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第 13 章 轴对称图形过关测试卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一．单项选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．下列图形中，为轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿一条直线折叠，直
线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形）即可求得答案．
【详解】根据轴对称图形的定义可知，选项D的图形为轴对称图形．
故选：D
2．若点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称，则m+n=（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．-7
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称与坐标变化的知识，关键在于掌握关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴
对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数．
利用关于y轴对称的点的坐标规律可知：m与4互为相反数，n等于3，即可求得m+n的值．
【详解】∵点A(m,3)与点B(4,n)关于y轴对称．
∴m=−4，n=3．
∴m+n=−4+3=−1．
故选：A．
3．兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲
守在△ABC（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三个角的角平分线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，即可
求解.【详解】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．
故选：C
4．若等腰三角形的两条边长分别是8和16，则它的周长是（ ）
A．40 B．32 C．32或40 D．24
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系．分两种情况：当8为腰长时，不符合三角形
三边关系，该三角形不存在；当16为腰长时，符合三角形三边关系，即而可以求出周长．
【详解】解：分两种情况：
当8为腰长时，
∵8+8=16，不符合三角形三边关系，
∴该三角形不存在；
当16为腰长时，
∵8+16>16，符合三角形三边关系，
∴该三角形周长为：8+16+16=40；
故选：A．
5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，点B关于直线AD的对称点是点B′，若∠B=50°，
则∠B′ AC的度数为（ ）
A．8° B．10° C．20° D．40°
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，轴对称的性质，由直角三角形两锐角互余可得
∠BAD=90°−50°=40°，进而由轴对称的性质可得∠B′ AD=∠BAD=40°，最后根据角的和差关
系即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．
【详解】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠B=50°，
∴∠BAD=90°−50°=40°，
∵点B关于直线AD的对称点是点B′，
∴∠B′ AD=∠BAD=40°，∴∠BAB′=80°，
∴∠B′ AC=∠BAC−∠BAB′=90°−80°=10°，
故选：B．
6．如图，在△ABC中，∠ACB=60°，BD为AC边上的高，CE平分∠BCA交BD于点E，AC=8，
CE=6，则△ACB的面积为（ ）
A．48 B．24 C．36 D．30
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理及直角三角形的性质，解题关键是
恰当作出辅助线求得三角形的高．由角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=30°，利用含30度角的直
角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，得到DE=3，再利用三角形内角和定理求出∠CBD=30，
推出BE=CE=6，求出BD=9，然后根据三角形面积公式求得即可．
【详解】解：∵CE平分∠ACB，∠ACB=60°，
∴∠DCE=∠BCE=30°，
∵BD⊥AC，CE=6，
1
∴DE= CE=3，
2
∵∠CBD=180°−∠ACB−∠CDB=30°，
∴BE=CE=6，
∴BD=DE+BE=9，
∵AC=8，
1 1
∴S = AC·BD= ×8×9=36．
△ABC 2 2
故选：C．
7．如图所示，把一张两边分别平行的纸条沿着EF折叠，ED交BF于点G，∠EFB=48°，则∠EGF=
（ ）A．48° B．42° C．84° D．72°
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题
意得到∠EFB=∠HEF=48°，由于折叠得到∠HEF=∠FEG=48°，即可求出∠AEG=84°，即可
得到答案．
【详解】解：∵两边分别平行，
∴ ∠EFB=∠HEF=48°，
∵沿着EF折叠，
∴ ∠HEF=∠FEG=48°，
∴∠AEG=180°−∠FEG−∠HEF=84°，
∴∠EGF=∠AEG=84°．
故选C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD是高，AC=2，则BD的长为（ ）
A．❑√3 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】解：∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠90°=∠ACB，
∴∠ACD=∠B=90°−∠A，∵∠B=30°，
∴∠ACD=30°，
1
∴AD= AC=1，
2
∴AB=2AC=4，
∴BD=AB−AD=3．
故选：C．
9．在平面直角坐标系中，若点P的坐标是(1,5)，则点P关于x轴对称点的坐标是（ ）
A．(−1,−5) B．(1,−5) C．(−1,5) D．(5,1)
【答案】B
【分析】此题主要考查了关于x轴、y轴对称点的坐标特点，根据关于x轴对称点的坐标特点：纵坐标
互为相反数，横坐标不变求解即可．
【详解】解：若点P的坐标是(1,5)，则点P关于x轴对称点的坐标是(1,−5)，
故选：B．
10．如图，在△ABC中，DE,FG分别是线段AB,BC的垂直平分线，若∠ABC=100°，则∠DBF的度
数是（ ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，由线段垂直平分线的性
质得出∠A=∠DBA，∠C=∠FBC，由三角形内角和定理得出∠A+∠C=180°−∠ABC=80°，
等量代换可得出∠DBA+∠FBC=80°，再利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解： DE,FG分别是线段AB,BC的垂直平分线，
AD=DB，B∵F=FC，
∴∠A=∠DBA，∠C=∠FBC，
∴∠A+∠C=180°−∠ABC=80°，
∵∠DBA+∠FBC=80°，
∴∠DBF=∠ABC−(∠DBA+∠FBC)=20°，
∴故选：A．11．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的顶点上，请在图形中找一个格点C，使
△ABC是等腰三角形，这样的格点C有（ ）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．当AB为底时，作AB的垂直平分线，当
AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，分别找到格点即可求解．
【详解】解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有2个，
当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有6个；
∴这样的顶点C有8个．
故选：C．
12．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=32，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE=8．
将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合，①BD=16；②点E到AC的距离为8；③
∠AGE+∠EMD=2∠C；④AB=2AE，以上结论正确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质可判断①；根据角平分线的性质可判断②；由折叠的性质及和角关系、
S AE AB
三角形内角和可判断③；由 △ABE = = ，得AB=2AE，即可判断④．
S DE BD
△BDE
【详解】解：∵AB=AC，BC=32，AD⊥BC，
1
∴BD= BC=16；
2
故①正确；
如图，过点E作EF⊥AB，EH⊥AC，垂足分别为F，H，
∵BE平分∠ABC，
∴ED=EF=8；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，
∴EH=EF=8,
即点E到AC的距离为8；
故②正确；
由折叠知，∠CGM=∠EGM，∠CMG=∠EMG；
∵∠AGE=180°−∠CGM−∠EGM=180°−2∠CGM，
同理，∠EMD=180°−2∠CMG，
∴∠AGE+∠EMD=360°−2(∠CMG+∠CGM)
=360°−2(180°−∠C)
=2∠C；
故③正确；
1 1
AE⋅BD AB⋅EF
S 2 2
∵ △ABE = = ，
S 1 1
△BDE DE⋅BD BD⋅DE
2 2AE AB
即 = ，
DE BD
AE AB
∴ = ，
8 16
∴AB=2AE；
故④正确；
综上，正确的有4个；
故选：A．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质，折叠的性质，三角形内角和，高
相等的两个三角形面积的比等于底边的比，掌握以上知识是解题的关键．
二．填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．等腰三角形的顶角等于80°，则它的底角等于 °．
【答案】50
【分析】本题主要考查了等边对等角和三角形内角和定理，等腰三角形两底角相等结合三角形内角和
为180度即可求出答案．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角等于80°，
180°−80°
∴它的底角等于 =50°，
2
故答案为：50．
14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l交BC于点D，BC=7,AC=4，则△ACD的周长为 ．
【答案】11
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，然后利用
等量代换得到△ACD的周长为AC+BC．
【详解】解：∵AB的垂直平分线l交BC于点D，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=4+7=11，
故答案为：11．15．如果点A(−4,m)和点B(n,3)关于y轴对称，那么m+n= ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，代数式求值，熟知关于y轴对称的点横坐标互为
相反数，纵坐标相同是解题的关键．
根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同求出m、n的值，然后代值计算即可．
【详解】解：∵点A(−4,m)和点B(n,3)关于y轴对称，
∴n=4，m=3，
∴m+n=3+4=7．
故答案为：7
16．如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=30°，线段AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点F，连接
AF，若AF=4，则BC= ．
【答案】12
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段
的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到
∠B=∠C=30°，根据线段垂直平分线的性质得到FA=FC=4，得到∠BAF=90°，根据在直角三
角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半计算即可．
【详解】解：∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠BAC=120°，∠B=∠C=30°，
∵EF是AC的垂直平分线，
∴FC=AF=4，
∴∠FAC=∠C=30°，又∠BAC=120°，
∴∠BAF=90°，
∵∠B=30°，
∴BF=2AF=8，
∴BC=BF+FC=12．
故答案为：12．
17．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点D，过D作EF∥BC交
AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长等于 ．【答案】18
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质．平行结合角平分线，推出BE=DE，DF=CF，进而得
到△AEF的周长为AB+AC，即可得出结果．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，
∴∠2=∠5=∠1，∠3=∠6=∠4，
∴BE=DE，DF=CF，
∴△AEF的周长为AE+EF+AF
=AE+DE+DF+AF
=AE+BE+CF+AF
=AB+AC
=18；
故答案为：18．
18．如图，在五边形中，∠BAE=140°，∠B=∠E=90°，在边BC，DE上分别找一点M，N，连接
AM，AN，MN，则当△AMN的周长最小时，求∠AMN+∠ANM的值是 ．
【答案】80°/80度
【分析】本题考查了轴对称−最短路线问题、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．作点A关于BC的对称点A′，关于DE的对称点A″，连接A′B，A′M，A″E，A″N，
当△AMN的周长最小时，周长为A′ A″，再由对称性可得∠A''+∠A'=∠A' AM+∠NAE=40°，则
可求∠AMN+∠ANM．
【详解】解：作点A关于BC的对称点A′，关于DE的对称点A″，连接A′B，A′M，A″E，A″N，
∴AM=A′M AN=A″N
， ，
∴AM+AN+MN=A′M+MN+A″M≥A′ A″，
当△AMN的周长最小时，不等式取等号，即周长为A′ A″，
∵∠B=∠E=90°，
∴A、B、A′共线，A、E、A″共线，
∴∠A′=∠A′ AM，∠A″=∠NAE，
∴∠A′ AM+∠NAE=∠A″+∠A′=180°−∠BAE，
∵∠BAE=140°，
∴∠A''+∠A'=∠A' AM+∠NAE=40°，
∴∠AMN+∠ANM=180°−∠MAN=180°−(140°−∠A′ AM−∠NAE)=80°，
故答案为：80°．
三．解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高．求证：△ADB≌△ADC．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的性质，找出全等三角形的条件是解题的关键．
根据等腰三角形的性质得出AB=AC，根据AAS证明三角形全等即可．
【详解】证明： ∵AD是高，∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△ADB≌△ADC(AAS)．
20．（8分）如图所示．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形△A B C ，并写出点C 的坐标；
1 1 1 1
(2)求出△A B C 的面积；
1 1 1
(3)在y轴上作出一点M，使MB+MC的值最小．
【答案】(1)见解析，C (1,−1)
1
13
(2)
2
(3)见解析
【分析】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接，根据C 在坐标系中的位置写出坐标即可；
1
（2）根据割补法即可求得三角形的面积；
（3）连接B C交y轴于点M，则M点即为所求．
1
【详解】（1）解：如图所示△A B C 即为所求，C (1,−1)；
1 1 1 1
1 1 1 13
（2）解：S =3×5− ×5×1− ×2×3− ×2×3=
△A 1 B 1 C 1 2 2 2 2
（3）解：如图，点M即为所求．21．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，
(1)过点B作∠ABC的平分线交AC于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和
证明）；
(2)若AC=9，求点D到AB的距离．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查基本作图、角平分线的性质定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是
熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作DH⊥AB于H．只要证明CD=DH，AD=2DH即可解决问题；
【详解】（1）解：∠ABC的平分线如图所示．
（2）解：作DH⊥AB于H．
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DH⊥AB，∴CD=DH，
在Rt△ADH中，∵∠C=90°，∠ABC=60°
∴∠A=30°，
∴AD=2DH=2CD，
∵AC=9，
∴CD=3，AD=6，
点D到AB的距离DH=3．
22．（8分）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D是AB上一点，过点D作DE⊥BC交BC于点E，
交CA的延长线于点F．
(1)证明：△ADF是等腰三角形；
(2)若∠B=60°，BD=16，AD=5，求EC的长．
【答案】(1)见详解
(2)13
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，掌握
等腰三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）由AB=AC得∠B=∠C，再根据余角性质可得∠F=∠BDE，最后根据对顶角的性质可得
∠F=∠FDA，据此即可求证；
1
（2）由∠B=60°可得∠BDE=30°，进而由直角三角形的性质可得BE= BD=8，又可得△ABC
2
是等边三角形，得到BC=AB=AD+BD，据此即可求解；
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵FE⊥BC，
∴∠CEF=∠BED=90°，
∴∠F+∠C=90°,∠BDE+∠B=90°，∴∠F=∠BDE，
∵∠BDE=∠FDA，
∴∠F=∠FDA，
∴AF=AD，
∴△ADF是等腰三角形；
（2）解：∵∠DEB=90°,∠B=60°，
∴∠BDE=30°，
∵BD=16，
1
∴BE= BD=8，
2
∵AB=AC,∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AB=AD+BD=5+16=21，
∴EC=BC−BE=21−8=13．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，点E在BC边上，且CE=CD，
AE=BD．
(1)求证：△ACE≌△BCD；
(2)若∠CAE=25°，求∠BDE的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)20°
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形．全等三角形的判定是结合全等三角
形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论；
（2）利用①中全等三角形的对应角相等，等腰直角三角形的性质可以求得∠BDE=20°．
【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，
∴∠BCD=90°．
在Rt△ACE和Rt△BCD中，{AE=BD)
，
CE=CD
∴Rt△ACE≌Rt△BCD(HL)．
（2）∵Rt△ACE≌Rt△BCD，
∴∠CAE=∠CBD=25°．
∵CE=CD，∠BCD=90°，
∴∠EDC=∠DEC=45°．
∴∠BDC=90°−∠CBD=65°，
∴∠BDE=∠BDC−∠EDC=65°−45°=20°．
24．（10分）如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一点，且DE=CE，连接BD，
CD．
(1)试判断BD与AC的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的数量关系和位置关系，并说明理
由；
(3)如图3，若将（2）中的两个等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．你能求出BD与
AC的夹角度数吗？如果能，请求出夹角度数（夹角α：0°≤α≤90°）；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)BD=AC，BD⊥AC，理由见解析
(2)BD=AC，BD⊥AC，理由见解析
(3)BD与AC的夹角为60°
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．
（1）延长BD交AC于F，求出∠AEB=∠AEC=90°，证出△BED≌△AEC，推出BD=AC，
∠DBE=∠CAE，根据∠EBD+∠BDE=90°推出∠ADF+∠CAE=90°，求出∠AFD=90°即可；
（2）求出∠BED=∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出BD=AC，∠BDE=∠ACE，根据
∠ACE+∠EOC=90°，求出∠BDE+∠DOF=90°，求出∠DFO=90°即可；
（3）求出∠BED=∠AEC，证出△BED≌△AEC，推出∠BDE=∠ACE，根据三角形内角和定理求出∠DFC即可．
【详解】（1）解：BD=AC，BD⊥AC，
理由：延长BD交AC于F，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△BED和△AEC中，
{
BE=AE
)
∠BED=∠AEC ，
DE=EC
∴△BED≌△AEC(SAS)，
∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，
∵∠BED=90°，
∴∠EBD+∠BDE=90°，
∵∠BDE=∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE=90°，
∴∠AFD=180°−90°=90°，
∴BD⊥AC．
（2）解：BD=AC，BD⊥AC，
理由：设AC与DE交于点O，如图：
∵∠BEA=∠DEC=90°，∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
{
BE=AE
)
∠BED=∠AEC ，
DE=EC
∴△BED≌△AEC(SAS)，
∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，
∵∠DEC=90°，
∴∠ACE+∠EOC=90°，
∵∠EOC=∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF=90°，
∴∠DFO=180°−90°=90°，
∴BD⊥AC．
（3）解：BD与AC所成的角的度数为60°．
∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE=BE，DE=EC，∠EDC=∠DCE=60°，∠BEA=∠DEC=60°，
∴∠BEA+∠AED=∠DEC+∠AED，
∴∠BED=∠AEC，
在△BED和△AEC中，
{
BE=AE
)
∠BED=∠AEC ，
DE=EC
∴△BED≌△AEC(SAS)，
∴∠BDE=∠ACE，BD=AC．
∴∠DFC=180°−(∠BDE+∠EDC+∠DCF)
=180°−(∠ACE+∠EDC+∠DCF)
=180°−(60°+60°)
=60°，
即BD与AC所成的角的度数为60°．
25．（12分）综合与实践：
我们知道，在一个三角形中，相等的边所对的角相等，那么，不相等的边所对的角之间的大小关系是
怎样的呢？【观察猜想】
（1）在△ABC中，AB>AC，猜想∠C与∠B的大小关系；
【操作证明】
（2）如图1，某同学发现在△ABC中，若AB>AC，可将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落
在边AB上的E点，折线交BC于点D，连接ED，发现∠AED=∠B+∠EDB，……，请用上述思路
证明（1）中猜想的结论；
【操作发现】同学们用类似操作继续折纸探究“大边对大角，大角对大边”，发现存在图1中的四边
形AEDC，满足AE=AC，DE=DC．查阅资料，如图2有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”．
【拓展应用】
（3）资料显示，“筝形”仪器可用于检测门框是否水平．如图3，“筝形”仪器AEDC上的点A处绑
一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤．某同学将仪器上的点E、C紧贴门框上方，观察若线绳恰好经过
点D，则可判断门框是水平的．请说明此同学做法的理由；
（4）如图4，在△ABC中，∠A=90°，∠B=30°，E，F分别是边AB，BC上的动点、当四边形
AEFC为“筝形”时，请直接写出∠BFE的度数．
【答案】（1）∠C>∠B；（2）见解析；（3）见解析；（4）∠BFE=90°或30°．
【分析】本题考查折叠的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形“三线合
一”的性质．掌握三角形全等的判定定理和性质定理，理解“筝形”的定义是解题关键．
（1）做出自己猜想即可；
（2）由折叠可得出∠AED=∠C，再根据三角形外角性质即可解答；
（3）易证△ADE≌△ADC(SSS)，得出AD为∠CAE的平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性
质得出AD⊥CE，从而可证；
（4）由题意可求出∠ACB=60°，再分类讨论：①当AE=FE，AC=FC时和②当AE=AC，
FE=FC时，结合全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）在三角形中长边对应大角，猜想∠C>∠B；
（2）由折叠可知∠AED=∠C，
∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠C=∠B+∠EDB，
即∠C>∠B；
{AD=AD
)
（3）在△ADE和△ADC中， AE=AC ，
DE=DC
∴△ADE≌△ADC(SSS)，
∴∠DAE=∠DAC，即AD为∠CAE的平分线．
∵AE=AC，
∴AD⊥CE．
∵AD为铅锤线，
∴CE是水平的，即门框是水平的；
（4）∵∠A=90°，∠B=30°，
∴∠ACB=60°．
分类讨论：①当AE=FE，AC=FC时，如图，
∵四边形AEFC为“筝形”，
∴△ACE≌△FCE，
∴∠EFC=∠A=90°，
∴∠BFE=90°；
②当AE=AC，FE=FC时，如图，
∵四边形AEFC为“筝形”，
∴△AFE≌△AFC，
∴∠AEF=∠ACB=60°，
∴∠BFE=∠AEF−∠B=30°．
综上可知∠BFE=90°或30°．26．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点E为AC上一动点，过点A作AD⊥BE于D，
连接CD．
(1)如图①，点E在运动过程中，求∠CDB的度数；
(2)如图②，若E为AC中点，探究BE与DE的数量关系，写出证明过程．
(3)在点E运动过程中，是否存在△ACD是等腰三角形，若存在，请直接写出∠CBD的值；若不存在；
请说明理由．
【答案】(1)45°
(2)BE=5DE，证明见解析
(3)存在，22.5°
【分析】（1）过点C作CF⊥CD于点F，易得到△ADC≌△BFC(ASA)，利用全等三角形的性质容
易得到△DCF是等腰直角三角形，利用直角三角形的性质求解；
（2）过点C作CG⊥CD交BD于点G，CH⊥BD于点H，由中点得到CE=AE，进而得到
△CHE≌△ADE，得到HE=DE，CH=AD．用（1）的方法得到△ADC≌△BFC，进而
CH=BG，然后利用线段关系求解；
（3）根据AD⊥BE得到∠ADB=90°，要使△ACD是等腰三角形，只有AD=DC成立．过点C作
CF⊥CD于点F，用（1）的方法求出∠BDC的度数，再利用等腰三角形的性质求解．
【详解】（1）解：过点C作CF⊥CD于点F，如下图
∵ ∠ACD=∠DCF−∠ECF=90°−∠ECF，
∠BCF=∠ACB−∠ECF=90°−∠ECF，
∴∠ACD=∠BCF．
在△ADE和△BCE中
∠ADE=∠BCE=90°，∠DEA=∠CEB（对顶角相等），∴∠DAC=∠FBC．
在△ADC和△BFC中
{∠ACD=∠BCF
)
AC=BC ，
∠DAC=∠FBC
∴△ADC≌△BFC(ASA)，
∴CD=CF．
∵ CF⊥CD，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°．
（2）证明：过点C作CG⊥CD交BD于点G，CH⊥BD于点H，如下图
则∠CHE=∠ADE=90°．
∵ E为AC中点，
∴CE=AE．
在△CHE和△ADE中
{∠CHE=∠ADE
)
∠CEH=∠AED ，
CE=AE
∴△CHE≌△ADE(AAS)，
1
∴HE=DE= DH，CH=AD．
2
由（1）同理可得△DAC≌△GBC，
∴AD=BG，CG=CD，
∴CH=BG．
∵CG=CD，CH⊥DG，
∴DH=GH，
1
∴CH=DH=GH= DG，
2
∴BG=GH=2DE，∴BE=BG+GH+HE=2DE+2DE+DE=5DE，
即BE=5DE．
（3）解：存在．
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=90°，
要使△ACD是等腰三角形，
只有AD=DC成立．
过点C作CF⊥CD于点F，如下图
∵ ∠ACD=∠DCF−∠ECF=90°−∠ECF
，
∠BCF=∠ACB−∠ECF=90°−∠ECF，
∴∠ACD=∠BCF．
在△ADE和△BCE中
∠ADE=∠BCE=90°，∠DEA=∠CEB（对顶角相等），
∴∠DAC=∠FBC．
在△ADC和△BFC中
{∠ACD=∠BCF
)
AC=BD ，
∠DAC=∠FBC
∴△ADC≌△BFC(ASA)，
∴CD=CF，∠DAC=∠FBC．
∵ CF⊥CD，
∴△DCF是等腰直角三角形，
∴∠BDC=45°．
∵CD=AD，
∴∠CAD=∠DCA=∠FBC．
∵BD⊥AD，∠BDC=45°，
180°−90°−45°
∴∠DAC=∠DCA= =22.5°，
2
∴∠CBD=∠FBC=∠DCA=22.5°．【点晴】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，中点的性质，全
等三角形的判定和性质，作出辅助线，构建三角形全等是解答关键．
