文档内容
专题 7.1 相交线【八大题型】
【人教版2024】
【题型1 对顶角、邻补角的定义】..........................................................................................................................1
【题型2 对顶角相等】..............................................................................................................................................2
【题型3 垂线的定义及画法】..................................................................................................................................3
【题型4 垂线段最短】..............................................................................................................................................4
【题型5 点到直线的距离】......................................................................................................................................5
【题型6 垂直的实际应用】......................................................................................................................................6
【题型7 垂直的计算】..............................................................................................................................................7
【题型8 同位角、内错角、同旁内角】..................................................................................................................9
知识点1：对顶角及其性质
两条直线相交所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角叫作对顶角.
两直线相交，对顶角相等
【题型1 对顶角、邻补角的定义】
【例1】（23-24七年级·广西钦州·期末）下面四个图形中，∠1与∠2互为对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】（23-24七年级·河北保定·阶段练习）【真实问题情境】如图，为了测量古塔外墙底角∠AOB
的度数，王明设计了如下方案：作AO，BO的延长线OD，OC，量出∠COD的度数，就得到了∠AOB
的度数，王明这样做的依据是 ．
【变式1-2】（23-24七年级·广东中山·期中）如图所示， 与 相交所成的四个角中，∠1的邻补角是
，∠2的对顶角是 ．
1
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学科网（北京）股份有限公司【变式1-3】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）若n条直线两两相交于不同的点时，可形成 对对
顶角．
【题型2 对顶角相等】
【例2】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC−2∠AOE=20°，射
线OF平分∠DOE，若∠BOD=60°，则∠AOF= ．
1
【变式2-1】（23-24七年级·山东烟台·期末）若一个角的对顶角是它的补角的 ，则这个角的度数为
3
．
【变式2-2】（23-24七年级·全国·期中）如图，直线AB、CD、EF相交于点O，∠BOE的对顶角是
，∠COF的邻补角是 ．若∠AOC:∠AOE=2:3，∠EOD=130°，则∠AOC= ，
∠BOC= ．
【变式2-3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，直线AB、CD交于点O，OE、OF分别在
∠BOC、∠AOD内部，且OD平分∠BOF．
(1)∠AOC的对顶角是___________；
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学科网（北京）股份有限公司(2)若∠BOF=40°，∠COE=100°，则∠BOE的度数为___________；
(3)若OB平分∠EOF，∠AOC:∠AOF=1:3，求∠COE的度数；
(4)若∠AOE=∠EOF，∠BOE=60°，判断OB是否平分∠EOF，并说明理由．
知识点2：垂线
如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直，其中的一条
直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直.
【题型3 垂线的定义及画法】
【例3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，直线AB与直线CD相交于点O，则下列条件不能判断
AB⊥CD的是（ ）
A．∠AOC=∠BOD B．∠AOC=90°
C．∠AOC=∠BOC D．∠AOC+∠BOD=180°
【变式3-1】（23-24七年级·全国·单元测试）如图，已知ON⊥l，OM⊥l，所以OM与ON重合，这个推
理的根据是（ ）
A．过一点只能作一条垂线
B．过两点只能作一条垂线
C．垂线段最短
D．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【变式3-2】（23-24七年级·陕西宝鸡·期中）如图，正方形网格的格点P在∠AOB的边OB上，点A，O，
B也是格点，请利用网格完成下面画图：
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学科网（北京）股份有限公司(1)过点P画OB的垂线，交OA于点C，经过的一个格点记为F；
(2)过点P画OA的垂线，垂足记为H；
(3)试判断线段OC，OP，PH的大小关系并说明判断的依据．
【变式3-3】（23-24七年级·河北邯郸·阶段练习）利用三角尺或量角器判断，图中的两点所成的直线能与
直线l垂直的是（ ）
A．点M和点N B．点P和点Q C．点M和点Q D．点N和点P
知识点3：垂线段最短
过直线l外一点P作l的重线，垂足为O，线段PO叫作点P到直线的垂线段.
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
【题型4 垂线段最短】
【例4】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
AB=10，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（ ）
A．4.4 B．5 C．4.8 D．4
【变式4-1】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，欲在河岸AB上某处P点修建一水泵站，将水引到
村庄C处，可在图中画出CP垂直AB，垂足为P，然后沿CP铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的
依据是： ．
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学科网（北京）股份有限公司【变式4-2】（23-24七年级·山东烟台·期末）请列举一个应用“垂线段最短”的实际例子：
．
【变式4-3】（24-25七年级·广西南宁·开学考试）点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的
距离为3cm，则AB 3cm．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”)
知识点4：点到直线的距离
直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离.
【题型5 点到直线的距离】
【例5】（23-24七年级·山东济宁·阶段练习）如图，点P是直线l外的一点，点A,B,C在直线l上，且
PB⊥l，垂足是点B,PA⊥PC，则下列判断不正确的是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线l的距离 B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【变式5-1】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图所示，能表示点到直线（线段）的距离的线段有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
【变式5-2】（23-24七年级·浙江台州·期末）对于平面上的点P和一条线l，点P与线l上各点的连线中，最
短的线段的长度叫做点P到线l的距离，记为d(P，l)，以边长为6的正方形ABCD各边组成的折线为l，
若 d(P，l)=2，则满足这样条件的所有P点组成的图形 (实线图) 是 ( ).
A． B． C． D．
【变式5-3】（23-24七年级·福建厦门·期末）如图，AB，CD交于点O，OE⊥CD于O，连接CE．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若∠AOC=25°，则∠BOE= ；
（2）若OC=2cm．OE=1.5cm，CE=2.5cm，那么点E到直线CD的距离是 cm．
【题型6 垂直的实际应用】
【例6】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图是光的反射定律示意图，PO，OQ，OM分别是
入射光线、反射光线和法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和入射光线与法线的夹角，且反射角
等于入射角）．若∠POM=2∠POB，则∠AOQ的度数为（ ）
A．18° B．20° C．30° D．36°
【变式6-1】（24-25七年级·全国·课后作业）当光线垂直照射在太阳光板上时，接收的太阳光能最多．某
一时刻太阳光的照射角度如图所示，要使此时接收的太阳光能最多，那么太阳光板绕支点A顺时针旋转的
最小角度为 ．
【变式6-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）一束光线沿AO射向平静透明的水面BC，这束光线有一部分
经过水面反射（平静的水面可以看成平面镜）形成光线OD，还有一部分光线折射到水中形成光线OE．当
入射角α和折射角β满足2α=3β时，OD⊥OE，此时入射光线与水面的夹角∠AOB的度数为 ．
【变式6-3】（2024·湖南长沙·模拟预测）汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关科技的重要文献，书
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学科网（北京）股份有限公司中记载了我国古代学者在科技领域做过的一些探索及成就．如图1中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，
则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；
反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，
在如图2所示的井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时，要
使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
【题型7 垂直的计算】
【例7】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD于点O，
∠AOE=60°，则∠BOC的度数为（ ）
A．135° B．145° C．150° D．125°
【变式7-1】（23-24七年级·四川成都·阶段练习）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，
OF⊥OE于O，若∠AOD=80°，则∠COF= ．
【变式7-2】（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，
使∠AOC=60°，点M在射线OB上，射线ON在直线AB的下方，且OM⊥ON．
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学科网（北京）股份有限公司(1)将图1中的∠MON绕点O逆时针旋转至图2，使射线OM在∠BOC的内部并恰好平分∠BOC，求
∠CON的度数．
(2)在（1）的条件下，反向延长射线ON得到射线OD，如图3所示，判断射线OD是否平分∠AOC，请说
明理由．
(3)将图1中的∠MON绕点O按每秒20°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，ON
边所在的直线恰好平分锐角∠AOC，则t的值为__________秒．（直接写出答案）
【变式7-3】（24-25七年级·全国·课后作业）如图，已知锐角∠AOB，画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，
并直接写出∠AOB与∠COD的关系．
知识点5：同位角、内错角、同旁内角
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.
两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.
两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.
【题型8 同位角、内错角、同旁内角】
【方法技巧】（1）两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角,2对内错角,2对同旁内角.
（2）同位角形如字母“F”(或倒置、反置);内错角形如字母“Z”(或反置);同旁内角形如字母“U”(或倒
置、反置).（3）三种角讲的都是位置关系,而不是大小关系,通常情况下,其大小是不确定的.
【例8】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．近些年来，我国的
航空事业不断发展，在如左图所示的飞机中抽象出右图的数学图形，在右图中，与 ∠1构成同旁内角的是
( )
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学科网（北京）股份有限公司A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5
【变式8-1】（23-24七年级·上海杨浦·期末）如图，下列说法中，错误的是（ ）
A．∠EAD与∠EBD是同位角 B．∠EAD与∠DBC是同位角
C．∠EAD与∠ADC是内错角 D．∠EAD与∠ADB是内错角
【变式8-2】（23-24七年级·全国·假期作业）分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角．
【变式8-3】（23-24七年级·广东潮州·期末）英文字母中，存在同位角、内错角、同旁内角（不考虑字母
宽度），下列字母中含同旁内角最多的是（ ）
A． B． C． D．
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