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第11 章 三角形（单元测试·拔尖卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．小明用螺栓将两端打有孔的5根长度相等的木条，首尾连接制作了一个五角星，他发现五角星的形状不
稳定，稍微一动五角星就变形了。于是他想在木条交叉点处再加上若干个螺栓，使其稳定不再变形，他至
少需要添加的螺栓数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图，在△ABC中，D为AB的中点，且∠B=2∠A，则△BCD是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
3．如图，数轴上 与6表示的点分别为 ，点B为线段 上一点，分别以 为中心旋转
，若旋转后 两点可以重合成一点C（即构成 ），则点B代表的数不可能的是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．3
4．如果一个三角形的一个顶点是它的三条高的交点，那么这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数
为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
6．用边长相等的正三角形地砖和正方形地砖铺地面，围绕在一个顶点处正三角形地砖和正方形地砖的块数是（ ）
A．2块正三角形地砖和2块正方形地砖
B．2块正三角形地砖和3块正方形地砖
C．3块正三角形地砖和2块正方形地砖
D．3块正三角形地砖和3块正方形地砖
7．如图，已知点P是射线 上一动点（不与点O重合）， ，若 为钝角三角形，则 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
8．如图， 和 是 分别沿着 边翻折 形成的，若 ，则
的度数为（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在 中， 平分 ， 于点D， 的角平分线 所在直线与射线 相
交于点G，若 ，且 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，小亮同学用绘画的方法，设计的一个正三角形的平面镶嵌图，其中主要利用的是正三角形和正六边形．如果整个镶嵌图 的面积为75，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．25 B．26 C．30 D．39
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．已知一个三角形的两边长分别为 和 ，且第三边长为整数，那么第三边长的最小值为 ．
12．如图，在 中， 是边 上的中线， ， 与 相交于点F，四边形 的面积
是18，则 的面积为
13．如图所示， 的两条角平分线相交于点 ，过点 作EF BC，交 于点 ，交 于点 ，若
的周长为 ，则 cm．
14．定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足 ，则该三角形为“善美三角形”，度
数为x的角被称为善美角．若 是“善美三角形”，且 ，则 的善美角的度数为
．
15．如图，在 中， 平分 交 于点 ， 于点 ，若 ， ，则
的度数是 ．16．小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边
数为 ．
17．如图，在 中，点D，点E分别是AC和AB上的点，且满足 ， ，过点A的直
线l平行BC，射线BD交CE于点O，交直线l于点 若 的面积为12，则四边形AEOD的面积为
．
18．如图，点 为直线 外一动点， ，连接 、 ，点 、 分别是 、 的中点，连接
、 交于点 ，当四边形 的面积为 时，线段 的长度的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．仔细看图，活学活用．
(1) 画出三角形 的 边上的高 ．
(2) 根据图中提供的信息，不用测量任何数据，画一个与三角形 面积相等的三角形
(3) 应用：在如图所示的梯形中，三角形 与三角形 的面积分别是4平方厘米和9平方厘米．梯形
的面积是（ ）．20．（8分）已知 中， ， ， 为 边延长线上一点， 平分 ， 为
射线 上一点．
(1) 如图 ，连接 ，
① 若 ，求 的度数；
② 若 平分 ，求 的度数．
(2) 若直线 垂直于 的一边，请直接写出 的度数．
21．（10分）综合与实践
【知识生成】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．已知：如图1，在 中，点D是 边上的中点，连接 ．求证：
证明：过点A作 于E
点D是 边上的中点
，
（1）如图2，在 中，点D是 边上的中点，若 ，则 ______；
（2）如图3，在 中，点D是 边上的点且 ， 和 存在怎样的数量关系?请模仿
写出证明过程．
【问题解决】
（3）现在有一块四边形土地 （如图4），熊大和熊二都想问老熊要这块地，老熊让他们平分，可他
们谁都没法平分，请你来帮帮忙．
要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对作法进行描述．可利用带刻度的直尺．22．（10分）已知点 在射线 上， ．
(1) 如图1，若 ，求证： ；
(2) 如图2，若 ，垂足为 ， 交 于点 ，请探究 与 的数量关系，写出你的探究
结论，并说明理由；
(3) 如图3，在（2）的条件下，过点 作 交射线 于点 ，当 ，
时，求 的度数．
23．（10分）（1）如图1，在四边形 中，延长 、 交于点E，延长 、 交于点F．当
时，我们就称四边形 是“完美四边形”．已知在完美四边形 中， ．
①若 ，则 ______°；
②若 ，则 的取值范围是______．
（2）在五边形中，延长任意不相邻的两边（如图2），在相交得到的角中，如果有四个角相等，我们就称
这个五边形是“完美五边形”．
如图3，在五边形 中， ， ，该五边形是否为“完美五边形”？请说明你的理
由．24．（12分）如图，AB CD，垂足为 O，点 P、Q 分别在射线 OC、OA 上运动（点 P、Q 都不与点
O 重合），QE 是∠AQP 的平分线．
(1)如图 1，在点 P、Q 的运动过程中，若直线 QE 交∠DPQ 的平分线于点H．
①当∠PQB＝60°时，∠PHE＝ °；
②随着点 P、Q 分别在 OC、OA 的运动，∠PHE 的大小是否是定值？如果是定值，请求出∠PHE 的度
数；如果不是定值，请说明理由；
(2)如图 2，若 QE 所在直线交∠QPC 的平分线于点 E 时,将△EFG 沿 FG 折叠，使点 E 落在四边形
PFGQ 内点E′ 的位置，猜测∠PFE′与∠QGE′ 之间的数量关系，并说明理由．参考答案
1．A
【分析】用木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释．
【详解】如图：
A点加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原不稳定的五角星中具有了稳定的各边．
故选：A．
【点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、
房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．
2．D
【详解】分AB边上的中线CD= AB与CD≠ AB两种情况，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和，表示出∠BDC，然后对△BCD的三个角的关系进行分析得解．
解：∵D为AB的中点，
∴BD=AD= AB，
①CD= AB时，则BD=CD=AD，
在△ACD中，∠BDC=∠A+∠ACD=2∠A，
在△BCD中，∠BCD=∠B=2∠A，所以，∠B=∠BCD=∠BDC，
所以，△BCD是等边三角形，
②CD≠ AB时，BD=AD≠CD，
在△ACD中，∠BDC=∠A+∠ACD≠2∠A，
在△BCD中，∠BCD≠∠B，
∵∠B=2∠A，
∴∠B、∠BCD、∠BDC三个角没有确定关系，
△BCD的形状无法确定．
综上所述，△BCD是任意三角形．
故选D．
点拨：本题考查了三角形的中线的性质，解题的关键在于要利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个
内角的和的性质，等角对等边的性质进行分析，易错点在于容易把△ABC当成是直角三角形．
3．D
【分析】设点B代表的数为x，则 ， 、 可以用x表示出来，然后根据三角形三边关系求出x
取值范围即可求解．
【详解】解：设点B代表的数为x，则由题意可得：
， ， ，
∴由三角形的三边关系可得：
，解得： ，
故选：D．
【点拨】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等
式组的求法是解题的关键．
4．B
【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误；
B、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，
故正确；
C、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误；D、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故错误．
故选B．
【点拨】主要考查学生对直角三角形的性质的理解及掌握．
5．C
【分析】根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1即
可求解．
【详解】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1＝2004．
故选：C．
【点拨】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键．
6．B
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为 ．若能，
则说明可以进行平面镶嵌；反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】解：根据平面镶嵌的条件，用公式 分别解出正三角形，正方形的内角分别为
60°、90°．
设用m块正三角形，n块正方形．
则有 ，
得
当 时， ，不符合题意；
当 时， ；
当 时， ，不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题考查平面镶嵌问题．几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在
一起恰好组成一个周角．
7．D
【分析】根据“两角的和小于90°或一个角大于90°时三角形是一个钝角三角形”，据此求解即可．
【详解】解：由三角形内角和可得： ，
∵ ，
∴当 与∠O的和小于90°时，三角形为钝角三角形，则有 ；当 大于90°时，此时三角形为钝角三角形，则有 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查三角形内角和及一元一次不等式的应用，掌握三角形内角和及一元一次不等式的应
用是解题的关键．
8．A
【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出 ， ， ，根据折叠的性质得到
， ， ，可计算出 ，然后根据 ，
即可得到 ．
【详解】解：设 ，则 ， ，
，
，
解得 ，
， ， ，
是 沿着 边翻折 形成的，
， ，
，
又 是 沿着 边翻折 形成的，
，
而 ，
．
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理以及周角的定义，解题的关键是掌握折叠前后两图
形全等，即对应角相等，对应线段相等．
9．D
【分析】由题意推出 ，设 ，设 ，
用含x和y的代数式表示 和 即可解决．
【详解】解：如图：∵ 平分 ， 平分 ，
∴ ，
设 ，
由外角的性质得： ， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
10．B
【分析】正 中有多种图形，将不规则图形拆分后，可归结为四种图形，每种图形都可划分为面积最
小的正三角形的组合，最后正 全部由小正三角形组成，根据阴影部分小正三角形的个数所占全部小
正三角形个数比例与面积相乘即可得出答案．
【详解】如图所示，将不规则部分进行拆分，共有四种图形：正六边形、较大正三角形、平行四边形、小
正三角形；其中一个正六边形可以分成6个小正三角形，较大正三角形可以分成4个小正三角形，平行四
边形可以分成6个小正三角形，由图可得：正六边形有13个，可分成小正三角形个数为： （个）；
较大正三角形有26个，可分成小正三角形个数为： （个）；
平行四边形有5个，可分成小正三角形个数为： （个）；
小正三角形个数为13个；
一共有小正三角形个数为： （个），
∴
图中阴影部分面积为： ，
∴
故选： ．
【点拨B】题目主要考查创新思维，将其进行分类分解是解题难点．
11．
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再
根据第三边是整数，从而求得第三边长的最小值．
【详解】解：设第三边为 ，
根据三角形的三边关系，得： ，
即 ，
为整数，
的最小值为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件是解题的关键．
12．40
【分析】连接 ，根据中线的性质和三角形的面积公式可得三角形之间面积的倍数关系，设 ，
，可得 ， ，再由四边形 的面积是18，解得m的值，代入 计
算即可．
【详解】解：如图，连接 ，∵ 是边 上的中线， ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
设 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∵四边形 的面积是18，
∴ ，解得
∴
故答案为：40．
【点拨】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积，三角形的中线可以把三角形分成面积相等的两部
分．
13．30
【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到 ，证出 ，同理 ，则
的周长即为 ，可得出答案．
【详解】解： ，
，
平分 ，，
同理： ，
即
故答案为： ．
【点拨】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出 ， 是解题的
关键．
14． 或 或
【分析】先设出善美角，再利用题中的定义分类讨论即可．
【详解】解：设善美角的度数为 ，
则 ，或 ，或 ，
∴ 或 或 ，
故答案为 或 或 ．
【点拨】本题为新定义题型，涉及到了三角形的内角和定理和一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，
分类讨论并正确计算．
15． /85度
【分析】根据三角形内角和定理可得 ，从而得到 ，再
由直角三角形两锐角互余，即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∴ ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角
形两锐角互余是解题的关键．16．14
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，所求出的多边形的边
数再加上1即可．
【详解】解：设除去的内角为α，则（n-2）•180°=2035°+α，
∵2035°÷180°=11…55°，
∴n-2=11+1=12，
解得n=14，
所以，这个多边形的边数n的值是14．
故答案为：14．
【点拨】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式得知多边形的内角和是180°的整数倍
是解题的关键．
17．
【分析】连接AO，根据三角形边之间的关系得到面积之间的关系进行推理解答．
【详解】如图，连接AO，
∵CD=3AD，
∴AD：CD=1：3，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∵AF∥BC，
∴ ，
∴ ，∴ ， ，
∵AE=2BE，
∴BE：AE=1：2，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴S AEOD ．
四边形
故答案为： ．
【点拨】本题考查了三角形的边与面积之间的关系，平行线之间距离处处相等，能正确把边之间的关系转
化为面积之间的关系是解题的关键．
18．6
【分析】如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，根据三角形中线的性质只需要求出
从而求出CH=6，即可利用点到直线的距离垂线段最短求解．
【详解】解：如图所示，连接BF，过点C作CH垂直于直线AB于H，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵点到直线的距离垂线段最短，
∴ ，
∴AC的最小值为6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查了三角形中线的性质，点到直线的距离垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键．
19．(1)见详解(2)见详解(3) 平方厘米
【分析】（1）从 边相对的顶点A向 边上画垂直线段，与 边相交于D点，线段 就是三角形
边上的高；
（2）等底等高的三角形面积相等，图中经过点A的虚线与 边平行，在虚线上任选一点P，分别与B点、
C点连接，所形成的三角形都与三角形 等底等高且面积相等．
（3）根据蝴蝶原理，图中梯形的上、下两部分面积之积等于左、右两部分面积之积，左、右两部分面积
相等．则左、右两部分面积之积＝ （平方厘米）， ，所以左、右两部分面积都是6平方
厘米．最后把四部分面积全部加起来即可．
【详解】（1）解：如图：
（2）解：如图：（3）解：根据蝴蝶定理，梯形左、右两部分面积都是6平方厘米，
梯形的面积＝ （平方厘米）
【点拨】本题考查画三角形的高、三角形的面积和梯形的面积，利用蝴蝶定理求出梯形左右两部分的面积
是题目中的难点．
20．(1)① ；② (2) 、 或
【分析】（1）①根据三角形内角和定理得出 ，根据角平分线定义得出
，根据平行线性质得出 ；
②根据邻补角求出 ，根据角平分线性质得出 ，最后求出结果即可；
（2）分 、 及 三种情况考虑， 当 时， ，利用三角形外
角的性质可求出 的度数； 当 时， ，利用三角形内角和定理可求出 的
度数； 当 时，延长 交 于点 ，利用三角形内角和定理可求出 的度数，再根据邻
补角互补即可求出 的度数．
【详解】（1）解： 中， ， ，
，
平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②∵ ，
∴ ，
平分 ，
∴ ，
∴ ．（2）解： 当 时， ，
∴ ；
当 时， ，
∴ ；
当 时，延长 交 于点 ，如图 所示：
∵ ，
∴ ；
综上所述： 的度数为 、 或 ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线、三角形外角的性质以及邻补角，解题
的关键是： 利用平行线的性质找出 ； 利用三角形外角的性质找出
； 分 、 及 三种情况考虑．
21．【小问1】
【小问2】 ；理由见解析
【小问3】见解析
【分析】（1）根据题干结论求解即可 ；
（2）如图，作高，两三角形同高，底共线，根据面积公式求证即可；
（3）方法一：如图，连接 ，取 的中点，连接 ， ,则四边形 就是四边形 的一半；
方法二：如图，取 的中点H、取 的中点F，连接 ， ，则四边形 就是四边形 的
一半．
【详解】解：（1） ；
（2） ；理由如下：过点A作 于E
∵
∴
∴
（3）方法一：如图，连接 ，取 的中点，连接 ， ,则四边形 就是四边形 的一半．
由 知 ,
∴
方法二：如图，取 的中点H、取 的中点F，连接 ， ，则四边形 就是四边形 的
一半．
∵H点是 的中点、点F是 的中点，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查三角形面积求解，理解等底同高的三角形面积相等是解题的关键．
22．(1)证明见解析(2) ，理由见解析(3)【分析】（1）根据 ，可得 ，再根据 ，即可得到 ，即可
得证；
（2） ．根据三角形外角的性质，可得到 ，根据直角三角形两锐
角互余，有 ，再根据 即可得到 与 的数量关系；
（3）设 ，则 ， ，根据 ，即可得到
，再根据 ，即可得到 ，求得 的值，即可
运用三角形内角和定理得到 的度数．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：
理由如下：∵ 是 的外角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ；
（3）设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ 的度数为 ．
【点拨】本题考查平行线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．
灵活运用三角形内角和定理是解题的关键．
23．（1）①140；② ；（2）五边形 不是“完美五边形”；理由见解析
【分析】（1）①根据三角形内角和定理求出 ， ，
根据四边形内角和定理求出结果即可；
②根据三角形和四边形内角和定理求出 ，然后根据 求出结果即可；
（2）延长 、 交于点F，延长 、 交于点G，延长 、 交于点H，延长 、 交于点
K，根据 ，得出延长五边形 任意不相邻的两边，只能得出4个角，假设五边形 为
“完美五边形”，得出 ，根据平行线的性质和三角形内角和定理得出
， ，求出 ，得出 、 、
、 不可能相等，假设不成立，即可证明结论．
【详解】解：（1）①∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ；
故答案为： ；
②∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
（2）五边形 不是“完美五边形”；理由如下：延长 、 交于点F，延长 、 交于点G，延长 、 交于点H，延长 、 交于点K，如
图所示：
∵ ，
∴延长五边形 任意不相邻的两边，只能得出4个角，
∴假设五边形 为“完美五边形”，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴在 中 ，
在 中 ，
∴ ，这与 矛盾，
∴ 、 、 、 不可能相等，假设不成立，
∴五边形 不是“完美五边形”．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，四边形内角和，平行线的性质，解题的关键是数形结
合，作出辅助线，熟练掌握三角形内角和为 ．
24．(1)①45°；②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由见解析
(2) ，理由见解析
【分析】（1）①先根据垂直的定义求出∠POQ=90°，即可利用三角形内角和定理和邻补角的定义求出
∠QPO=30°，∠AQP=120°，再由角平分线的定义分别求出 ， ，最后根据三角形外
角的性质求解即可；②同①方法求解即可；
（2）如图所示，连接 ， 先求出∠CPQ+∠PQA=270°，再由角平分线的定义求出 ，则∠PEQ=45°，由折叠的性质可知 ，进而推出 即可得到答案．
【详解】（1）解：①∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠PQB=60°，
∴∠QPO=30°，∠AQP=120°，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：45；
②∠PHE 是一个定值，∠PHE =45°，理由如下：
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∴∠QPO=90°-∠PQO，∠AQP=180°-∠PQO，
∵EQ平分∠AQP，PH平分∠QPO，
∴ ， ，
∴ ；
（2）解： ，理由如下：
如图所示，连接 ，
∵AB⊥CD，
∴∠POQ=90°，
∴∠PQO+∠QPO=90°，
∵∠CPQ+∠QPO=180°，∠PQA+∠PQO=180°，
∴180°-∠CPQ+180°-∠PQA=90°，
∴∠CPQ+∠PQA=270°，
∵QE，PE分别平分∠PQA，∠CPQ，
∴ ，∴ ，
∴∠PEQ=180°-∠EPQ-∠EQP=45°，
由折叠的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，邻补角，熟知三角形
内角和定理和角平分线的定义是解题的关键．
