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跟踪训练 06 随机抽样、样本估计总体
一．选择题（共15小题）
1．若样本数据 ， ， ， 的方差为2，平均数 为5，则下列说法正确的个数为
①数据 ， ， ， 的平均数为6；
②数据 ， ， ， 的方差为3；
③数据 ， ， ， 的平均数为15；
④数据 ， ， ， 的方差为19．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】解：对于①，平均数为
，①正确；
对于②，方差为
，②错误；
对于③，平均数为
，③错误；
对于④，方差为
，④错误．
故选： ．2．有下列一组数据：4 4 2 4 9 8 0 5 3，则这组数据的第80百分位数是
A．5.6 B．5 C．8 D．6.2
【解答】解：将该组数据从小到大排列为：0，2，3，4，4，4，5，8，9，共9个，
，
故这组数据的第80百分位数是8．
故选： ．
3．如图所示是一次体操比赛时七位评委对某选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最
低分后，所剩数据的平均数和标准差分别为
A．87.4，17.2 B．87.4，4.147 C．87，17.2 D．87，4.147
【解答】解：由已知的茎叶图可得七位评委为某参赛选手打出的分数为：82，80，83，
87，95，90，93，
去掉一个最高分95和一个最低分80后，所剩数据的平均数为 ，
所以方差 ，标准差
；
故选： ．
4．在一次抽样活动中，采取系统抽样的方法，若第一组抽取的是 2号，第二组抽取的是
12号，则第三组抽取的是
A．21号 B．22号 C．23号 D．24号
【解答】解： 第一组抽取的是2号，第二组抽取的为12号，
组距为10，
故第三组抽取的是 号，
故选： ．
5．某市政府部门为了解该市的“全国文明城市”创建情况，在该市的12个区县市中随
机抽查到了甲、乙两县，考核组对他们的创建工作进行量化考核．在两个县的量化考核成绩（均为整数）中各随机抽取20个，得到如图数据（用频率分布直方图估计总体平
均数时，每个区间的值均取该区间的中点值）．关于甲乙两县的考核成绩，下列结论正
确的是
A．甲县平均数小于乙县平均数
B．甲县中位数小于乙县中位数
C．甲县众数不小于乙县众数
D．不低于80的数据个数，甲县多于乙县
【 解 答 】 解 ： 由 条 形 图 可 知 ， 甲 样 本 的 平 均 数 ：
，
中位数：79，众数：79，不低于80的数据共5个；
由频率分布直方图可知，一样本的平均数：
中 位 数 ： 设 中 位 数 为 ， 由 ，
，
故中位数 ， ， ，
解得 ，众数 ， 且 ，即 ，
不低于80的数据共 ，
所以 ， ， 选项错误，
故选： ．6．一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差为2的等差数列 ，若 ， ，
成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是
A．12，13 B．13，13 C．13，12 D．12，14
【解答】解：依题意 ， ，解得 ，
所以此样本的平均数为 ，中位数为 ．
故选： ．
7．要采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，
3， ，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的32人
中，编号落入区间 ， 的人数为 ，编号落入区间 ， 的人数为 ，其余
的人数为 ，则
A． B． C． D．
【解答】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为 人，即抽到号码的公差
，
第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为29，
等差数列的首项为29，
则抽到号码数为 ，
由 ，
得 ，
即 ，
，即编号落入区间 ， 的人数为15人，即 ．
由 ，得 ，
即 ，
则
，即编号落入区间 ， 的人数为 人，即 ．
则 人．
则 ，
故选： ．
8．如果两组数 ， ， ， 和 ， ， ， 的平均数分别为 和 ，标准差分别
为 和 ，那么合为一组数 ， ， ， ， ， ， ， 后的平均数和标准差
分别是
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【解答】解：数据 ， ， ， 和 ， ， ， 的平均数分别为 和 ，
则 ， ；
所以数据 ， ， ， ， ， ， ， 的平均数为；
又标准差为 ，
；
，
；
所以数据 ， ， ， ， ， ， ， 的标准差 满足
；
．
故选： ．
9．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织
居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发
现所给数据均在 ， 内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，
但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是A．第三组的频数为18人
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
【解答】解：对于 ，因为各组的频率之和等于1，所以分数在 ， 内的频率为：
，
所以第三组 ， 的频数为 （人 ，故正确；
对于 ，因为众数的估计值是频率分布直方图中最高矩形的中点，从图中可看出众数的估
计值为75分，故正确；
对 于 ， 又 根 据 频 率 分 布 直 方 图 ， 样 本 的 平 均 数 的 估 计 值 为 ：
（分 ，故错误；
对于 ，因为 ， ，所以
中位数位于 ， 上，所以中位数的估计值为： ，故正确；
故选： ．
10．抽样统计甲、乙两位同学5次数学成绩绘制成如图所示的茎叶图，则成绩较稳定的那
位同学成绩的方差为A． B．2 C．4 D．10
【解答】解：根据题意，甲同学的5次成绩依次为：89、87、90、91、93，
其平均数 ，
其方差 ；
乙同学的5次成绩依次为：89、87、90、91、93，
其平均数 ，
其方差 ；
则乙同学的成绩较稳定，其方差为2；
故选： ．
11．某公司为了调查员工的健康状况，由于女员工所占比重大，按性别分层，用按比例分
配的分层随机抽样的方法抽取样本，已知所抽取的所有员工的体重的方差为 120，女员工
的平均体重为 ，标准差为6，男员工的平均体重为 ，标准差为4．若样本中有21
名男员工，则女员工的人数为
A．28 B．35 C．39 D．48
【解答】解：由题意，记样本中女员工的平均体重和标准差分别为 ， ，所占
权重为 ，
男员工的平均体重和标准差分别为 ， ，所占权重为 ，
所以样本中全部员工的平均体重为 ，方差，
化简得 ，即 ，
解得 或 （舍 ，
所以女员工的人数为： ．
故选： ．
12．为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如
2000尾，给每尾鱼作上记号，不影响其存活，然后放回水库，经过适当时间，让其和水库
中其余的鱼充分混合，再从水库中捕出一定数的鱼，例如 500尾，查看其中有记号的鱼，
设有40尾，试上述数据，估计水库内鱼的尾数是
A．22000 B．23000 C．25000 D．26000
【解答】解：由题意可得有记号的鱼所占的比例大约为 ，设水库内鱼的尾数是 ，
则有 ，解得 ，
故选： ．
13．为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了
如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口
的时候你是否闯过红灯？要求被调查者对调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回
答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题． 被调查者不必告诉调查人员自己回答
的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有被调查者本人知道回答了哪个
问题，所以都如实做了回答，结果被调查者的300人（学号从1到 中有90人回答
了“是”，由此可以估计在这300人中闯过红灯的人数是
A．15 B．30 C．45 D．75
【解答】解：要调查300名学生，在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同，
第一个问题可能被询问150次，
在被询问的150人中有75人学号是奇数，而有90人回答了“是”，
估计有15个人闯过红灯，即在150人中有15个人闯红灯，
根据概率的知识来计算这300人中有过闯过红灯的人数为 ，
故选： ．
14．在一次数学竞赛中，高一 班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低
到高编为 号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间 ， 上的
学生人数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：根据茎叶图得，成绩在区间 ， 上的数据有15个，
所以，用系统抽样的方法从所有的30人中抽取6人，
成绩在区间 ， 上的学生人数为 ．
故选： ．
15．某校为了了解学生近视的情况，对四个非毕业年级各班的近视学生人数做了统计，每
个年级都有7个班．如果某个年级的每个班的近视人数都不超过 5人，则认定该年级为
“学生视力保护达标年级”．这四个年级各班近视学生人数情况统计如表：
初一年级 平均值为2，方差为2
初二年级 平均值为1，方差大于0
高一年级 中位数为3，众数为4
高二年级 平均值为3，中位数为4
从表中数据可知：一定是“学生视力保护达标年级”的是
A．初一年级 B．初二年级 C．高一年级 D．高二年级【解答】解：能反应“学生视力保护达标年级”的是平均值和方差：
平均数：与每一个数据有关，更能反映全体的信息；
方差：方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
观察表格中的数据知，选项 符合题意．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．已知一组样本数据 ， ， ， ， 中， 与样本平均数相
等， ．则去掉以下哪个数据以后，新的样本数据的方差一定比的来的样本数据的方
差小？
A． B． C． D．
【解答】解：根据方差的意义，可知去掉最大值和最小值都可以使样本数据的方差变小，
故 和 符合条件；
去掉 ，样本平均数不变，则根据方差的计算公式可知方差变大，
故 不符合条件；去掉 ，样本方差的变化情况无法确定，也不符合条件．
故选： ．
17．为落实党中央的“三农”政策，某市组织该市所有乡镇干部进行了一期“三农”政策
专题培训，并在培训结束时进行了结业考试．如图是该次考试成绩随机抽样样本的频率分
布直方图．则下列关于这次考试成绩的估计正确的是A．众数为82.5
B．80百分位数为91.7
C．平均数为88
D．没有一半以上干部的成绩在 分之间
【解答】解：由图知：众数出现在 ， 之间，故众数为82.5，故 正确；
由图可得该次考试成绩在90分以下所占比例为 ，
在95分以下所占比例为 ，
因此，第80百分位数一定位于 ， 内，
所以第80百分位数为 ，故 正确；
由 ， 错
误；
由 ，有一半以上干部的成绩在 分之间， 错误．
故选： ．
18． 是居民消费价格即消费价格指数，是反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项
目价格水平变动的宏观经济指标．如图是国家统计局发布的 2022年5月至2023年5月全
国居民消费价格涨跌幅统计图，其中同比是与上年同期对比（如今年5月与上年5月），
侧重数据长期趋势，环比是与上月对比（如今年5月与4月），侧重数据短期变化，则下
列说法正确的是A．2022年5月至2023年5月同比涨幅极差为
B．2023年1月至5月同比涨幅的 分位数为
C．从环比看， 由2023年2月至4月开始持续上涨
D．随机从2023年1月至5月的同比数据选择两个研究，则选取4月和5月的概率为
【解答】解：对于 ，极差为 ，故 正确；
对于 ，数据由小到大排列为 ， ， ， ， ，而 ，
所以 分位数为第4个数 ，故 正确；
对于 ，2月至4月均为负数，说明下降，故 错误；
对于 ，等价于从5个数字中随机选取2个，样本空间包含的样本点总数为10，其中随机
事件“选到4月和5月”包含的样本点数为1，
古典概型概率计算公式可得所求概率为 ，故 错误．
故选： ．
19．为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫
困地区的持续投入．小莹同学通过登陆国家乡村振兴局网站，查询到了 2020年中央财政脱
贫专项资金对28个省份的分配额度（亿元），并对数据进行整理和分析．图1是反映2020
年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图，且在 这一组分配的额度
分别是：25，28，28，30，37，37，38，39，39．图2是反映 年中央财政脱贫专项资金对自治区 和自治区 的分配额度变化折线图．则下列说法中正确的是
A．2020年，中央财政脱贫专项资金对各省份的分配额度的中位数为37.5亿元
B．2020年，某省获得的分配额度为95亿元，该额度在28个省份中由高到低排第六名
C． 年，中央财政脱贫专项资金对自治区 的分配额度逐年增加
D． 年，中央财政脱贫专项资金对自治区 的分配额度比对自治区 的稳定
【解答】解：将这28个省、直辖市、自治区分配扶贫资金额度从小到大排列后处在中间位
置的两个数的平均数为 （亿元），
因此中位数是37.5亿元，故 说法正确；
由频数分布直方图可知， 的有2个省， 的有2个省，
的有1个省，
而95亿元在 且只有1个省，因此它位于第六名，故 说法正确；
由统计图可知， 年，中央财政脱贫专项资金对自治区 的分配额度逐年增加，
故 说法正确；
由两个自治区 年中央财政脱贫专项资金变化情况的折线统计图可直观得到，
自治区的比 自治区的变化、波动要大，所以中央财政脱贫专项资金对自治区 的分配
额度比对自治区 的稳定，故 说法错误．
故答案为： ．
20．已知样本 ， ， ， 的均值为4，标准差为 ，样本 ， ，， 的均值为3，方差为4，则下列结论正确的是
A．
B．
C．样本 和样本 的极差相同
D．样本 和样本 的中位数相同
【解答】解：选项 ， ，设样本 ， ， ， 的均值为 ，方差为 ，极差为 ，
中位数为 ，
则 ，则 ， ， ，
所以 ， ， ， ，故 正确， 错误；
选项 ，样本 ， ， ， ；样本 ， ， ， ，
可得样本 和样本 的极差相等，故 正确；
选项 ，设样本 的中位数为 ，样本 的中位数为 ，故 错误．
故选： ．
三．填空题（共5小题）
21．已知一组数据 ， ， ， ， 的方差是 ，那么另一组数据 ， ，
， ， 的方差是 ．
【解答】解：根据题意，设数据 ， ， ， ， 的平均数为 ，其方差是 ，
则有 ，
，
对于数据 ， ， ， ， ；其平均数 ；
其方差 ；
即数据 ， ， ， ， 的方差是 ；
故答案为： ．
22．已知某区甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为 24，8，16人，在
一次统一考试中，该区三所学校强基学生的平均分分别为 118，120，114，方差分别为
15，12，21，则该区所有数学强基学生成绩的平均数 11 7 ，方差 ．
【解答】解：甲、乙、丙三所学科基地学校的数学强基小组人数分别为24，8，16人，
则甲、乙、丙三所学科基地学校的人数占比分别为： ， ，
，
所以 ，
由方差公式 ，可得 ，
所以 ，即 ，所以 ，
，即 ，所以 ，
，即 ，所以 ，
则 ．
故答案为：117；21.5．
23．某班运动队由足球队员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成（每人只参
加一项），现从这些运动员中抽取一个容量为 的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样法，则都不用剔除个体；当样本容量为 时，若采用系统抽样法，则需要剔除1个
个体，那么样本容量 为 6 ．
【解答】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；
如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，
需要在总体中先剔除1个个体，
总体容量为 ．
当样本容量是 时，由题意知，系统抽样的间隔为 ，
分层抽样的比例是 ，抽取的乒乓球运动员人数为 ，
篮球运动员人数为 ，足球运动员人数为 ，
应是6的倍数，36的约数，
即 ，12，18．
当样本容量为 时，总体容量是35人，
系统抽样的间隔为 ，
必须是整数，
只能取6．
即样本容量 ．
故答案为：6
24．若某市6所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶
为个位数，则这组数据的方差是 ．
【解答】解：根据题意，由茎叶图可得所给的数据为：87、91、93、92、90、93，
其平均数 ，
则其方差 ，故答案为： ．
25．为了了解参加运动会的2000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行
统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有 ④⑥ ．
①2000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤抽样方法可采用随机数法抽样；
⑥每个运动员被抽到的机会相等．
【解答】解：①2000名运动员的年龄是总体，故①错误；
②每个运动员的年龄是个体，故②错误；
③所抽取的20名运动员的年龄是一个样本，故③错误；
④从2000名运动员的年龄中抽取20名运动员的年龄进行统计分析，样本容量为20，正确；
⑤随机数法常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取，当总体中的个
体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机法产生的样本代表性
差的可能性很大，故⑤错误；
⑥每个运动员被抽到的机会相等，正确．
故答案为：④⑥．
四．解答题（共3小题）
26．某学校为了丰富学生课余生活，开展了“第二课堂”的活动，推出了以下四种选修课
程： ．绘画； ．唱歌； ．演讲； ．十字锈．学校规定：每个学生都必须报名且只
能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，
并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是_____；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中， 课程部分的圆心角的度数；
（4）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报 的学生约有多少人？【解答】解：（1） （人 ，
这次学校抽查的学生人数是40人；
（2）样本中选择 课程的人数为： （人 ，
补全条形统计图如下：
（3） ，
即 课程部分的圆心角的度数为 ；
（4） （人 ，
即该校1000名学生中报 的大约有100人．
27．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职
业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分 分及以上为认知程度高），结果
认知程度高的有 人，按年龄分成5组，其中第一组： ， ，第二组： ， ，第三组： ， ，第四组： ， ，第五组： ， ，得到如图所示的频率分布
直方图，已知第一组有10人．
（1）根据频率分布直方图，估计这 人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．
若有甲（年龄 ，乙（年龄 两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽
到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 设 这 人 的 平 均 年 龄 为 ， 则
（岁 ，
设第80百分位数为 ，
由 ，
解得 ．
（2）由题意得，第四组应抽取4人，记为 ， ， ，甲，第五组抽取2人，记为 ，
乙，
对应的样本空间为： ， ， ，甲）， ，乙）， ， ， ，
甲）， ，乙）， ， ，甲）， ，乙）， ，（甲，乙），（甲， ，
（乙， ，共15个样本点，
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，则 ，甲）， ，乙）， ，甲）， ，乙）， ，甲）， ，乙），（甲，
乙），（甲， ，（乙， ，共有9个样本点，
所以 ．
28．某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛，为了了解本次竞赛
成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．请根据下面尚未完成并有局部
污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
频率分布表：
组别 分组 频数 频率
第一组 8 0.16
，
第二组 ■
，
第三组 20 0.40
，
第四组 ■ 0.08
，
第五组 2
，
第六组 合计 ■ ■
（1）写出 ， ， ， 的值；
（2）若根据这次成绩，学校准备淘汰 的同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请
问晋级分数线划为多少合理？
（3）某老师在此次考试成绩中抽取了10名学生的分数： ， ， ， ， ，已知这
10个分数的平均数 ，标准差 ，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个
分数的平均数与标准差．
（ 附 ： 方 差 计 算 公 式 ： 或【解答】解：（1）根据分组在 ， 的频数是8，频率是0.16，
样本容量为 ，
频率分布表为：
组别 分组 频数 频率
第1组 8 0.16
，
第2组 0.32
，
第3 组 20 0.40
，
第4 组 4 0.08
，
第5组 2
，
合计 50 1
， ， ， ．
（2）由频率分布表得 ， 的频率为： ，
， 的频率为0.08，
根据这次成绩，学校准备淘汰 的同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，
晋级分数线为： ．
（3）由题意剩余的8个分数的平均值为 ，个分数的标准差为 ，
剩余8个分数的标准差为 ．
