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第 1 章 有理数全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习四种方法
【7个概念】
1.正数和负数
2.有理数
3.数轴
4.相反数
5.绝对值
6.倒数
7.科学记数法
【1个运算】
有理数的混合运算
【6个运算技巧】
1.运用运算律简化计算过程
2.逆用运算律
3.巧妙组合法
4.拆项相消法
5.倒数计算法
6.有理数的非负性
【3种思想】
1.数形结合思想
2.分类讨论思想
3.转化思想
【检测卷】
【倍速学习四种方法】【7 个概念】
1.正数和负数
1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”
号叫做它的符号．
2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数．
3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，
一是它们的意义相反，二是它们都是数量．
【例1】（2022秋•亭湖区期末）当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金社会发
展．下表是妈妈元旦当天的微信零钱支付明细：则元旦当天，妈妈微信零钱最终的收支情况是（ ）
微信转账 +50.00
扫二维码付款 ﹣75.00
微信红包 +66.00
便民菜站 ﹣18.00
A．收入23元 B．支出23元 C．收入116元 D．支出93元
【变式】（2022秋•聊城期末）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.有理数
(1)凡能写成 形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数.
注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a也不一定是正数；不是有理数；
1 1
2 2
(2)有理数的分类: ① ②
(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区
域，这四个区域的数也有自己的特性；
(4)自然数 0和正整数； a＞0 a是正数； a＜0 a是负数；
a≥0 a是正数或0 a是非负数； a≤ 0 a是负数或0 a是非正数.
【例2】把下列各数填在相应的大括号里：，－3.14，0，18%， ，2019， ， ，－1
整数： ；
正分数： ；
非负有理数： ．
3.数轴
数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线.
【例3】．（2023•馆陶县校级模拟）如图，数轴上的两个点分别表示数a和﹣2，则a可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．2
4.相反数
相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意：
a-b+c的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c；a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；
(3)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数.
(4)相反数的商为-1.
（5）相反数的绝对值相等
【例4】如果 的相反数是最大的负整数， 的相反数是它本身，则 的值为（ ）
A．1 B．0 C．2 D．-1
5.绝对值
(1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；
2
|− | 3
a
(2) 绝对值可表示为： 或 ；
2 1
a a
2
(3) ； ；
(4) |a|是重要的非负数，即|a|≥0,非负性；
【例5】（2023春•容县期末）|﹣3|＝ ．
6.倒数
倒数：乘积为1的两个数互为倒数；
注意：0没有倒数； 若ab=1 a、b互为倒数； 若ab=-1 a、b互为负倒数.等于本身的数汇总：
相反数等于本身的数：0
倒数等于本身的数：1，-1
绝对值等于本身的数：正数和0
平方等于本身的数：0,1
立方等于本身的数：0,1，-1.
【例6】．（2023•绥化模拟）一个有理数的倒数是它本身，这个数是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．1或﹣1
7.科学记数法
（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，
这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】
（2）规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此
规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是
前面多一个负号．
【例7】（2023•夏邑县校级三模）河南省文化和旅游厅指出，河南五一期间接待游客5518万人次，游客
接待量位居全国第一，数据“5518万”用科学记数法表示为（ ）
A．5518×104 B．5.518×107 C．551.8×105 D．5.518×108
【1 个运算】
有理数的混合运算
有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计
算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化
为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积
为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
【例8】（2022秋·广东茂名·七年级校考期中）计算：
【7 个运算技巧】
1.运用运算律简化计算过程
【例9】（2022秋•朝阳区校级月考）用简便方法计算：
① ； ② ．
2.逆用运算律
【例10】（2023秋·全国·七年级专题练习）用简便方法计算：
．
【变式1】（2022秋·江苏盐城·七年级校考阶段练习）用简便方法计算：
．
【变式2】 14 ×3 ＋14 ×4 －7 ×1
【变式3】．计算： ．3.巧妙组合法
【例11】（2022秋·河南周口·七年级校考阶段练习）计算 的结果是
______．
【变式1】．（2022秋•灌云县月考）阅读下题的计算方法：
计算：﹣5 +（﹣9 ）+17 +（﹣3 ）．
解：原式＝[（﹣5）+（﹣ ）]+[（﹣9）+（﹣ ）]+（17+ ）+[（﹣3）+（﹣ ）]
＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣ ）+（﹣ ）+ +（﹣ ）]
＝0+（﹣ ）
＝﹣ ．
上面这种解算方法叫做折项法，请按此方法计算：（﹣55 ）+（﹣44 ）+100 +（﹣1 ）．
【变式2】阅读理解下题的计算方法，并解决问题：
5 2 3 1
计算：(-5 )+(-9 )+17 +(-3 )．
6 3 4 25 2 3 1
解：原式=[(-5)+(- )]+[(-9)+(- )]+(17+ )+[(-3)+(- )]
6 3 4 2
5 2 3 1
=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(- )+(- )+ +(- )]
6 3 4 2
5
=0+(- )
4
5
=-
4
5 2 2 1
上面的方法叫做拆项法，按此方法计算：(-2018 )+(-2017 )+4036 +(- )．
6 3 3 2
5.拆项相消法
【例12】（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算 的值为 ．
【变式1】观察下列等式：
……
请按上述规律，写出第 个式子的计算结果（ 为正整数） ．（写出最简计算结果即可）
【变式2】（2022秋·重庆·七年级校考阶段练习）如果有理数a，b满足|ab﹣2|+（1﹣b）2＝0，则
的值为 ．【变式3】（2022秋·山东聊城·七年级统考阶段练习）观察式子 ， ， ，
…
(1)猜想并写出： ＝ ；
(2)填空： ＝ ；
(3)尝试解决： ．
6.倒数计算法
【例13】 计算：7.有理数的非负性
【例14】（2022秋•寻乌县期末）请根据图示的对话解答下列问题．
（1）a＝ ，b＝ ．
（2）已知|m﹣a|+|b+n|＝0，求mn的值．
【变式】（2022秋•兰溪市期中）已知（a﹣2）2与|b+1|互为相反数，求（a﹣b）a+b的值．【3 种思想】
1.数形结合思想
【例15】如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中 ，设点A，B，C所对应数
分别为a、b、c，且 ．
（1）若点C为原点， ，则 __________， _________， _________；
（2）若点B为原点， ，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为8，且 ，求m的值．
2.分类讨论思想
【例16】（2023秋·辽宁抚顺·七年级统考期末）已知点A在数轴上的对应的数为a，点B对应的数为b，且
满足 ．
(1)点A到点B的距离为_________；
(2)如图，点P是数轴上一点，点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍（即 ），求点P在数
轴上对应的数．
3.转化思想【例17】．（2022秋•石楼县期末）请你先认真阅读材料：
计算
解：原式的倒数是（ ﹣ + ）÷（ ）
＝（ ﹣ + ）×（﹣30）
＝ ×（﹣30）﹣ ×（﹣30）+ ×（﹣30）﹣ ×（﹣30）
＝﹣20﹣（﹣3）+（﹣5）﹣（﹣12）
＝﹣20+3﹣5+12
＝﹣10
故原式等于﹣
再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ．
【检测卷】
一、单选题
1．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末） 的倒数是（ ）
A．2023 B． C． D．
2．（2022秋·浙江·七年级期中）如果小明向东走30米，记作 米，那么 米表示小明（ ）
A．向西走30米 B．向西走60米 C．向东走60米 D．向西走 米
3．（2022秋·浙江·七年级期中）计算 的值为（ ）
A． B．1 C． D．20224．（2022秋·浙江·七年级期中）用四舍五入法对0.06045取近似值，精确到百分位，正确的是（ ）
A．0.1 B．0.06 C．0.061 D．0.0605
5．（2022秋·浙江·七年级期中）北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二
号 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射，总质量约 ，44000用科学记数法表示为
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022秋·浙江·七年级期中）如图，数轴上的A，B，C三点所表示的数分别是a，b，c，其中 ．
如果 ，那么该数轴的原点O的位置应该在（ ）
A．点A的左边 B．点A与点B之间
C．点B与点C之间，靠近点B的地方 D．点B与点C之间或点C的右边
7．（2022秋·浙江·七年级期中）下列计算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022秋·浙江·七年级期中）下列计算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022秋·浙江·七年级期中）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若 ，那下列结论
中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022秋·浙江·七年级期中）若 ，则 的值（ ）A．1 B． C．0 D． 或3
二、填空题
11．（2022秋·浙江·七年级期中）某种零件，标明要求是 （ 表示直径，单位： ），
经检查，一个零件的直径是 ，该零件 （填“合格”或“不合格”）．
12．（2022秋·浙江·七年级期中） 的相反数是 ； 的倒数是 ．
13．（2023秋·七年级课时练习）计算： ．
14．（2023秋·七年级课时练习）请将“ ，4， ，8”这四个数进行加、减、乘、除混合运算，使运算
结果为24（可以加括号，每个数必须用一次且只能用一次），写出你的算式： ．
15．（2023秋·七年级课时练习）下列各数： ， ， ， ， ，0．其中绝对值小于3的有
个．
16．（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）计算 的值为 ．
17．（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第六十九中学校校考开学考试）比较大小： ．
18．（2022秋·浙江·七年级期中）已知： ，且 ．则 ．
三、解答题
19．（2023秋·七年级课时练习）计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．（用简便方法计算）20．（2023秋·七年级课时练习）把下列各数： ，2，0， ， ， ， ， ， ，
填入相应的大括号内；
正整数：{________…}；
非负整数：{________…}；
分数：{________…}；
负数：{________…}．
21．（2022秋·浙江·七年级期中）（1）把下面的直线补充成一条数轴，在数轴上表示下列各数；
，4， ，0，2.5， ．
（2）用“>”将（1）中的每个数连接起来．
22．（2023秋·七年级课时练习）看程序图，做有理数运算
如图是计算机程序计算图．
【模型提炼】输入数据进入程序运算：将输入的数据 ，即可得到输出的数值．
【模型运用】
(1)若开始输入为 ，请你根据上面程序列出算式并计算出输出结果；
(2)若最后输出为 ，请你根据上面程序列出算式并计算出输入数字．23．（2023秋·七年级课时练习）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：
； ； ； ．
(1)根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
① ________；② ________；③ ________；
(2)用合理的方法计算： ；
(3)用简单的方法计算： ．
24．（2022秋·浙江·七年级期中）出租车司机老姚某天上午 的营运全是在东西走向的解放路上进
行，如果规定向东为正，向西为负．他这天上午行车里程（单位： ）如下：
．
(1)将第几名乘客送到目的地时，老姚刚好回到上午出发点？
(2)将最后一名来客送到目的地时，老姚距上午出发点多远？在出发点的东面还是西面？
(3)若出租车的收费标准为：起步价8元（不超过3千米），超过3千米，超过部分每千米2元，求姚师傅
从最后一位乘客里收入多少元？25．（2023秋·全国·七年级专题练习）我们知道乘法有分配律，遇到比较复杂的混合运算时．有的时候可
以运用乘法分配律很容易去解决．
(1)计算：
(2)由于除法没有分配律，在遇到除法的类似混合运算时，我们计算会很困难，在学完倒数时，小明对这种
除法的混合运算有了自己的想法：先算这个式子的倒数，再利用倒数的意义得出原结果下面是小明的计算
过程
解：原式的倒数为：
．
故原式
请你根据对小明的方法的理解，计算26．（2023秋·七年级课时练习）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面，若数轴上数1表示的点与数
表示的点重合，则数轴上数 表示的点与数2表示的点重合，根据你对上述内容的理解，解答下列问题：
若数轴上数 表示的点与数0表示的点重合．
(1)则数轴上数3表示的点与数___________表示的点重合；
(2)若点A到原点的距离是5个单位长度，并且A， 两点经折叠后重合，求 点表示的数；
(3)若数轴上 ， 两点之间的距离为2022，并且 ， 两点经折叠后重合，如果 点表示的数比 点
表示的数大，直接写出 点， 点表示的数．
