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专题三 绝对值化简与求值
一、单选题
1．如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①(a−1)(b−1)>0；②
(a−1)(b+1)>0；③(a+1)(b+1)>0．其中正确式子的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．①③ D．①②③
2．已知有理数a、b、c，且a+c<0、b+c>0，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a0；③
b−1
(b−1)(a+1)>0；④ >0．其中正确的有（ ）个．
|a−1|
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图所示，在数轴上有理数a，b，c，−2的位置如图所示，若
m=|2a+b|−|−2−b|−|2a−2c|−4，则6(m+2c−1) 2+3(m+2c+4) 3的值是( )
A．77 B．78 C．−77 D．−78
5．点M,N,P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M,N,P对应的有理数为a,b,c（对应顺
序暂不确定）．如果ab<0，a+b>0，ac>bc，那么表示数b的点为（ ）A．点M B．点N C．点P D．点O
6．有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是（ ）
a
A．a+b<0 B．a−b<0 C．ab>0 D． >0
b
7．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则|a|−|a−b|+|c−a|+|b−c|的值是（ ）
A．2c−3a B．a C．2c−a D．2c−2b
8．有理数x、y、z满足|x+ y+z|=x−y−z，且y≠0，则|x−y+z+4|−|y−2|的值为（ ）
A．2 B．0 C．6 D．不能求出
9．有理数a，b在数轴上的对应点如图，下列式子：①a>0>b；②|b|>|a|；③ab<0；④
a
a−b>a+b；⑤ <−1，其中错误的个数是（ ）
b
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，有理数a、b、c分别对应数轴上的点A、B、C，且|a|=|c|，则下列判断中正确的是
（ ）
A．ab<0 B．b+c<0 C．a+b>0 D．a−b<0
11．有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论错误的是（ ）A．|a|＜|b| B．﹣a＜b
C．a﹣b＜0 D．（a＋1）（b﹣1）＜0
12．实数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则代数式|a|−|a+b|+|c−a|+|b−c|的值等于（ ）．
A．a B．2a-2b C．2c-a D．-a
a
13．下列说法：①若a,b互为相反数，则 =−1；②若 b<00；②b+a+(−c)>0；③ + + =1；④bc−a>0；⑤
|a| |b| c
|a−b|−|c+b| +|a−c|=−2b，其中正确的有 （请填写编号）．
17．下列结论：
①若|x|=|−3|，则x=±3；
②若|−x|=|−3|，则x=3；
③若|x|=|y|，则x= y；
|x|
④若x+ y=0，则 =1；
|y|
|a| |b| |c| |abc|
⑤已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则 + + − 的值为2
a b c abc
或−2．
其中，错误的结论是 （填写序号）．
18．对于任意有理数a和b(a、b都不为0)，满足|a|=|a+b|+|b|，则对于下列关系式：①
a−b>0；②ab<0；③a+b>0；④|a|≥|b|，其中一定成立的是 ．(只填序号)
19．数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|a|−|a−b|+2|b−c|= ．b+c a+c a+b
20．已知a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc>0，则 + + = ．
|a| |b| |c|
a−b−c b−c−a c−a−b
21．已知有理数a,b,c满足abc<0，a+b+c=0，则式子 + + 的值为
|a| |b| |c|
．
1 1 a
22．已知a,b为有理数，下列结论：①若a>b，则 < ；②若a+b=0，则 =−1；③若a3+b3=0，
a b b
则a+b=0；④若ab>0，则|a+b|=|a|+|b|；⑤a2 ⩾a．其中正确的为 ．（填序
号）
23．如图，数轴上A、B两点所表示的数分别为a、b，下列各式中：①（a－1）（b－1）＞0；②
（a－1）（b＋1）＞0；③（a＋1）（b＋1）＞0．其中，正确式子的序号是 ．
24．下列说法正确的是 （填写序号）
a
①若|x|+2x=6，则x=2．②若a、b互为相反数，且ab≠0，则 =−1③若a+b+c=0，则关于x方
b
|ab| |ac| |bc| |a| |b| |c|
程ax+b=−c的解为x=1．④若三个有理数a、b、c满足 + + =−1，则 + + =1
ab ac bc a b c25．已知(|x−2|+|x+1|)(|y−2|+|y−6|)=12，则(x+ y) 2021的最小值为 ．
|a|b |b|c |c|a
26．若abc≠0，则： + + ＝ ．
a|b| b|c| c|a|
27．若|x −1|+|x −2|+|x −3|+⋯+|x −2021|=0，则2x 1−2x 2−2x 3−⋯−2x 2020+2x 2021= ．
1 2 3 2021
28．如图，A，B两点在数轴上的位置表示的数分别为a，b．有下列四个结论：①(b−1)(a+1)>0；
b−1
②
>0；③(a+b)(a−b)>0；④b>−a>−b>a．其中正确的结论是
（只填写序号）．
|a−3|
三、解答题
29．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且|a|>|b|．
(1)填空：a_____0；b_____0；a−c_____0；a+b_____0；（用“>”或“<”或“=”填空）
(2)化简代数式：|a−c|−|a+b|−|b|+|2a|．
30．已知，数a、b、c在数轴上的位置如图：(1)判断正负，用“>”或“<”连接：
a+1__________0，b−c__________0，2a−c__________0，b−1__________0；
(2)化简：|a+1|+|b−c|+|2a−c|−|b−1|．
31．已知：x ，x ，…，x 都是不等于0的有理数，请你探究以下问题：
1 2 2022
|x |
(1)①若y = 1 ，则y =_______；
1 x 1
1
|x | |x |
②若y = 1 + 2 ，则y = _______；
2 x x 2
1 2
|x | |x | |x |
(2)若y = 1 + 2 + 3 ，求y 的值；
3 x x x 3
1 2 3
|x | |x | |x | |x |
(3)由以上探究可知，y = 1 + 2 + 3 +⋯+ 2022 ，则y 共有_____个不同的值；在y 这
2022 x x x x 2022 2022
1 2 3 2022
些不同的值中，最大的值和最小的值的差等于_____，y 的这些所有的不同的值的绝对值的和等于
2022
_____．
32．已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，且|a|=|b|．
(1)a______b，b______c（用“＞”、“＜”或“=”填空）
a
(2)a+b=______， =______
b(3)化简|a+b|+|a−b|+|a+c|+|b−c|．
33．（1）根据|x|是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题．
①x取何值时，|x+3|−6的值最小，最小值是多少？
②x取何值时，5−|x−2|的值最大，最大值是多少？
a a a
（2）已知若a>0，则|a|=a，即 =1，若a<0，则|a|=−a，即 = =−1，如果x、y、
|a| |a| −a
x+ y x+z y+z
z是有理数，且x+ y+z=0，xyz<0时，求 + + 的值．
|z| |y| |x|
34．有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示.
(1)比较大小：a−c ___0，a+b ___0，a____0(直接填写“＞”“＜”或“=”)
(2)化简：|a|−|b−a|+|a−c|+|2a|．35．（1）已知(a−3) 2+|b−2|=0，c和d互为倒数，m和n互为相反数，且mn<0，y为最小的正整
n
数，求|a−b|+ −|−y|+2cd的值；
m
（2）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|a+c|−|a−b|+|b−c|．
36．数轴上A、B、C对应的数分别是a、b、c．
(1)若ac<0,|a|=−a,a+b>0,|b|<|c|．
①请将a、b、c填入括号内．
②化简|a−b|+|a+c|−|c−b|．
③若点X在数轴上表示的数为x，则|x−a|+|x−b|+|x−c|有最小值__________．
(2)若|a+b+c|=a+b−c，且c≠0，求|c−3|−|a+b−c+1|的值．
37．（1）先化简，再求值：(−x2+5+4x)+(5x−4+2x2)，其中x=−2．
（2）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简|c|−|a|+|−b|+|−a|−|c+1|．38．（1）先化简，再求值：(3a2−ab+7)−(5ab−4a2+7)，其中|a−1|+(b+1) 2=0
（2）有理数x，y在数轴上对应点如图所示：化简：|x+ y|−|y−x|+|y|．
39．在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简|x|为例．当x>0时，|x|=x；当
x=0时，|x|=0；当x<0时，|x|=−x．求解下列问题：
x x x
(1)当x=3时， 值为______，当x=−3时， 的值为______，当x为不等于0的有理数时， 的
|x| |x| |x|
值为______；
y+z x+z x+ y
(2)已知x+ y+z=0，xyz>0，求 + − 的值；
|x| |y| |z|
(3)已知：x ，x ，…，x ，x ，这2022个数都是不等于0的有理数，若这2022个数中有n个正
1 2 2021 2022
x x x x
数，m= 1 + 2 +⋅⋅⋅+ 2021 + 2022 ，则m的值为______（请用含n的式子表示）
|x | |x | |x | |x |
1 2 2021 202240．已知a，b，c三个数在数轴上对应点的位置如图所示：
（1）在数轴上标出﹣a，﹣b，﹣c这三个数所对应的点，并将a，b，c，﹣a，﹣b，﹣c这6个数按
从小到大的顺序用“＜”连接；
（2）若b3＝﹣27，请化简式子：|a＋3|﹣2|c﹣3|＋|a﹣c|；
（3）若a＋b＋c＝0，且表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互为相反
数，求﹣3（a﹣b）﹣（c＋5）﹣2（c＋4b）的值．参考答案
1．B
【分析】根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及-1的大小关系，从而可确定a-1、a+1、
b-1及b+1的符号，进而可确定式子的符号，从而作出判断．
【详解】由数轴知，-10，b-1<0，b+1<0
所以(a−1)(b−1)>0，(a−1)(b+1)>0，(a+1)(b+1)<0
即①②正确，③错误
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数乘法的法则，根据有理数在数轴上的位置确定
a、b两数与1及-1的大小关系，熟悉有理数乘法的符号法则是本题的关键．
2．D
【分析】本题考查有理数的加法中的符号法则，根据有理数加法的符号法则：“同号相加，取相同
的符号，再把绝对值相加，异号相加，取绝对值大的数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，
进行计算”，进行判断即可．
【详解】解：∵a+c<0，
∴a,c的符号可能同为负，也可能一正一负，且负数的绝对值大于正数的绝对值，或者一个为负，
一个为0，
∵b+c>0，
∴b,c的符号可能同为正，也可能一正一负且正数的绝对值大于负数的绝对值，或者一个为正，一
个为0，
∴不能确定a、b、c的大小关系，
故选D．
3．A
【分析】本题主要考查了数轴，有理数的加减，乘除运算．先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各数的大小即可．
【详解】解：观察数轴得：−10，故②正确；
b−1>0,a+1>0，
∴(b−1)(a+1)>0，故③正确；
b−1
>0故④正确．
|a−1|
故选：A
4．B
【分析】本题考查有理数与数轴及整式的加减，化简绝对值，代数式求值，根据有理数与数轴的关
系可得b0，2a−2c<0，然后将m化简后代入
6(m+2c−1) 2+3(m+2c+4) 3中计算即可．
【详解】解：由数轴可得b0，2a−2c<0，
m=|2a+b|−|−2−b|−|2a−2c|−4
=−2a−b−(−2−b)−(2c−2a)−4
=−2a−b+2+b−2c+2a−4
=−2c−2，
则m+2c=−2，
6(m+2c−1) 2+3(m+2c+4) 3
=6×(−2−1) 2+3×(−2+4) 3
=6×9+3×8=54+24
=78，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查数轴，根据ab<0，a+b>0，ac>bc，即可判断点M,N,P对应的有理数的顺
序，熟练利用不等式判断a,b,c的大小是解题的关键．
【详解】解：∵ ab<0，a+b>0，
∴a,b异号，且正数的绝对值比较大，
∴根据数轴可得，c肯定为正数，
∵ac>bc，
∴a>b，
∴b为负数，
故表示数b的点为M，
故选：A．
6．B
【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a，b的关系，根据有理数的运算，可得答案．
【详解】∵﹣1＜a＜0，b＞1，
∴选项A：a+b>0，故错误，不符合题意；
选项B：a−b<0，正确，符合题意；
选项C：ab<0，错误，不符合题意；
a
选项D： <0，错误，不符合题意；
b
故选：B．
【点睛】本题考查了数轴，利用有理数的运算是解题关键．7．A
【分析】由图可知，a<0，b<0，c>0，|b|>|a|>|c|，然后确定各项的符号，去掉绝对值号，
计算答案．
【详解】解：由图可知a<0，b<0，c>0，|b|>|a|>|c|，a−b=a+(−b)>0，
c−a=c+(−a)>0，b−c=b+(−c)<0，
∴|a|−|a−b|+|c−a|+|b−c|
=(−a)−(a−b)+(c−a)−(b−c)
=−a−a+b+c−a−b+c
=−3a+2c．
故选：A．
【点睛】本题考查了数轴，绝对值，去括号，合并同类项，解题的关键是判断出a<0，b<0，c>0．
8．D
【分析】根据绝对值的意义分情况讨论求解，即可得出结论．
【详解】解：由题意，x−y−z≥0，即x≥ y+z，
当x+ y+z≥0时，则|x+ y+z|=x+ y+z，
∴x+ y+z=x−y−z，则y+z=0，
∵y≠0，
∴y=−z≠0，z≠0，
∴|x−y+z+4|−|y−2|
=|x+z+z+4|−|−z−2|
=|x+2z+4|−|z+2|，故其值不能求出；
当x+ y+z<0时，则|x+ y+z|=−x−y−z，
∴−x−y−z=x−y−z，则x=0，y+z≤0，
∴|x−y+z+4|−|y−2|=|−y+z+4|−|y−2|，故其值不能求出，
故答案为：D．
【点睛】本题考查绝对值的意义，整式的加减，理解绝对值的意义，利用分类讨论思想求解是解答
的关键．
9．C
【分析】本题考查了借助数轴进行的有理数的相关运算．先由数轴得a<0|b|，再逐个
序号判断即可．
【详解】解：如图：
由数轴可得：a<0|b|，
a
∴ab<0，a−b|b|，结合有理数加减运算法则以及乘法运算法则进行判
断即可．
【详解】解：根据题意可得：a|b|，
∴ab>0，b+c>0，a+b<0，a−b<0，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，也考查了有理数的相关运算法则，熟练掌握相关运
算法则是解本题的关键．11．D
【分析】根据数轴上点的位置可得a<0<10即−a0，b−1>0，故B选项不符合题意；
∴(a+1)(b−1)>0，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置判定式子正负，解题的关键在于能够根据数轴得到
a<0<10，再由绝对值的意义进行化简，即可
得到结果，熟练掌握利用数轴判断式子的正负是解题关键．
【详解】解：根据数轴，a0，
∴|b|−|a+b|+2|c−b|
=−b+a+b+2c−2b
=a−2b+2c；
故答案为：a−2b+2c．
16．①③⑤
【分析】由数轴判断a，b，c的符号和它们绝对值的大小，再判断所给出的式子的符号，写出正确
的答案．
【详解】解：由数轴知b<00，故正确；
②b+a+(−c)<0，故原式错误；
a b |c|
③ + + =1，故正确；
|a| |b| c
④bc−a<0，故原式错误；
⑤|a−b|−|c+b|+|a−c|=−2b，故正确；
其中正确的有①③⑤，
故答案为：①③⑤．【点睛】此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不
容易遗漏，体现了数形结合的优点．
17．②③④
【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进
行判断，错误的举出反例即可．
【详解】解：①若|x|=|−3|，则x=±3，正确，不符合题意；
②若|−x|=|−3|，则x=±3，原结论不正确，符合题意；
③若|x|=|y|，则x=± y，原结论不正确，符合题意；
|x|
④若x+ y=0，当y≠0时，则 =1，原结论不正确，符合题意；
|y|
⑤∵a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，
∴a、b、c有三种情形：a<0，b<0，c<0或a<0，b>0，c<0或a<0，b>0，c>0或
a<0，b<0，c>0，
当a<0，b<0，c<0时，原式=−1−1−1−(−1)=−2；
当a<0，b>0，c<0时，原式=−1+1−1−1=−2，
当a<0，b>0，c>0时，原式=−1+1+1−(−1)=2，
当a<0，b<0，c>0时，原式=−1−1+1−1=−2．
|a| |b| |c| |abc|
综上，已知a、b、c均为非零有理数，若a<0，a+b<0，a+b+c<0，则 + + − 的值
a b c abc
为2或−2．正确，不符合题意；
故答案为：②③④．
18． /
②④④②
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，整式的加减．先根据绝对值的性质，分三种情况进行讨论，
①当a>0，b<0时；②当a<0，b>0时；③当a<0，b<0或a>0，b>0，就能得到答案．
【详解】解：分三种情况讨论：
①当a>0，b<0时，则a−b>0，ab<0由|a|=|a+b|+|b|，可得|a+b|=|a|−|b|=a+b，则|a|≥|b|，a+b≥0，
故①②④正确；
②当a<0，b>0时，则a−b<0，ab<0
由|a|=|a+b|+|b|，可得|a+b|=|a|−|b|=−a−b，则：a+b≤0，|a|≥|b|,
故②④正确；
③当a<0，b<0或a>0，b>0时，若|a|=|a+b|+|b|，则b=0，与已知条件矛盾，故舍去．
∴一定成立的是②④
故答案为：②④．
19．−2a−b+2c
【分析】由数轴上a，b，c对应的点可得，b＜a＜0，c＞0，即可得出a−b＞0，b−c＜0，
再根据绝对值的性质进行化简即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
b0，
则a−b>0，b−c<0，
|a|−|a−b|+2|b−c|
=−s−(a−b)−2(b−c)
=−a−a+b−2b+2c
=−2a−b+2c．
故答案为：−2a−b+2c．
【点睛】本题主要考查了数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的性质进行求解是解决本题的关键．
20．1
【分析】根据a+b+c=0，abc＞0，可得a，b，c三个数一定是一正两负，然后再进行化简计算
即可．
【详解】解：∵a，b，c是有理数，a+b+c=0，abc>0，∴a，b，c中一定是一正两负，
∵a+b+c=0，
∴b+c=−a，a+c=−b，a+b=−c，
b+c a+c a+b
∴ + +
|a| |b| |c|
−a −b −c
= + +
|a| |b| |c|
=−1+1+1
=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了有理数乘法，有理数加法和绝对值，学生必须熟练掌握才能正确解答．
21．2
【分析】由a+b+c=0得到b+c=−a、a+c=−b、a+b=−c，再根据abc<0得到有理数a,b,c一
负两正，去绝对值；代入代数式化简即可得到答案．
【详解】解：∵ a+b+c=0，
∴ b+c=−a、a+c=−b、a+b=−c，
a−b−c b−c−a c−a−b
∴ + +
|a| |b| |c|
a−(b+c) b−(a+c) c−(a+b)
= + +
|a| |b| |c|
2a 2b 2c
= + +
，
|a| |b| |c|
∵有理数a,b,c满足abc<0，a+b+c=0，
∴有理数a,b,c一负两正，
2a 2b 2c 2a 2b 2c
当a<0,b>0,c>0时， + + = + + =−2+2+2=2；
|a| |b| |c| −a b c2a 2b 2c 2a 2b 2c
当b<0,a>0,c>0时， + + = + + =2−2+2=2；
|a| |b| |c| a −b c
2a 2b 2c 2a 2b 2c
当c<0,a>0,b>0时， + + = + + =2+2−2=2；
|a| |b| |c| a b −c
a−b−c b−c−a c−a−b
综上所述， + + 值为2，
|a| |b| |c|
故答案为：2．
【点睛】本题考查有理数乘法性质、去绝对值、恒等变形求代数式值等，根据问题与条件的联系，
找准条件恒等变形是解决问题的关键．
22． /
③④④③
【分析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】①若a>b，当a=0>b时不等式不成立，不符合题意；
②若a+b=0，当a=b=0时不等式不成立，不符合题意；
③若a3+b3=0，则a+b=0，符合题意；
④若ab>0，则|a+b|=|a|+|b|，符合题意；
⑤a2 ⩾a，当00，故①正确；
∴
②、a−1<0，b+1<0，
∴(a−1)(b+1)>0，故②正确；③、a+1>0，b+1<0，
(a+1)(b+1)<0，故③错误；
故答案为：①②．
【点睛】题目主要考查了数轴上的点的大小比较、两个数相乘积的符号问题，熟练运用数轴上的点
的大小比较是解题关键．
24．①②③
【分析】根据绝对值的意义解方程可判断①；根据相反数的定义得到a=−b可判断②；根据方程的
解的意义可判断③；根据绝对值的意义可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①当x≥0时，方程可化为x+2x=6，解得x=2；
当x<0时，方程可化为−x+2x=6，解得x=6，故舍去，
故若|x|+2x=6，则x=2，①正确；
②若a、b互为相反数，且ab≠0，则a=−b，
a
∴ =−1，故②正确；
b
③∵a+b+c=0，
∴−b−c=a，
∵关于x的方程ax+b=−c，
∴a≠0，
−b−c
∴关于x的方程ax+b=−c的解为x= =1，
a
故③正确；
|ab| |ac| |bc|
④若三个有理数a、b、c满足 + + =−1，则ab、ac、bc中一定是两负一正，不妨设
ab ac bc
ab<0，ac<0，bc>0，
|a| |b| |c|
当a>0时，b<0，c<0，则 + + =1−1−1=−1；
a b c|a| |b| |c|
当a<0时，b>0，c>0，则 + + =−1+1+1=1，
a b c
|a| |b| |c|
综上， + + =−1或1，故④错误，
a b c
综上，说法正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查绝对值、相反数、方程的解、解一元一次方程、有理数的混合运算，理解绝对值
的意义是解答的关键．
25．1
【分析】根据式子确定x，y的范围，求出x，y的最小值，并得到x+ y的最小值，即可求解．
【详解】解：根据条件得：(|x−2|+|x+1|)≥3，(|y−2|+|y−6|)≥4，
∵(|x−2|+|x+1|)(|y−2|+|y−6|)=12，
∴|x−2|+|x+1|=3，|y−2|+|y−6|=4，−1≤x≤2，2≤ y≤6
∴x的最小值是−1，y的最小值是2，
∴x+ y的最小值是1，
∴(x+ y) 2021的最小值为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘方，解题的关键是根据式子确定x，y的范围．
26．3或-1
【分析】分四种情况进行讨论：①a、b、c均为正数，②a、b、c均为负数，③a、b、c两正一负，
④a、b、c两负一正，分别求值即可．
【详解】解：当a、b、c均为正数时，
|a|b |b|c |c|a
+ + =1+1+1=3；
a|b| b|c| c|a|
当a、b、c均为负数时，|a|b |b|c |c|a
+ + =1+1+1=3；
a|b| b|c| c|a|
当a、b、c两正一负时，
|a|b |b|c |c|a
+ + =1-1-1=-1；
a|b| b|c| c|a|
当a、b、c两负一正时，
|a|b |b|c |c|a
+ + =1-1-1=-1；
a|b| b|c| c|a|
|a|b |b|c |c|a
综上所述： + + 的值为3或-1，
a|b| b|c| c|a|
故答案为3或-1．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键．
27．6
【分析】由|x −1|+|x −2|+|x −3|+⋯+|x −2021|=0可得x =1,x =2,x =3,...x =2021，
1 2 3 2021 1 2 3 2021
然后将之代入2x 1−2x 2−2x 3−⋯−2x 2020+2x 2021，然后运用有理数乘法运算得出规律，求解即可．
【详解】解：∵|x −1|+|x −2|+|x −3|+⋯+|x −2021|=0，
1 2 3 2021
∴x =1,x =2,x =3,...x =2021，
1 2 3 2021
则2x 1−2x 2−2x 3−⋯−2x 2020+2x 2021= 21−22−23−...−22020+22021
＝22021−22020−...−23−22+2
＝2×22020−22020−...−23−22+2
＝2×22019−22019−...−23−22+2
．．．
＝2×22−22+2
＝22+2
＝4+2＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，绝对值非负性的应用，根据有理数乘方逆运算得出算式的规律
是解本题的关键．
28． /
①②②①
【分析】先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围，再比较出各数的大小即可．
【详解】解①∵−1＜a＜0，b＞1，
∴b−1＞0，a＋1＞0，
∴（b−1）（a＋1）＞0，故①正确；
②∵b＞1，
∴b−1＞0，
∵|a−3|＞0，
b−1
∴
>0，故②正确；
|a−3|
③∵−1＜a＜0，b＞1，
∴a+b>0，a−b<0，
∴(a+b)(a−b)<0，故③错误；
④∵−1＜a＜0，b＞1，
∴0<−a<1，−b<−1
∴b>−a>a>−b，故④错误；
故答案为：①②
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，先根据a、b在数轴上的位置判断出a、b的取值范围是
解答此题的关键．
29．(1)<，>，>，<(2)−c
【分析】（1）根据有理数a、b、c在数轴上的位置，进而判断即可；
（2）判断a−c，a+b，b，2a的符号，再化简绝对值即可．
【详解】（1）解：由数轴可知，c0，且|a|>|b|，
∴a−c>0，a+b<0，
故答案为：<，>，>，<；
（2）解：∵由（1）知，a−c>0，a+b<0，b>0，2a<0，
∴ |a−c|−|a+b|−|b|+|2a|
=a−c−[−(a+b)]−b+(−2a)
=a−c+a+b−b−2a
=−c．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，绝对值、有理数的减法，正确判断各个代数式的符号
是正确化简的关键．
30．(1)>；>；>；<
(2)3a+2b−2c
【分析】（1）根据数轴可得c<−1<0|a|，再根据有理数的加减法法则进行判断即
可；
（2）由（1）可得a+1>0，b−c>0，2a−c>0，b−1<0，根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】（1）解：由题意可得，c<−1<0|a|，
∴a+1>0，b−c>0，2a−c>0，b−1<0，
故答案为：>、>、>、<；（2）解：由（1）可得，a+1>0，b−c>0，2a−c>0，b−1<0，
∴|a+1|+|b−c|+|2a−c|−|b−1|
=a+1+b−c+2a−c+b−1
=3a+2b−2c．
【点睛】本题考查用数轴判断式子的符号、绝对值的性质及有理数的加减法则，熟练掌握数轴的定
义可得c<−1<0|a|是解题的关键．
31．(1)① y =±1；②y =0，±2
1 1
(2)y =±3，±1
1
(3)2023；4044；2046264
【分析】（1）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（2）根据绝对值的意义，分类讨论，可得答案；
（3）根据观察，归纳，发现规律，可得答案．
|x |
【详解】（1）解：①解：Ⅰ．当x >0时，|x |=x ，则 1 =1，
1 1 1 x
1
|x |
Ⅱ．当x <0时，|x |=−x ，则 1 =−1，
1 1 1 x
1
综上所述：y =±1，
1
故答案为：±1；
|x | |x |
②解：Ⅰ．当x >0，x >0时，则 1 =1， 2 =1，y =1+1=2，
1 2 x x 2
1 2
|x | |x |
Ⅱ．当x >0，x <0时，则 1 =1， 2 =−1，y =1+(−1)=0，
1 2 x x 2
1 2|x | |x |
Ⅲ．当x <0，x <0时，则 1 =−1， 2 =−1，y =−1+(−1)=−2．
1 2 x x 2
1 2
综上所述：y =0，±2．
2
故答案为：0，±2．
（2）解：有理数x ，x ，x 均不为0，大致可分为下面几种不同的类型：
1 2 3
Ⅰ．x ，x ，x 均为正数，即x >0，x >0，x >0，
1 2 3 1 2 3
|x | |x | |x |
∴ 1 =1， 2 =1， 3 =1，则y =2+1+1=3．
x x x 3
1 2 3
Ⅱ．x ，x ，x 中有两个为正数，一个为负数，不失一般性，x >0，x >0，x <0，
1 2 3 1 2 3
|x | |x | |x |
∴ 1 =1， 2 =1， 3 =−1，则y =1+1+(−1)=1．
x x x 3
1 2 3
Ⅲ．x ，x ，x 中有一个为正数，两个为负数，不失一般性，x >0，x <0，x <0，
1 2 3 1 2 3
|x | |x | |x |
∴ 1 =1， 2 =−1， 3 =−1，则y =(−1)+1+(−1)=−1．
x x x 3
1 2 3
Ⅳ．x ，x ，x 均为负数，即x <0，x <0，x <0，
1 2 3 1 2 3
|x | |x | |x |
∴ 1 =−1， 2 =−1， 3 =−1，则y =(−1)+(−1)+(−1)=−3．
x x x 3
1 2 3
综上所述，y =±3，±1．
3
（3）解：通过前面的例子不难看出当个数n为奇数时，值就有偶数个，n+1个数；当个数n为偶数
时，值就应该是奇数个，n+1个数；
∴y =0，±2，±4，…，±2022，共2023个数；
2022
∴最大的值与最小的值的差为2022−(−2022)=4044，
y 的这些所有值的绝对值之和为：
2022
0+2+4+⋯+2022+|−2|+|−4|+⋯+|−2022|=0+2+4+⋅⋅⋅+2022+(0+2+4+⋅⋅⋅+2022)
=2(0+2+4+⋅⋅⋅+2022)
=2(2+4+⋅⋅⋅+2022)
(2+2022)×1011
=2×
2
=2046264．
故答案为：2023，4044，2046264．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数混合运算，熟练掌握绝对值的意义|a|=¿，注意进行分类
讨论，发现规律是解题关键．
32．(1)＞；>
(2)0；
(3)−2c
【分析】（1）根据数轴上各点的位置判断各式子的符号即可；
（2）根据数轴上各点的位置判断各式子的符号即可；
（3）化简绝对值，再计算即可．
【详解】（1）解：由数轴得cb， b>c，
故答案为：>，>；
（2）解：∵b0，a+c<0，b−c>0
则|a+b|+|a−b|+|a+c|+|b−c|
=0+a−b−a−c+b−c
=−2c．
【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，整式的加减法，化简绝对值，正确理解数轴判断各式
子的符号是解题的关键．
33．（1）①当x=−3时，有最小值，最小值是−6；②当x=2时，有最大值，最大值是5；（2）−1
【分析】（1）①根据|x+3|是非负数可知其最小值是0，进而可得出结论；②要使5−|x−2|的值
最大，则|x−2|最小，据此可得出结论；
（2）由x+ y+z=0， xyz<0可知，x，y，z中必有一个小于0，两个大于0，故分三种情况讨论．
【详解】解：（1）①∵|x+3|是非负数，
∴其最小值是0．
∵|x+3|−6取最小值，
∴|x+3|取最小值0，
∴x+3=0，解得x=−3，
∴|x+3|−6的值最小为−6；
答：当x=−3时，有最小值，最小值是−6；
②∵5−|x−2|取最大值，
∴|x−2|取最小值，
∴x−2=0，解得x=2，
∴5−|x−2|的最大值是5．
答：当x=2时，有最大值，最大值是5；
（2）∵x+ y+z=0，xyz<0，
∴x+ y=−z，x+z=−y，y+z=−x，且三个数中有一个数为负，其他两个数为正，当x<0，y>0，z>0时，
−z −y −x
原式= + + =−1−1+1=−1；
|z| |y| |x|
当y<0，x>0，z>0时，
−z −y −x
原式= + + =−1+1−1=−1；
|z| |y| |x|
当z<0，x>0，y>0时，
−z −y −x
原式= + + =1−1−1=−1．
|z| |y| |x|
综上：代数式的值为-1．
【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知绝对值的性质是解题的关键．
34．(1)>，<，<；
(2)−a−b−c
【分析】（1）根据点在数轴上的位置即可判断式子的符号；
（2）先判断各式的符号，再去绝对值符号，进行合并即可．
【详解】（1）解：由数轴可得：c|a|>|b|，
∴a−c>0，a+b<0，a<0，
故答案为：>，<，<；
（2）解：由数轴可得：a<0，b−a>0，a−c>0，
∴|a|−|b−a|+|a−c|+|2a|
=−a−(b−a)+(a−c)−2a
=−a−b+a+a−c−2a
=−a−b−c
【点睛】本题考查了利用数轴判断式子的正负以及整式的加减，利用了数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的加法运算，差的绝对值是大数减小数，负数的绝对值是它的相反数．
35．（1）1；（2）−2c．
n
【分析】（1）根据非负数的性质求出a,b，倒数的定义可得cd=1，相反数的定义可得 =−1，由
m
y为最小的正整数是1，可得y的值为1，再代入计算即可求解;
（2）根据有理数a，b，c在数轴上的位置得到a+c<0,a−b<0,b−c>0，利用绝对值的意义去
掉绝对值符号后合并同类项即可．
【详解】（1）解：∵(a−3) 2+|b−2|=0，(a−3) 2≥0，|b−2|≥0
∴a−3=0，b−2=0
∴a=3,b=2
∵c和d互为倒数
∴cd=1
∵m和n互为相反数，且mn<0
n
∴ =−1
m
∵y为最小的正整数
∴y=1，
原式=|3−2|+(−1)−|−1|+2×1=1−1−1+2=1．
（2）解：由数轴得：c0
∴|a+c|=−(a+c)，
|a−b|=−(a−b)，
|b−c|=b−c；
原式=−(a+c)+(a−b)+b−c=−a−c+a−b+b−c=−2c．【点睛】本题主要考查实数的有理数的混合运算以及数轴，解题的关键是要明确倒数，相反数，绝
对值等的意义，然后把它们转化为数量关系．
36．(1)①见解析；②2b；③c−a；
(2)2
【分析】（1）①根据ac<0,|a|=−a,a+b>0,|b|<|c|，得到a<0,c>0,b>0,c>b，故a<00,c−b>0，去绝对值化简计算即可．③根据两点之间线段最短，故当x=b时，取
得最小值，化简计算即可．
（2）分a+b+c>0,a+b+c<0两种情况计算．
【详解】（1）①∵ac<0,|a|=−a,a+b>0,|b|<|c|，
∴a<0,c>0,b>0,c>b，
故a<00,c−b>0，
∴|a−b|+|a+c|−|c−b|
=b−a+a+c−c+b=2b．
③∵a<00时，
则|a+b+c|=a+b+c，
∵|a+b+c|=a+b−c，
∴a+b+c=a+b−c，
∴c=0，
∵c≠0，
故不成立；
当a+b+c<0时，
则|a+b+c|=−a−b−c，
∵|a+b+c|=a+b−c，
∴−a−b−c=a+b−c，
∴a+b=0，
∴|c|=−c
∴c<0，
∴|c−3|−|a+b−c+1|
=−c+3−1+c=2．
【点睛】本题考查了绝对值的化简，数轴上有理数大小的比较，线段最短的应用，熟练掌握绝对值
的化简，数的大小比较是解题的关键．
37．（1）x2+9x+1，−13；（2）1−b
【分析】（1）先去括号，再合并同类项，最后化简，将x=−2代入即可得出答案；
（2）根据数轴判断c<0，a>0，−b>0，−a<0，c+1<0，去掉绝对值，合并运算即可.
【详解】解：（1）原式=−x2+5+4x+5x−4+2x2=x2+9x+1，当x=−2时，原式=(−2) 2+9×(−2)+1=4−18+1=−13；
（2）由数轴可知：b0，−a<0，c+1<0，
∴原式=−c−a+(−b)+a−(−c−1)=−c−a−b+a+c+1=1−b.
【点睛】本题考查了整式的加减，根据数轴化简绝对值，根据整式加减的运算法则合并同类项化简
是解答此题的关键.
38．（1）7a2−6ab，13；（2）y
【分析】（1）先由非负数的性质求出a,b的值，再将原式去括号合并得到最简结果，然后将a,b的
值代入计算即可求出值；
（2）先由数轴可知y<0|y|，再根据绝对值的意义化简绝对值符号，合并同类项即可；
【详解】（1）解：∵|a−1|+(b+1) 2=0，
∴a−1=0,b+1=0，
∴a=1,b=−1，
(3a2−ab+7)−(5ab−4a2+7)
=3a2−ab+7−5ab+4a2−7
=7a2−6ab，
当a=1,b=−1时，
原式=7×12−6×1×(−1) =7+6=13；
（2）解：依题意，y<0|y|，
∴x+ y>0,y−x<0,y<0
∴|x+ y|−|y−x|+|y|
=x+ y−(x−y)+(−y)
=x+ y−x+ y−y=y．
【点睛】本题考查了整式的化简求值及化简绝对值，根据数轴判断正负是解题的关键．
39．(1)1，−1，1或−1
(2)−1或3
(3)2n−2022
【分析】（1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可；
（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“x为正数，y，z为负数”，“y为正数，x，z为负数”，
“z为正数，x，y为负数”三种情况逐一分析计算即可；
（3）根据题意，这2022个数中有n个正数，有(2022−n)个负数，然后整理化简即可获得答案．
x 3 3
【详解】（1）解：当x=3时， = = =1，
|x| |3| 3
x −3 −3
当x=−3时， = = =−1，
|x| |−3| 3
当x为不等于0的有理数时，
x x x x
若x>0，则 = =1，若x<0，则 = =−1，
|x| x |x| −x
x
即 的值为1或−1．
|x|
故答案为：1，−1，1或−1；
y+z x+z x+ y −x −y −z x y z
（2）解： + − = + − =− − + ，
|x| |y| |z| |x| |y| |z| |x| |y| |z|
又∵x+ y+z=0，xyz>0
∴x，y，z的正负性可能为：
①当x为正数，y，z为负数时，原式=−1+1−1=−1；
②当y为正数，x，z为负数时，原式=1−1−1=−1；③当z为正数，x，y为负数时，原式=1+1+1=3．
综上所示，原式=−1或3．
故答案为：−1或3；
（3）根据题意，这2022个数中有n个正数，则有(2022−n)个负数，
x x x x
即 1 + 2 +⋅⋅⋅+ 2021 + 2022 中有n个1，(2022−n)个−1，
|x | |x | |x | |x |
1 2 2021 2022
∴m=n+(−1)×(2022−n)=n−2022+n=2n−2022．
故答案为：2n−2022．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学
方法分析问题是解题关键．
40．（1）图见解析，－c＜a＜b＜－b＜－a＜c；（2）－2a－c＋3；（3）-3
【分析】（1）根据互为相反数的数的性质在数轴上作图表示出-a，-b，-c，然后利用数轴比较数的
大小；
（2）根据立方根的概念可求的b=-3，然后结合绝对值的意义及整式加减法运算法则进行化简计算；
（3）先将原式进行去括号，合并同类项化简，然后利用整体思想代入求值．
【详解】解：（1）如图：
∴－c＜a＜b＜－b＜－a＜c；
（2）∵b3＝－27，
∴b＝－3，
∴a＜－3，c＞3，
∴a＋3＜0，c－3＞0，a－c＜0，
∴原式＝－（a＋3）－2（c－3）－（a－c）＝－a－3－2c＋6－a＋c
＝－2a－c＋3；
（3）原式＝－3a＋3b－c－5－2c－8b
＝－3a－3c－5b－5，
∵a＋b＋c＝0，且表示数a的点向左运动1个单位长度后在数轴上对应的数恰好与c互为相反数，
∴a－1＋c＝0，
∴a＋c＝1，b＝－1，
∴原式＝－3（a＋c）－5b－5
＝－3×1－5×（－1）－5
＝－3＋5－5
＝－3，
∴－3（a－b）－（c＋5）－2（c＋4b）的值为－3．
【点睛】本题考查整式的加减，准确识图，掌握合并同类项（系数相加，字母及其指数不变）和去
括号的运算法则（括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；括号前面是“-”
号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号）是解题关键．
