文档内容
专题 8.3 实数及其简单运算【十大题型】
【人教版2024】
【题型1 实数的概念理解】......................................................................................................................................2
【题型2 实数的运算】..............................................................................................................................................4
【题型3 估算无理数的大小】..................................................................................................................................6
【题型4 估算无理数的整数部分或小数部分】.....................................................................................................9
【题型5 实数与数轴】............................................................................................................................................11
【题型6 实数的大小比较】....................................................................................................................................14
【题型7 程序设计中的实数运算】........................................................................................................................16
【题型8 新定义中的实数运算】............................................................................................................................19
【题型9 实数运算的实际应用】............................................................................................................................21
【题型10 实数运算中的规律探究】........................................................................................................................24
知识点1：实数
无限不循环小数叫做无理数.
常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
②含有π的绝大部分数，如2π．
【题型1 实数的概念理解】
【例1】（23-24七年级·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（ ）
π
A．0.101001 B．−2 C． D．❑√9
2
【答案】C
【分析】根据无理数的定义判断即可．
1
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：A、0.101001是有限小数，属于有理数；
B、−2是整数，属于有理数；
π
C、 是无限不循环小数，属于无理数；
2
D、❑√9=3，属于有理数；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；
以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
11
【变式1-1】（23-24七年级·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①− ，②√32，
12
π
③1−❑√4，④0，⑤−❑√0.4，⑥√3−125，⑦− ，⑧0.13030030003…（相邻的两个3之间依次多1个
4
0），⑨0.23，⑩3.14
(1)整数集合：（ ）
(2)分数集合：（ ）
(3)无理数集合：（ ）
【答案】(1)③④⑥
(2)①⑨⑩
(3)②⑤⑦⑧
【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关
键．
（1）根据整数的定义作答即可；
（2）根据分数的定义作答即可；
（3）根据无理数的定义作答即可．
【详解】（1）解： ③1−❑√4=1−2=−1是整数，④0是整数，⑥√3−125=−5是整数，
整数集合： ③④⑥
故答案为： ③④⑥
11
（2）①− 是分数，⑨0.23是分数，⑩3.14是分数．
12
分数集合： ①⑨⑩
2
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ①⑨⑩
π
（3）②√32是无理数，⑤−❑√0.4是无理数，⑦− 是无理数，⑧0.13030030003… (相邻的两个3之间依
4
次多1个0)是无理数，无理数集合
故答案为： ②⑤⑦⑧
【变式1-2】（23-24七年级·湖南衡阳·期中）−❑√13的绝对值是 ，5−❑√26的相反数是 ．
【答案】 ❑√13 −5+❑√26
【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反
数知识求解即可．
【详解】解：−❑√13绝对值是❑√13，
5−❑√26的相反数是：−(5−❑√26)=−5+❑√26．
故答案为：❑√13；−5+❑√26
【变式1-3】（23-24七年级·山东日照·期中）已知a，b都是有理数，且(❑√3−1)a+2b=❑√3+3，求a+b
的值（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键．由a，b
都是有理数，且(❑√3−1)a+2b=❑√3+3，再建立方程组解题即可．
【详解】解：∵(❑√3−1)a+2b=❑√3+3，
∴❑√3a+(−a+2b)=❑√3+3，
∵a，b都是有理数，
{ a=1 )
∴ ，
−a+2b=3
{a=1)
解得 ，
b=2
则a+b=1+2=3．
故选：C．
3
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学科网（北京）股份有限公司【题型2 实数的运算】
1 1
【例2】（23-24七年级·四川泸州·期中）计算：−12−(−2) 3× −√327×|− |+2÷❑√4．
8 3
【答案】0
【分析】此题考查了实数的运算，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及乘法法则计
算，第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形计算即可得到结果，熟
练掌握运算法则是解本题的关键．
1 1
【详解】−12−(−2) 3× −√327×|− |+2÷❑√4
8 3
1 1
=−1−(−8)× −3× +2÷2
8 3
=−1+1−1+1
=0．
【变式2-1】（23-24七年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
(1)❑√9+(−1) 2−√327+❑√36；
(2)|1−❑√2)−❑√2．
【答案】(1)7
(2)−1
【分析】本题考查了实数的运算，主要涉及算术平方根、立方根、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是关
键；
（1）分别计算算术平方根、立方根及乘方，再相加减即可；
（2）计算绝对值后，再化简即可．
【详解】（1）解：❑√9+(−1) 2−√327+❑√36
=3+1−3+6
=7；
（2）解：|1−❑√2)−❑√2
=❑√2−1−❑√2
=−1．
4
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学科网（北京）股份有限公司【变式2-2】（23-24七年级·云南昭通·期中）计算：−12024+√3125−4×❑
√1
+|1−❑√3)−(❑√2) 2 ．
4
【答案】❑√3−1
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用实数的运算法则计算即
可．
【详解】解：−12024+√3125−4×❑
√1
+|1−❑√3)−(❑√2) 2
4
1
=−1+5−4× −(1−❑√3)−2
2
=−1+5−2−1+❑√3−2
=❑√3−1．
【变式2-3】（23-24七年级·甘肃平凉·期中）计算：
(1)√364−❑√36+❑√(−2) 2；
√ 1 √25
(2)3− −(−1) 2023−❑ +√38．
27 9
【答案】(1)0
(2)1
【分析】本题考查了实数的混合运算，结合算术平方根、立方根、乘方的知识，熟练掌握知识、正确计算
是解题的关键．
（1）先计算算术平方根，立方根，再加减计算即可；
（2）先计算算术平方根，立方根，乘方，再加减计算即可．
【详解】（1）解：原式=4−6+2
=0；
1 5
（2）解：原式=− −(−1)− +2
3 3
1 5
=− − +1+2
3 3
=1．
知识点2：估算法
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
5
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学科网（北京）股份有限公司根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算 和 的大
小．例如： ，则 ； ，则 ．
常见实数的估算值： ， ， ．
【题型3 估算无理数的大小】
【例3】（23-24七年级·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形
的边长最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先
利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．
【详解】解：大正方形的边长为❑√2×4×4=❑√32，
∵25<32<36，
∴❑√25<❑√32<❑√36，即5<❑√32<6，
又∵6−❑√32−(❑√32−5)=6−❑√32−❑√32+5，
=11−2❑√32，
=2×(5.5−❑√32)，
=2×(❑√30.25−❑√32)<0，
∴6−❑√32<❑√32−5，
∴与❑√32最接近的整数是6，
即大正方形的边长最接近的整数是6，
故选：D．
【变式3-1】（23-24七年级·四川成都·期中）估算❑√9+❑√11的运算结果应在哪两个整数之间( )
A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7
【答案】D
【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小先利用夹逼法求得❑√11的范围，然后可求得❑√9+❑√11的大致
范围．
6
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：∵9<11<16，
∴3< ❑√11 <4，
∵❑√9=3，
∴6< ❑√9+❑√11 <7，
故选：D．
【变式3-2】（23-24七年级·四川成都·期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游
戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡上写的是❑√6−1，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是
．
【答案】小颖
【分析】估算出❑√6的大小，继而比较即可求解．
【详解】解：∵ 4<6<9，
∴❑√4<❑√6<❑√9，
∴2<❑√6<3，
∴1<❑√6−1<2，
∴赢家是小颖，
故答案为：小颖．
【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，估算出❑√6的大小是解题的关键．
【变式3-3】（23-24七年级·江苏盐城·期中）下面是小明探索❑√2的近似值的过程：
我们知道面积是2的正方形的边长是❑√2，易知❑√2>1．因此可设❑√2=1+x，画出如下示意图．
由图中面积计算，S =x2+2×1⋅x+1
正方形
另一方面由题意知S =2
正方形
所以x2+2×1⋅x+1=2
略去x2，得方程2x+1=2．
解得x=0.5．即❑√2≈1.5．
(1)仿照上述方法，探究❑√5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
7
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学科网（北京）股份有限公司(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a<❑√m表示实数x的小数部分，如
【❑√1】=1，【❑√2】=1，<❑√2>=❑√2−1，则<3−❑√3>+【❑√7】的值是（ ）
A．4−❑√3 B．1−❑√13 C．6−❑√3 D．❑√13−1
【答案】A
【分析】
9
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学科网（北京）股份有限公司估算出3−❑√3的小数部分和❑√7的整数部分，即可求解．
【详解】
解：∵1<❑√3<2，
∴−2<−❑√3<−1，
∴3−2<3−❑√3<3−1，即1<3−❑√3<2，
∴<3−❑√3>=3−❑√3−1=2−❑√3，
∵4<7<9，
∴2<❑√7<3，
∴【❑√7】=2，
∴<3−❑√3>+【❑√7】=2−❑√3+2=4−❑√3．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【变式4-3】（23-24七年级·河南新乡·期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．
无理数的估算
大家知道❑√3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此❑√3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我
用❑√3−1来表示❑√3的小数部分，你同意我的表示方法吗？
事实上，我的表示方法是有道理的，因为❑√3的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数
部分．
例如：
∵❑√4<❑√7<❑√9，即2<❑√7<3，
∴❑√7的整数部分为2，小数部分为❑√7−2．
根据以上笔记内容，请完成如下任务．
(1)任务一：❑√19的小数部分为______．
(2)任务二：a为❑√5的小数部分，b为❑√15的整数部分，请计算a+b−❑√5的值．
(3)任务三：x+ y=10+❑√3，其中x是整数，且00，
又∵a+b<0，
12
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学科网（北京）股份有限公司∴负数的绝对值大于正数的绝对值，
∴C点由可能是原点．
故选：C．
【变式5-2】（23-24七年级·辽宁大连·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为−1和❑√3，AB=AC
，则点C所表示的数为（ ）
A．−2−❑√3 B．−1−❑√3 C．−2+❑√3 D．1+❑√3
【答案】A
【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离．由于A，B两点表示的数分别为−1和❑√3，先根据对
称点可以求出OC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标．
【详解】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，
∴CA=AB，|−1)+|❑√3)=1+❑√3，
∴OC=2+❑√3，而C点在原点左侧，
∴C表示的数为：−2−❑√3．
故选：A．
【变式5-3】（23-24七年级·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：
(1)化简：a+b−❑√b2+2√3 a3；
(2)若1+2|a)的平方根是±❑√7，2a+b−4的立方根是−2，求a+2b的算术平方根．
【答案】(1)3a
(2)a+2b算术平方根为1
【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握平方根，
立方根，算术平方根的定义是解题关键．
（1）根据数轴判断出a<0 > ，进而得到−❑√3<− <− ．
2 3 2 3
【详解】解：∵π≈3.14，
π
∴ ≈1.05，
3
∵❑√3≈1.732，
3 π
∴❑√3> > ，
2 3
3 π
∴−❑√3<− <− ．
2 3
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学科网（北京）股份有限公司故选：C
【变式6-1】（23-24七年级·安徽·专题练习）1，−2，0，❑√5这四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A．1 B．−2 C．0 D．❑√5
【答案】D
【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答．
【详解】解：|1|=1，|−2|=2，|0|=0，|❑√5|=❑√5≈2.236，
∵2.236>2>1>0，
∴1，−2，0，❑√5这四个数中，绝对值最大的数是❑√5，
故选：D．
【变式6-2】（23-24七年级·河南平顶山·期中）通过估算3，❑√11，√326，的大小为： （用“＜“连
接）．
【答案】√326＜3＜❑√11．
【分析】先估算出❑√11和√326的取值范围，再进行比较大小，即可得出答案．
【详解】∵32<11<42,23<26<33
∴3＜❑√11 ＜4，2＜√326＜3，
∴√326＜3＜❑√11；
故答案为：√326＜3＜❑√11．
【点睛】本题主要考查实数的大小比较，估算一个数的算术平方根和立方根，是解题的关键.
【变式6-3】（23-24七年级·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师
❑√21−3 3
无法解决，你能帮老师解决这个问题 与 的大小．
4 4
❑√21−3 3
小明的方法：因为❑√21>4，所以❑√21−3 3，所以 （填“>”或“<”）
4 4
❑√21−3 3 ❑√21−6 ❑√21−3 3
小英的方法： − = ，因为21<62=36，所以❑√21−6 0，所以 （填“>”或
4 4 4 4 4
“<”）
(1)将上述材料补充完成；
❑√17−1 1
(2)请从小明和小英的方法中选择一种比较 与 的大小．
2 2
【答案】(1)<,<,<,<
(2)见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数
再比大小，即可得到答案．
【详解】（1）解：小明的方法： ❑√21>4，
❑√21−3<3， ∵
∴❑√21−3 3
< ，
2 4
∴
❑√21−3 3 ❑√21−6
小英的方法： − = ，
4 4 4
21<62=36，
∵❑√21−6<0，
∴❑√21−3 3
< ，
4 4
∴
故答案为：<,<,<,<．
（2）解：选小明的方法：
❑√17>4，
∵❑√17−1>1，
∴❑√17−1 1
> ，
2 2
∴
选小英的方法：
❑√17−1 1 ❑√17−1−1 ❑√17−2
− = = ，
2 2 2 2
17>4，
∵❑√17>2，
∴❑√17−2>0，
∴❑√17−2
>0，
2
∴
❑√17−1 1
> ．
2 2
∴
【题型7 程序设计中的实数运算】
【例7】（23-24七年级·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，
求y的值，并写出详细过程．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】y=❑√11，见详解
【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以
及读懂流程图是解答本题的关键．
【详解】解：把x=12代入数值转换器，第一次计算可得❑√12×2+1=❑√25=5，为有理数，进行第二次计
算，
把x=5代入数值转换器，第二次计算可得❑√5×2+1=❑√11，为无理数，
则输出y=❑√11．
【变式7-1】（23-24七年级·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为−❑√2，
则输出y的值为（ ）
A．−❑√2−5 B．1 C．−1 D．3
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出−❑√2<−1，再根据流程图代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵1<2<4，
∴1<❑√2，
∴−❑√2<−1，
∴y=(−❑√2) 2+1=❑√2+1=3，
故选：D．
【变式7-2】（23-24七年级·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入x为36时，输出的值是
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【答案】√36
【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以
及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的x为36时，输出的值是多少即可．
【详解】解：当输入x为36时，y=−❑√36=−6，
−6是有理数，y=−√3−6=√36， 是无理数，
∴当输入的x为36时，输出的值是√36．
故答案为：√36．
【变式7-3】（23-24七年级·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器(|x)<10)，其工作原理如图所示．
(1)当输入的x值为−2时，求输出的y值；
(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；
(3)若输出的y值是❑√3，直接写出x的负整数值．
【答案】(1)❑√2
(2)1或2或3，理由见解析
(3)x=−1
【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；
（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．
【详解】（1）解：当x=−2时，|−2−2)=4，
4的算术平方根为❑√4=2，
而2是有理数，2的算术平方根为❑√2，
故答案为：❑√2；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解：1或2或3，理由如下：
∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，
∴当|x−2)=1或0时，
解得x=1或2或3，
∴当x=1或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；
（3）解：若1次运算就是❑√3，
∴❑√|x−2)=❑√3
∴|x−2)=3
∴解得x=5或−1，
∴x为负整数，
则输入的数为−1；
若2次运算输出的数是❑√3，
∴❑√|x−2)=5
∴|x−2)=25
∴解得x=27或−23
∵|x)<10
∴不符合题意，
综上所述，x=−1．
【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．
【题型8 新定义中的实数运算】
【例8】（23-24七年级·山东济宁·期中）任何实数a，可用[a)表示不超过a的最大整数，如[4)=4，
[❑√3)=1，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所
有正整数中，最大的是 ．
【答案】255
【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到[❑√255)=15，[❑√256)=16，
进而得到对255只需进行3次操作后变成1，对256只需进行4次操作后变成1，据此可得答案．
【详解】解：∵22=4，42=16，162=256，
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学科网（北京）股份有限公司∴[❑√256)=16，[❑√16)=4，[❑√4)=2，[❑√2)=1，
∵[❑√255)=15，[❑√15)=3， [❑√3)=1，
∴对255只需进行3次操作后变成1．
∵[❑√256)=16，[❑√16)=4，[❑√4)=2，[❑√2)=1，
∴对256只需进行4次操作后变成1．
∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是255．
故答案为：255．
【变式8-1】（23-24七年级·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有
a@b=❑√b+1，如8@9=❑√9+1，则m@(m@9)的结果是 ．
【答案】3
【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
【详解】解：根据题中的新定义得：
m@(m@9)=m@(❑√9+1)=m@4=❑√4+1=3．
故答案为：3．
【变式8-2】（23-24七年级·福建福州·期中）若实数a，b满足a+b=6，我们就说a与b是关于6的“如意
数”，则与3−❑√2是关于6的“如意数”是（ ）
A．3+❑√2 B．3−❑√2 C．9−❑√2 D．9+❑√2
【答案】A
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进
行求解即可．
【详解】∵3−❑√2+(3+❑√2)=6
∴3−❑√2与3+❑√2是关于6的“如意数”．
故选：A．
【变式8-3】（23-24七年级·山西吕梁·期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数a•b =❑√a2+b，例
如10•21=❑√102+21=11，那么❑√13•（❑√7•2）的运算结果为（ ）
A．13 B．7 C．4 D．5
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】根据新运算的定义计算即可．
【详解】解：∵a•b =❑√a2+b，
∴❑√13•（❑√7•2）
=❑√13• [❑√(❑√7) 2+2)
=❑√13•❑√9
=❑√13•3
=❑√(❑√13) 2+3
=❑√16
=4，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键．
【题型9 实数运算的实际应用】
【例9】（23-24七年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：
一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差
小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？
【答案】圆形广场围墙224.2米，正方形广场围墙253.0米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解
【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答．
【详解】当为圆形时，设圆的半径为r，则有：πr2=4000，
√4000
即：r=❑ （负值舍去），
π
√4000
则此时花园的围墙为：2πr=2π×❑ =40❑√10π≈224.2（米）；
π
当广场为正方形时，设正方形边长为a，则有：a2=4000，
即：a=❑√4000（负值舍去），
则此时花园的围墙为：4a=4×❑√4000=80❑√10≈253.0（米）；
∵253.0＞224.2，
∴建造成圆形时，广场的围墙会更短，
则建造成本更低，
∴作为投资商，会选择建圆形花园．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实
际，不能死学．
【变式9-1】（23-24七年级·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发
生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16
❑√df，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在
一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．
【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16❑√df，求出当时汽车的速度再和100千米/时比较即可解答．
【详解】解：把d=32，f=2代入v=16❑√df，
v=16❑√32×2=128（km/h），
∵128＞100，
∴肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．
【点睛】本题考查了实数运算的应用，读懂题意是解题的关键，另外要熟悉实数的相关运算．
【变式9-2】（23-24·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和
小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订
单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包
对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的
优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以
给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老
师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费
用（包含配送费）最低可为 元．
【答案】25.2
【分析】分别计算两种下单的方式，比较哪一种总费用更低即可．
【详解】第一种下单方式为直接购买两杯奶茶
合计费用为：16+16+1.6−7=26.6元
第二种下单方式为下两个订单，每个订单买一杯奶茶
合计费用为：(16+1.6−5)×2=25.2元
故选择第二种更划算，最低费用为25.2元
故答案为：25.2．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，分类讨论是解题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司【变式9-3】（23-24七年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1cm．
（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼
的正方形；（标出关键点和数据）
（2）求所拼正方形的边长．
【答案】（1）分割方法不唯一，如图，见解析；（2）拼成的正方形边长为❑√2cm.
【分析】（1）根据AB=2AD，可找到CD的中点，即可分成两个正方形，再沿对角线分割一次，即可补全
成一个新的正方形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据面积相等得到方程，即可求解．
【详解】（1）如图，
∵AB=2AD，找到CD,AB的中点，如图所示，可把矩形分割成4个等腰直角三角形，再拼成一个新的正方
形；
（2）设拼成的正方形边长为xcm，根据题意得x2=1×2=2，
∴x=❑√2（负值舍去）
答：拼成的正方形边长为❑√2cm．
【点睛】此题主要考查实数性质的应用，解题的关键是根据图形的特点进行分割．
【题型10 实数运算中的规律探究】
【例10】（23-24·湖北黄冈·模拟预测）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)=3a+1：若a为偶
a 10
数，则f(a)= ，例如f(15)=3×15+1=46，f(10)= =5，若a =8，a =f(a )，a =f(a )，
2 2 1 2 1 3 2
a =f(a )，…，依此规律进行下去，得到一列数a ，a ，a ，a ，…，a ，…，(n为正整数），
4 3 1 2 3 4 n
a +a +a +…+a = ．
1 2 3 2022
【答案】4725
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学科网（北京）股份有限公司a
【分析】按照规定：若a为奇数，则f(a)=3a+1；若a为偶数，则f(a)= ，直接运算得出a 、a 、a 、
2 2 3 4
a 、a …，进一步找出规律解决问题．
5 6
8 4 2 4
【详解】解：a =8，a = =4，a = =2，a = =1，a =1×3+1=4，a = =2，…，
1 2 2 3 2 4 2 5 6 2
这一列数按照除a 外，按照4、2、1三个数一循环，
1
∵(2022−1)÷3=673……2，
∴a +a +a +…+a =8+(4+2+1)×673+4+2=8+4711+4+2=4725．
1 2 3 2022
故答案为：4725．
【点睛】此题考查实数运算的规律，解题的关键是通过运算得出规律：这一列数按照除a 外，按照4、2、
1
1三个数一循环．
❑√7 ❑√11 ❑√15
【变式10-1】（23-24七年级·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数❑√3， ， ， ，其第8
2 3 4
个数为（ ）
3❑√3 ❑√29 ❑√31 ❑√35
A． B． C． D．
8 8 8 8
【答案】C
❑√3+4(n−1)
【分析】本题考查数字类规律探究，根据已有数据，得到第n个数为 ，进而求出第8个数即
n
可．
❑√3 ❑√7 ❑√3+4×1 ❑√11 ❑√3+4×2 ❑√15 ❑√3+4×3
【详解】解：❑√3= ， = ， = ， = ⋯，
1 2 2 3 3 4 4
❑√3+4(n−1)
∴第n个数为 ，
n
❑√31
∴第8个数为 ；
8
故选C．
【变式10-2】（23-24七年级·福建龙岩·期末）已知整数a ，a ，a ，a ，……满足下列条件：a =0，
1 2 3 4 1
a =−|a +1)，a =−|a +2)，a =−|a +3)，……依此类推，则a 的值为（ ）
2 1 3 2 4 3 2024
A．−1013 B．−2023 C．−2024 D．−1012
【答案】D
【分析】本题考查了绝对值以及实数计算中的规律问题，用所给的计算方式，依次计算出a ,a ,a 等，观
1 2 3
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学科网（北京）股份有限公司察规律即可解决问题．
【详解】∵a =0
1
∴a =−|a +1)=−1
2 1
∴a =−|a +2)=−1
3 2
∴a =−|a +3)=−2
4 3
∴a =−|a +4)=−2
5 4
∴a =−|a +5)=−3
6 5
∴a =−|a +6)=−3
7 6
i
由此可见，a和a （i为偶数）相等，且都等于−
i i+1 2
2024
所以a =− =−1012．
2024 2
故选：D．
【变式10-3】（23-24七年级·河北承德·开学考试）将1、❑√2、❑√3、❑√6按如图所示方式排列，若规定
(m,n)表示第m排从左往右第n个数．
（1）当m=4，n=3时，(m,n)为 ；
（2）则(7,6)表示的数是 ．
【答案】 1 ❑√3
【分析】本题考查了无理数，数字类规律探索；
（1）根据图可知第4排第3个数为1；
（2）由图得出规律：前七排共有1+2+3+...+7=24个数，且以1，❑√2，❑√3，❑√6为一个循环组，依次循
环，然后计算即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）由图得：当m=4，n=3时，(m,n)为1，
故答案为：1；
（2）由图可得：第1排有1个数，第2排有2个数，第3排有3个数，…第7排有7个数，则前七排共有
1+2+3+...+7=24个数，且以1，❑√2，❑√3，❑√6为一个循环组，依次循环，
∵24÷4=7，
∴(7,7)表示的数是❑√6，
∴(7,6)表示的数是❑√3，
故答案为：❑√3．
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