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专题 7.4 平行线的性质与判定中的常用辅助线
【人教版2024】
【题型1 过拐点作平行线】
1．（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的
度数．
【答案】55°
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，由平行线的
性质可得∠ABE+∠BEF=180°，∠≝=∠CDE，代入数据计算即可得解．
【详解】解：如答图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠≝=∠CDE．
∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，
∴∠BEF=180°−∠ABE=30°，∠≝=∠CDE=85°，
∴∠BED=∠≝−∠BEF=55°．
2．（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，
B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西45°方向．
1
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学科网（北京）股份有限公司(1)求∠ABC的度数；
(2)求∠ACB的度数．
【答案】(1)∠ABC=55°
(2)∠ACB=95°
【分析】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提．
（1）根据方向角和平行线的性质，求出∠EBA=100°即可；
（2）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DAC+∠EBC=50°+45°=95°．
【详解】（1）解：由题意可知，∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠EBC=45°，
∵DA∥BE，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
∴∠EBA=180°−80°=100°，
∴∠ABC=∠EBA−∠EBC=100°−45°=55°；
（2）解：过点C作CF∥DA，
∵DA∥BE，
∴CF∥BE，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠EBC，
∴∠ACB=∠DAC+∠EBC=50°+45°=95°．
3．（23-24七年级·重庆·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠A+∠1=180°．
2
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学科网（北京）股份有限公司(1)求证：AE∥BD；
(2)若∠E=80°，∠ABD的角平分线BF与∠CDE的角平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，
∠1=116°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题
的关键．
（1）先由平行线的性质，得出∠A+∠2=180°，再进行角的等量代换，得∠2=∠1，即可作答．
（2）过点F作直线l∥CD，得∠1=∠ABD=116°，结合角平分线的定义，得∠BFG=58°，∠4=18°，
再通过角的差运算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∵AB∥CD
∴∠A+∠2=180°
∵∠A+∠1=180°
∴∠2=∠1
∴AE∥BD；
（2）解：如图：过点F作直线l∥CD，
3
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学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥l，
∴∠1=∠ABD=116°，
∵BF平分∠ABD，
1
∴∠BFG=∠ABF= ∠ABD=58°，
2
∵AE∥BD，∠E=80°，
∴∠EDB=180°−∠E=100°，
∵∠CDB=180°−116°=64°，
∴∠CDE=∠BDE−∠CDB=100°−64°=36°，
∵FD平分∠CDE，
1
∴∠4=∠5= ×36°=18°，
2
∵AB∥CD∥l，
∴∠3=∠4=18°，
∴∠BFD=∠BFG−∠3=58°−18°=40°．
4．（23-24七年级·全国·期末）探究：如图①，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．下面给
出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠1（ ）．
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴ （ ），
∴∠E=∠2（ ），
∴∠B＋∠E=∠1＋∠2，
即 ；
4
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学科网（北京）股份有限公司应用：如图②，直线l ∥l ，AB⊥l ，垂足为O，BC与l 相交于点E，若∠1=30°，求∠OBE的度数；
1 2 1 2
拓展：如图③，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC=30°，∠≝=45°，则∠CDE= ．
【答案】探究：两直线平行，内错角相等；DE∥CF；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平
行，内错角相等；∠BCE=∠B＋∠E 应用：120° 拓展：105°
【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键．
探究：过点C作CF∥AB，可以得到AB∥DE∥CF，然后得到∠E=∠2，∠B=∠1即可解题；
应用：根据垂直的定义得到∠DOB=90°，然后根据对顶角相等得到∠BEG=∠1=30°，然后利用探究
结论解题；
拓展：过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，得到∠ABC=∠BCG=30°，∠GCD=∠CDH，
∠HDE=∠≝=45°，然后根据角的和差解题即可．
【详解】探究：解：如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴DE∥CF（同平行于一条直线的两条直线互相平行），
∴∠E=∠2（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＋∠E=∠1＋∠2，
即∠BCE=∠B＋∠E；
应用：∵AB⊥l ，
1
∴∠DOB=90°，
又∵∠1=30°，
∴∠BEG=∠1=30°，
根据探究结论可得：∠ABE=∠DOB+∠BEG=90°+30°=120°；
拓展：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
5
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学科网（北京）股份有限公司又∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠ABC=∠BCG=30°，∠GCD=∠CDH，∠HDE=∠≝=45°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCD=∠CDH=90°−∠BCG=90°−30°=60°，
∴∠CDE=∠CDH+∠EDH=60°+45°=105°，
故答案为：105°．
5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接EA、EC．
(1)如图1，若∠A=80°，∠C=50°，求∠AEC的度数；
(2)如图2，若AF平分∠BAE，CF平分∠DCE交AF于点F，直接写出∠AEC和∠AFC之间的数量关系
∠AEC=________；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长AE交DC于点G，在AG上取一点K，连接FK交CD于点H，
CL⊥AF，若∠CEG=50°，∠AFK=∠CHF．求∠GKH．
【答案】(1)130度
(2)2∠AFC
(3)30度
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质
是解题关键．
（1）过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，根据两直线平行，内错角相等，求得∠GEA=80°，
∠GEC=50°，即可得到∠AEC的度数；
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学科网（北京）股份有限公司（2）过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，根据两直线平行，内错角相等，得出∠AEG=∠EAB，
∠CEG=∠ECD，则可得出∠AEC=∠EAB+∠ECD，同理可得∠F=∠FAB+∠FCD，然后结合角
平分线定义即可得出结论；
1
（3）由（2）可求∠AFC= ∠AEC=65°， ∠LCF=25°，设∠CFK=α，∠K=β，
2
∠BAF=∠EAF=x，∠ECF=∠FCD= y，则∠AFK=∠CHF=65°+α，在△CFH中，根据三角形
内角和定理可得出x+2α=115°，由（2）知：∠AFC=∠BAF+∠FCD，则x+ y=65°，根据三角形外
角的性质可得出∠AOF=α+β=75°，则可求出α+β+x+ y=140°，根据三角形内角和定理并结合
∠AFK=∠CHF可得出α+x=β+ y，进而求出α+x=70°，代入x+2α=115°，可求出α=45°，
β=30°，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，
∴∠GEA=∠A ∠GEC=∠C
， ，
∵∠A=80°，∠C=50°，
∴∠GEA=80°，∠GEC=50°，
∴∠AEC=∠GEA+∠GEC=130°；
（2）解：如图，过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，
∴∠GEA=∠BAE ∠GEC=∠ECD
， ，
∴∠AEC=∠GEA+∠GEC=∠BAE+∠DCE，
同理∠F=∠FAB+∠FCD，
∵ AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
1 1
∴∠FAB= ∠EAB，∠FCD= ∠ECD，
2 2
1 1 1 1
∴∠F= ∠EAB+ ∠ECD= (∠EAB+∠ECD)= ∠AEC，
2 2 2 2
∴∠AEC=2∠AFC，
故答案为：∠AFC；
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学科网（北京）股份有限公司（3）解：∵ ∠CEG=50°，
∴∠AEC=130°，
1
由（2）知： ∠AFC= ∠AEC=65°，
2
又CL⊥AF，
∴ ∠CLF=90°，
∴ ∠LCF=25°，
∴设∠CFK=α，∠K=β，∠BAF=∠EAF=x，∠ECF=∠FCD= y，则∠AFK=∠CHF=65°+α，
在△CFH中，∠FCH+∠CFH+∠CHF=180°，
∴ x+α+α+65°=180°，
∴ x+2α=115°，
由（2）知：∠AFC=∠BAF+∠FCD，
∴ x+ y=65°，
如图，
∵ ∠AOF=∠ECO+∠CEO=∠OFK+∠K
，
∴ α+β=25°+50°=75°，
∴ α+β+x+ y=140°，
∵∠AFK=∠CHF，
∴ ∠FAK+∠K=∠FCH+∠CFH，即α+x=β+ y，
∴ α+x=70°，
把α+x=70°代入x+2α=115°，得70°+α=115°，
∴ α=45°，
∴ ∠K=β=30°．
6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：BE平分∠ABD，∠BED=∠DBE （本题不能直接用三
角形内角和）
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1， 求证：AB∥DE；
(2)如图2， 点K、F分别在BE、BD 的延长线上， 点C在线段DE上， 且满足∠FCD=∠FCK，求
证：∠F+∠ABD+∠FCK=180°；
(3)如图3， 在（2）的条件下，∠F−∠K=15°，且DN平分∠CDF，求 ∠FND的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)115°
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，等量代换得出∠ABE=∠BED，根据内错角相
等、两直线平行，可得结论；
（2）过点F作MN∥DE，则MN∥AB，由平行线的性质得出∠NFD=∠ABD，∠MFC=∠FCD，
等量代换可得结论；
（3）作CH∥BE，MN∥DE，由平行线的性质推出∠CDN=∠ECK+∠K，设∠FCD=∠FCK=α，
则∠ECK=180°−2α，进而得出∠FND=180°−α+∠K，结合（2）中结论得出
∠F+2(180°−2α+∠K)+α=180°，将∠F−∠K=15°代入，可得α−∠K=65°，进而可得
∠FND=180°−α+∠K=115°．
【详解】（1）证明：∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE=∠DBE，
∵ ∠BED=∠DBE，
∴ ∠ABE=∠BED，
∴ AB∥DE；
（2）证明：如图，过点F作MN∥DE，
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学科网（北京）股份有限公司∵ MN∥DE AB∥DE
， ，
∴ MN∥AB，
∴ ∠NFD=∠ABD，
∵ MN∥DE，
∴ ∠MFC=∠FCD，
又∵ ∠FCD=∠FCK，
∴ ∠CFD+∠ABD+∠FCK=∠CFD+NFD+MFC=180°，
即∠F+∠ABD+∠FCK=180°；
（3）解：如图，作CH∥BE，MN∥DE，
由（1）知AB∥DE，
∴ ∠ABD=∠CDF，
∵ BE平分∠ABD，DN平分∠CDF，
1 1
∴ ∠ABE=∠DBE= ∠ABD，∠FDN=∠CDN= ∠CDF，
2 2
∴ ∠DBE=∠CDN，
又∵ ∠BED=∠DBE，
∴ ∠BED=∠CDN，
∴ DN∥BE，
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学科网（北京）股份有限公司∴ CH∥DN；
∵ CH∥BE，
∴ ∠K=∠KCH，
∵ CH∥DN，
∴ ∠CDN=∠ECH=∠ECK+∠KCH=∠ECK+∠K，
设∠FCD=∠FCK=α，则∠ECK=180°−2α，
∴ ∠CDN=180°−2α+∠K，
∵ MN∥DE，
∴ ∠MND=∠CDN=180°−2α+∠K，∠MNF=∠FCD=α，
∴ ∠FND=∠MNF+∠MND=α+180°−2α+∠K=180°−α+∠K；
由（2）知∠F+∠ABD+∠FCK=180°，
∴ ∠F+∠CDF+∠FCK=∠F+2∠CDN+∠FCK=180°，
即∠F+2(180°−2α+∠K)+α=180°，
又∵ ∠F−∠K=15°，
∴ ∠K+15°+360°−4α+2∠K+α=180°，
整理得α−∠K=65°，
∴ ∠FND=180°−α+∠K=180°−(α−∠K)=180°−65°=115°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键
是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换．
7．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得
∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，N=45°，则∠N为∠M的6系
补周角．
(1)若∠H=110°，则∠H的4系补周角的度数为______
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE,DE．
①如图1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
∠ABE ∠CDE
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF= ，∠CDF=
n n
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学科网（北京）股份有限公司（其中n为常数且n<1），点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点，在P点运动过程中，请你确定一个
点P的位置，使得∠BPD是∠F的k系补周角，并直接写出此时的k值（用含n的式子表示）．
【答案】(1)62.5°
2
(2)①∠B=72.5°②k=
n
【分析】（1）设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义列出方程求解即可；
（2）①过E作EF∥AB，得∠B+∠D=∠BED，再由已知∠D=60°，∠B是∠E的3系补周角，列出
∠B的方程，求得∠B的度数；
②根据k系补周角的定义先确定P点的位置，再结合∠ABF=n∠ABE，∠CDF=n∠CDE求解k与n的
关系即可求解．
本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判
定，角平分线的定义，新定义．
【详解】（1）解：设∠H的4系补周角的度数为x°，根据新定义得：
110+4x=360，
解得x=62.5，
∠H的4系补周角的度数为62.5°，
故答案为：70；
（2）解：①过E作EF∥AB，如图1，
∴∠B=∠BEF
，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∵∠D=70°，
∴∠≝=∠D=70°，
∵∠B+70°=∠BEF+∠≝¿，
即∠B+70°=∠BED，
∵∠B是∠BED的3系补周角，
∴∠BED=360°−3∠B，
∴∠B+70°=360°−3∠B，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠B=72.5°；
②如图2，当BG上的动点P为∠CDE的角平分线与BG的交点时，满足∠BPD是∠F的k系补周角，
过点P作PM∥AB，过点F作FN∥AB，如图2，
∵AB∥CD，
∴CD∥PM，CD∥FN，
∴∠ABP=∠BPM，∠CDP=∠DPM，∠ABF+∠BFN=180°，∠CDF+∠DFN=180°，
∴∠ABF+∠BFD+∠CDF
=∠ABF+∠BFN+∠CDF+∠DFN
=180°+180°
=360°，
∵∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点P，
1 1
∴∠ABP= ∠ABE，∠CDP= ∠CDE，
2 2
1
∴∠BPD=∠BPM+∠DPM= (∠ABE+∠CDE)，
2
∠ABE ∠CDE
∵ ∠ABF= ，∠CDF= （其中n为常数且n<1），
n n
1
∴∠BPD= (n∠ABF+n∠CDF)，
2
n
∴∠BPD= (∠ABF+∠CDF)，
2
n
∴∠BPD= (360°−∠BFD)，
2
2
∴∠BFD+ ∠BPD=360°，
n
∴∠BPD是∠BFD的k系补周角，
2
此时，k= ．
n
8．（24-25七年级·全国·期末）如图，已知AB∥CD，∠B=36°，∠D=108°，点E、F为AB、CD之
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学科网（北京）股份有限公司间的两点．
(1)如图1，若∠E=90°，求∠F的度数；
(2)如图2，请探索∠F−∠E的度数是否为定值，请说明理由；
(3)如图3，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
【答案】(1)∠F=126°；
(2)∠F−∠E的度数是定值36°；
(3)∠P=18°．
【分析】（1）如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥PF∥CD，证明
∠4=180°−∠D=72°，∠3=∠2=54°，从而可得答案；
（2）如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，证明AB∥EN∥PF∥CD，可得∠1=∠B=36°，
∠4=180°−∠D=72°，∠3=∠2，再利用角的和差运算可得结论；
1 1
（3）如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，可得∠2=∠1= ∠BEF，∠3=∠4= ∠EFD，由
2 2
三角形的内角和定理可得∠P=180°−(∠2+∠PFE) =∠3−∠2，结合（2）得：
∠EFD−∠BEF=36°，从而可得∠P=18°．
【详解】（1）解：如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥PF∥CD，而∠B=36°，∠D=108°，
∴∠1=∠B=36°，∠4=180°−∠D=72°，
∵∠BEF=90°，
∴∠2=90°−36°=54°，
∵EN∥PF，
∴∠3=∠2=54°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠EFD=∠3+∠4=54°+72°=126°；
（2）解：∠EFD−∠BEF=36°，是定值，理由如下：
如图，过E作EN∥AB，过F作FP∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥PF∥CD，而∠B=36°，∠D=108°，
∴∠1=∠B=36°，∠4=180°−∠D=72°，∠3=∠2，
∴∠EFD−∠BEF=∠3+∠4−∠1−∠2=∠4−∠1=72°−36°=36°；
（3）解：如图，∵EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，
1 1
∴∠2=∠1= ∠BEF，∠3=∠4= ∠EFD，
2 2
∴∠P=180°−(∠2+∠PFE)
=180°−(∠2+180°−∠3)
=∠3−∠2，
∵由（2）得：∠EFD−∠BEF=36°，
1 1
∴∠3−∠2= (∠EFD−∠BEF)= ×36°=18°，
2 2
∴∠P=18°．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，
熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．
9．（23-24七年级·云南曲靖·阶段练习）如图，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接
AE、CE．
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学科网（北京）股份有限公司【感知】如图1，若∠BAE=40°，∠ECD=50°，则∠AEC= ；
【探究】如图2，猜想∠BAE，∠ECD和∠AEC之间的数量关系，并说明理由：
【应用】如图3，若AH平分∠BAE，将线段CE沿CD方向平移至FG，若∠AEC=80°，FH平分
∠DFG，求∠AHF的度数．
【答案】感知：90°；探究：∠BAE+∠ECD=∠AEC，理由见解析；应用：40°
【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义：
感知：过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠BAE=∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出
∠2=∠DCE，据此可得∠AEC=∠BAE+∠DCE，再代值计算即可；
探究：仿照感知方法求解即可；
1
应用：由平移的性质得到∠ECD=∠GFD，再由角平分线的定义得到∠BAH= ∠BAE，
2
1 1
∠DFH= ∠DFG= ∠DCE，根据探究的结论证明
2 2
1
证明∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE)，再根据∠AEC=∠BAE+∠DCE，可得结论．
2
【详解】解：感知：如图所示，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠DCE，
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE，
16
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学科网（北京）股份有限公司∵∠BAE=40°，∠ECD=50°，
∴∠AEC=90°，
故答案为：90°；
探究：∠BAE+∠ECD=∠AEC，理由如下：
如图所示，过点E作EF∥AB，
∴∠BAE=∠1，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠DCE，
∵∠AEC=∠1+∠2，
∴∠BAE+∠ECD=∠AEC；
应用：由平移的性质可得CE∥FG，
∴∠ECD=∠GFD，
∵AH平分∠BAE，FH平分∠DFG，
1 1 1
∴∠BAH= ∠BAE，∠DFH= ∠DFG= ∠DCE，
2 2 2
1
∴∠AHF=∠BAH+∠DFH= (∠BAE+∠DCE)，
2
∵∠BAE+∠DCE=∠AEC=80°，
1
∴∠AHF= ×80°=40°．
2
10．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：AB∥CD，点E在CD上，点G、F在AB上，点H在
AB、CD之间，连接FE、EH、HG，∠AGH=∠FED，FE⊥HE，垂足为点E．
17
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1，求∠EHG的度数；
(2)如图2，GM平分∠HGB，EM平分∠HED，GM、EM交于点M，求∠M的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，FK平分∠AFE交CD于点K，若∠KFE：∠MGH=23：13，FK与
ME所在直线交于点Q，若射线QP从射线QF的位置开始绕着点Q逆时针以每秒5°的速度进行旋转，射线
QP交直线CD于点P，旋转时间为t秒，当t为何值时，QP第一次与GH平行？并求此时∠FQE的度数．
【答案】(1)90°
(2)45°
(3)t=11.5s，∠FQE=45°
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，角分线的性质．解题的关键是掌握拐点问题中的辅助线作法．
（1）根据平行线的性质和判定解答即可；
（2）过点M作MT∥AB，过点H作HR∥AB，根据平行线的判定和性质解答即可；
（3）过点Q作QN∥CD，先利用∠KFE：∠MGH=23：13，设∠KFE=23x，∠MGH=13x，结
合平行线的性质求出x，利用QN∥CD，结合平行线的判定与性质求出∠FQE，利用EF∥GH，
PQ∥GH，结合平行线的判定与性质求出∠PQE，即可求出∠PQF，即可求解．
【详解】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠FED，
∵∠AGH=∠FED，
∴∠AFE=∠AGH，
∴EF∥GH，
∵FE⊥HE，
∵GH⊥HE，
∴∠EHG=90°；
（2）解：如图，过点M作MT∥AB，过点H作HR∥AB，
∵AB∥CD
，
∴MT∥CD∥AB，HR∥CD∥AB，
∴∠BGM=∠TMG，∠DEM=∠TME，∠BGH=∠RHG，∠DEH=∠RHE，
∴∠BGH+∠DEH=∠RHG+∠RHE=∠GHE=90°，
∵GM平分∠HGB，
18
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学科网（北京）股份有限公司1
∴∠BGM=∠HGM= ∠BGH，
2
∵EM平分∠HED，
1
∴∠HEM=∠DEM= ∠HED，
2
1 1 1 1
∴∠GME=∠TMG+∠TME=∠BGM+∠DEM= ∠BGH+ ∠HED= (∠BGH+∠DEH)= ×9；0°=45°
2 2 2 2
（3）解：如图，过点Q作QN∥CD，
∵∠KFE：∠MGH=23：13，
∴设∠KFE=23x，∠MGH=13x，
∵FK平分∠AFE，
∴∠KFE=∠AFK=23x，
∵EF∥GH，
∴∠FGH=∠AFE=∠KFE+∠AFK=46x，
∵GM平分∠HGB，
∴∠MGH=∠BGM=13x，
∵∠FGH+∠MGH+∠BGM=180°，
∴46x+13x+13x=180°，
解得：x=2.5°，
∴∠AFK=23x=57.5°，∠BGH=13x+13x=65°，
由（2）得∠BGH+∠DEH=90°，
∴∠DEH=90°−∠BGH=25°，
1
∴∠DEM= ∠DEH=12.5°，
2
∵QN∥CD，AB∥CD，
∴QN∥CD∥AB，
∴∠FQN=∠AFQ=57.5°，∠NQE=∠QEP=∠DEM=12.5°，
∠PEF=180°−∠AFE=180°−2×57.5°=65°，
19
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学科网（北京）股份有限公司∴∠FQE=∠FQN−∠NQE=45°，∠FEQ=∠PEF+∠PEQ=65°+12.5°=77.5°，
∵EF∥GH，PQ∥GH，
∴PQ∥EF，
∴∠PQE=180°−∠FEQ=180°−77.5°=102.5°，
∴∠PQF=∠PQE−∠FQE=102.5°−45°=57.5°，
∵点Q逆时针以每秒5°的速度进行旋转，
57.5
∴t= =11.5(s)，
5
综上，t=11.5s时，QP第一次与GH平行，此时∠FQE=45°．
11．（23-24七年级·全国·期末）直线AB∥CD，P 为直线AB上方一点，连接PA、PD．
(1)如图1，若∠A=100°，∠D=130°，求∠APD的度数；
(2)如图1，设∠PAB=α，∠CDP=β，求∠APD的度数（用含α、β的式子表示）；
∠APC
(3)如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN=3∠PAN，连接CN，若∠DCN=3∠PCN，求 的值．
∠ANC
【答案】(1)50°
(2)∠APD=α+β−180°
4
(3)
3
【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用．
（1）过点P向右PE∥AB，则AB∥PE∥CD，得出∠APE=80°，进而求出结论；
（2）过点P向右PE∥AB，则AB∥PE∥CD，得出∠APE=180°−α，进而求出结论；
（3）过点P向左作PF∥AB，过N向左作NM∥AB，则PF∥MN∥AB∥CD，设
∠PAN=x，∠PCN= y，则∠BAN=3x，∠PAB=4x，∠DCN=3 y，∠PCD=4 y，得出
∠APC=4x−4 y，∠ANC=3x−3 y，进而求出结论．
【详解】（1）解：过点P向右PE∥AB，
20
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学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠DPE=∠D=130°，∠APE+∠A=180°，
∵∠A=100°，
∴∠APE=80°，
∴∠APD=∠DPE−∠APE=130°−80°=50°；
（2）过点P向右PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠APE+∠A=180°，∠DPE=∠D=β，
∵∠A=α，
∴∠APE=180°−α，
∴∠APD=∠DPE−∠APE=β−(180°−α)=α+β−180°；
（3）过点P向左作PF∥AB，过N向左作NM∥AB，
∵AB∥CD，
∴PF∥MN∥AB∥CD，
21
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学科网（北京）股份有限公司与（2）同理，得∠APC=∠PAB−∠PCD，
∠ANC=∠BAN−∠DCN.
依题意，设∠PAN=x，∠PCN= y，
则∠BAN=3x，∠PAB=4x，∠DCN=3 y，∠PCD=4 y ．
∴∠APC=4x−4 y，∠ANC=3x−3 y，
∠APC 4x−4 y 4
∴ = = ．
∠ANC 3x−3 y 3
12．（23-24七年级·全国·单元测试）如图1，∠ACB=90°，MA∥BN．
(1)①如果∠MAC=30°，求∠CBN的度数；
②设∠MAC=α，∠CBN=β，直接写出α、β之间的数量关系： ；
(2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发
生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
(3)在（2）的条件下，若∠MAC=40°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于
点F，连接EP．已知∠FEP=10°，求∠BPE的度数．
【答案】(1)①∠CBN=120°°；②β=α+90°
(2)不发生变化；∠APB=135°，理由见详解
(3)当点F在点P的左侧时，∠BPE=55°；当点F在点P的右侧时，∠BPE=75°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）①过点C作CD∥AM，则有MA∥CD∥BN，然后得到∠ACD=∠A=30°，
∠DCB+∠CBN=180°，然后计算解题；
②过点C作CD∥AM，则有∠ACD=∠A=α，∠DCB=180°−∠B=180°−β，再根据直角得到结论；
（2）由（1）②可得∠MAC=α，∠CBN=β=90°+α，然后根据角平分线的定义得到
1 1 1 1 1
∠MAP= ∠MAC= α，∠NBP= ∠NBC= (90°+α)=45°+ α，然后利用（1）②的推导过程
2 2 2 2 2
得到结论；
22
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学科网（北京）股份有限公司1
（3）由（2）可得∠MAP= ∠MAC=20°，∠CBN=90°+40°=130°，∠APB=135°，然后分点F
2
在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：过点C作CD∥AM，
∵MA∥BN
，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD=∠A=30°，∠DCB+∠CBN=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°−∠ACD=90°−30°=60°，
∴∠CBN=180°−∠DCB=180°−60°=120°；
②过点C作CD∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD=∠MAC=α，∠DCB=180°−∠CBN=180°−β，
又∵∠ACB=90°，
∴α+180°−β=90°，
∴β=α+90°，
故答案为：β=α+90°；
（2）解：不发生变化；∠APB=135°，理由为：
由②可得∠MAC=α，∠CBN=β=90°+α，
∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，
1 1 1 1
∴∠MAP= ∠MAC= α，∠NBP= ∠CBN=45°+ α，
2 2 2 2
( 1 ) 1
∴∠EPB=180°−∠NBP=180°− 45°+ α =135°− α，
2 2
过P作PE∥AM，
23
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学科网（北京）股份有限公司∴∠EPA=∠MAP
，
1 1
∴∠APB=∠EPA+∠EPB= α+135°− α=135°；
2 2
1
（3）由（2）得∠MAP= ∠MAC=20°，∠CBN=90°+40°=130°，∠APB=135°，
2
∵EF∥BC，
∴∠FEB=180°−∠CBN=180°−130°=50°，
过点P作PG∥AM，
∵MA∥BN
，
∴MA∥PG∥BN，
∴∠APG=∠MAF=20°，∠GPE=∠PEB，
∴∠APE=∠APG+∠GPE=20°+∠PEB，
当点F在点P的左侧时，如图，
则∠PEB=∠FEB+∠FEP=50°+10°=60°，
∴∠APE=20°+∠PEB=20°+60°=80°，
∴∠BPE=∠APB−∠APE=135°−80°=55°；
当点F在点P的右侧时，如图，
24
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学科网（北京）股份有限公司则∠PEB=∠FEB−∠FEP=50°−10°=40°，
∴∠APE=20°+∠PEB=20°+40°=60°，
∴∠BPE=∠APB−∠APE=135°−60°=75°．
综上所述，当点F在点P的左侧时，∠BPE=55°；当点F在点P的右侧时，∠BPE=75°．
13．（23-24七年级·河南郑州·期中）如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的
度数．
（1）下面是小明同学的解答过程，请你补充完整；
解：过点P作PE∥AB，
∵AB∥PE，AB∥CD，
∴PE∥CD．（_________）
∴∠APE+∠PAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°
又∵∠PAB=130°，∠PCD=120°（已知），
∴∠APE=_________，∠CPE=_________，
∴∠APC=_________．
【问题迁移】
（2）如图2，AB∥CD，点P在射线OM上运动，记∠PCD=α，∠APD=β，当点P在B、C两点之
间运动时，问∠PAB与∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．
【问题应用】
（3）在（2）的条件下，如果点P在C、B两点外侧运动时（点P与点C、B、O三点不重合），请你直接
写出∠PAB与∠α、∠β之间有何数量关系．
【答案】（1）平行于同一条直线的两直线平行，50°，60°，110°；（2）∠PAB=β−α，理由见解析；
（3）当P在CB延长线上时，∠CPA=α−β；当P在BC延长线上时，∠CPA=α+β．
【分析】本题是几何综合题，主要考查了平行线的性质和判定的应用，三角形外角的性质，主要考查学生
的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）如图，过P作PE∥AB交OM于E，根据平行线的判定和性质即可得到结论；
25
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学科网（北京）股份有限公司（3）如图所示，当P在CB延长线上时，当P在BC延长线上时，根据平行线的性质和判定定理即可得到结
论．
【详解】解：（1）下面是小明同学的思考过程，请你补充完整；
∵AB∥PE，AB∥CD，
∴PE∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），
∴∠APE+∠PAB=180°，∠CPE+∠PCD=180°
（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠PAB=130°，∠PCD=120°（已知），
∴∠APE=50°，∠CPE=60°，
∴∠APC=110°．
故答案为：平行于同一条直线的两直线平行，50°，60°，110°；
（2）∠PAB=β−α，
理由：如图，过P作PE∥AB交OM于E，
∵AB∥CD
，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DPE=∠PDC，
∵α=∠CDP，β=∠APD，
∴∠BAP=∠APE=∠APD−∠DPE=∠PDC=β−α；
（3）如图所示，当P在CB延长线上时，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥PE∥CD，
26
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学科网（北京）股份有限公司∴∠BAP=∠APE，∠DPE=∠PDC，
∵α=∠CDP，β=∠APD，
∴∠BAP=∠APE=∠DPE−∠APD=∠CDP−∠APD=α−β；
如图所示，当P在BC延长线上时，过P作PE∥AB，
∵AB∥CD
，
∴AB∥PE∥CD，
∴∠BAP=∠APE，∠DPE=∠PDC，
∵α=∠CDP，β=∠APD，
∴∠BAP=∠APE=∠DPE+∠APD=∠CDP+∠APD=α+β；
综上所述，∠PAB与∠α、∠β的关系为∠CPA=α−β或∠CPA=α+β．
14．（2024七年级·河南郑州·专题练习）[课题学习]：
平行线的“等角转化”功能．
（1）[阅读理解]：
如图1，已知点A是BC外一点，连接AB，AC，求∠BAC+∠B+∠C的度数．
阅读并补充下面推理过程．
解：过点A作ED∥BC，所以∠B= ，∠C=
又因为∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°
所以∠B+∠BAC+∠C=180°
（2）[方法运用]：
如图2，已知AB∥ED，求∠B+∠BCD+∠D的度数．
（3）[深化拓展]：
已知AB∥CD，点C在D的右侧，∠ADC=70°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的
27
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学科网（北京）股份有限公司直线交于点E，点E在AB与CD两条平行线之间．
①如图3，若∠ABC=60°，则∠BED= °
②如图4，点B在点A的右侧，若∠ABC=n°，则∠BED= °（用含n的代数式表示）
【答案】（1）∠EAB；∠DAC；（2）∠B+∠BCD+∠D的度数为360°；（3）①65；②
( 1 )
215− n
2
【分析】本题考查了平行线的性质，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题
的关键．
（1）根据两直线平行，内错角相等，即可解答；
（2）过点C作CG∥AB，从而利用平行线的性质可得∠B=∠BCG，再根据平行于同一条直线的两条直
线平行可得CG∥DE，然后利用平行线的性质可得∠D=∠DCG，再根据周角定义可得
∠BCD+∠BCG+∠DCG=360°，最后利用等量代换可得∠BCD+∠B+∠D=360°，即可解答；
（3）①过点E作EM∥AB，先根据猪脚模型可得∠BED=∠ABE+∠EDC，然后根据角平分线的定义
可得∠ABE=30°，∠EDC=35°，从而进行计算即可解答；
1
②过点E作EN∥AB，先根据角平分线的定义可得∠ABE= n°，∠EDC=35°，再利用平行线的性质
2
1
可得∠BEN=180°− n°然后根据平行于同一条直线的两条直线平行可得EN∥CD，从而可得
2
∠EDC=∠DEN=35°，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）解：过点A作ED∥BC，如图所示：
∴∠B=∠EAB ∠C=∠DAC
， ，
又∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，
∴ ∠B+∠BAC+∠C=180°，
故答案为：∠EAB；∠DAC；
（2）过点C作CG∥AB，如图所示：
28
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学科网（北京）股份有限公司∴∠B=∠BCG
，
∵AB∥DE，
∴CG∥DE，
∴∠D=∠DCG，
∵∠BCD+∠BCG+∠DCG=360°，
∴∠BCD+∠B+∠D=360°，
∴∠B+∠BCD+∠D的度数为360°；
（3）①过点E作EM∥AB，如图所示：
∴∠ABE=∠BEM
，
∵AB∥CD，
∴∠EDC=∠DEM，
∵∠BED=∠BEM+∠DEM，
∴∠BED=∠ABE+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
1 1
∴∠ABE= ∠ABC=30°，∠EDC= ∠ADC=35°，
2 2
∴∠BED=∠ABE+∠EDC=65°，
故答案为：65；
②过点E作EN∥AB，如图所示：
∵BE ∠ABC DE ∠ADC
平分 ， 平分 ，
1 1 1
∴∠ABE= ∠ABC= n°，∠EDC= ∠ADC=35°，
2 2 2
∵EN∥AB，
29
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学科网（北京）股份有限公司1
∴∠BEN=180°−∠ABE=180°− n°，
2
∵AB∥CD，
∵EN∥CD，
∴∠EDC=∠DEN=35°，
1 ( 1 )
∴∠BED=∠BEN+∠DEN=180°− n°+35°= 215− n °，
2 2
( 1 )
故答案为： 215− n ．
2
15．（2024七年级·浙江·专题练习）综合与实践．
活
动
设计一款日常的多功能椅子
主
题
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提
供舒适的工作和休息．
图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧
面示意中分别对应CE、FG、BF和AD，椅腿AD，BC可绕连结点O转动，椅面底部有一根可
以绕点H转动的连杆HD，靠背与椅腿的夹角∠GFB在转动过程中形状保持不变．此时椅面CE和
靠背FG平行．注：三角形内角和为180°．
素
材
1
素
图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆HD与椅腿AD夹角∠HDA变小，使HD与椅面CE贴合，此
材
时椅面CE与地面AB平行．
2
30
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学科网（北京）股份有限公司座椅的设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负
素
担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般
材
在105°~120°，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背
3
的要求．
通过将靠背GF与椅腿BF的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面CE
素
下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背GF和椅面CE的角度，以满足不同的需要．图4是
材
4
舒适档．椅面倾角α为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠
背GF的延长线与椅面EC的延长线的夹角．
问题解决
任务 根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得∠ECB=150°，∠OBA=70°，延长GF，与地
1 面BA的夹角为α，求α
任务 根据素材1，2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长GF交AB于点I，探究∠FIB与∠PCE的
2 数量关系
根据素材3，4，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿FB于地面AB的夹角始终为θ
任务
3 ①请用θ表示舒适档时靠背GF与椅腿BF的夹角∠GFB=
②求从舒适档调整为工作档过程中，靠背GF需要装过多少度？
【答案】任务1：α=80°；任务2：∠FCE−∠FIB=30°；任务3：①θ+115°；②25度
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键．
任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；
任务2：过F作FQ∥CE，则FQ∥AB，根据平行线的性质得到∠GFQ=∠FIB，
∠CFQ+∠FCE=180°，进而可由∠GFC=150°推导出∠FCE−∠FIB=30°；
任务3：①根据平行线的性质得到∠FCP=θ+10°，再根据三角形的内角和定理求解即可；
②求出工作档时的∠GFC，进而作差即可得答案．
【详解】解：任务1：
31
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学科网（北京）股份有限公司∵CE∥FG，∠ECB=150°，
∴∠GFC=∠ECB=150°，
∵α+∠OBA+(180°−∠GFC)=180°，∠OBA=70°，
∴α=150°−70°=80°；
任务2：由题意，∠GFC=150°，CE∥AB，
如图，过F作FQ∥CE，则FQ∥AB，
∴∠GFQ=∠FIB，∠CFQ+∠FCE=180°，
∴∠GFC=∠GFQ+∠CFQ=∠FIB+180°−∠FCE=150°，
∴∠FCE−∠FIB=30°；
任务3：①如图，β=105°，α=10°，∠B=θ，CK∥AB，
∴∠BCK=∠B=θ，
∴∠FCP=∠BCE=θ+α=θ+10°，
∵β+∠FCP+180°−∠GFB=180°，
∴105°+θ+10°+180°−∠GFB=180°，
∴∠GFB=θ+115°，
32
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：θ+115°；
②工作档时如图，已知∠FPC=β=95°，∠KCE=5°，∠B=θ，CK∥AB，
∴∠BCK=∠B=θ，
∴∠FCP=∠BCE=∠BCK−∠ECK=θ−5°，
∵∠FPC+∠FCP+180°−∠GFB=180°，
∴95°+θ−5°+180°−∠GFB=180°，
∴∠GFB=θ+90°，
∵θ+115°−(θ+90°)=115°−90°=25°
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背GF需要转过25度．
【题型2 连接两点或延长线段使相交】
16．（24-25七年级·全国·期末）如图，直线l ，l 相交于点O，点A，B在l 上，点 D，E 在l 上，
1 2 1 2
BC∥EF，∠BCA=∠EFD．
(1)求证∶AC∥FD．
33
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学科网（北京）股份有限公司(2)若∠1=20°，∠2=15°，求∠EDF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)35°
【分析】本题主要考查平行线的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，掌握平行线的判定方法
及性质是解题的关键．
（1）延长CB交l 于点M，延长CA交l 于点N，利用BC∥EF得出∠CMN=∠FED，然后根据三角形内
2 2
角和定理得出∠CNM=∠FDE，最后利用同位角相等，两直线平行即可证明；
（2）根据三角形外角的性质得出∠CNM=∠OAN+∠1=∠2+∠1，再利用∠CNM=∠FDE即可得出
答案．
【详解】（1）解：延长CB交l 于点M，延长CA交l 于点N，
2 2
∵BC∥EF，
∴∠CMN=∠FED，
∵∠BCA=∠EFD，
∴∠BCA+∠CMN=∠EFD+∠FED，
∵∠CNM=180°−(∠BCA+∠CMN)，
∠FDE=180°−(∠EFD+∠FED)
∴∠CNM=∠FDE，
∴AC∥FD；
（2）∵∠2=∠OAN，
∴∠CNM=∠OAN+∠1=∠2+∠1，
∵∠1=20°，∠2=15°，
∴∠CNM=35°，
∵AC∥FD，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠EDF=∠CNM=35°．
17．（24-25七年级·湖南岳阳·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，AB∥CD，点P在AB、CD内部，∠B=55°,∠D=40°，则∠BPD= °；
(2)如图2，AB∥CD，点P在AB、CD外部（CD的下方），则∠BPD、∠B、∠D之间的数量关系为
；
(3)如图3，直接写出∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间的数量关系为 ，并证明．
【答案】(1)95
(2)∠B=∠BPD+∠D
(3)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD，证明见解析
【分析】本题主要考查平行线的性质、三角形的内角和定理、三角形外角的性质，掌握相关知识并结合题
意正确做出辅助线是解题的关键．
（1）延长BP交CD于点E，根据平行线的性质、三角形外角的性质即可求解；
（2）根据AB∥CD，得∠B=∠BOD，再由三角形外角的性质即可求证；
（3）连接BD，由∠BQD+∠QBP+∠DBP+∠BDP+∠PDQ=180°，
∠DBP+∠BDP+∠BPD=180°，即可求解．
【详解】（1）解：延长BP交CD于点E，
∵AB∥CD ∠B=55°
， ，
∴∠B=∠BED=55°，
∵∠D=40°，
∴∠BPD=∠D+∠BED=95°，
故答案为；95；
（2）解： ∵AB∥CD，
∴∠B=∠BOD，
35
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学科网（北京）股份有限公司∵∠BPD+∠D=∠BOD，
∴∠BPD+∠D=∠B；
（3）证明：∠BPD=∠B+∠D+∠BQD，证明：
连接QP并延长，
∵∠BPE=∠B+∠BQE ∠DPE=∠D+∠DQE
， ，
∴∠BPE+∠DPE=∠B+∠BQE+∠D+∠DQE，
∴∠BPD=∠B+∠D+∠BQD．
18．（2024七年级·全国·专题练习）已知∠ACB=∠E=90°，∠B=30°，∠D=45°．
(1)如图①，当∠BCD=15°时，请判断AB与CE之间的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若CE⊥AB，求∠BCD的度数．
【答案】(1)AB∥CE．理由见解析
(2)75°
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据内错角相等两直线平行可求解；
（2）延长线段EC交AB于点H，由平行线的性质可求解．
【详解】（1）解：AB∥CE．理由如下：
∵∠E=90°，∠D=45°，
∴∠DCE=180°−∠E−∠D=45°，
∵∠BCD=15°，
∴∠BCE=∠DCE−∠BCD=30°，
∵∠B=30°，
∴∠BCE=∠B，
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学科网（北京）股份有限公司∴ AB∥CE；
（2）解：如图，延长线段EC交AB于点H，
∵EC⊥AB
，
∴∠EHB=90°．
∵∠B=30°，
∴∠HCB=180°−∠B−∠EHB=60°．
∵∠E=90°，∠D=45°，
∴∠ECD=45°，
∴∠BCD=180°−∠ECD−∠HCB=75°．
19．（23-24七年级·广东肇庆·期中）如图1为北斗七星的位置图，如图2将北斗七星分别标为A，B，C，
D，E，F，G，将A，B，C，D，E，F顺次首尾连接，若AF恰好经过点G，且B，G，C在一条直线上，
若AF∥DE，∠B=∠C+9°，∠D=∠E=105°．
(1)求∠F的度数．
(2)计算∠B−∠CGF的度数是______．
(3)连接AD，当∠ADE与∠CGF满足怎样数量关系时，BC∥AD．并说明理由．
【答案】(1)75°
(2)114°
(3)∠ADE+∠CGF=180°，理由见解析
【分析】此题考查平行线的判定和性质，三角形外角的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．
（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
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学科网（北京）股份有限公司（2）延长DC交AF于K，由平行线的性质得到∠GKC=∠D=105°，进而利用三角形外角的性质解答即
可；
（3）根据平行线的判定和性质解答即可．
【详解】（1）解：∵AF∥DE，
∴∠F+∠E=180°，
∴∠F=180°−105°=75°；
（2）解：延长DC交AF于K，
∵AF∥DE，
∴∠GKC=∠D=105°，
∴∠B−∠CGF=∠DCG+9°−∠CGF=∠GKC+9°=∠D+9°=114°；
故答案为：114°；
（3）解：当∠ADE+∠CGF=180°时，BC∥AD，
∵AF∥DE，
∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，
∴∠GAD=∠CGF，
∴BC∥AD．
20．（23-24七年级·浙江宁波·阶段练习）如图1，∠ACB=90°，MA∥BN．
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学科网（北京）股份有限公司(1)①如果∠MAC=28°，求∠CBN的度数；
②设∠MAC=α，∠CBN=β，直接写出α、β之间的数量关系：________；
(2)如图2，∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，当∠MAC的度数发生变化时，∠APB的度数是否发
生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠APB的度数；
(3)在（2）的条件下，若∠MAC=44°，点E为射线BN上的一个动点，过点E作EF∥BC交直线AP于点
F，连接EP．已知∠FEP=15°，求∠BPE的度数．
【答案】(1)①∠CBN=118°；②β=α+90°
(2)不发生变化，∠APB的度数为135°
(3)∠BPE=52°或∠BPE=82°
【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）①过点C作CD∥AM，则有MA∥CD∥BN，然后得到∠ACD=∠A=28°，
∠DCB+∠B=180°，然后计算解题；
②过点C作CD∥AM，则有∠ACD=∠A=α，∠DCB=180°−∠B=180°−β，再根据直角得到结论；
（2）由②可得∠MAC=α，∠CBN=β=90°+α，然后根据角平分线的定义得到
1 1 1 1 1
∠MAP= ∠MAC= α，∠NBP= ∠NBC= (90°+α)=45°+ α，然后利用同②的推导过程得到
2 2 2 2 2
结论；
1
（3）由（2）可得∠MAP= ∠MAC=22°，∠CBN=90°+44°=134°，∠APB=135°，然后分点F
2
在点P的左侧和点F在点P的右侧两种情况进行解题．
【详解】（1）解：①过点C作CD∥AM，
39
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学科网（北京）股份有限公司∵MA∥BN
，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD=∠A=28°，∠DCB+∠B=180°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠DCB=90°−∠ACD=90°−28°=62°，
∴∠B=180°−∠DCB=180°−62°=118°；
②过点C作CD∥AM，
∵MA∥BN
，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠ACD=∠A=α，∠DCB=180°−∠B=180°−β，
又∵∠ACB=90°，
∴α+180°−β=90°，
∴β=α+90°，
故答案为：β=α+90°；
（2）不发生变化，135°，理由为：
由②可得∠MAC=α，∠CBN=β=90°+α，
∵∠MAC、∠CBN的角平分线交于点P，
40
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学科网（北京）股份有限公司1 1 1 1 1
∴∠MAP= ∠MAC= α，∠NBP= ∠NBC= (90°+α)=45°+ α，
2 2 2 2 2
过点P作PE∥MA，则MA∥PE∥BN，
1 ( 1 ) 1
∴∠EPA=∠MAP= α，∠EPB=180°−∠NBP=180°− 45°+ α =135°− α，
2 2 2
1 1
∴∠APB=∠EPA+∠EPB= α+135°− α=135°；
2 2
1
（3）由（2）得∠MAP= ∠MAC=22°，∠CBN=90°+44°=134°，∠APB=135°，
2
∵EF∥BC，
∴∠FEB=180°−∠CBE=180°−134°=46°，
过点P作PG∥AM，
∵MA∥BN，
∴MA∥CD∥BN，
∴∠APG=∠MAF=22°，∠GPE=∠PEB，
∴∠APE=∠APG+∠GPE=22°+∠PEB，
当点F在点P的左侧时，如图，
则∠PEB=∠FEB+∠FEP=46°+15°=61°，
∴∠APE=22°+∠PEB=22°+61°=83°，
∴∠BPE=∠APB−∠APE=135°−83°=52°，
当点F在点P的右侧时，如图，
则∠PEB=∠FEB−∠BEP=46°−15°=31°，
41
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学科网（北京）股份有限公司∴∠APE=22°+∠PEB=22°+31°=53°，
∴∠BPE=∠APB−∠APE=135°−53°=82°．
∠BPE的度数为52°或82°．
21．（23-24七年级·江苏南通·期中）当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相
等．例如：在图①、图②中，都有∠1=∠2，∠3=∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC=α．
(1)如图①，若α=90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，若90°<α<180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH=β．探索α与β的数量关系，
并说明理由；
(3)如图③，若α=110°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD=γ(90°<γ<180°)，入射光线EF与镜面AB的
夹角∠1=m(0°<m<90°)，已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n(n为正整数，且n≤3)次反射，
当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示）
【答案】(1)EF∥GH，理由见详解
(2)β=2α−180°，理由见详解
(3)90°+m或160°
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，外角定理，解决本题的关键是掌握平行线的性质，
注意分类讨论思想的利用．
（1）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，α=90°，可得∠2+∠3=90°，根据入射光线、反射光线与镜
面所夹的角对应相等可得，∠FEG+∠EGH=180°，进而可得EF∥GH；
（2）在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，可得∠2+∠3=180°−α，根据入射光线、反射光线与镜面所
夹的角对应相等可得，∠MEG=2∠2，∠MGE=2∠3，在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，
可得α与β的数量关系；
（3）分两种情况画图讨论：①当n=3时，根据入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等，及△GCH
42
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学科网（北京）股份有限公司内角和，可得γ=90°+m．②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α=90°，与题意不符；则只能
在CD边反射后与EF平行，根据三角形外角定义，可得∠G=γ−70°，由EF∥HK，且由（1）的结论可
得，γ=160°．
【详解】（1）证明：EF∥GH，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，α=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∵∠1+∠2+∠FEG=180°，
∠3+∠4+∠EGH=180°，
∴∠FEG+∠EGH=180°，
∴EF∥GH；
（2）解：β=2α−180°，理由如下：
在△BEG中，∠2+∠3+α=180°，
∴∠2+∠3=180°−α，
∵∠1=∠2，∠1=∠MEB，
∴∠2=∠MEB，
∴∠MEG=2∠2，
同理可得，∠MGE=2∠3，
在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β=180°，
∴β=180°−(∠MEG+∠MGE)
=180°−(2∠2+2∠3)
=180°−2(∠2+∠3)
=180°−2(180°−α)
=2α−180°；
（3）解：90°+m或160°．
理由如下：①当n=3时，如图所示：过点G作GN∥EF，
43
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学科网（北京）股份有限公司∵∠BEG=∠1=m
，
∴∠BGE=∠CGH=180°−110°−m=70°−m，
∴∠FEG=180°−2∠1=180°−2m，
∠EGH=180°−2∠BGE=180°−2×(70°−m)，
∵EF∥HK，GN∥EF，
∴GN∥HK，
∴∠NGH+∠GHK=180°，∠FEG+∠EGN=180°，
∴∠FEG+∠EGH+∠GHK=360°，
则∠GHK=140°，
则∠GHC=20°，
由△GCH内角和，得γ=90°+m．
②当n=2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α=90°，
与题意不符；
则只能在CD边反射后与EF平行，
如图所示：
根据三角形外角定义，得
∠G=γ−(180°−110°)=γ−70°，
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学科网（北京）股份有限公司由EF∥HK，且由（1）的结论可得，
∠G=γ−70°=90°，
则γ=160°．
综上所述：γ的度数为90°+m或160°．
22．（23-24七年级·山西吕梁·期中）综合与探究
如图1，已知∠AOB=2∠α，P是其内部一点，过点P作PC∥OB，PD∥OA，分别交OA，OB于点C，
D，CM平分∠ACP，DN平分∠PDB．
图1 图2
(1)①写出所有等于∠α的角：______．
②试猜想CM与DN的位置关系，并说明理由．
(2)如图2，点E在射线CA上，连接PO，PE，且∠POE=∠OPE，PF平分∠CPE，交OA于点F，延长
FP交DN于点G，若∠OPF=50°，求∠AFP+∠NGP的度数．
【答案】(1)①∠ACM、∠PCM、∠PDN、∠BDN；②CM∥DN，理由见解析
(2)∠AFP+∠NGP=230°
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）①由平行线的性质得到∠ACP=∠BDP=∠AOB=2∠α，再由角平分线的定义得到
∠ACM=∠PCM=∠PDN=∠BDN=α，据此可得答案；②延长MC，BO交于H，由平行线的性质
可得∠BHM=∠BDN=α，则CM∥DN；
（2）设FG，CM交于K，由角平分线的定义得到∠EPF=∠CPF，设∠EPF=∠CPF=x，则
∠POE=OPE=x+50°，∠CPO=50°−x，由平行线的性质得到∠BOP=∠COP=50°−x，则
∠AOB=100°=2α，进而得到∠PCM=α=50°，可得∠CKP=130°−x，再求出∠AFP=100°+x，
得到∠AFP+∠CKP=230°，由平行线的性质得到∠PGN=∠CKP，则∠AFP+∠NGP=230°．
【详解】（1）解：①∵PC∥OB，PD∥OA，
∴∠ACP=∠BDP=∠AOB=2∠α，
∵CM平分∠ACP，DN平分∠PDB，
∴∠ACM=∠PCM=∠PDN=∠BDN=α，
45
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：∠ACM、∠PCM、∠PDN、∠BDN；
②CM∥DN，理由如下：
如图所示，延长MC，BO交于H，
∵OB∥CP，
∴∠PCM=∠BHM=α，
∴∠BHM=∠BDN=α，
∴CM∥DN；
（2）解：如图所示，设FG，CM交于K，
∵PF平分∠CPE，
∴∠EPF=∠CPF，
设∠EPF=∠CPF=x，则∠POE=OPE=x+50°，∠CPO=50°−x，
∵OB∥CP，
∴∠BOP=∠CPO=50°−x，
∴∠AOB=x+50°+50°−x=100°=2α，
∴∠PCM=α=50°，
∴∠CKP=180°−50°−x=130°−x，
∵∠AFP=180°−∠PEO−∠EPF=180°−(180°−50°−x−50°−x)−x=100°+x，
∴∠AFP+∠CKP=230°，
∵CM∥DN，
∴∠PGN=∠CKP，
∴∠AFP+∠NGP=230°．
23．（23-24七年级·辽宁大连·阶段练习）已知：如图，AB∥CD．
46
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学科网（北京）股份有限公司(1)如图1所示：点E为BC上一点，∠A=∠D，直接写出∠ACB与∠BED的数量关系；
(2)如图2，BG平分∠ABE，BG的反向延长线与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠GHD大60°，
求∠DEB的度数；
(3)保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，
求∠PBM的度数．
【答案】(1)∠ACB+∠BED=180°
(2)∠DEB=100°
(3)∠PBM=40°
【分析】本题考查了平行线的性质，求角的度数，正确作出相关的辅助线，根据条件逐步求出角度的度数
是解题的关键．
（1）延长DE交AB于点F，根据平行线的性质推出∠ACB+∠BED=180°；
（2）过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB，根据AB∥CD，AB∥ES推出∠BED=∠ABE+∠CDE，
再根据AB∥TH，AB∥CD推出∠GHD=∠THD−∠THB，最后根据∠BED比∠BHD大60°得出
∠BED的度数；
（3）过点E作EQ∥DN，则EQ∥DN∥BP，利用前面的结论和方法，进行等量代换并推理计算即可．
【详解】（1）解：延长DE交AB于点F．
∵AB∥CD，
∴∠D=∠EFB，
又∵∠A=∠D，
∴∠A=∠EFB，
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠CED，
∵∠CED+∠BED=180°，
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学科网（北京）股份有限公司∴∠ACB+∠BED=180°．
（2）解：过点E作ES∥AB，过点H作HT∥AB，如图所示：
设∠ABG=∠EBG=α，∠FDH=∠EDH=β，
∵AB∥CD，AB∥ES，
∴AB∥CD∥ES，
∴∠ABE=∠BES，∠SED=∠CDE，
∴∠BED=∠BES+∠SED=∠ABE+∠CDE=2α+180°−2β，
∵AB∥TH，AB∥CD，
∴AB∥TH∥CD，
∴∠ABG=∠THB，∠FDH=∠DHT，
∴∠GHD=∠THD−∠THB=β−α，
∵∠BED比∠BHD大60°，
∴2α+180°−2β−(β−α)=60°，
∴β−α=40°，
∴∠BHD=40°，
∴∠BED=60°+40°=100°．
（3）解：过点E作EQ∥DN，
根据（2）得，∠DEB=∠CDE+∠ABE，
∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，
∴∠CDE=2∠NDE，∠EBK=2∠EBM，
∴∠DEB=2∠NDE+180°−2∠EBM，
∵∠DEB=100°，
∴∠EBM−∠NDE=40°，
∵EQ∥DN，
48
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学科网（北京）股份有限公司∴∠DEQ=∠NDE，
∴∠EBM=40°+∠DEQ，
∵EQ∥DN，DN∥BP，
∴EQ∥BP，
∴∠EBM+∠PBM+∠BEQ=180°，
∴40°+∠DEQ+∠PBM+∠BEQ=180°，
∴40°+∠DEB+∠PBM=180°，
∴∠PBM=180°−100°−40°=40°．
24．（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知直线AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，点M、N分别
在直线AB、CD上．
(1)如图1，直线GH过点E，分别与直线AB、CD交于点G、H，∠AME=∠GND，求证：
∠NGH+∠MEH=180°；
(2)如图2，点F在直线CD上，ME、NE分别平分∠AMF、∠MNF，若∠FMN=2∠MEN，求
∠MEN的度数；
(3)如图3，MQ平分∠AME，MH平分∠BME，GN平分∠ENC．直线GN与MH交于点H，NK平分
∠END，NF∥MQ．求证：∠MHG=∠KNF．
【答案】(1)见解析
(2)45°
(3)见解析
【分析】（1）先证明GN∥MQ，再利用平行线的性质、邻补角的定义即可证明结论；
（2）设∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF= y°，推出∠MEN=(x+ y)°，由已知得到
∠FMN=(2x+2y)°，利用平角的定义得到2x+2(x+ y)+2y=180，据此求解即可；
（3）设∠AMQ=x°，∠GNC= y°，推出∠MEN=(2x+2y)°，由平行线的性质推出
∠MHS=∠BMH=90°−x°，∠ENF=∠FNH=90°−y°，在△NLP中，得到
∠LNP=180°−∠NLP−∠LPN=x°，据此通过计算即可证明∠MHG=∠KNF．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）证明：延长ME交CD于点Q，如图，
∵AB∥CD，
∴∠AME=∠MQD，
∵∠AME=∠GND，
∴∠MQD=∠GND，
∴GN∥MQ，
∴∠NGH=∠GEM，
∵∠GEM+∠MEH=180°，
∴∠NGH+∠MEH=180°；
（2）解：过E作EQ∥AB，如图．
∵ME平分∠AMF，EN平分∠MNF，
∴设∠AME=∠FME=x°，∠MNE=∠ENF= y°．
∵EQ∥AB，AB∥CD．
∴EQ∥CD，
∵EQ∥AB．
∴∠MEQ=∠AME=x°．
∵EQ∥CD．
∴∠≠=∠ENF= y°．
∴∠MEN=∠MEQ+∠≠=(x+ y)°．
∵∠FMN=2∠MEN，
∴∠FMN=(2x+2y)°，
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学科网（北京）股份有限公司∵AB∥CD，
∴∠BMN=∠MNF=2y°．
∵∠AMF+∠FMN+∠BMN=180°，
∴2x+2(x+ y)+2y=180，
∴x+ y=45，
∴∠MEN=45°；
（3）证明：过E作EO∥AB，EJ∥QM，过H作HS∥CD，如图．
∵MQ平分∠AME，GN平分∠ENC，
设∠AMQ=x°，∠GNC= y°，
由（2）方法可得∠MEN=(2x+2y)°，
∵HS∥CD，
∴HS∥AB∥CD，
1
∴∠GHS=∠GNC= y°，∠MHS=∠BMH= (180°−2x°)=90°−x°，
2
∴∠MHG=∠MHS−∠GHS=90°−x°−y°，
∵NF平分∠END，
1
∴∠ENF=∠FNH= ∠END=90°−y°，
2
∵AB∥CD，
∴∠LPN=∠BMH=90°−x°，
∵QM∥NF，
∴∠MLH=∠QMH=∠QME+∠EMH=x°+90°−x°=90°，
在△NLP中，∠LNP=180°−∠NLP−∠LPN=180°−90°−（90°−x°）=x°，
∴∠KNF=∠KNP−∠FNP=90°−y°−x°，
∴∠MHG=∠KNF．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，角平分线的定义，正确的识别图形，找到角与
角之间的关系是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司25．（23-24七年级·江苏无锡·阶段练习）如图1，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中
∠ONM=30°，∠OCD=45°．
(1)将图1中的三角尺OCD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点O与点N重合，CD与MN相交于点
E，求∠CEN的度数；
(2)将图1中的三角尺OCD绕点O按顺时针方向旋转，使一边OD在∠MON的内部，如图3，且OD恰好
平分∠MON，CD与MN相交于点E，求∠CEN的度数；
(3)将图1中的三角尺OCD绕点O按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第______
秒时，边CD恰好与边MN平行；在第______秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．（直接写出结果）
【答案】(1)105°
(2)150°
(3)5或17；11或23
【分析】（1）根据三角形的内角和定理可得∠CEN=180°−∠DCN−∠MNO，代入数据计算即可得
解；
（2）根据角平分线的定义求出∠DON=45°，利用内错角相等两直线平行求出CD∥AB，再根据两直线
平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分CD在AB上方时，CD∥MN，设OM与CD相交于F，根据两直线平行，同位角相等可得
∠OFD=∠M=60°，然后根据三角形的内角和定理列式求出∠MOD，即可得解；CD在AB的下方时，
CD∥MN，设直线OM与CD相交于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠DFO=∠M=60°，然后利
用三角形的内角和定理求出∠DOF，再求出旋转角即可；②分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于
G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求
出∠CONπ，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互
余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋
转角，计算即可得解．
【详解】（1）解：在△CEN中，∠DCN=45°，∠MNO=30°，
∴∠CEN=180°−∠DCN−∠MNO
=180°−45°−30°
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学科网（北京）股份有限公司=105°；
（2）解：∵∠OCD=45°，
∴∠D=90°−∠OCD=45°，
∵OD平分∠MON，
1 1
∴∠DON= ∠MON= ×90°=45°，
2 2
∴∠DON=∠D=45°，
∴CD∥AB，
∴∠CEN=180°−∠MNO=180°−30°=150°；
（3）解：如图1，CD在AB上方时，设OM与CD相交于F，
∵CD∥MN
，
∴∠OFD=∠M=60°，
在△ODF中，∠MOD=180°−∠D−∠OFD，
=180°−45°−60°，
=75°，
∴旋转角为75°，
t=75°÷15°=5秒；
CD在AB的下方时，设直线OM与CD相交于F，
∵CD∥MN，
∴∠DFO=∠M=60°，
在△DOF中，∠DOF=180°−∠D−∠DFO=180°−45°−60°=75°，
∴旋转角为75°+180°=255°，
t=255°÷15°=17秒；
综上所述，第5或17秒时，边CD恰好与边MN平行；
如图2，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
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学科网（北京）股份有限公司∵CD⊥MN
，
∴∠NGC=90°−∠MNO=90°−30°=60°，
∴∠CON=∠NGC−∠OCD=60°−45°=15°，
∴旋转角为180°−∠CON=180°−15°=165°，
t=165°÷15°=11秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°−∠MNO=90°−30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD−∠C=60°−45°=15°，
∴旋转角为360°−∠AOC=360°−15°=345°，
t=345°÷15°=23秒，
综上所述，第11或23秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5或17；11或23．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的
和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
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