文档内容
第 14 讲 一次函数与方程、不等式【7 个必考点】
【人教版】
【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】.....................................................................................................1
【必考点1 图象法求一元一次方程的解】.............................................................................................................1
【必考点2 代数法求一元一次方程的解】.............................................................................................................3
【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】.................................................................................................3
【必考点3 图象法解不等式（组）】.....................................................................................................................4
【必考点4 由不等式关系结合图像求参】.............................................................................................................5
【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】.................................................................................................6
【必考点5 图象法解二元一次方程组】.................................................................................................................6
【必考点6 一次函数与方程、不等式多结论问题】.............................................................................................8
【必考点7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】.......................................................................10
【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值 方程 kx+b=0 （ k ≠ 0 ） 的解 .
（2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标 方程 kx+b=0 （ k ≠ 0 ） 的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【拓展】
方程kx+b=n（k≠0）的解 函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解 函数
y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标.
【必考点1 图象法求一元一次方程的解】
【例1】如图，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点（3，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3
1 1
【变式1】如图，已知直线y=− x+b经过点A（﹣2，3），则关于x的方程− x+b＝3的解是（ ）
5 5
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3
【变式2】如图，直线y＝ax+2（a≠0）与x轴交点的横坐标为﹣1，则关于x的方程2ax+4＝0的解为（
）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【变式3】根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．【必考点2 代数法求一元一次方程的解】
【例 1】如图，直线 y＝ax+b（a≠0）与 x 轴交点的横坐标为 1，则关于 x 的方程 ax＝2a﹣b 的解为
（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【变式1】若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）
﹣b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5
【变式 2】一次函数 y＝kx+b的图象与 x轴交于点 A（﹣3，0），则关于 x的方程﹣kx+b＝0的解为
（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝0 D．x＝2
【变式3】若直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），过点A（3，2），则关于x的方程kx+2k+b＝2的解为
．
【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】
因为任何一个一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，所以解一元一次不等
式可以看成求一次函数 的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.一次函数 与一元一次不等式 （或 ）的关系如下：
不等于 的解集 在函数 中，y>0
时的取值范围
数的角度
不等式 的解集 在函数 中，y<0
一次函数与 时的取值范围
一元一次不
等式的关系
不等式 的解集 直线 在 x 轴上方
的部分所对应的的取值范围
形的角度
不等式 的解集 直线 在 x 轴下方
的部分所对应的的取值范围
【拓展】
直 线 与 直 线 的 交 点 的 横 坐 标 即 为 方 程
的 解 ； 不 等 式 （ 或 ） 的 解 集 就 是 直 线
在直线 上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所
示，方程 的解为 ；不等式 的解集为 ；不等式
的解集为 .
【必考点3 图象法解不等式（组）】
【例1】如图，直线y＝kx+b经过点（0，3）和点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【例2】一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≥x+a的解集为（ ）
1 2A．x＜3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
{mx+n＜kx+b)
【变式 1】一次函数 y＝kx+b 与 y＝mx+n 的图象如图所示，则不等式组 的解集是
mx+n＜0
（ ）
A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＜2 D．2＜x＜5
【变式2】如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）
（mx+n）＜0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
【变式3】已知一次函数y ＝kx+2（k≠0）和y ＝﹣2x+a（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式
1 2
（k+2）x＞a﹣2的解集为（ ）A．x＞1 B．x＞3 C．x＜1 D．x＜3
【必考点4 由不等式关系结合图像求参】
【例1】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等
式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2
【变式1】已知一次函数y ＝kx+2（k是常数）和y ＝﹣x+1．无论x取何值，y ＞y ，则k的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝kx﹣3和y ＝n（x﹣4）+2，（n≠0），无论x取何值，始
1 2
终有y ＞y ，则n的取值范围为（ ）
2 1
5 5 5 5
A．n＜ 且n≠0 B．n＞ C．n≤ 且n≠0 D．n＜
4 4 4 4
【变式3】一次函数y ＝kx+3（k为常数，k≠0）和y ＝x﹣3．当x＜2时，y ＞y ，则k取值范围（ ）
1 2 1 2
A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0
C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0
【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】
1.二元一次方程组 （ 都不为0，且 , 都是常数）的解是一次函数
和 图象的交点坐标.
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应
两个一次函数，也就是对应两条直线.
2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤（1）变函数：把方程组 化为一次函数 与 .
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两
条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如 的两个方程化为一次函数
后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解.
【必考点5 图象法解二元一次方程组】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝x+4与直线l ：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于
1 2
{ x−y=−4 )
x，y的方程组 的解为（ ）
mx−y=−n
{x=−1) { x=3 )
A． B．
y=3 y=−1
{x=3) {x=−1)
C． D．
y=1 y=−3
【变式 1】如图，一次函数 y＝kx+b 与 y＝mx+n 的图象交于（2，﹣1），则关于 x，y 的方程组
{kx+b+1=y)
的解为（ ）
mx+n+1=y{x=2，) { x=2，)
A． B．
y=0； y=−1；
{ x=2，) {x=1，)
C． D．
y=−2； y=0.
【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则关于x，y的方程组
{kx+b−y=0)
的解为（ ）
mx+n−y=0
{x=−4) { x=0 ) {x=−4) {x=−8)
A． B． C． D．
y=−6 y=−6 y=−8 y=−4
3 9
【变式3】如图，一次函数y=− x+ 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（2，n），则关于x，y的方程
4 2
{3x+4 y−18=0)
组 的解是（ ）
kx−y+b=0{x=2) {x=2) {x=3) {x=3)
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=2 y=3
【必考点6 一次函数与方程、不等式多结论问题】
【例1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小
星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
{y=mx+n) {x=−3)
②方程组 的解为 ，
y=ax+b y=2
③当x＝0时，ax+b＝﹣1；
④方程mx+n＝0的解为x＝2；
⑤不等式mx+n≥ax+b的解集是x≥﹣3．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结
论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n＝0的解是x＝﹣2；④不等式ax+b＞3的解集是x＞﹣3；⑤不
等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4【变式1】如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结
2
论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜−
3
．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．丽丽根
据图象得到如下结论：①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组
{y−ax=b) {x=−3)
的解为 ；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正
y−mx=n y=2
确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式3】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数 y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0）
1
的图象交x轴于点（5，0），且与直线y= x都经过点A（3，1），下列结论
3
①关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝5；5
②直线y＝kx+b与y轴交于点(0， )；
2
1
③当kx+b＞ x时，x＞3；
3
{y=kx+b
)
{x=3)
④方程组 1 的解为 其中正确的结论有（ ）
y= x y=1
3
A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②④
【必考点7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】
【例1】某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 y＝|x﹣2|的图象和性质进行了研究．探
究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一
部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 ，当x＜2时，y随x的增大而 ；
（4）进一步探究：
①不等式|x﹣2|≥2的解集是 ；
②若关于x的方程|x﹣2|＝kx（k≠0）只有一个解，则k的取值范围是 ．【变式1】【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们
尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 ﹣2 a 2 …
（1）a＝ ；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的
一条性质： ；
【拓展应用】
（3）若点 A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出 m，n 满足的数量关系：
；
（4）结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集： ．【变式2】某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题
时，对函数y＝|x+1|的图象和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）如表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … m 1 0 1 2 3 n 5 6 …
表格中m的值为 ，n的值为 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
（3）请观察函数的图象，直接写出如下结论：
①当自变量x＝ 时，函数的最小值为 ；
②方程|x+1|＞2的解集为 ；
1
③函数y＝|x+1|与y=− x+m的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是（1，2）和（a，3）．当
5
1
| x+1|＜− x+m时，直接写出不等式的解集．
5【变式3】某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数 y＝a|x|+bx+c（a，b，c是常数，|a|≠|b|）的性质
进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝ ．
（2）当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y ＝﹣2|x|+x+3．
1
①该函数自变量x和函数值y 的若干组对应值如表：
1
x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 …
y … ﹣3 m 3 2 ﹣1 …
1
其中m＝ ．
②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数 y ＝﹣2|x|+x+3 结合图象写出该函数的一条性质
1
．
③已知函数y ＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0）的直线，则关于x的不等式（﹣2|x|+x+3）
2
（mx+n）＜0的解集是 ．
