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七年级下册数学《第七章 平面直角坐标系》
专题 在平面直角坐标系中求图形的面积
题型一 直接利用面积公式求图形的面积
【例题1】如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中 C（﹣4，4）．则三角形
ABC的面积是（ ）A．4 B．6 C．12 D．24
解题技巧提炼
当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直
接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积.
【变式1-1】如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，5），B（﹣1，0），C（﹣4，3）则△ABC的面
积为 ；
【变式1-2】（2022春•巴音郭楞州期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，
在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）将三角形ABC向左平移5个单位，再向下平移3个单位得到三角形A B C ，画出平移后的图形，
1 1 1
并写出点A 的坐标；
1
（2）求三角形ABC的面积．【变式1-3】如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），
（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化：
（1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相
比有什么变化？
（2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相
比有什么变化？
（3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？
题型二 利用割补法求三角形的面积【例题2】如图，A（3，0），B（0，3），C（1，4），求△ABC的面积．
解题技巧提炼
1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接
利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长
方形或直角梯形来求解.
2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相
关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的
和差计算不规则的图形的面积．
【变式2-1】如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积．
【变式2-2】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为 1，△ABC的三个顶点恰好是正
方形网格的格点．
（1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标．
（2）求出此三角形的面积．【变式2-3】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC ．
【变式2-4】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交
点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
（2）请把三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A′B′C′，在
图中画出三角形A′B′C′；
（3）求三角形ABC的面积．题型三 利用割补法求四边形的面积
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C
（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法；
3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图
形，从而求出整个图形的面积．
【变式3-1】（2022春•商南县期末）如图，有一块不规则的四边形图形ABCD，各个顶点的坐标分别为
A（﹣2，8），B（﹣11，6），C（﹣14，0），D（0，0）（比例尺为1：100），现在想对这块地皮进
行规划，需要确定它的面积．（1）确定这个四边形的面积
（2）如果把原来四边形ABCD的各个顶点的纵坐标保持不变，横坐标加 2，所得的四边形面积又是多
少？
【变式3-2】（2022秋•高明区月考）已知：A（﹣5，﹣2），B（﹣1，2），C（5，4），D（6，﹣
2）．
（1）在坐标系中描出各点，画出四边形ABCD；
（2）求四边形ABCD的面积．
【变式 3-3】如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示
（a，b为常数），
（1）求点D、E的坐标；（2）求四边形ACED的面积．
【变式3-4】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形
OABC的面积．
题型四 与图形面积相关的点的存在性问题
【例题4】（2021秋•围场县期末）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴上，若△AOB的面
积为12，则点B的坐标为（ ）
A．（0，8） B．（0，4）
C．（8，0） D．（0，﹣8）或（0，8）解题技巧提炼
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，
利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
【变式4-1】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐
标为（ ）
A．（0，﹣4） B．（0，﹣8） C．（﹣4，0） D．（6，0）
【变式4-2】（2022春•路南区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2）．
（1）求S四边形ABCO ；
（2）连接AC，求S△ABC ；（3）在x轴上是否存在一点P，使S△PAB ＝8？若存在，请求点P坐标．
【变式4-4】（2022•天津模拟）如图，A（﹣1，0），C（1，4），点B在x轴上，且AB＝3．
（1）求点B的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10？若存在，请直接写出点
P的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式4-5】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（a，0），B（b，0），其中a，b
满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
（1）填空：a＝ ，b＝ ；
（2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），请用含m的式子表示△ABM的面积；3
（3）在（2）条件下，当m=− 时，在x轴上是否存在点P（不与点A重合），使得S三角形PBM ＝S三角形
2
，若存在请求出点P的坐标，不存在说明理由．
ABM
专 题 难 点 突 破
练
1 ． （ 2022 春 •湖北期末）已知：如图，把△ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到
△A′B′C′．
（1）在图中画出△A′B′C′；
（2）写出点A′、B′的坐标；
（3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积．
2．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积．
3．（2022春•黄石期末）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的坐标分别为A（﹣4，1），B（﹣1，﹣
3），把线段AB先向右平移5个单位长度，再向上平移4个单位长度得到线段CD（其中点A与点D、
点B与点C是对应点）
（1）画出平移后的线段CD，写出点C的坐标为（ ， ）．
（2）连接AD、BC，四边形ABCD的面积为 ．（3）点E在线段AD上，CE＝6，点F是线段CE上一动点，线段BF的最小值为 ．
4．（2022春•船营区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0，a），B（b，0），C（3，c）三
点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+√c−4=0．
（1）求a、b、c的值；
1
（2）如果在第二象限内有一点P（m， ），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
2
（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积等于△AOP面积的两倍？若存在，
求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2022春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，
0）．
（1）如图1，△ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求△ACD的面积；②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标．
6．（2022春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面
直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
1
（2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的 ，求点M的坐
6
标；
（3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速
移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点
的横坐标为6﹣2t，此时①CP＝ ，AQ＝ （用含t的式子表示）．
②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范
围．
