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七年级下册数学《第六章 实数》
专题 估 算
题型一 估算无理数的范围
【例题1】（2022秋•儋州校级期末）无理数√14的大小在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间【分析】先找离14最近的两个平方数，即9＜14＜16，即可得出√14的范围．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜√14＜4；
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数的估值，解题关键找到离14最近的两个平方数．
【变式1-2】（2022秋•九龙坡区校级期末）估计√27的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【分析】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．也考
查了算术平方根．
【解答】解：∵25＜27＜36，
∴5＜√27＜6，
∴估计√27的值在5和6之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式1-3】（2011秋•淅川县期中）估算√368的值是在（ ）
A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间
【分析】根据根式的性质得出√364＜√368＜√3125，求出√364、√3125的值，代入即可．
【解答】解：∵√364＜√368＜√3125，
∴4＜√368＜5，
∴√368在4和5之间．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的大小比较的应用，主要考查学生能否知道√368的范围．
【变式1-4】（2022秋•南海区期末）估算√32+1的值在（ ）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【分析】根据√25＜√32＜√36，即5＜√32＜6，可得．
【解答】解：∵5＜√32＜6，
∴6＜√32+1＜7，
故选：C．
【点评】本题考查的是无理数大小的估算，解题的关键是会用夹逼法进行估算．
【变式1-5】（2023•南岸区校级开学）估计3+√15的值应在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间【分析】先估算√15，然后进一步估算3+√15即可．
【解答】解：∵3＜√15＜4，
∴6＜3+√15＜7．
故估计3+√15的值应在6和7之间．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，估算无理数大小要用逼近法．用有理数逼近无理数，求无理数的近
似值．
【变式1-6】（2022秋•莲池区校级期末）估计√18−3的值在（ ）
A．3到4 之间 B．4到5之间 C．1到2 之间 D．2到3 之间
【分析】首先得出4＜√18＜5，进而求出结论．
【解答】解：∵√16＜√18＜√25，
∴4＜√18＜5，
∴√18−3的值在1到2之间．
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，关键是确定√11的范围．
【变式1-7】（2022秋•南关区校级期末）估计√56−5的值（ ）
A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间
【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵49＜56＜64，
∴7＜√56＜8，
∴2＜√56−5＜3，
∴估计√56−5的值在2和3之间，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式1-8】（2022秋•雁塔区校级期末）2−√5介于（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．0和﹣1之间 D．﹣1和﹣2之间
【分析】估算无理数√5的大小，可得结论．
【解答】解：∵2＜√5＜3，
∴﹣1＜2−√5＜0，
∴2−√5介于﹣1和0之间．故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式1-9】（2022•庐阳区校级三模）若无理数x=√4+√5，则估计无理数x的范围正确的是（ ）
A．1＜x＜2 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5
【分析】根据算术平方根的性质（被开方数越大，其算术平方根越大）解决此题．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴√4＜√5＜√9．
∴2＜√5＜3．
∴√4+2＜√4+√5＜√4+√9．
∵√4=2，
∴4＜2+√5＜5．
∵x=√4+√5，
∴4＜x＜5．
故选：D．
【点评】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握被开方数越大，其算术平方根越大是解决本题的关
键．
【变式1-10】（2022秋•双牌县期末）满足−√2＜x＜√3的整数共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】先估算出−√2和√3的范围，再求出即可．
【解答】解：∵1＜√2＜2，
∴﹣2＜−√2＜−1，
∵1＜√3＜2，
∴满足−√2＜x＜√3的整数有﹣1，0，1，共3个，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，能估算出−√2和√3的范围是解此题的关键．
【变式1-11】（2022秋•萧山区期中）设面积为31的正方形的边长为x，则x的取值范围是（ ）
A．5.0＜x＜5.2 B．5.2＜x＜5.5 C．5.5＜x＜5.7 D．5.7＜x＜6.0
【分析】利用正方形的面积＝边长×边长可得正方形边长x=√31，再估算√31的范围即可．
【解答】解：正方形边长x=√31，
∵5.52＝30.25，5.62＝31.36，
∵5.5＜√31＜5.6．故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数．
【变式1-12】（2022秋•江北区校级期末）如果m＝2√10−1，那么m的取值范围是（ ）
A．4＜m＜5 B．4＜m＜6 C．5＜m＜6 D．5＜m＜7
【分析】先估算√10在3与4之间，再根据m＝2√10−1，即可得出m的取值范围．
【解答】解：∵3＜√10＜4，
∴2×3﹣1＜2√10−1＜2×4﹣1，
即5＜2√10−1＜7，
∴m的取值范围是5＜m＜7．
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握题意确定无理数的整数部分是关键．
题型二 已知估算的范围求值
【例题2】（2022秋•鄞州区期末）若整数a满足√7＜a＜√15，则整数a是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】先计算(√7) 2=7，(√15) 2=15，然后看哪个平方数在7和15之间即可．
【解答】解：∵7＜9＜15，
∴√7＜3＜√15，
∴如果整数a满足√7＜a＜√15，则a的值是：3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式2-1】（2022秋•衡山县期末）已知n为整数，且√40＜n＜√50，则n等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先估算出√40与√50的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵36＜40＜49，
∴6＜√40＜7，
∵49＜50＜64，
∴7＜√50＜8，∵n为整数，且√40＜n＜√50，
∴n＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
【变式2-2】（2022秋•镇平县期末）若√5＜a＜√3216，则整数a的值不可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由√3216=6，2＜√5＜3，√5＜a＜√3216，可求出符合条件a的整数．
【解答】解：∵√3216=6，√5＜a＜√3216，
∴√5＜a＜6，
∵2＜√5＜3，
∴整数a的值可为3或4或5，
∴整数a的值不可能为2．
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握根式的运算是解本题的关键，综合性较强，难度适中．
【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）若n为整数，n＜√13＜n+1，则n的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．3
【分析】利用完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜13＜16，
∴3＜√13＜4，
∵n为整数，n＜√13＜n+1，
∴n＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式2-4】（2022秋•九龙坡区期末）若自然数n满足n＜2√13−2＜n+1，则n的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数2√13的大小，再由不等式的性质得出2√13−2的大小即可．
【解答】解：2√13=√4×13=√52，
∵√49＜√52＜√64，即7＜√52＜8，
∴5＜√52−2＜6，
即5＜2√13−2＜6，∵n＜2√13−2＜n+1，而n是自然数，
∴n＝5，
故选：B．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．
【变式2-5】（2022秋•福田区期末）若m，n是两个连续的整数且m＜√14＜n，则m+n＝（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先估算出√14的值的范围，从而求出m，n的值，然后代入式子中，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜14＜16，
∴3＜√14＜4，
∵m，n是两个连续的整数且m＜√14＜n，
∴m＝3，n＝4，
∴m+n＝3+4＝7，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式2-6】（2022春•新罗区校级月考）在−√3与√10之间的整数之和是 ．
【分析】根据估算−√3和√10的近似值，可得−√3和√10之间的所有的整数，再求和即可．
【解答】解：∵22＞3＞12，32＜10＜42，
∴−2＜−√3＜−1，3＜√10＜4，
∴−√3与√10之间的所有的整数为﹣1、0、1、2，3；﹣1+0+1+2+3＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了无理数的近似值，正确估计出无理数的近似值是解题关键．
【变式2-7】（2022秋•桂平市期末）已知m，n为两个连续的整数，且m＜√10＜n，则（m﹣n）2023
的值是（ ）
A．2023 B．﹣2023 C．1 D．﹣1
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数√10的大小，确定m、n的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵3＜√10＜4，而m＜√10＜n，其中m，n为两个连续的整数，
∴m＝3，n＝4，
∴（m﹣n）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，故选：D．
【点评】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式2-8】（2022秋•通川区校级期末）已知整数x满足√5−2≤x≤√7−1，则x＝ ．
【分析】先估算出√5与√7的值的范围，从而估算出√5−2与√7−1的值的范围，即可解答．
【解答】解：∵4＜5＜9，
∴2＜√5＜3，
∴0＜√5−2＜1，
∵4＜7＜9，
∴2＜√7＜3，
∴1＜√7−1＜2，
∵整数x满足√5−2≤x≤√7−1，
∴x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
【变式2-9】（2022秋•辉县市校级期末）若a＜√21＜b，且a，b是两个连续的正整数，则√a+b的值
是（ ）
A．9 B．5 C．4 D．3
【分析】直接利用√21的近似值得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵a＜√21＜b，且a，b为两个连续的正整数，
∴a＝4，b＝5，
∴√a+b=√4+5=3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确得出√21的取值范围是解题关键．
【变式2-10】（2022秋•莱阳市期末）若a＜√23＜b，且a、b为两个连续的正整数，则a+b的平方根
是 ．
【分析】根据√16＜√23＜√25解答．
【解答】解：∵√16＜√23＜√25，
∴4＜√23＜5，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9，
∴a+b的平方根是±3．【点评】本题考查了平方根，求出a、b的值是解题的关键．
【变式2-11】（2022春•蓬江区校级月考）已知a，b为两个相连的整数，满足a＜√6+11＜b，则a+b
的立方根为 ．
【分析】先估算出√6的值的范围，从而估算出√6+11的值的范围，然后求出a，b的值，最后代入式子中，
进行计算即可解答．
【解答】解：∵4＜6＜9，
∴2＜√6＜3，
∴13＜√6+11＜14，
∵a，b为两个相连的整数，满足a＜√6+11＜b，
∴a＝13，b＝14，
∴a+b＝27，
∴a+b的立方根为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式2-12】（2022秋•古田县期中）已知a，b为两个连续的整数，且a＜−√33＜b，则2a﹣3b＝
．
【分析】首先估算−√33在﹣5和﹣6之间，然后可得a、b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵−√36＜−√33＜−√25，
∴﹣6＜−√33＜−5，
∴a＝﹣6，b＝﹣5，
∴2a﹣3b＝﹣12+15＝3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了估算无理数，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
【变式2-13】（2022秋•海曙区期中）若整数x满足3+√365≤x≤√65+2，则x的值是 ．
【分析】根据算术平方根、立方根的定义估算无理数√365和√65的大小，进而得出3+√365和2+√65的大
小即可．
【解答】解：∵43＝64，，53＝125，而64＜65＜125，
∴4＜√365＜5，
∴7＜3+√365＜8，又：∵82＝64，，92＝81，而64＜65＜81，
∴8＜√65＜9，
∴10＜√65+2＜11，
又∵整数x满足3+√365≤x≤√65+2，
∴x＝8或x＝9或x＝10，
故答案为：8或9或10．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根、立方根的定义是正确估算的前提．
题型三 估算无理数最接近的值
【例题3】（2022秋•兴隆县期末）下列选项中的整数，与√37接近的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】直接利用已知得出接近√37的有理数即可．
【解答】解：∵√36＜√37，
∴与√37接近的是6．
故选：B．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键．
【变式3-1】（2022春•仙居县期末）与√5最接近的整数是 ．
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵4＜5＜6.25，
∴2＜√5＜2.5，
∴与√5最接近的整数是2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式3-2】（2021春•合肥期末）下列整数中，与√51最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先计算√51位于哪两个相邻的整数之间，再确定51距离哪个整数的平方接近即可确定答案．
【解答】解：∵49＜51＜64，∴√49＜√51＜√64，
即7＜√51＜8，
∵7.52＝56.25，51＜56.25，
∴与√51最接近的整数是7．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式3-3】（2022•三门峡二模）数轴上与﹣√3最接近的整数是 ．
【分析】√3大约等于1.7，由此可得出本题的答案．
【解答】解：﹣√3≈﹣1.7，
∴最接近的整数为-2．
故答案为：-2．
【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式3-4】（2022秋•苏州期末）下列整数中，与√(π−4) 2最接近的是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】由 ﹣4＜0，结合二次根式的性质即可得出√(π−4) 2=4−π，从而可确定√(π−4) 2最接近的是
π
1．
【解答】解：∵ ﹣4＜0，
π
∴√(π−4) 2=4−π．
∵4﹣ 最接近1，
π
∴与√(π−4) 2最接近的是1．
故选：C．
{ a(a≥0)
【点评】本题考查二次根式的性质．掌握
√a2=
是解题关键．
−a(a＜0)
【变式3-5】（2022秋•南岸区期末）与2+√10最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】根据完全平方数，进行计算即可解答．
【解答】解：∵9＜10＜16，∴3＜√10＜4，
∵3.52＝12.25，
∴3＜√10＜3.5，
∴5＜2+√10＜5.5，
∴与2+√10最接近的整数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式3-6】（2022春•泸县期末）与√40−1最接近的整数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵36＜40＜42.25，
∴6＜√40＜6.5，
∴5＜√40−1＜5.5，
∴最接近的整数是5，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键．
【变式3-7】下列整数中，与√13+3最接近的是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】先估算出√13的取值范围，再根据不等式的基本性质估算出√13+3的取值范围即可．
【解答】解：∵3.62＜13＜3.72，
∴3.6＜√13＜3.7，
∴3.6+3＜√13+3＜3.7+3，
即6.6＜√13+3＜6.7，
∴与√13+3最接近的是7．
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．
【变式3-8】（2022秋•九龙坡区校级月考）与6﹣√15最接近的整数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用实数的大小比较来判断．【解答】解：∵√15最接近的数是4，
∴6﹣√15最接近的整数是2，
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数，解题的关键是实数的大小比较．
【变式3-9】（2022秋•宁德期末）定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]＝2，[√3]=1，[4.1]＝4，则满
足[√n]=5，则n的最大整数为 ．
【分析】由题意得：5＜√n≤6，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
∵5≤√n＜6，
∴25≤n＜36，
∴n的最大整数为35．
故答案为：35．
【点评】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．
【变式3-10】（2022春•香洲区期末）如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个面积为18的大正方形，
则大正方形的边长最接近的整数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案．
【解答】解：∵用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，
∴大正方形的面积为：9+9=18，
则大正方形的边长为：√18，
∵√16＜√18＜√4.52，
∴4＜√18＜4.5，
∴大正方形的边长最接近的整数是4．
故选：A．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确掌握算术平方根的定义是解题的关键．题型四 利用估算比较数的大小
【例题4】（2022•惠水县模拟）下列各数中比−√3小的数是（ ）
1
A．﹣2 B．﹣1 C．− D．0
2
【分析】根据实数比较大小的方法分析得出答案．
【解答】解：A、∵|﹣2|＝2，|−√3|=√3，
由2＞√3，
∴﹣2＜−√3，故此选项正确；
B、∵|﹣1|＝1，|−√3|=√3，
由1＜√3，
∴﹣1＞−√3，故此选项错误；
1 1
C、∵|− |= ，|−√3|=√3，
2 2
1
由 ＜√3，
2
1
∴− ＞−√3，故此选项错误；
2
D、0＞−√3，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了实数比较大小，正确掌握比较方法是解题关键．
【变式4-1】（2021秋•乳山市期末）通过估算比较大小，下列结论不正确的是（ ）
√7−2 1
A．√369＞√16 B．−√10＞√3−27 C． ＜ D．√15＜2√5
2 2
【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义估算各根式的大小，然后再比较大小即可．
【解答】解：A、因为64＜69，所以4＜√369，由√16=4，可知√369＞√16，故A正确，与要求不符；
B、√3−27=−3，−√10＜−√9=−3，故−√10＜√3−27，故B错误，与要求相符；√7−2 1
C、√7＜3，故此，√7−2＜1，故此 ＜ ，则C正确，与要求不符；
2 2
D、2√5=√20，√15＜√20，故D正确，与要求不符．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是实数大小比较，掌握无理数的大小的方法是解题的关键．
【变式4-2】（2022春•铁东区校级月考）若将−√2，√6，2√3，√11四个无理数表示在数轴上，其中
能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A．−√2 B．2√3 C．√6 D．√11
【分析】先估算出各数，再根据实数与数轴的关系即可得出结论．
【解答】解：−√2是负数，在原点的左侧，不符合题意；
2√3=√12＞√9=3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
√4＜√6＜√9，即2＜√6＜3，符合题意；，
√11＞√9，即√11＞3，在墨迹覆盖处的右边，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查无理数的大小比较；熟练掌握数轴上点的特点，能够准确判断无理数的范围是解题的
关键．
【变式4-3】（2021秋•灌云县月考）已知：a=√2−1，b=2−√5，则a、b的大小关系为：a b
（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先判断a、b的正负，再比较它们的大小．
【解答】解：∵1＜√2＜2，
∴a=√2−1＞0，
∵2＜√5＜3，
∴b＝2−√5＜0，
∴a＞b，
故答案为：＞．
【点评】本题考查实数大小比较，解答本题的关键是明确实数的意义，会比较实数的大小．
√5−2 1 √2+1 √10−1 8
【变式 4-4】通过估算比较大小： ； 1； ．（填
3 3 2 2 9
“＜”或“＞”）【分析】先估算出各个数的范围，再比较大小．
【解答】解：∵2＜√5＜3，
∴0＜√5−2＜1，
√5−2 1
∴ ＜ ；
3 3
∵1＜√2＜2，
∴2＜√2+1＜3，
√2+1
∴ ＞1；
2
∵3＜√10＜4，
∴2＜√10−1＜3，
√10−1
∴ ＞1，
2
8
∵ ＜1，
9
√10−1 8
∴ ＞ ，
2 9
故答案为：＜，＞，＞．
【点评】本题考查了实数大小比较的方法，估算出无理数的大小是解决本题的关键．
【变式4-5】通过估算，比较下面各组数的大小：
√3−1 1
（1） ， ； （2）√15，3.85．
2 2
【分析】（1）首先得出√3的近似值，进而得出答案；
（2）首先求出3.852，进而比较即可．
【解答】解：（1）∵√3≈1.73，
∴√3−1＜1，
√3−1 1
∴ ＜ ；
2 2
（2）∵3.852≈14.8，
∴√15＞3.85．
【点评】此题主要考查了估算无理数大小，正确估算√3的近似值是解题关键．【变式4-6】通过估算比较大小：
√99−7 8 √310−1 1
（1） 与 （2） 与 ．
2 5 3 3
√99−7 3 3 8 √99−7 8
【分析】（1）先把√99看作√100得出 ＜ ，再比较 与 的大小，即可得出 与 的大
2 2 2 5 2 5
小，
√310−1 √38−1 √310−1 1
（2）把√310看作√38可得 ＞ ，即 ＞ ．
3 3 3 3
√99−7 √100−7 √99−7 3
【解答】解：（1） ＜ ，即 ＜ ，
2 2 2 2
3 15 8 16
∵ = ， = ，
2 10 5 10
3 16
∴ ＜ ，
2 10
√99−7 8
∴ ＜ ，
2 5
√310−1 √38−1
（2） ＞ ，
3 3
√310−1 1
∴ ＞ ．
3 3
【点评】此题主要考查了的是实数的大小比较，解题的关键是选择合适的被开方数．
题型五 无理数整数部分与小数部分问题
【例题5】（2022春•鼓楼区校级期中）已知：√3=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，则xy＝ ．
【分析】先估算无理数√3的大小，确定出x的值，再根据已知条件得出y的值，然后代入要求的式子进
行计算即可．
【解答】解：∵1＜√3＜2，x是整数，
∴x＝1，
∵√3=x+y，
y=√3−1，∴xy=√3−1．
故答案为：√3−1．
【点评】本题考查估算无理数的大小，估算出√3的大小是解题的关键．
【变式5-1】（2022秋•尤溪县期末）实数√7+2的小数部分是 ．
【分析】先判断出√7在那两个整数之间，再判断出√7+2的整数，再用√7+2减去它的整数部分，即可求
出小数部分．
【解答】解：∵2＜√7＜3，
∴4＜√7+2＜5，
∴√7+2的整数部分是4，
∴√7+2的小数部分是√7+2﹣4=√7−2；
故答案为：√7−2．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，掌握估算的能力是解题的关键，经常用逼近法确定无理数
的整数部分．
【变式5-2】（2022秋•明水县校级期末）如果√3的小数部分为a，√13的整数部分为b，则a+b−√3=
．
【分析】先估算出√3和√13的范围，求出a、b的值，再代入求出即可．
【解答】解：∵1＜√3＜2，3＜√13＜4，
∴a=√3−1，b＝3，
∴a+b−√3
=√3−1+3−√3
＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，掌握估算出√3和√13的范围是关键．
【变式5-3】（2022秋•金牛区校级期末）已知：2+√3的整数部分为m，小数部分为n，则2m﹣n＝
．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数√3的大小，进而估算出2+√3的大小，确定m、n的值，再代
入计算即可．
【解答】解：∵1＜√3＜2，
∴3＜2=√3＜4，
∴2+√3的整数部分m＝3，小数部分n＝2+√3−3=√3−1，∴2m﹣n＝6−√3+1＝7−√3，
故答案为：7−√3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提，确定 m、n的值是正确
计算的关键．
【变式5-4】（2022秋•双峰县期末）若x表示√5的整数部分，y表示它的小数部分，则(√5+x)y的值
为 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数√5的大小，进而确定x、y的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵2＜√5＜3，
∴√5的整数部分x＝2，小数部分y=√5−2，
∴(√5+x)y
＝（√5+2）（√5−2）
＝5﹣4
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
【变式5-5】（2022秋•东港市期末）若5+√10与5−√10的小数部分分别为a，b，则a+b＝ ．
【分析】先估算出√10的大小，再用含√10的式子表示出a，b，然后代入计算即可．
【解答】解：∵3＜√10＜4，
∴8＜5+√10＜9，1＜5−√10＜2，
∴a=5+√10−8=√10−3，b=5−√10−1=4−√10，
∴a+b=√10−3+4−√10=1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得 a，b的值是解
题的关键．
【变式5-6】（2022秋•商水县期末）已知a的立方根是2，b是√15的整数部分，c是9的平方根，则
a+b+c的算术平方根是 ．
【分析】根据平方根、立方根、估算无理数的大小确定a、b、c的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵a的立方根是2，b是√15的整数部分，c是9的平方根，
∴a＝8，b＝3，c＝±3，当a＝8，b＝3，c＝3时，a+b+c＝14，
∴a+b+c的算术平方根是 √14；
当a＝8，b＝3，c＝﹣3，a+b+c＝8，
∴a+b+c的算术平方根是 √8=2√2，
故答案为：√14或2√2．
【点评】本题考查平方根、立方根、估算无理数的大小，理解平方根、立方根的定义、掌握估算无理数
的大小的方法是正确解答的前提．
【变式5-7】（2022•南谯区校级模拟）已知﹣2m是64的负的平方根，3n是√37的整数部分，则mn的立
方根为 ．
【分析】根据平方根的意义可得﹣2m＝﹣8，从而可得：m＝4，然后估算出√37的值的范围，从而可得
3n＝6，进而求出n的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵﹣2m是64的负的平方根，
∴﹣2m＝﹣8，
解得：m＝4，
∵36＜37＜49，
∴6＜√37＜7，
∴√37的整数部分是6，
∴3n＝6，
解得：n＝2，
∴mn＝4×2＝8，
∴mn的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键．
【变式5-8】（2022春•玉州区期中）阅读下面文字，然后回答问题．
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以√2的小数部分我们不可能全部写出来，由于√2
的整数部分是1，将√2减去它的整数部分，差就是它的小数部分，因此√2的小数部分可用√2−1表示．
由此我们得到一个真命题：如果√2=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y=√2−1．
请解答下列问题：
（1）如果√5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值；
（2）如果−√5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，求c，d的值；（3）已知3+√5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．
【分析】（1）估算出2＜√5＜3，依此即可确定出a，b的值；
（2）估算出2＜√5＜3，可得﹣3＜−√5＜−2，依此即可确定出c，d的值；
（3）根据题意确定出m与n的值，代入求出|m﹣n|即可．
【解答】解：（1）∵√5=a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，
2＜√5＜3，
∴a＝2，b=√5−2；
（2）∵−√5=c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，
2＜√5＜3，
﹣3＜−√5＜−2，
∴c＝﹣3，d＝3−√5；
（3）∵2+√5=m+n，其中m是整数，且0＜n＜1，
∴m＝4，n=√5−2，
则|m﹣n|＝|4−√5+2|＝6−√5．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
【变式5-9】（2022春•乐昌市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道√2是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√2的小数部分我们不可能全部地写出来，于
是小明用√2−1来表示√2的小数部分．事实上，小明的表示方法是有道理的，因为√2的整数部分是
1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，
∴√7的整数部分为2，小数部分为√7−2；
请解答：
（1）√57的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果√11的小数部分为a，√7的整数部分为b，求|a﹣b|+√11|的值；
（3）已知：9+√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x﹣y的相反数．
【分析】（1）估算出√57的范围，即可得出答案；
（2）分别确定出a与b的值，代入原式计算即可求出值；
（3）根据题意确定出等式左边的整数部分得到y的值，进而求出y的值，即可求出所求．
【解答】解：（1）∵7＜√57＜8，
∴√57的整数部分是7，小数部分是√57−7．故答案为：7，√57−7．
（2）∵3＜√11＜4，
∴a=√11−3，
∵2＜√7＜3，
∴b＝2，
∴|a﹣b|+√11
=|√11−3−2|+√11
=5−√11+√11
＝5．
（3）∵2＜√5＜3，
∴11＜9+√5＜12，
∵9+√5=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，
∴x＝11，y=9+√5−11=√5−2，
∴x﹣y=11−(√5−2)=13−√5，
∴x﹣y的相反数是：√5−13．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式5-10】（2022秋•沧州期末）已知一个正数a的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立
方根是2，c是√15的整数部分．求：
（1）a，b，c的值；
（2）求2a+4b﹣c2的平方根．
【分析】（1）由平方根的性质知2a﹣5和2a+1互为相反数，可列式，解之可求得a的值；根据立方根定
义可得b的值；根据3＜√15＜4可得c的值；
（2）分别将a，b，c的值代入2a+4b﹣c2中，即可求得它的值及平方根．
【解答】解：（1）∵一个正数的平方根分别是2a﹣5和2a+1，另一个实数b的立方根是2，
∴2a﹣5+2a+1＝0，b＝8，
解得：a＝1，
则a的值是1，b的值是8；
∵9＜15＜16，
∴3＜√15＜4，
∴√15的整数部分是3，
∴c＝3，综上所述，a＝1，b＝8，c＝3；
（2）∵a＝1，b＝8，c＝3，
∴2a+4b﹣c2＝2+32﹣9＝25，
∵25的平方根±5，
∴2a+4b﹣c2的平方根±5．
【点评】本题主要考查了立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定
义．
【变式5-11】（2022秋•兴化市校级期末）材料1：2.5的整数部分是2，小数部分是0.5，小数部分可以
看成是2.5﹣2得来的，类比来看，√2是无理数，而1＜√2＜2，所以√2的整数部分是1，于是可用
√2−1来表示√2的小数部分．
1 1
材料2：若10− √2=a+b√2，则有理数部分相等，无理数部分也相等，即a，b要满足a＝10，b=− ．
2 2
根据以上材料，完成下列问题：
（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）3+√3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+√3＜b，求a+b的算术平方根．
【分析】（1）根据完全平方数，进行计算即可解答；
（2）先估算出√3的值的范围，从而估算出3+√3的值的范围，进而求出a，b的值，然后代入式子中进行
计算即可解答．
【解答】解：（1）∵16＜17＜25，
∴4＜√17＜5，
∴√17的整数部分是4，小数部分是√17−4，
故答案为：4，√17−4；
（2）∵1＜3＜4，
∴1＜√3＜2，
∴4＜3+√3＜5，
∵3+√3也是夹在相邻两个整数之间的，可以表示为a＜3+√3＜b，
∴a＝4，b＝5，
∴a+b＝4+5＝9，
∴a+b的算术平方根是3．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．
【变式 5-12】（2022秋•烟台期末）阅读下面的文字，解答问题．例如：因为√4＜√7＜√9，即2＜√7＜3，所以√7的整数部分为2，小数部分为√7−2．
请解答下列各题：
（1）√17的整数部分是 ，小数部分是 ．
（2）已知9−√17小数部分是m，9+√17小数部分是n，且x2＝m+n，请求出满足条件的x的值．
【分析】（1）类比题目中方法进行估算；
（2）先通过估算确定出m，n的值，再求解x．
【解答】解：（1）∵√16＜√17＜√25，
即4＜√17＜5，
∴√17的整数部分是4，小数部分是√17−4，
故答案为：4，√17−4；
（2）∵√17的整数部分是4，
∴9−√17小数部分是m＝9−√17−4＝5−√17，9+√17小数部分是n＝9+√17−13=√17−4，
∴x2＝m+n＝5−√17+√17−4＝1，
∴x＝±1，
即满足条件的x的值是±1．
【点评】此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．
