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跟踪训练 03 等比数列
一．选择题（共15小题）
1．在等比数列 中， ， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ， ，所以公比 ，
所以 ．
故选： ．
2．在等比数列 中， ， ，则
A．8 B．6 C．4 D．2
【解答】解： ， ，
，
．
故选： ．
3．设等比数列 的各项均为正数，前 项和 ，若 ， ，则
A． B． C．15 D．40
【解答】解：由题知 ，
化为 ，即 ．
由题知 ，解得 ．．
故选： ．
4．已知数列 是正项等比数列，数列 满足 ．若 ，
A．24 B．32 C．36 D．40
【解答】解：因为 是正项等比数列， ，
所以 ，则 ，
所以
．
故选： ．
5．已知各项均为正数的等比数列 中， ， ，则该数列的公比为
A．2 B．1 C． D．
【解答】解：设数列 公比为 ，
因数列 各项均为正数，故 ，
则 ，
所以 ，解得 或 （负值舍去）．
故选： ．
6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为
难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为
“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第一天走的路程为
A．63里 B．126里 C．192里 D．228里
【解答】解：由题意知，
该人每天走的里程数构成等比数列 ，
其中 ，
，
解得 ，
故选： ．
7．已知等比数列 的公比为 ，则 是 为增数列的
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：①若 ， ，则数列的前几项依次为 ， ， ， ，
显然不是递增数列， 充分性不成立，
②若等比数列 ， ， ， ， ，显然为递增数列，
但其公比 ，不满足 ， 必要性不成立，
是 为增数列的既不充分也不必要条件．
故选： ．
8．已知等比数列 的前2项和为2，前4项和为8，则它的前6项和为
A．12 B．22 C．26 D．32
【解答】解：设等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，
则 ， ，则 ，而 ， ， ，
故 ，
所以数列前6项和为 ．
故选： ．
9．数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，则“ ”是“数列 递减”
的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当数列 递减，故 ，反之，当 ， ， ，
， ，
故数列 不单调递减；
故“ ”是“数列 递减”的必要不充分条件．
故选： ．
10．已知等比数列 的各项均为正数，且 ， ，则使得
成立的正整数 的最小值为
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：设等比数列的公比为 ，且 ，
由题意可得 ，两式相除得 ，解得 ，
所以 ，故 ，显然 时， 不成立，所以 且 ， ，
即 ，则 ，
故使得 成立的正整数 的最小值为10．
故选： ．
11．已知正项等比数列 ，若 ， ，则
A．16 B．32 C．48 D．64
【解答】解：根据等比中项，可得 ，
又 是正项数列，故 （负值舍去），
设等比数列 的公比为 ，
由 ，可得 ，
解得 （正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故 ．
故选： ．
12．已知等比数列 的各项均为正数，公比 ， ，则
A．12 B．15 C．18 D．21
【解答】解：因为等比数列 的各项均为正数，公比 ，
， ，
又 ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 （舍去），
所以 ．
故选： ．
13．已知数列 是公比为正数的等比数列， 是其前 项和， ， ，则
A．15 B．31 C．63 D．7
【解答】解：根据题意，设等比数列 的公比为 ，
由 ，得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
所以 ．
故选： ．
14．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为 ，
根据等比数列的性质可知 ， ， 成等比数列，
设 ，则 ， ， ， ，
故 ．
故选： ．
15．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日
脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为 378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目
的地．则此人后3天共走的里程数为
A．6 B．12 C．18 D．42
【解答】解：设第 天走 里，其中 ，由题意可知，数列 是公比为
的等比数列，
所以 ，解得 ，
所以此人后三天所走的里程数为 ．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛
减一半，六朝才得到其关”，其意思是：“某人到某地需走 378里路，第一天健步行走，
从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地”，则
A．此人第二天走的路程占全程的
B．此人第三天走走了48里路
C．此人第一天走的路程比第四天走的路程多144里
D．此人第五天和第六天共走了18里路
【解答】解：设此人第 天走了 里路，则数列 是首项为 ，公比 为 的等比数列，
因为 ，解得 ， ，所以此人第二天走了96里路，， 选项错误；
，所以此人第三天走了48里路， 选项正确；
， ，此人第一天走的路程比第四天走的路程多 168
里， 选项错误；
，此人第五天和第六天共走了18里路，所以 选项正确．
故选： ．
17．设 是等比数列，则
A． 是等比数列 B． 是等比数列
C． 是等比数列 D． 是等比数列
【解答】解：设等比数列 的公比为 ，则 ，
， 是等比数列， 正确；
， 时， ， 不是等比数
列， 错误；
， 是等比数列， 正确；
， 是等差数列， 错误．
故选： ．
18．在公比为 的正项等比数列 中， ， 前 项和为 ，前 项积为 ，
则下列结论正确的是
A．数列 为递减数列 B．数列 为递增数列C．当 或5时， 最大 D．
【解答】解：对于 项，由已知可得， ， ，所以 ，所
以数列 为递减数列，故 项正确；
对于 项，由已知可得， ，所以 ，故 项错误；
对于 项，
由已知可得， ，有 ； 时， ； 时，有 ．
所以，当 或5时， 最大，故 项正确；
对于 项，由已知可得， ，所以 ，
所以， ，故 项正确．
故选： ．
19．设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，且满足条件 ，
， ，则下列选项正确的是
A． 为递减数列 B．
C． 是数列 中的最大项 D．
【解答】解： ，
则 或 ，
， ，和 同号，且一个大于1，一个小于1，
，
， ，即数列 的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，
对于 ，公比 ，
，
为减函数，
故 为递减数列，故 正确，
对于 ， ，
，即 ，故 错误，
对于 ，等比数列 的前 项积为 ，且数列 的前2022项大于1，而从第2023项
开始都小于1，
故 是数列 中的最大项，故 正确，
对于 ， ，
，
，即 ，故 错误．
故选： ．
20．设 是公比为正数等比数列 的前 项和，若 ， ，则
A． B．
C． 为常数 D． 为等比数列【解答】解：设等比数列 的公比为 ，
， ，
，
，
，故 正确；
，
，解得 或 （舍去），
，故 错误；
， ，
， ，
，故 正确；
，
是首项为 ，公比为 的等比数列，故 正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知数列 为等比数列，其前 项和为 ，且 ， ，则 102 3 ．
【解答】解：因为数列 为等比数列， ， ，则 ．
故答案为：1023．
22．已知无穷等比数列 ， ， ，则公比 ．
【解答】解：无穷等比数列 ， ，则 ，
，又 ，得 ，
则 ，又 ，
则 ，得 ．
故答案为： ．
23．一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底
层所点灯的盏数是 19 2 ．
【解答】解：设底层所点灯的盏数为 ，
则 ， ， ， ．
，
解得 ，
故答案为：192．
24．无穷实数等比数列 的前 项和为 ，且 ，则首项 的取值范围是
， ．
【解答】解：设等比数列的首项为 ，公比为 ，若 ，则 不存在，
若 ， 且 且 ，
，
且 ．
故答案为： ， ， ．
25．已知等比数列 满足 ，则数列 的通项公式可能是 （答案
不为一） ．（写出满足条件的一个通项公式即可）
【解答】解：由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
取 ，则 （写出一个首项为 的等比数列即可）．
故答案为： （答案不为一）．
四．解答题（共3小题）
26．已知数列 满足 ， ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）记 ，证明：数列 为等比数列．
【解答】解：（1）由递推关系，得 ，
， ．（2）因为 ，所以
，
，
，
数列 为1为首项， 为公比的等比数列．
27．已知等比数列 的各项均为正数，前 项和为 ，若 ，证明：数列
是等比数列．
【解答】证明：设等比数列 的公比为 ，则 ，
，
，
， ， ，
，
，
，
数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列．
28．已知公比大于0的等比数列 满足 ， ．（1）求 的通项公式；
（2）求 ．
【解答】解：（1）等比数列 中， ， ，所以 ，解得
或 （舍去），所以 ，
的通项公式为 ；
（2）因为
；
所以 ，
求等比数列的前 项和，得原式 ．
