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跟踪训练 06 抛物线
一．选择题（共15小题）
1．已知圆 与抛物线 交于 ， 两点，与抛物线的准线交于 ，
两点，若四边形 是矩形，则 等于
A． B． C． D．
【解答】解：圆 与抛物线 交于 、 两点，与抛物线的准线交
于 、 两点，易得 ， ，则 ， ，
将 点坐标代入 得 ， 解得 ，
故选： ．
2．已知抛物线 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 ．
若 ， ，则
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：设直线 方程 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
，
化简得： ，由 ，得 ，△ ，
， ， ，
，
解得 ，
由 ， ，解得： 或 ，又 ，
或 （舍 ．
故选： ．
3．设抛物线 的准线与 轴交于点 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点．
设线段 的中点为 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于点 ．已知 的面积为
2，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由题意，抛物线 的准线为 ，可得 ．
直线 与抛物线交于 ， 两点， 直线 的斜率存在且不为0，
设直线 方程为 ，将其代入 ，化简并整理得： ．
由△ ，得 ．
设 ， ， ， ，则 ， ，
．
是 的中点， ， ．过点 平行 轴的直线为 ，
与抛物线交点为知 ， ，所以 ．
又 ，则 ，
的面积 ．
由已知条件知 ， ，解得 （满足△ ，解得： ．
直线 的方程为 ，即 ，
直线 的斜率为 ．
故选： ．
4．已知圆 与 轴相交于 ， 两点，与抛物线 相交于 ，
两点，若抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 的另一个交点为 ，则
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：圆 与 轴相交于 ， 两点，且抛物线 开口向
右，
所以 ，
则 ，即 ，
如图，过点 和点 分别作 和 垂直于抛物线的准线，
易知 ， ，
设 ，
则 ，
则 ，
即 ，
即 ，
又 ，
解得 ，
所以 ，
，
则 ，
解得 ，
所以 ．
故选： ．5．抛物线 的顶点为坐标原点，焦点在 轴上，直线 交 于 ， 两点， 的准线
交 轴于点 ，若 ，则 的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：由题可设抛物线的方程为 ，则准线方程为 ，
当 时，可得 ，
可得 ， ，又 ， ， ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ．
故选： ．
6．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，延长 交准线于点 ，分别过点 ， 作准线的垂线，垂足分别记为 ， ，若 ，则
的面积为
A． B．4 C． D．2
【解答】解：由题意可知， ，则 ，抛物线的准线方程为 ，
， 是焦点弦的两个端点， ， ，
又 ， ，可得 ，
则 ， ，可得 ，
， ，
得 ，则 ，可得 到 的距离为 ，
．
故选： ．
7．已知抛物线 的准线过双曲线 的左焦点，点 为双曲线的
渐近线和抛物线的一个公共点，若 到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为A． B． C． D．
【解答】解：由题意知，抛物线 的准线方程为 ，
所以双曲线的左焦点坐标为 ，所以双曲线的 ．
又因为点 为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，
若 到抛物线焦点的距离为5，所以 ，所以 ，
代入抛物线方程即可得 ．
因为 在双曲线的渐近线方程 上，所以 ，
又因为双曲线中， ，所以 ，
所以双曲线的方程为： ．
故选： ．
8．已知点 ， 在抛物线 上， 为坐标原点， 为等边三角形，则
的面积为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， 、 ， ，
，．
又 ， ，
，
即 ．
又 ， 均为正数，
．
，即 ．
由抛物线对称性，知点 、 关于 轴对称．
，则 ．
，将其代入抛物线方程中得 ，
解得 ，
等边三角形 的边长为 ，
所以面积为 ．
故选： ．9．焦点为 的抛物线 的对称轴与准线交于点 ，点 在抛物线 上且
在第一象限，在 中， ，则直线 的斜率为
A． B． C．1 D．
【解答】解：抛物线 的对称轴与准线交于点 ，点 在抛物线 上且在
第一象限，如图：
过 作准线的垂线，垂足为 ，作 轴的垂线，垂足为 ，
则由抛物线的定义可得 ，
由 ，
在 中由正弦定理可知： ，
设 的倾斜角为 ，则 ．Ⅱ①①
故选： ．
10．抛物线 上一点 的纵坐标为2，则点 与抛物线焦点 的距离为
A．2 B． C．3 D．4【解答】解：由抛物线 的准线方程为 ，焦点 ，
因为抛物线 上一点 的纵坐标为2，
根据抛物线的定义，可得点 与抛物线焦点 的距离为 ．
故选： ．
11．已知抛物线 的焦点为 ，直线 过焦点 与 交于 ， 两点，以 为直
径的圆与 轴交于 ， 两点，且 ，则直线 的斜率为
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， 的中点为 ， 轴于点 ，过 ， 作准线
的垂线，垂足分别为 ， ，如图所示．
由抛物线的定义知 ，
则 ，所以 ，即 ，
解得 或 （舍去），故 的横坐标为 ．
设直线 ， ， ， ， ，将 代入 ，得 ，则 ，解得 ．
故选： ．
12．设抛物线 上一点 到 轴的距离为 ，点 为圆 任一点，
则 的最小值为
A． B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为 ，则抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ，
则 ，即 ，
所以 ，则要使其最小，则需 最小，
因为圆 的圆心为 ，半径 ，
所以 ．
故选： ．
13．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光
线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线 放在平面直角坐标系
中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线 的方程为 ，平行于
轴的光线从点 射出，经过 上的点 反射后，再从 上的另一点 射出，则
A．6 B．8 C． D．29
【解答】解：由 ，可得 的纵坐标为2，设 ，则 ，解得 ，
由题意反射光线经过抛物线 的焦点 ，
所以直线 的方程为 ，整理可得 ，
由 ，消去 整理得 ，解得 ， ，
则 ，所以 ，所以 ．
故选： ．
14．点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与到抛物线准线的距离之和
的最小值是
A．0 B． C．1 D．【解答】解：依题设 在抛物线准线的投影为 ，抛物线的焦点为 ， ．
则 ，
依抛物线的定义知 到该抛物线准线的距离为 ，
则点 到点 的距离与 到该抛物线准线的距离之和，
，（当 ， ， 三点共线时等号成立）；
即点 到点 的距离与到抛物线准线的距离之和的最小值是 ．
故选： ．
15．已知抛物线 的焦点为 ， 是抛物线 在第一象限的一点，过 作 的准
线的垂线，垂足为 ， 的中点为 ，若直线 经过点 ，则直线 的斜率为
A．1 B．2 C． D．3
【解答】解：由题意 ，设 ，则 ， ，又 的中点为 ，故
．
由抛物线定义可得 ，故 ．
则 ，因为直线 经过点 ，即 ，
故 ，又 是抛物线 在第一象限的一点，故 ，解得 ．
故 ，直线 的斜率为 ．故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．设 为抛物线 的焦点，点 在 上且在 轴上方，点 ，
，若 ，则
A．抛物线 的方程为 B．点 到 轴的距离为8
C．直线 与抛物线 相切 D． ， ， 三点在同一条直线上
【解答】解：抛物线 的焦点 ，
由 ，有 ，解得 ，
所以抛物线 的方程为 ， 选项正确；
，点 在抛物线上且在 轴上方，到焦点距离为8，到准线 距离也为
8，所以点 到 轴的距离为6， 选项错误；
点 在抛物线上且在 轴上方，到 轴的距离为6，有点 横坐标为6，代入抛物线方程，
可得 ，则直线 的方程为 ，
由 消去 得： ， ，所以直线 与抛
物线 相切， 选项正确；由 ， ， ，得 ，则 ， ， 三点在同一条
直线上， 选项正确．
故选： ．
17．已知抛物线 的焦点为 ， ， 为 上位于直线 右侧的
一个动点， 为坐标原点，则下列说法正确的是 表示斜率， 表示面积）
A．若 ， ， ，则
B．若 满足 ，则
C．若直线 交 于另一点 ，则 ，
D．若直线 交 于 ， 两点，且 ，则
【解答】解： 时，抛物线 ，
因为当 时， ， ，
， 为 上位于焦点 右侧的一个动点， ，
所以 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时取得等号，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ， ， 正确；
，又 ，
， 正确；
设 ，
消 得 ，
取等，
又 ， ， 正确；
设 ，
设 ，
同理： ，
，
，当且仅当 时， ， 错误．
故选： ．
18．已知抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过 的
直线与 在第一象限内自下而上依次交于 ， 两点，过 作 于 ，则
A． 的方程为 B．当 ， ， 三点共线时，C． D．当 时，
【解答】解：由题意得抛物线 中，准线 与 轴交于点 ，
，解得： ，
抛物线的方程为 ，故 错误；
设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ，
联立 ，整理得 ，
则△ ，
由韦达定理得 ， ， ，
由题意得 ， ，
当 ， ， 三点共线时， ，即 ，
则 ，解得 ，则 ，
代入 的方程得 ，
，
，故 正确；
由题意得 ，， ，
，故 正确；
当 时，
则 ，解得 （不
合题意，舍去）， ，即 ，
又 ，则 ，
①，
假设 ，则 ，则 ，
显然不符合①，故 错误．
故选： ．
19．已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线 交于 ， ，
， 两点，则下列说法正确的是
A．对任意实数 ，均有
B．存在实数 ，使得
C．若 ，则
D．若 ，则 ， 中点 到 轴的距离是3
【解答】解：已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且与抛物线 交于
， ， ， 两点，则直线 的方程为 ，
联立 ，
消 可得 ，
即 ， ，
对于选项 ， ，
又 ，
即对任意实数 ，均有 ，
即选项 正确；
对于选项 ，由抛物线的定义可得 ，
设存在实数 ，使得 ，
则 ，
即 ，
又此方程无解，
即不存在实数 ，使得 ，
即选项 错误；
对于选项 ，因为 ，
即 ，
即 ，
又 ，不妨设 ，
则 ，
则 ，
则 ，
同理，当 时， ，
则 ，
即当 ， ，
即选项 正确；
对于选项 ，当 时，
则 ，
即 ，
则 ， 中点 到 轴的距离是3，
即选项 正确，
故选： ．
20．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点 的抛物线的标准方程为
A． B． C． D．
【解答】解：若焦点在 轴上，设方程为 ，将点 的坐标代入，得
，
解得 ，所以抛物线的标准方程为 ；若焦点在 轴上，设方程为 ，将点 的坐标代入，得 ，
解得 ，所以抛物线的标准方程为 ．
故抛物线方程为 或 ．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，
与准线交于 点， 为 的中点，且 ，则 ．
【解答】解：过点 作准线的垂线，垂足为 ，因为 为 的中点，且 ，
则在 中， ，所以 ，
故答案为： ．
22．已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，过点 的直线与抛物
线 相交于 ， 两点，若 ，则 2 ．
【解答】解：由对称性，不妨设 在第一象限，
设 ，由
由角平分线定理 ．
故答案为：2．23．已知 是抛物线 的焦点， 为坐标原点，点 是抛物线 上的点，且
，则 的面积为 ．
【解答】解：设 ，由抛物线方程 得： ，
所以 ，
由抛物线的定义得： ，解得： ，
又 ，解得： ，
所以 的面积为： ．
故答案为： ．
24．抛物线 的焦点到准线的距离是 ．
【解答】解：由题意得抛物线标准方程为 ，则 ，则准线为 ，焦点为
，
焦点到准线的距离是 ，
故答案为： ．
25．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线交
于 ， 两点，若 ，则 8 ．
【解答】解：由题意得， ， ，当直线 的斜率为0时，与抛物线只有1个交
点，不合要求，
故设直线 的方程为 ，不妨设 ，联立 ，可得 ，易得△ ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
则 ， ，
则 ，
，
由正弦定理得 ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，即 ，
又由焦半径公式可知 ，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
则 ，解得 ，
故 ，
当 时，同理可得到 ．
故答案为：8．四．解答题（共3小题）
26．已知 是抛物线 的焦点，过点 的直线交抛物线 于 ， 两点，
当 平行于 轴时， ．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线
与抛物线 的另一交点为 ， 的中点为 ，证明： ， ， 三点共线．
【解答】解：（1）抛物线 的焦点为 ，
当 平行于 轴时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 ．
（2）证明：设直线 的方程为 ，设点 ， 、 ， ，
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
又因为直线 的方程为 ，将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以 ，
因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ， ，
故 、 、 三点共线．
27．已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴的正半轴上，直线 经过
抛物线 的焦点．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若直线 与抛物线 相交于 、 两点，过 、 两点分别作抛物线 的切线，两
条切线相交于点 ，求 面积的最小值．【解答】解：（1）设抛物线 的方程为 ，
直线 经过抛物线 的焦点 ，
，得 ，
抛物线 的方程为 ，
（2）设 ， ， ，由 得 ，
则△ ， ， ，
，
由 ，得 ，则 ，
抛物线经过 点的切线方程是 ，
同理抛物线经过 点的切线方程是 ，
解方程组 ，得 ， ．
到直线 的距离 ，
面积 ，
， ，即当 时， ，
面积的最小值是9．28．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线相交于 ， 两点，
（1）当 时，求直线 的方程；
（2）求证：以 为直径的圆与抛物线 的准线相切．
【解答】（1）解法1：抛物线 的焦点为 ，则直线 的方程为 ，
与抛物线 联立，可得 ，
则 ，
根据抛物线的定义可得 ，即 ，
则 ，则 ．
则直线 的方程为 或 ．
解法2：由题意，可得 ，设直线 的方程为 ，
则 ，
可得 ，
则 ， ．
则直线 的方程为 或 ．
（2）几何法：取 的中点 ，则 为以 为直径的圆的圆心，
过 作 准线 于 ，过 作 准线 于 ，过 作 准线 于 ，
根据梯形的性质和抛物线的定义可得 ，即得
证．
代数法：设 ， ， ， ，弦 的中点为 ，则 为以 为直径的圆的圆心，其横坐标为 ，
根据（1），可得 ，
则 到准线的距离为 ，即得证．
