问题．
(1)根据上面的多面体模型，直接写出表格中的m，n的值，则 ______， ______．
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
长方体 m 6 12
正八面体 n 8 12正十二面
20 12 30
体
(2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_______．
(3)一个多面体的面数等于顶点数，且这个多面体有30条棱，求这个多面体的面数．
【答案】(1)8；6(2)V+F-E=2(3)这个多面体的面数为16
【分析】（1）观察图形即可得出结论；
（2）观察可得：顶点数+面数-棱数=2；
（3）将所给数据代入（2）中的式子即可得到面数．
（1）解：观察图形，长方体的定点数为8；正八面体的顶点数为6；
面数
多面体 顶点数（V） 棱数（E）
（F）
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
正八面体 6 8 12
正十二面体 20 12 30
故答案为：8；6；
（2）解：观察表格可以看出：顶点数+面数-棱数=2，关系式为：V+F-E=2；
（3）解：由题意得：F+F-30=2，
解得F=16，
∴这个多面体的面数为16．
【点拨】本题主要考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用，正确理
解题意是解题的关键．
类型四、展开图
4．如图所示是一个多面体的展开图形，每个面（外表面）都标注了字母，请你
根据要求回答问题：(1)这个多面体是什么常见几何体；
(2)如果 在前面， 在左面，那么哪一面在上面．
【答案】(1)长方体(2) 在上面
【分析】（1）根据多面体的展开图形可知，多面体是长方体；
（2）根据长方体及其表面展开图的特点可知，其中面“ ”与面“ ”相对，面“
”与面“ ”相对，面“ ”与面“ ”相对．
（1）解：根据多面体的展开图形可知，多面体是长方体；
（2）解：根据长方体及其表面展开图的特点可知，
面“ ”与面“ ”相对，
面“ ”与面“ ”相对，
面“ ”与面“ ”相对，
如果 在前面， 在左面，
则 在下面， 在上面．
【点拨】本题主要考查了长方体的展开图，根据展开图形分析出面“ ”与面“ ”
相对，面“ ”与面“ ”相对，面“ ”与面“ ”相对，是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相
等，求 的值．
【答案】16
【分析】分别找到x与y相对的数字即可求解．
解：因为这是长方体纸盒的展开图，
所以“4”与“10”相对，“ ”与“2”相对，“6”与“ ”相对，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
【点拨】本题考查了长方体的展开图，正确找出相对面是解题的关键．
【变式2】一种长方体牛奶包装盒的长、宽、高分别为6，4，12．为了生产这种包装盒，需要先画出展开图纸样．
（1）如图，给出甲、乙、丙三种纸样，其中正确的是；
（2）从已知正确的纸样中选出一种，在图中标注上尺寸；
（3）利用你所选的一种纸样，求出包装盒的表面积．
【答案】（1）甲、丙；（2）见分析；（3）288
【分析】（1）根据长方体的展开图特征即可求解；
（2）根据各边的长短标上对应的尺寸；
（3）根据长方体的表面积公式计算即可．
解：（1）根据长方体的展开图特征可得正确图纸样为甲、丙；
（2）根据各边的长短标上对应的尺寸如下：
（3）该包装盒的表面积为2×6×12+2×4×12+2×6×4=144+96+48=288．
【点拨】本题考查长方体的应用，熟练掌握长方体的展开图和长方体的表面积公式是
解题关键．
类型五、点、线、面、体
5．如图，第二行的图形绕虚线旋转一周，便能形成第一行的某个几何体，用线
连一连．【答案】见分析
【分析】根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可．
解：如图所示：
【点拨】本题考查了点、线、面、体，解决本题的关键是掌握点动成线，线动成面，
面动成体．
举一反三：
【变式1】把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么
把一个长为8 cm，宽为6 cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，你能计算
出所得到的圆柱体的体积吗？(结果保留π)
【答案】所得到的圆柱体的体积为288π cm3或384π cm3
分析：分两种情况讨论，①若绕着长所在的直线旋转，②若绕着宽所在的直线旋转，
分别计算出圆柱的体积即可．
解：①若绕着长所在的直线旋转，所得图形为圆柱，
此时底面圆半径为6cm，圆柱的高为8cm，
则V＝π×62×8＝288πcm3；
②若绕着宽所在的直线旋转，所得图形为圆柱，
此时底面圆半径为8cm，圆柱的高为6cm，
则V＝π×82×6＝384πcm3．
答：所得到的圆柱体的体积为288π cm3或384π cm3
【点拨】本题考查了面动成体的知识，知道矩形绕一边旋转后得到的图形是圆柱是关键，另外要注意分情况讨论，不要漏解．
【变式2】有一长6 cm，宽4 cm的长方形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为
轴，旋转180°，得到一个几何体（结果保留 ）
(1)写出该几何体的名称 ；
(2)所构造的圆柱体的侧面积 ；
(3)求所构造的圆柱体的体积．
【答案】(1)圆柱(2)24π cm2(3)36π cm3或24π cm3
【分析】（1）根据圆柱的特点结合题意即可得出答案；
（2）根据题意，分以6 cm长为底面直径或以4 cm长为底面直径两种情况讨论，再进
一步求解即可；
（3）根据题意，分以6 cm长为底面直径或以4 cm长为底面直径两种情况讨论，再进
一步求解即可．
（1）解：根据题意结合圆柱的特点，可知该几何体为圆柱，
故答案为：圆柱；
（2）解：分两种情况：
以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图①，
所构造的圆柱体的侧面积为6π×4＝24π cm2，
以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②，
所构造的圆柱体的侧面积为4π×6＝24π cm2，
综上所述，所构造的圆柱体的侧面积为24π cm2，
故答案为：24π cm2；（3）解：分两种情况：
以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，所构造的圆柱体的体积为π×32×4＝
36π cm3，
以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，所构造的圆柱体的体积为π×22×6＝
24π cm3，
综上所述，所构造的圆柱体的体积为36π cm3或24π cm3．
【点拨】本题主要考查了简单几何体的侧面积与体积的求解，熟练掌握相关公式是解
题的关键．
