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第 05 讲 课题学习：最短路径问题
课程标准 学习目标
①最短路径的基本原理 1. 掌握最短路径的基本原理，即两点之间线段最短与点到直线
②利用轴对称只是解决最短路径 的距离最短。
问题 2. 掌握最短路径的几种模型，能够熟练的运用轴对称，垂直平
③利用平移解决造桥选址问题 分线的性质解决相应题目。
知识点01 最短路径的基本原理
1. 最短路径的基本原理：
①两点之间，线段 最短 。如图， ② 号线最短
②点到直线的距离 最短 。如图， PC 最短。③垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离 相等 。如图，MN是垂直平分线，CA= CB
。
知识点02 利用轴对称解决最短路径问题
1. 两点一线型（两点在直线的异侧）：
问题：如图1，直线两侧有点A与点B，在直线l上找一点p，使PA＋PB最小。
作法：如图2，连接AB，AB与直线l的交点即为点P。
结论：PA＋PB最小
原理：两点之间，线段最短。
图1 图2
2. 两点一线型（两点在直线的同侧）：
问题：如图1，直线两同侧有点P与点Q，在直线l上找一点M，使MP＋MQ最小。
作法：如图2，作其中一点关于直线的对称点，连接对称点与另一点，线段与直线的交点即为要找的
点M。即作点P关于直线l的对称点p’。连接P’ Q，P’ Q与直线l交于即为点M。
结论：MP＋MQ最小。
原理证明：∵P与P’关于直线l对称
∴直线l是PP’的 垂直平分线
∴MP ＝ MP’
∴MP＋MQ＝ MP ’ ＋MQ＝ P ’ Q 。
∴MP＋MQ此时有最小值，为 P ’ Q 的长度图1 图2
【即学即练1】
1．如图，一条笔直的河l，牧马人从P地出发，到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使
牧马人所走路径最短的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称得出最短路径即可．
【解答】解：使牧马人所走路径最短的是 ，
故选：D．
【即学即练2】
2．如图，在等边三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB的
中点，在点E运动的过程中，BE+EF的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接 CE，由
题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF
值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为BE+EF的最小值．
【解答】解：如图：连接CE，∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝EC+EF，
∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小．
此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，
∴AD＝CF＝6，
即BE+EF的最小值是6，
故选：B．
3. 一点两线型：
问题：如图1，已知∠MON以及角内一点P，角的两边OM与ON上存在点A与点B，使得△PAB的周
长最小。
作法：如图2，分别作点P关于OM与ON的对称点P’与P’’，连接P’ P’’。P’ P’’与OM、ON的交点A
与B即为要找到的点。
结论：△PAB的周长最小。
原理证明：证明：∵P与P’关于OM对称，P与P’’关于ON对称
∴OM是PP’的 垂直平分线 ，ON是PP’’的 垂直平分线 。
∴AP ＝ AP’，BP ＝ BP’’
∴ ＝ AP ’ ＋AB＋ BP ’’ ＝ P ’ P ’’
∴△PAB的周长最小。
图1 图2
【即学即练1】
3．如图，已知∠O，点 P 为其内一定点，分别在∠O 的两边上找点 A、B，使△PAB 周长最小的是
（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：分别作点P关于∠O的两边的对称点P ，P ，连接P P 交∠O的两边于A，B，连接PA，
1 2 1 2
PB，此时△PAB的周长最小．
故选：D．
【即学即练2】
4．如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上，则△PMN周长的最
小值为 8 ．
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P ，交OA于M，交OB于N，△PMN的周
1 2 1 2
长＝P P ，然后证明△OP P 是等边三角形，即可求解．
1 2 1 2
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点P 、P ，连P 、P ，交OA于M，交OB于N，连接
1 2 1 2
OP，
则OP ＝OP＝OP ，∠P OA＝∠POA，∠POB＝∠P OB，
1 2 1 2
MP＝P M，PN＝P N，则△PMN的周长的最小值＝P P
1 2 1 2
∴∠P OP ＝2∠AOB＝60°，
1 2
∴△OP P 是等边三角形．
1 2
△PMN的周长＝P P ，
1 2
∴P P ＝OP ＝OP ＝OP＝8．
1 2 1 2
故答案为：8．
4. 两点两线型：
问题：如图1，已知∠AOB以及角内两点点P与点Q，角的两边上分别存在M、N使得四边形PQMN
的周长最小。作法：如图2，分别作点关于较近直线的对称点，连接两个对称点的线段与边 OA与OB相交与点M
与点N，此时点M与点N即为要找的点。即作点Q关于OA的对称点D，点P关于OB的对称点C，连接
DC，DC与OA交于点M，与OB交于点N，连接QM，MN，PN，PQ。
结论：四边形PQMN的周长最小。
原理证明：∵Q与D关于OA对称，P与C关于OB对称
∴OA是QD的 垂直平分线 ，OB是PC的 垂直平分线 。
∴MD ＝ MQ，NP ＝ NC。
＝PQ＋ MD ＋MN＋ NC
＝PQ＋ DC 。
∴四边形PQMN的周长最小。
图1 图2
【即学即练1】
5．已知：∠AOB，点M和点N，试在OA、OB上分别找点P、Q，使四边形MNQP的周长最短．（尺规作
图，不需写作法，保留作图痕迹）
【分析】分别作M点和N点关于OA和OB的对称点M′、N′，连接M′N′交OA于P，交OB于
Q，则四边形MNQP满足条件．
【解答】解：如图，四边形MNQP为所作．【即学即练2】
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC
上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（ ）
A．45° B．90° C．75° D．135°
【分析】作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，
N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，推出四边形DEMN的周长最小时，点M与M'重合，点N与点N'重合，
再求出∠DN'M+∠EM'N即可解决问题．
【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点
M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，
则ME＝ME'，ND＝ND'，
∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，
∵DE长固定，
∴点 M 与 M'重合，点 N 与点 N'重合时，四边形 DEMN 的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝
∠DN'M+∠EM'N，
由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E
＝2∠M'E'E，
∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），
设DD'与BC交于点H，
∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，
∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，
∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，
即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°，
故选：B．
知识点03 利用平移解决造桥选址问题
1. 造桥选址问题：
问题：如图1，平行河岸两侧各有一村庄P、Q，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄P到村
庄Q的路程最短。
作法：如图2，在其中一个村庄作垂直于河岸的直线，使其长度等于桥的长度，连接端点与另一村庄，
直线与另一村庄岸边的交点即为选址地点。
图1 图2
【即学即练1】
7．如图，直线l ，l 表示一条河的两岸，且l ∥l ．现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），
1 2 1 2
使得从村庄P经桥过河到村庄Q的路程最短，应该选择路线（ ）
A． 路线：PF→FQ B．路线：PE→EQ
C．路线：PE→EF→FQ D．路线：PE→EF→FQ
【分析】根据两点间直线距离最短，使FEPP′为平行四边形即可，即PP′垂直河岸且等于河宽，接连
P′Q即可．
【解答】解：作PP'垂直于河岸l ，使PP′等于河宽，
2
连接QP′，与另一条河岸相交于F，作FE⊥直线l 于点E，
1
则EF∥PP′且EF＝PP′，于是四边形FEPP′为平行四边形，故P′F＝PE，
根据“两点之间线段最短”，QP′最短，即PE+FQ最短．
故C选项符合题意，
故选：C．
,
题型01 最短路径作图
【典例1】小王准备在红旗街道旁建一个送奶站，向居民区A，B提供牛奶，要使A，B两小区到送奶站的
距离之和最小，则送奶站C的位置应该在（ ）
A． B．
C． D．
【分析】本题利用轴对称的性质，将折线最短问题转化为两点之间，线段最短问题，结合三角形的三边
关系解题即可．
【解答】解：如图：作点A关于街道的对称点A′，连接A′B交街道所在直线于点C，
∴A′C＝AC，
∴AC+BC＝A′B，
在街道上任取除点C以外的一点C′，连接A′C′，BC′，AC′，
∴AC′+BC′＝A′C′+BC′，
在△A′C′B中，两边之和大于第三边，
∴A′C′+BC′＞A′B，
∴AC′+BC′＞AC+BC，
∴点C到两小区送奶站距离之和最小．
故选：C．【变式1】如图，A、B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA+PB
最短．下面四种选址方案符合要求的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称的性质和线段的性质即可得到结论．
【解答】解：根据题意得，在公路l上选取点P，使PA+PB最短．
则选项A 符合要求，
故选：A．
【变式2】已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．
【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可．
【解答】作法：
作A点关于直线l的对称点A′，
连接A′B交l于点P，
则P点为所求．
【变式3】如图，直线l 、l 表示一条河的两岸，且l ∥l ，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过
1 2 1 2
河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（ ）
方案一： 方案二：
①
①
将点A向上平移d得到A'；
连接AB交l 于点M；②过点
1
②连接A'B交l 于点M；③
1过点M作MN⊥l ，交l 于点 M作MN⊥l ，交l 于点N．
1 2 1 2
N，MN即桥的位置． MN即桥的位置．
A．唯方案一可行 B．唯方案二可行
C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行
【分析】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利
用平移解决问题．
【解答】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可．
∵AA'垂直于河岸l ，AA′＝d，
2
连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l ，
1
由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA，
根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短．
故方案一符合题意，
故选：A．
【变式4】在OA、OB分别有两个动点M、N，网格内有一固定点P，要使得△PMN周长最小，请在图中
规范地做出M、N两点的位置，并说明理由．
【分析】作出点P关于直线OA的对称点Q，点P关于直线OB的对称点R，连接QR分别交OA、OB于
点M，点N，由轴对称及线段的垂直平分线的性质可求得 PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，因为两点
之间线段最短，所以此时PM+PN+MN的值最小，则点M、点N就是所求的图形．
【解答】解：取格点Q，格点R，连接QR分别交OA、OB于点M，点N，
点M、点N就是所求的图形.
理由：连接PQ、PR，
∵点Q与点P关于直线OA对称，
∴OA垂直平分PQ，
∴PM＝QM，
∵点R与点P关于直线OB对称，
∴OB垂直平分PR，
∴PN＝RN，
∴PM+PN+MN＝QM+RN+MN＝QR，∵Q、M、N、R四点在同一条直线上，
∴QM+RN+MN＝QR的值最小，
∴PM+PN+MN的值最小，
∴△PMN周长最小．
【变式5】如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B
距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？在图上标出它的
位置．（保留作图痕迹）
【分析】根据题意，P点既在线段AB的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．故两线交点
即为发射塔P的位置．
【解答】解：作出线段AB的垂直平分线，与∠COD的平分线交于P点，则P点为所求．【变式6】如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，要求指出
最短路径．
同学甲：牧马人从A地出发，把马牵到草地与河边的交汇处N点，牧马又饮马，然后回到B处．
同学乙：作A点关于直线MN对称的A′点，再作B点关于直线l对称的B′点，连接A′B′交直线
MN于Q点，交直线l于P点，则路径A→Q→P→B为最短路径．
你认为哪位同学指出的最短路径正确？画出图形，并说明理由．
【分析】作出点A的关于草地的对称点，点B的关于河岸的对称点，连接两个对称点，交于草地于点
Q，交河边于点P，连接AQ，BP，即可得到结论
【解答】解：同学乙指出的最短路径正确．
理由：如图，在直线 MN 上任意选一点 Q ，在直线l上任意选一点 P ，连接AQ ，A′Q ，BP ，
1 1 1 1 1
B′P ．
1
由轴对称性质，易得AQ ＝A′Q ，BP ＝B′P ．
1 1 1 1
∵A′Q +P Q +B′P ＞A′B′＝A′Q+QP+PB′，
1 1 1 1
∴AQ +P Q +BP ＞A′B′，
1 1 1 1
当A′，Q ，P ，B′共线时，
1 1
∴A′Q +P Q +B′P ＝A′B′＝A′Q+QP+PB′
1 1 1 1
∵AQ+PQ+BP＝A′Q+QP+PB′
∴AQ+PQ+BP是最短路径．
题型02 最短路径的计算
【典例1】如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线且AD＝12，F是AD上的动点，
E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 ．【分析】作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，根据三线合
一定理求出BD的长和AD⊥BC，根据三角形面积公式求出CN，根据对称性求出CF+EF＝CM，根据垂
线段最短得出CF+EF≥ ，即可得出答案．
【解答】解：作E关于AD的对称点M，连接CM交AD于F，连接EF，过C作CN⊥AB于N，
∵AB＝AC＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，
∴BD＝DC＝5，AD⊥BC，AD平分∠BAC，
∴M在AB上，
在Rt△ABD中，AD＝12，
∴S△ABC ＝ ×BC×AD＝ ×AB×CN，
∴CN＝ ＝ ＝ ，
∵E关于AD的对称点M，
∴EF＝FM，
∴CF+EF＝CF+FM＝CM，
根据垂线段最短得出：CM≥CN，
即CF+EF≥ ，
即CF+EF的最小值是 ，
故答案为： ．
【变式1】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝6cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，
若△PMN周长的最小值是6cm，则∠AOB的度数是（ ）A．15° B．30° C．45° D．60°
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、
OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝DN，OP＝OD，
∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝ ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结
果．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是6cm，
∴PM+PN+MN＝6，
∴DM+CN+MN＝6，
即CD＝6＝OP，
∴OC＝OD＝CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：B．
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，M，N分别是BC，AB边上的动点，∠B＝58°，当
△DMN的周长最小时，∠MDN的度数是（ ）A．122° B．64° C．62° D．58°
【分析】延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，此时，
△DMN的周长最小，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，设∠MDN＝ ，根据三
角形的内角和列方程即可得到结论．
α
【解答】解：延长DA到E使DA＝AE，延长DC到F，使CF＝DC，连接EF交AB于N，交BC于M，
此时，△DMN的周长最小，
∵∠A＝∠C＝90°，
∴DM＝FM，DN＝EN，
∴∠E＝∠ADN，∠F＝∠CDM，
∵∠B＝58°，
∴∠ADC＝122°，
设∠MDN＝ ，
∴∠ADN+∠CDM＝122°﹣ ，
α
∴∠DNM+∠DMN＝2（122°﹣ ），
α
∴a+2（122°﹣ ）＝180°，
α
解得： ＝64°，
α
故选：B．
α
【变式3】如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当
PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是 60 ° ．
【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝
∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC＝PB，
∴PE+PC＝PB+PE＝BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE＝60°，
∵BA＝BC，AE＝EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝30°，
∵PB＝PC，
∴∠PCB＝∠PBC＝30°，
∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，
故答案为60°．
【变式4】如图所示，在△ABC中，AB＝AC，直线EF是AB的垂直平分线，D是BC的中点，M是EF上
一个动点，△ABC的面积为12，BC＝4，则△BDM周长的最小值是 8 ．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面
积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故
AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短＝（BM+MD）+BD＝AD+ BC＝6+ ×4＝6+2＝8．
故答案为：8．
【变式5】如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是20，AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于
E、F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形
的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点
A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM．
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC ＝ BC•AD＝ ×8×AD＝20，解得AD＝5，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴MA＝MC，
∵AD≤AM+MD，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+ BC＝5+ ×8＝5+4＝9．
故选：B．【变式6】如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝8cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，
△PMN周长的最小值是8cm，则∠AOB的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、
OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM＝DM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；PN＝CN，OP＝OD，
∠DOB＝∠POB，得出∠AOB＝ ∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD＝60°，即可得出结
果．
【解答】解：分别作点P关于OB、OA的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接
OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：
∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，
∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝ ∠COD，
∵△PMN周长的最小值是8cm，
∴PM+PN+MN＝8，
∴DM+CN+MN＝8，即CD＝8＝OP，
∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∴∠AOB＝30°，
故选：A．【变式7】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，
点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 1 0 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到 AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作
GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求
得EG＝8，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝7，
∴BG＝2BF＝14，
∴EG＝8，
∵CE＝CG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故答案为：10．
【变式8】已知点P在∠MON内．（1）如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、
OP．
①若∠MON＝50°，则∠GOH＝ 100 ° ；
②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；
（2）如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求
∠APB的度数．
【分析】（1）依据轴对称可得OG＝OP，OM⊥GP，即可得到OM平分∠POG，ON平分∠POH，进而
得出∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°；②当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，此时点G，O，H在同一
直线上，可得GH＝GO+HO＝10；
（2）设点 P 关于 OM、ON 对称点分别为 P′、P″，当点 A、B 在 P′P″上时，△PAB 周长为
PA+AB+BP＝P′P″，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出∠APB的度数．
【解答】解：（1）①∵点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
∴OG＝OP，OM⊥GP，
∴OM平分∠POG，
同理可得ON平分∠POH，
∴∠GOH＝2∠MON＝2×50°＝100°，
故答案为：100°；
②∵PO＝5，
∴GO＝HO＝5，
当∠MON＝90°时，∠GOH＝180°，
∴点G，O，H在同一直线上，
∴GH＝GO+HO＝10；
（2）如图所示：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″
交OM、ON于点A、B，
连接PA、PB，则AP＝AP'，BP＝BP“，此时△PAB周长的最小值等于P′P″的长．
由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，
∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×60°＝120°，
∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∴∠OPA＝∠OP'A＝30°，
同理可得∠BPO＝∠OP″B＝30°，∴∠APB＝30°+30°＝60°．
1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM+PN最短，则点P应选在（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【分析】首先求得点M关于直线l的对称点M′，连接M′N，即可求得答案．
【解答】解：如图，点M′是点M关于直线l的对称点，连接M′N，则M′N与直线l的交点，即为
点P，此时PM+PN最短，
∵M′N与直线l交于点C，
∴点P应选C点．
故选：C．
2．如图，在等边三角形ABC中，BC边上的中线AD＝6，E是AD上的一个动点，F是边AB上的一个动点，
在点E，F运动的过程中，EB+EF的最小值是（ ）A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】解题时注意，最小值问题一般需要考虑两点之间线段最短或垂线段最短等结论．连接 CE，由
题意可得BE＝EC，将FE+EB转化为FE+CE，当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF
值最小，即BE+EF的值最小，此时CF的长度为FE+EB的最小值．
【解答】解：如图：连接CE，
∵△ABC是等边三角形，AD是中线，
∴AD垂直平分BC，
∴BE＝EC，
∴BE+EF＝EC+EF，
∴当点C，点E，点F三点共线，且CF⊥AB时，EC+EF值最小，即BE+EF的值最小．
此时：∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CF⊥AB，
∴AD＝CF＝6，
即EB+EF的最小值是6，
故选：A．
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，
那么AD+DE的最小值是（ ）
A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8
【分析】作点 A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D．则AD＝A'D，所以AD+DE＝
A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E．
【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.则AD＝A'D，
∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．
即AD+DE的最小值为A'E．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝10，AA'＝12，
∵S△AA'B ＝ ，
∴A'E＝ ＝ ＝9.6，
即AD+DE的最小值为9.6．
故选：B．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别
是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．2.4 B．4.8 C．4 D．5
【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的
平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用勾股定理求出AB，再运用S△ABC
＝ AB•CM＝ AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值．
【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，
∵AD是∠BAC的平分线．
∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，
∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8，
∵S△ABC ＝ AB•CM＝ AC•BC，
∴CM＝ ＝ ，即PC+PQ的最小值为 ．
故选：B．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，边AC的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，点D是边BC的中
点，点P是MN上任意一点，连接PD、PC，若∠A＝40°，则当△PCD周长最小时，∠CPD＝（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【分析】连接AP．根据MN垂直平分AC，推出PA＝PC，∠PAC＝∠PCA，所以PC+PD＝PA+PD，当
A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．据此解答即可．
【解答】解：如图，连接AP．
∵MN垂直平分AC，
∴PA＝PC，∠PAC＝∠PCA，
∴PC+PD＝PA+PD，
当A、P、D在同一直线上时，PA+PD最小，最小值为AD．
∴△PCD周长最小值＝PC+PD+CD＝AD+CD．
∵AB＝AC，点D是边BC的中点，
∴∠BAC＝2∠CAD，
∵∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠CAD，
∴∠CPD＝∠BAD＝40°．
故选：D．
6．如图，已知∠AOB＝ ，C是∠AOB内部的一点，且OC＝3，点D、E分别是OA、OB上的动点，若
△CDE周长的最小值等于3，则 ＝（ ）
α
αA．45° B．40° C．35° D．30°
【分析】设点C关于OA的对称点为P，关于OB的对称点为F，当点E、F在射线PD上时，△CDE的
周长为CD+CE+DE＝PF，此时周长最小，根据OC＝3可求出 的度数．
【解答】解：如图，作点C关于OA的对称点P，关于OB的对称点F，连接PF，交OA于D，OB于
α
E．此时，△CDE的周长最小．
连接OP，OF，CD，EF．
∵点C与点P关于OA对称，
∴OA垂直平分PC，
∴∠POA＝∠AOC，PD＝CD，OC＝OP，
同理，可得∠FOB＝∠BOC，EF＝CE，OF＝OC．
∴∠POF＝2 ．
又∵△CDE的周长＝CD+DE+EC＝PD+EF+ED＝PD＝3，
α
∴OP＝OC＝OF＝3，
∴△POF是等边三角形，
∴2 ＝60°，
∴ ＝30°．
α
故选：D．
α
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝40°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是BC，DC上的点，当△AEF的周
长最小时，∠EAF的度数为（ ）
A．100° B．90° C．70° D．80°
【分析】要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝40°，即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则
A′A″即为△AEF的周长最小值．
∵∠C＝40°，
∴∠DAB＝140°，
∴∠AA′E+∠A″＝40°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝40°，
∴∠EAF＝140°﹣40°＝100°，
故选：A．
8．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，直线EF垂直平分BC交
AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小值是（ ）
A．6 B．7 C．10 D．12
【分析】如图，连接PC．利用三角形的面积公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出
PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CP，
∵AC＝BC，CD⊥AB，∴BD＝AD＝3，
∵S△ABC ＝ •AB•CD＝12，
∴CD＝4，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PD＝PC+PD，
∵PC+PD≥CD，
∴PC+PD≥4，
∴PC+PD的最小值为4，
∴△PBD的最小值为4+3＝7，
故选：B．
9．如图，点N在等边△ABC的边BC上，CN＝6，射线BD⊥BC，垂足为点B，点P是射线BD上一动点，
点M是线段AC上一动点，当MP+NP的值最小时，CM＝7，则AC的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
【分析】根据等边三角形 到现在得到AB＝BC，∠C＝60°，作点N关于直线BD的对称点G，过G作
GM⊥AC于M，交BD于P，则此时，MP+PN的值最小，根据三角形的内角和定理得到∠G＝30°，根
据直角三角形的性质得到CG＝2CM＝14，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠C＝60°，
作点N关于直线BD的对称点G，过G作GM⊥AC于M，交BD于P，
则此时，MP+PN的值最小，
∵∠C＝60°，∠CNG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵CM＝7，
∴CG＝2CM＝14，
∴NG＝8，
∴BN＝GG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故选：C．10．如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，且BP＝AQ＝4，QD＝3，在
BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小
值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵D为AC中点，AQ＝4，QD＝3，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，
作点 Q 关于 BD 的对称点 Q′，连接 PQ′交 BD 于 E，连接 QE，此时 PE+EQ 的值最小．最小值
PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝4cm，AD＝DC＝7，
∴QD＝DQ′＝3，
∴CQ′＝BP＝4，
∴AP＝AQ′＝10，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝10，
∴PE+QE的最小值为10．
故选：C．
11．如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD平分∠BAC，N是AC上一动点（不与A，C重合），M是AD上一动点（不与A，D重合），则CM+MN的最小值为 ．
【分析】作CG⊥AB于点G，由 ×5CG＝ ×4×3＝S△ABC ，求得CG＝ ，作NE⊥AD于点F，交AE
于点E，连接CE交AD于点I，连接ME、IN，可证明点E与点N关于直线AD对称，则MN＝ME，IN
＝IE，可知当点M与点I重合时，CM+MN＝CE，则当CE的值最小时，CM+MN的值最小，即可求得
当点E与点G重合时，CE取得最小值 ，则CM+MN的最小值为 ．
【解答】解：作CG⊥AB于点G，
∵∠C＝90°，
∴ AB•CG＝ AC•BC＝S△ABC ，
∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，
∴ ×5CG＝ ×4×3，
∴CG＝ ，
作NE⊥AD于点F，交AE于点E，连接CE交AD于点I，连接ME、IN，
∴∠AFN＝∠AFE＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAN＝∠FAE，
在△FAN和△FAE中，
，
∴△FAN≌△FAE（ASA），
∴FN＝FE，
∴点E与点N关于直线AD对称，
∴MN＝ME，IN＝IE，
∴CM+MN＝CM+ME，
∵当点M与点I重合时，CM+MN＝CM+ME＝CI+IN＝CI+IE＝CE，
∴当CE的值最小时，则CM+MN的值最小，∴当点E与点G重合时，则CE＝CG＝ ，此时CE取得最小值 ，
∴CM+MN的最小值为 ，
故答案为： ．
12．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积为24．点E在边AC上，点F在边AB上，且EF垂直
平分AC，点D是边BC的中点，点M在线段EF上移动，连接CM，DM，则△CDM的周长的最小值为
10 ．
【分析】连接AD，由AB＝AC，点D是BC边的中点可得 AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD
的长，再判断出点M在AD上时，AM+CM最小，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，AM，
∵AB＝AC，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴ ，
解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD，∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD
＝
＝
＝10．
故答案为：10．
13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，在BC，CD上分别找一点M，N，使△AMN周长最小，
此时∠MAN＝80°，则∠BAD的度数为 130 ° ．
【分析】作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于M，连
接AM、AN，此时△AMN的周长有最小值，由对称性求出∠BAM+∠FAN＝50°，则有∠BAD＝130°．
【解答】解：作A点关于CD的对称点F，作A点关于BC的对称点E，连接EF交CD于N，交BC于
M，连接AM、AN，
∵∠B＝∠D＝90°，
∴AN＝NF，AM＝EM，
∴△AMN的周长＝AM+AN+MN＝NF+MN+EM＝EF，此时△AMN的周长有最小值，
∵∠FAN＝∠F，∠E＝∠EAM，
∴∠E+∠F＝180°﹣∠BAD＝180°﹣（∠EAM+∠MAN+∠NAD）＝180°﹣（∠E+∠F）﹣80°，
∴∠E+∠F＝50°，
∴∠BAM+∠FAN＝50°，
∴∠BAD＝80°+50°＝130°，
故答案为：130°．14．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝125°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN
周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是 110 ° ．
【分析】延长AB到点G，延长AD到点H，使GB＝AB，HD＝AD，连接AE、AF，则AM＝GM，AN＝
HN，连接 GH 交 BC 于点 E，交 DC 于点 H，连接 AE、AF，则 AE＝GE，AF＝HF，由
GM+MN+HN≥GH，得AM+MN+AN≥GE+EF+HF，可知当点M与点E重合并且点N与点F重合时，
△AMN周长最小，可求得∠AMN+∠ANM＝∠AEF+∠AFE＝110°，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AB到点G，延长AD到点H，使GB＝AB，HD＝AD，连接AE、AF，
∵BC垂直平分AG，DC垂直平分AH，
∴点A与点G关于直线BC对称，点A与点H关于直线DC对称，
∴AM＝GM，AN＝HN，
∴AM+MN+AN＝GM+MN+HN，
连接GH交BC于点E，交DC于点H，连接AE、AF，
∵AE＝GE，AF＝HF，
∴AE+EF+AF＝GE+EF+HF＝GH，
∵GM+MN+HN≥GH，
∴AM+MN+AN≥GE+EF+HF，
∴当点M与点E重合并且点N与点F重合时，△AMN周长最小，
∵∠EGA＝∠EAG，∠FHA＝∠FAH，
∴∠AEF＝∠EGA+∠EAG＝2EGA，∠AFE＝∠FHA+∠FAH＝2∠FHA，
∴∠AEF+∠AFE＝2（∠EGA+∠FHA），∵∠EGA+∠FHA＝180°﹣∠BAD＝180°﹣125°＝55°，
∴∠AEF+∠AFE＝2×55°＝110°，
∴∠AMN+∠ANM＝∠AEF+∠AFE＝110°，
故答案为：110°．
15．已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB，OA上的动
点，记∠MPQ＝ ，∠PQN＝ ．当MP+PQ+QN最小时，则 ﹣ ＝ 60 ° ．
α β β α
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于
P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形
的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，
交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ＝ ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN＝
，
∴∠QPN＝ ＝ ＝ （180°﹣ ）
∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP
α
＝∠AOB+∠AQN'
＝∠AOB+
＝30°+ （180°﹣ ），
β
∴ （180°﹣ ）＝30°+ （180°﹣ ），
∴180°﹣ ＝60°+（180°﹣ ），
α β
∴180°﹣ ＝240°﹣ ，
α β
∴ ﹣ ＝240°﹣180°，
α β
∴ ﹣ ＝60°，
β α
β α故答案为60°．
16．如图，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB＝30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO＝10米，
现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，OB边上的任意一点
（不与各边顶点重合），求△PQR周长的最小值．
【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，OB于点Q，R，
连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN，利用轴对称的性质解答即可．
【解答】解：如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点M，N，连接OM，ON，MN，MN交OA，
OB于点Q，R，连接PR，PQ，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠MOA＝∠POA，∠NOB＝∠POB，
∴∠MON＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
则△MON为等边三角形，
即NM＝ON＝OP＝10cm．
即△PQR周长的最小值等于10cm．
17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A B C ；
1 1 1
（2）在DE上画出点P，使PB+PC最小；
（3）在DE上画出点Q，使QA＝QC．【分析】（1）根据轴对称的性质画出△A B C 即可；
1 1 1
（2）连接B C与DE交于点P，则点P即为所求点；
1
（3）作AC的中垂线与DE交于点Q，则点Q即为所求点．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求；
1 1 1
（2）连接B C，B C与DE的交点即为点P；
1 1
（3）作AC的中垂线，与DE的交点即为所求点Q．
18．已知点P在∠MON内．如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，
连接OG、OH、OP．
（1）若∠MON＝50°，求∠GOH的度数；
（2）如图2，若OP＝6，当△PAB的周长最小值为6时，求∠MON的度数．
【分析】（1）根据轴对称的性质可得对称轴两边的对应角相等，那么∠GOM＝∠POM，∠HON＝
∠PON，那么∠GOH＝2∠MON；
（2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP．那么△PAB的周长最小值即为P′P″的长，易得△OP′P″为等边三角形，那么∠P′OP″＝60°，所以∠MON＝30°．
【解答】解：（1）∵点P关于射线OM的对称点是G，
∴∠GOM＝∠POM．
∵点P关于射线ON的对称点是H，
∴∠HON＝∠PON．
∵∠MON＝∠MOP+∠NOP＝50°，
∴∠GOH＝∠GOM+∠MOP+∠NOP+∠HON＝2∠MON＝100°；
（2）作点P关于OM、ON的对称点P′和P″，连接P′P″、OP′、OP″、OP.
∴PA＝P′A，PB＝P″B，OP′＝OP，OP″＝OP，∠P′OM＝∠POM，∠PON＝∠P″ON．
∵△PAB的周长最小值为6，OP＝6，
∴P′P″＝OP′＝OP″＝6．
∴△OP′P″为等边三角形．
∴∠P′OP″＝60°．
∵∠P′OP″＝∠P′OM+∠POM+∠PON+∠P″ON＝2∠MON，
∴∠MON＝30°．
19．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合）．AD＝AE．∠DAE＝
60°，连接CE．
（1）求证：CE平分∠ACF；
（2）若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．
【分析】（1）由于AB＝AC，AD＝AE，所以只需证∠BAD＝∠CAE即可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得AB＝BC＝AC＝2，将四边形ADCE的周长用AD表示，AD最小时就
是四边形ADCE的周长最小，根据垂线段最短原理，当AD⊥BC时，AD最小，此时BD就是BC的一半．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵∠DAE＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝60°，∠ACF＝120°，
∴CE平分∠ACF；
（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴CE＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝2，
∴四边形ADCE的周长＝CE+DC+AD+AE＝BD+DC+2AD＝2+2AD，
根据垂线段最短，当AD⊥BC时，AD值最小，四边形ADCE的周长取最小值，
∵AB＝AC，
∴BD＝ BC＝ ×2＝1．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠ABC＝65°，求∠NMA的度数．
（2）连接MB，若AC＝12cm，BC＝8cm．
①求△MBC的周长；
②在直线MN上是否有在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，
若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角
的关系，可得答案；
（2）①根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；②根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ACB＝65°，
∴∠A＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∵MN⊥AB，
∴∠ANM＝90°，
∴∠AMN＝180°﹣∠A﹣∠ANM＝40°；
（2）如图：连接BM，
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
∴△MBC＝MB+CM+BC＝AM+CM+BC＝AC+BC＝20（cm）；
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是12cm．
