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® YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE 义 务 七年级 教 全国优秀教材二等奖 育 教 科 义务教育教科书 下册 书 数学 七年级 下册 数 数学 学 七 年 级 下 册 绿绿色色印印刷刷产产品品 定价：10.45 元 数数学学封封面面七七年年级级下下加加教教材材建建设设奖奖 11 22002211//1111//1166 0099::5544·北 京·主 编：林 群 副 主 编：田载今 薛 彬 李海东 本册主编：薛 彬 主要编写人员：李海东 李龙才 薛 彬 张劲松 王 嵘 张唯一 吴晓燕 张玉梅 鞠秀华 宫 颖 沈秀玉 陈 艳 张一樵 雷晓莉 责任编辑：宋莉莉 美术编辑：王俊宏 版式设计：王俊宏 插 图：王俊宏 金 葆 文鲁工作室（封面） 义务教育教科书 数学 七年级 下册 人民教育出版社 课程教材研究所 编著 中学数学课程教材研究开发中心 出版发行 （北京市海淀区中关村南大街 17 号院 1 号楼 邮编：100081） 网 址 http://www.pep.com.cn 版权所有·未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分·违者必究 如发现内容质量问题，请登录中小学教材意见反馈平台：jcyjfk.pep.com.cn本册导引 亲爱的同学，新学期开始了。 你将要学习的这本书是我们根据 《义务教育数学课程标准 （２０１１年版）》 编写的教科书，这是你在七～九年级要学习的六册数学教科书中的第二册。 我们首先学习 “相交线与平行线”，在那里我们将对 “相交”“垂直”“平 行”等有更深入的了解。你会发现，生活中许多问题都可以用这些知识来分析 与解决。通过 “平移”你会得到美丽的图案，许多好看的动画也是用它实 现的。 面积为２ｄｍ２ 的正方形的边长是多少？体积为３ｄｍ３ 的正方体的棱长是多 少？解决这些问题，会遇到一个新朋友———无理数。它的到来使数扩充到新的 领域，“实数”会使我们对数的认识大开眼界。 如果将校园的建筑物用点来表示，在绘制校园的平面图时，你能用什么方 法确定各个建筑物的位置？“平面直角坐标系”可以帮助你。平面直角坐标系 是一种重要的数学工具，它不仅可以帮助我们确定地理位置，而且能成功地架 起数与形之间的桥梁。掌握了它，你会发现许多问题的解决变得直观而简明。 “二元一次方程组”提供了许多实际问题情境，引导你分析问题中的数量 关系，利用其中的相等关系列出二元一次方程组，解方程组得到问题的答案。 这样的过程将使你进一步感受方程是解决实际问题的重要数学工具。 在现实生活中存在着大量的需要研究不等关系的问题，例如，比较两个同 学的身高，就是要研究身高的不等关系。在 “不等式与不等式组”中，你会学 到列、解不等式的方法，你将看到如同方程可以解决具有相等关系的问题一 样，不等式可以解决具有不等关系的问题。 “数据的收集、整理与描述”将带你走进统计的世界，在这里，你将学会 收集和整理数据的常用方法，还将接触到几种常见的统计图表，学会如何用图 表直观地描述数据，并初步体验合理地进行推断和预测。 数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功。让我们一起 随着这本书，畅游神奇、美妙的数学世界吧！目 录 第五章 相交线与平行线 ５．１ 相交线 ２ 观察与猜想 看图时的错觉 １０ ５．２ 平行线及其判定 １１ ５．３ 平行线的性质 １８ 信息技术应用 探索两条直线的位置关系 ２６ ５．４ 平移 ２８ 数学活动 ３２ 小结 ３４ 复习题５ ３５ 第六章 实数 ６．１ 平方根 ４０ ６．２ 立方根 ４９ ６．３ 实数 ５３ 阅读与思考 为什么说槡２不是有理数 ５８ 数学活动 ５９ 小结 ６０ 复习题６ ６１第七章 平面直角坐标系 ７．１ 平面直角坐标系 ６４ 阅读与思考 用经纬度表示地理位置 ７２ ７．２ 坐标方法的简单应用 ７３ 数学活动 ８１ 小结 ８３ 复习题７ ８４ 第八章 二元一次方程组 ８．１ 二元一次方程组 ８８ ８．２ 消元———解二元一次方程组 ９１ ８．３ 实际问题与二元一次方程组 ９９  ８．４ 三元一次方程组的解法 １０３ 阅读与思考 一次方程组的古今表示及解法 １０７ 数学活动 １０９ 小结 １１０ 复习题８ １１１ 书书书第九章 不等式与不等式组 ９．１ 不等式 １１４ 阅读与思考 用求差法比较大小 １２１ ９．２ 一元一次不等式 １２２ ９．３ 一元一次不等式组 １２７ 数学活动 １３１ 小结 １３２ 复习题９ １３３ 第十章 数据的收集、整理与描述 １０．１ 统计调查 １３５ 实验与探究 瓶子中有多少粒豆子 １４４ １０．２ 直方图 １４５ 信息技术应用 利用计算机画统计图 １５１ １０．３ 课题学习 从数据谈节水 １５３ 数学活动 １５６ 小结 １５７ 复习题１０ １５８ 部分中英文词汇索引 １６２第五章 相交线与平行线 同学们对两条直线相交、平行一定不陌生吧！ 纵横交错的道路，棋盘中的横线和竖线，操场上 的双杠，教室中的课桌面、黑板面相邻的两条边 与相对的两条边……都给我们以相交线或平行线 的形象．你能再举出一些相交线和平行线的实 例吗？ 上一章我们认识了几何图形，并学习了一些 基本的平面图形———直线、射线、线段和角．本 章将研究平面内不重合的两条直线的位置关系： 相交与平行．对于相交，我们要研究两条直线相 交所成的角的位置关系和数量关系；对于平行， 我们要借助于一条直线与另外两条直线相交所成 的角，研究平行线的判定和性质．在此基础上， 再学习平移的有关知识．本章我们还将学习通过 简单的推理得出数学结论的方法，培养言之有据 的思考习惯． 书书书５．１ 相交线 ５．１．１ 相交线 如图５．１１，观察剪刀剪开布片过程中有关角 的变化．可以发现，握紧剪刀的把手时，随着两 个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相 应变小，直到剪开布片．如果把剪刀的构造看作 两条相交的直线，这就关系到两条相交直线所成 的角的问题． 图５．１１  任意画两条相交 的 直 线，形 成 四 个 角 C(cid:0) B(cid:0) （图５．１２），∠１和∠２有怎样的位置关系？∠１ 2(cid:0)O(cid:0) 1(cid:0) 3(cid:0) 和∠３呢？ 4(cid:0) A(cid:0) D(cid:0) 分别量一下各个角的度数，∠１和∠２的度 图５．１２ 数有什么关系？∠１和∠３呢？在图５．１１剪刀 把手之间的角变化的过程中，这个关系还保持 吗？为什么？ ∠１和∠２有一条公共边犗犆，它们的另一边互为 反向延长线 （∠１和∠２互补），具有这种关系的两个 图５．１２中 角，互为邻补角（ａｄｊａｃｅｎｔａｎｇｌｅｓｏｎａｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ）． 还有没有其他的 邻补角与对顶角？ ∠１和∠３有一个公共顶点犗，并且∠１的两 边分别是∠３的两边的反向延长线，具有这种位置 关系的两个角，互为对顶角 （ｏｐｐｏｓｉｔｅａｎｇｌｅｓ）． 在图５．１２中，∠１与∠２互补，∠３与∠２互 补，由 “同角的补角相等”，可以得出∠１＝∠３．类似 地，∠２＝∠４．这样，我们得到对顶角的性质： 对顶角相等． ２ !"#$%&’()*’上面推出 “对顶角相等”这个结论的过程，可以写成下面的形式： 因为 ∠１与∠２互补，∠３与∠２互补 （邻补角的定义）， 所以 ∠１＝∠３ （同角的补角相等）． 例１ 如图５．１３，直线犪，犫相交，∠１＝４０°， b(cid:0) 求∠２，∠３，∠４的度数． 2(cid:0) 解：由邻补角的定义，得 1(cid:0) a(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) ∠２＝１８０°－∠１＝１８０°－４０°＝１４０°； 由对顶角相等，得 图５．１３ ∠３＝∠１＝４０°， ∠４＝∠２＝１４０°． 如图，取两根木条犪，犫，将它们钉在一起，并把它们想象成两 b 条直线，就得到一个相交线的模型．你能说出其中的一些邻补 α a 角与对顶角吗？两根木条所成的角中，如果∠α＝３５°，其他三 个角各等于多少度？如果∠α等于９０°，１１５°，犿°呢？ ５．１．２ 垂线 在相交线的模型（上面练习插图）中，固定木条犪，转动木条犫．当犫的位 置变化时，犪，犫所成的∠α也会发生变化．当 ∠α＝９０°时 （图５．１４），我们 说犪与犫互相垂直 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ），记作犪⊥犫． A b b A D α a C O D O C B B 图５．１４ 图５．１５ 垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另 一条直线的垂线 （ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｌｉｎｅ），它们的交点叫做垂足 （ｆｏｏｔｏｆａｐｅｒ ｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ）．在图５．１５中，犃犅⊥犆犇，垂足为犗． ３ !"#$%&’()*’ 书书书根据两条直线垂直的定义可知，如果两条直 线相交所成的四个角中的任意一个角等于９０°， 那么这两条直线垂直．图５．１５中，如果直线 反过来，如果 犃犅，犆犇相交于点犗，∠犃犗犇＝９０°，那么犃犅⊥ 犃犅⊥犆犇，那么 ∠犃犗犇是多少度？ 犆犇．这个推理过程可以写成下面的形式： 因为 ∠犃犗犇＝９０°， 所以 犃犅⊥犆犇（垂直的定义）． 日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常 见，说出图５．１６中的一些互相垂直的木条．你 能再举出其他例子吗？ 图５．１６  如图５．１７． （１）用三角尺或量角器画已知直线犾的垂线，这样的垂线能画出几条？ （２）经过直线犾上一点犃画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？ （３）经过直线犾外一点犅画犾的垂线，这样的垂线能画出几条？ B A l l 图５．１７ ４ !"#$%&’()*’ 书书书经过一点 （已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只 能画出一条垂线．即 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． １．当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系？为什么？ ２．画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线．如图，请你过点犘画 出射线犃犅或线段犃犅的垂线． P(cid:0) P(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) P(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) （１） （２） （３） （第２题）  如图５．１８，在灌溉时，要把河中的水引 P 到农田犘处，如何挖渠能使渠道最短？ 图５．１８  如图５．１９，连接直线犾外一点犘与直线 犾上各点犗，犃，犃，犃，…，其中犘犗⊥犾（我 P １ ２ ３ 们称犘犗为点犘到直线犾的垂线段）．比较线段 犘犗，犘犃，犘犃，犘犃，…的长短，这些线段 １ ２ ３ 中，哪一条最短？ … A4 A3 A2A1O l 图５．１９ 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． ５ !"#$%&’()*’现在，你知道水渠该怎么挖了吗？在图５．１８中画出来．如果图中比例尺 为１∶１０００００，水渠大约要挖多长？ 如图，三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°． A （１）分别指出点犃到直线犅犆，点犅到直线犃犆的距 离是哪些线段的长； （２）三条边犃犅，犃犆，犅犆中哪条边最长？为什么？ C B ５．１．３ 同位角、内错角、同旁内角 前面我们研究了一条直线与另一条直线相交 E 的情形，接下来，我们进一步研究一条直线与两 1 2 A B 条直线分别相交的情形． 3 4 如图５．１１０，直线犃犅，犆犇与犈犉相交 （也 6 5 D 8 C 7 可以说两条直线犃犅，犆犇被第三条直线犈犉所 F 截），构成八个角．我们看那些没有公共顶点的 图５．１１０ 两个角的关系． 先看图中的∠１和∠５，这两个角分别在直线 ∠２和∠６是同 犃犅，犆犇的同一方 （上方），并且都在直线犈犉的 位角吗？图中还有 没有其他的同位角？ 同侧 （右侧），具有这种位置关系的一对角叫做同 若有，标记出它们． 位角 （ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｎｇｌｅｓ）． 再看∠３和∠５，这两个角都在直线犃犅，犆犇 之间，并且分别在直线犈犉两侧 （∠３在直线犈犉 图中还有没有 左侧，∠５在直线犈犉右侧），具有这种位置关系 其他的内错角与同 的一对角叫做内错角 （ａｌｔｅｒｎａｔｅｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓ）． 旁内角？若有，标 图中∠３和∠６也都在直线犃犅，犆犇之间，但它 记出它们． 们在直线犈犉的同一旁 （左侧），具有这种位置关 系的一对角叫做同旁内角 （ｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓｏｎｔｈｅ ｓａｍｅｓｉｄｅ）． ６ !"#$%&’()*’例２ 如图５．１１１，直线犇犈，犅犆被直线 A 犃犅所截． D 4 E （１）∠１和∠２，∠１和∠３，∠１和∠４各是 2 3 什么位置关系的角？ 1 B C （２）如果∠１＝∠４，那么∠１和∠２相等吗？ 图５．１１１ ∠１和∠３互补吗？为什么？ 答：（１）∠１和∠２是内错角，∠１和∠３是同旁内角，∠１和∠４是同位角． （２）如果∠１＝∠４，由对顶角相等，得∠２＝∠４，那么∠１＝∠２． 因为∠４和∠３互补，即∠４＋∠３＝１８０°，又因为∠１＝∠４，所以∠１＋ ∠３＝１８０°，即∠１和∠３互补． １．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． a b 7 a b 5 D A E 1 3 6 8 c 2 4 1 2 3 4 c B C （１） （２） （第１题） （第２题） ２．如图，∠犅与哪个角是内错角，与哪个角是同旁内角？它们分别是哪两条直线 被哪一条直线所截形成的？对∠犆进行同样的讨论． 习题５．１  １．下列各图中，∠１和∠２是不是对顶角？ 1 1 1 2 2 1 2 2 （１） （２） （３） （４） （第１题） ７ !"#$%&’()*’２．如图，直线犃犅，犆犇，犈犉相交于点犗． （１）写出∠犃犗犆，∠犅犗犈的邻补角； （２）写出∠犇犗犃，∠犈犗犆的对顶角； （３）如果∠犃犗犆＝５０°，求∠犅犗犇，∠犆犗犅的度数． D B E C D A A O B F O C （第２题） （第３题） ３．找出图中互相垂直的线段，并用三角尺检验． ４．如图，在一张半透明的纸上画一条直线犾，在犾上任取一点犘，在犾外任取一点犙， 折出过点犘且与犾垂直的直线．这样的直线能折出几条？为什么？过点犙呢？ E C B O l P A D （第４题） （第５题） ５．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犈犗⊥犃犅，垂足为犗，∠犈犗犆＝３５°．求∠犃犗犇 的度数． ６．如图，画犃犈⊥犅犆，犆犉⊥犃犇，垂足分别为犈，犉． A A D O B C B （第６题） （第７题） ７．如图，用量角器画∠犃犗犅的平分线犗犆，在犗犆上任取一点犘，比较点犘到犗犃， 犗犅的距离的大小．  ８．如图，直线犃犅，犆犇相交于点犗，犗犃平分∠犈犗犆． （１）若∠犈犗犆＝７０°，求∠犅犗犇的度数； （２）若∠犈犗犆∶∠犈犗犇＝２∶３，求∠犅犗犇的度数． ８ !"#$%&’()*’E D A O B C !"#$%&’()*’ °0 60° 90° 120° 30 ° 150° 18(cid:0)(cid:0)0°(cid:0) （第８题） （第９题） ９．图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ １０．如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是多少 （比 例尺为１∶１６０）？ D C D C 起 1 1 3 跳 4 线 A 2 B 3 2 4 A B E （１） （２） （第１０题） （第１１题） １１．如图，∠１和∠２，∠３和∠４各是哪两条直线被哪一条直线所截形成的？它们各 是什么位置关系的角？   １２．如图，犃犅⊥犾，犅犆⊥犾，犅为垂足，那么犃，犅，犆三点在同一 A 条直线上吗？ １３．直线犃犅，犆犇相交于点犗． C （１）犗犈，犗犉分别是∠犃犗犆，∠犅犗犇的平分线．画出这个 l B 图形． （第１２题） （２）射线犗犈，犗犉在同一条直线上吗？ （３）画∠犃犗犇的平分线犗犌．犗犈与犗犌有什么位置关系？ ９ 看图时的错觉 观察以下图形，并回答所提的问题． １．图１中的线段犪与犫哪一条长？ b a a b b a 图１ ２．图２中的圆犃大还是圆犅大？ A B 图２ 图３ ３．图３中的四边形是正方形吗？ 你对自己的结论有把握吗？利用刻度尺和三角尺量一量、测一测，这时你的答案是什么？ 要对事物作出某种判断，总是基于对这个事物的观察、实验与思考，其中观察和实验 是作出判断的重要依据．所以，观察必须认真、仔细，不能粗枝大叶、马马虎虎．有时观 察得出的猜想不一定正确，还要借助于实验进行检验． 图４中的线犪与犫互相平行吗？如何检验？学习了后面的知识后，你的检验方法会更多． a b a a b b 图４ １０ !"#$%&’()*’５．２ 平行线及其判定 ５．２．１ 平行线  如图５．２１，分别将木条犪，犫与木条犮钉在一起，并把它们想象成在 同一平面内两端可以无限延伸的三条直线．转动犪，直线犪从在犮的左侧 与直线犫相交逐步变为在犮的右侧与犫相交．想象一下，在这个过程中， 有没有直线犪与直线犫不相交的位置呢？ c c c a a a b b b 图５．２１ 可以发现，在木条转动过程中，存在直线犪 与犫不相交的情形，这时我们说直线犪与犫互相平 在同一平面内， 行 （ｐａｒａｌｌｅｌ），记作犪∥犫． 不重合的两条直线只 平行线在生活中是很常见的 （图５．２２），你 有两种位置关系：相 还能举出其他一些例子吗？ 交和平行． 图５．２２ １１ !"#$%&’()*’ 书书书 在图５．２１转动木条犪的过程中，有几个位置 C 使得直线犪与犫平行？如图５．２３，过点犅画直线 B 犪的平行线，能画出几条？再过点犆画直线犪的平 a 图５．２３ 行线，它和前面过点犅画出的直线平行吗？ 通过观察和画图，可以发现一个基本事实 （平行公理）： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 由平行公理，进一步可以得到如下结论： c(cid:0) 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线 b(cid:0) 也互相平行． 也就是说：如果犫∥犪，犮∥犪，那么犫∥犮（图５．２４）． a(cid:0) 图５．２４ 读下列语句，并画出图形： （１）点犘是直线犃犅外一点，直线犆犇经过点犘，且与直线犃犅平行； （２）直线犃犅，犆犇是相交直线，点犘是直线犃犅，犆犇外的一点，直线犈犉经过点 犘且与直线犃犅平行，与直线犆犇相交于点犈． ５．２．２ 平行线的判定 根据平行线的定义，如果平面内的两条直线不相交，就可以判断这两条直 线平行．但是，由于直线无限延伸，检验它们是否相交有困难，所以难以直接 根据定义来判断两条直线是否平行．那么，有没有其他判定方法呢？  E P C D 我们以前已学过用直尺和三角尺画平 H 行线（图５．２５）．在这一过程中，三角尺 起着什么样的作用？ A B G F 图５．２５ １２ !"#$%&’()*’简化图５．２５得到图５．２６．可以看出，画直线犃犅的平行线犆犇，实际 上就是过点犘画与∠２相等的∠１，而∠２和∠１正是直线犃犅，犆犇被直线犈犉 截得的同位角．这说明，如果同位角相等，那么犃犅∥犆犇． 一般地，有如下利用同位角判定两条直线平行的方法： 判定方法１ 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条 直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． E D H P A C D C F 1 E A B G 2 B F 图５．２６ 图５．２７ 如图５．２７，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？  两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、 c 1 内错角和同旁内角．由同位角相等，可以判定两条 3 4 a 直线平行，那么能否利用内错角，或同旁内角来判 2 定两条直线平行呢？ b 如图５．２８，如果∠２＝∠３，能得出犪∥犫吗？ 图５．２８ 因为∠２＝∠３，而∠３＝∠１ （为什么？），所以∠１＝∠２，即同位角相等， 从而犪∥犫．这样，由判定方法１，可以得出利用内错角判定两条直线平行的 方法： 判定方法２ 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条 直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 利用同旁内角，有判定两条直线平行的第三种方法： 判定方法３ 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两 条直线平行． １３ !"#$%&’()*’简单说成：同旁内角互补，两直线平行．  遇到一个新问题时，常常把它转化为已知的 （或已解决的）问题．这 一节中，我们是怎样利用 “同位角相等，两直线平行”得到 “内错角相 等，两直线平行”的？你能利用 “同位角相等，两直线平行”或 “内错角 相等，两直线平行”得到 “同旁内角互补，两直线平行”吗？ 例 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同 一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？ b c 分析：垂直总与直角联系在一起，进而用判断 两条直线平行的方法进行判定． 答：这两条直线平行．理由如下： 1 2 a 如图５．２９． 图５．２９ ∵ 犫⊥犪， ∴ ∠１＝９０°． 同理 ∠２＝９０°． 此处符号 “∵” 表示 “因为”，符号 ∴ ∠１＝∠２． “∴”表示 “所以”． ∵ ∠１和∠２是同位角， ∴ 犫∥犮（同位角相等，两直线平行）． 你还能利用其他方法说明犫∥犮吗？ １．如图，犅犈是犃犅的延长线． （１）由∠犆犅犈＝∠犃可以判定哪两条直线平行？ D C 根据是什么？ （２）由∠犆犅犈＝∠犆可以判定哪两条直线平行？ 根据是什么？ A B E ２．在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图， （第１题） 已经知道∠２是直角，那么再度量图中已标出的哪个 角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？ １４ !"#$%&’()*’1(cid:0) parallel 2(cid:0) 铁轨 5(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) 枕木 （第２题） （第３题） ３．如图，这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分．其中的横格线互相平行 吗？你有多少种判别方法？ 习题５．２  １．如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁犇犈，使犇犈∥犅犆．如果∠犃犅犆＝ ３１°，∠犃犇犈应为多少度？ A(cid:0) D C D(cid:0) E(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) A O(cid:0) B （第１题） （第２题） ２．如图，一个弯形管道犃犅犆犇的拐角∠犃犅犆＝１２０°， ∠犅犆犇＝６０°，这时说管道犃犅∥犆犇对吗？为什么？ ３．如图，这是两条道路互相垂直的交叉路口，你能画出 它的平面示意图吗？类似地，你能画出两条道路成 ７５°角的交叉路口的示意图吗？ ４．如图，直线犪，犫，犮被直线犾所截，量得∠１＝ （第３题） ∠２＝∠３． （１）从∠１＝∠２可以得出哪两条直线平行？根据是 l(cid:0) 什么？ 1(cid:0) （２）从∠１＝∠３可以得出哪两条直线平行？根据是 a(cid:0) 什么？ 2(cid:0) 3(cid:0) b(cid:0) （３）直线犪，犫，犮互相平行吗？根据是什么？ c(cid:0) （第４题） １５ !"#$%&’()*’５．如图，有一块方形玻璃，用什么方法可以检验它相对的两条边是否平行？ e(cid:0) 50(cid:0)°d(cid:0) 40(cid:0)° 40(cid:0)° c(cid:0) 40(cid:0)° b(cid:0) a(cid:0) （第５题） （第６题） ６．根据图中所给出的条件，找出互相平行的直线和互相垂直的直线．  ７．如图，犈是犃犅上一点，犉是犇犆上一点，犌是犅犆延 A D 长线上一点． （１）如果∠犅＝∠犇犆犌，可以判断哪两条直线平行？ E F 为什么？ （２）如果∠犇＝∠犇犆犌，可以判断哪两条直线平行？ B C G 为什么？ （第７题） （３）如果∠犇＋∠犇犉犈＝１８０°，可以判断哪两条直线平行？为什么？ ８．如图，这些图案中有一些平行条纹，请你设计一些类似图案，并把你的设计与同 学们交流一下． （第８题） ９．借助直尺、三角尺和量角器，在图中找出互相平行 h(cid:0) 的直线和互相垂直的直线． g(cid:0) c(cid:0) f(cid:0) a(cid:0) e(cid:0) b(cid:0) d(cid:0) （第９题） １６ !"#$%&’()*’１０．如图，为了说明示意图中的平安大街与长安街是互相平行的，在地图上量得 ∠１＝９０°，你能通过度量图中已标出的其他的角来验证这个结论吗？说出你的理由． 平安大街 二 1 环 路 5 2 长安街 4 3 （第１０题）   １１．观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系：犃犅 犃犅， １ １ 犃犃 犃犅，犃犇 犆犇，犃犇 犅犆． １ １ １ １ １ 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． c D1(cid:0)(cid:0) C(cid:0)1(cid:0) 2 A1(cid:0)(cid:0) B1(cid:0)(cid:0) 1 a D(cid:0) C(cid:0) b 3 A(cid:0) B(cid:0) （第１１题） （第１２题） １２．如图，当∠１＝∠３时，直线犪，犫平行吗？当∠２＋∠３＝１８０°时，直线犪，犫平行 吗？为什么？ １７ !"#$%&’()*’５．３ 平行线的性质 ５．３．１ 平行线的性质 利用同位角相等，或者内错角相等，或者同旁内角互补，可以判定两条直 线平行．反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角又各有什么 关系呢？这就是我们下面要学习的平行线的性质． 类似于研究平行线的判定，我们先来研究两条直线平行时，它们被第三条 直线截得的同位角的关系．  如图５．３１，利用坐标纸上的直线，或者用直 尺和三角尺画两条平行线犪∥犫，然后，画一条截线 d c 犮与这两条平行线相交，度量所形成的八个角的度 2 1 数，把结果填入下表： a 3 4 角 ∠１ ∠２ ∠３ ∠４ 6 5 度数 b 7 8 角 ∠５ ∠６ ∠７ ∠８ 度数 图５．３１ ∠１，∠２，…，∠８中，哪些是同位角？它们 的度数之间有什么关系？由此猜想两条平行线被第 三条直线截得的同位角有什么关系． 再任意画一条截线犱，同样度量并比较各对同 位角的度数，你的猜想还成立吗？ 一般地，平行线具有性质： 性质１ 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． １８ !"#$%&’()*’ 上一节，我们利用 “同位角相等，两直线平行”推出了 “内错角相 等，两直线平行”．类似地，你能由性质１，推出两条平行线被第三条直 线截得的内错角之间的关系吗？ 如图５．３２，直线犪∥犫，犮是截线．根据 “两 c(cid:0) 直线平行，同位角相等”，可得∠２＝∠３．而∠３ 3(cid:0) 和∠１互为对顶角，所以∠３＝∠１．所以∠１＝ a(cid:0) 1(cid:0) ∠２．这样，我们就得到了平行线的另一个性质： 2(cid:0) b(cid:0) 性质２ 两条平行线被第三条直线所截，内错 角相等． 图５．３２ 简单说成：两直线平行，内错角相等． 类似地，由 “两直线平行，同位角相等”，我们可以推出平行线关于同旁 内角的性质 （请你自己完成推理过程）： 性质３ 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 例１ 图５．３３是一块梯形铁片的残余部分，量得∠犃＝１００°，∠犅＝１１５°， 梯形的另外两个角分别是多少度？ 解：因为梯形上、下两底犃犅与犇犆互相平行， D C 根据 “两直线平行，同旁内角互补”，可得∠犃与 ∠犇互补，∠犅与∠犆互补． 于是 A B ∠犇＝１８０°－∠犃＝１８０°－１００°＝８０°， 图５．３３ ∠犆＝１８０°－∠犅＝１８０°－１１５°＝６５°． 所以梯形的另外两个角分别是８０°，６５°． １９ !"#$%&’()*’１．如图，直线犪∥犫，∠１＝５４°，∠２，∠３，∠４各是多少度？ a 1 A 2 b D E 4 B C 3 （第１题） （第２题） ２．如图，三角形犃犅犆中，犇是犃犅上一点，犈是犃犆上一点，∠犃犇犈＝６０°， ∠犅＝６０°，∠犃犈犇＝４０°． （１）犇犈和犅犆平行吗？为什么？ （２）∠犆是多少度？为什么？ ５．３．２ 命题、定理、证明 前面，我们学过一些对某一件事情作出判断的语句，例如： （１）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （２）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补； （３）对顶角相等； （４）等式两边加同一个数，结果仍是等式． 像这样判断一件事情的语句，叫做命题 （ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．命题由题设和结 论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 数学中的命题常可以写成 “如果……那么……”的形式，这时 “如果”后 接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论．例如，上面命题 （１）中，“两 条直线都与第三条直线平行”是题设，“这两条直线也互相平行”是结论． 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析 才能找出题设和结论，从而将它们写成 “如 果……那么……”的形式．例如，命题 “对顶角 请你将命题 （２） 相等”可以写成 “如果两个角是对顶角，那么这 （４）改写成 “如果…… 那么……”的形式． 两个角相等”． ２０ !"#$%&’()*’上面所举出的命题都是正确的．就是说，如果题设成立，那么结论一定成 立，这样的命题叫做真命题．还有一些命题，如 “如果两个角互补，那么它们 是邻补角”“如果一个数能被２整除，那么它也能被４整除”等，这些命题中， 题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题． １．指出下列命题的题设和结论： （１）如果犃犅⊥犆犇，垂足为犗，那么∠犃犗犆＝９０°； （２）如果∠１＝∠２，∠２＝∠３，那么∠１＝∠３； （３）两直线平行，同位角相等． ２．举出学过的２～３个真命题． 在前面，我们学过的一些图形的性质，都是真命题．其中有些命题是基本 事实，如 “两点确定一条直线”“经过直线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行”等．还有一些命题，如 “对顶角相等” “内错角相等，两直线平行” 等，它们的正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理 （ｔｈｅｏ ｒｅｍ）．定理也可以作为继续推理的依据． 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过 程叫做证明 （ｐｒｏｏｆ）．下面，我们以证明命题 “在同一平面内，如果一条直线垂直 于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”为例，来说明什么是证明． 例２ 如图５．３４，已知直线犫∥犮，犪⊥犫．求 证犪⊥犮． 证明：∵ 犪⊥犫（已知）， 证明中的每一步 推理都要有根据，不 ∴ ∠１＝９０°（垂直的定义）． 能 “想当然”．这些根 ∵ 犫∥犮（已知）， 据，可以是已知条件， ∴ ∠１＝∠２ （两直线平行，同位角相等）． 也可以是学过的定义、 ∴ ∠２＝∠１＝９０°（等量代换）． 基本事实、定理等． ∴ 犪⊥犮（垂直的定义）． 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子 （反 例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了． ２１ !"#$%&’()*’A(cid:0) b c 1(cid:0) O(cid:0) C(cid:0) 2(cid:0) 1 2 a B(cid:0) 图５．３４ 图５．３５ 例如，要判定命题 “相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例： 图５．３５中，犗犆是∠犃犗犅的平分线，∠１＝∠２，但它们不是对顶角． １．在下面的括号内，填上推理的根据． A D 如图，∠犃＋∠犅＝１８０°，求证∠犆＋∠犇＝１８０°． 证明：∵ ∠犃＋∠犅＝１８０°， ∴ 犃犇∥犅犆（ ）． B C （第１题） ∴ ∠犆＋∠犇＝１８０°（ ）． ２．命题 “同位角相等”是真命题吗？如果是，说出理由；如果不是，请举出反例． 习题５．３  １．如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．如果第一次的拐角∠犃是 １３５°，第二次的拐角∠犅是多少度？为什么？ D(cid:0) C(cid:0) B A A(cid:0) B(cid:0) （第１题） （第２题） ２．如图，在四边形犃犅犆犇中，如果犃犇∥犅犆，∠犃＝６０°，求∠犅的度数．不用度量 的方法，能否求得∠犇的度数？ ３．如图，平行线犃犅，犆犇被直线犃犈所截． （１）从∠１＝１１０°可以知道∠２是多少度？为什么？ ２２ !"#$%&’()*’（２）从∠１＝１１０°可以知道∠３是多少度？为什么？ （３）从∠１＝１１０°可以知道∠４是多少度？为什么？ C(cid:0) c d A(cid:0) 2(cid:0) 4 E(cid:0) a 1(cid:0) 4(cid:0) 3(cid:0) 1 5 2 3 b B(cid:0) D(cid:0) （第３题） （第４题） ４．如图，犪∥犫，犮，犱是截线，∠１＝８０°，∠５＝７０°．∠２，∠３，∠４各是多少度？为 什么？ ５．如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连 通管道的角度为１２０°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度铺设纵向连 通管道？为什么？ C(cid:0) 120e A(cid:0) B(cid:0) " O(cid:0) D(cid:0) （第５题） （第６题） ６．在下面的括号内，填上推理的根据． 如图，犃犅和犆犇相交于点犗，∠犃＝∠犅．求证∠犆＝∠犇． 证明：∵ ∠犃＝∠犅， ∴ 犃犆∥犅犇（ ）． ∴ ∠犆＝∠犇（ ）．  ７．选择题． （１）如图 （１），由犃犅∥犆犇，可以得到 （ ）． （Ａ）∠１＝∠２ （Ｂ）∠２＝∠３ （Ｃ）∠１＝∠４ （Ｄ）∠３＝∠４ （２）如图 （２），如果犃犅∥犆犇∥犈犉，那么∠犅犃犆＋∠犃犆犈＋∠犆犈犉＝ （ ）． （Ａ）１８０° （Ｂ）２７０° （Ｃ）３６０° （Ｄ）５４０° ２３ !"#$%&’()*’A D A B 2 1 C D 4 B 3 C E F （１） （２） （第７题） ８．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生 折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图， ∠１＝４５°，∠２＝１２２°，求图中其他角的度数． A 7 8 空 气 1 3 D 1 3 E 2 4 2 水 B F C 5 6 （第８题） （第９题） ９．如图，用式子表示下列句子： （１）因为∠１和∠２相等，根据 “内错角相等，两直线平行”，所以犃犅和犈犉平 行； （２）因为犇犈和犅犆平行，根据 “两直线平行，同位角 相等”，所以∠１＝∠犅，∠３＝∠犆． １０．如图，这是一个国际象棋棋盘的示意图，它共有８行 ８列，仿照它做出一张国际象棋的棋盘纸．类似地， 你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗？ １１．操场中的相交线与平行线． （１）举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子； （第１０题） （２）如果要你画出一个篮球场地，你怎样做才能保证 相应的线垂直或平行呢？不妨在纸上试一试． １２．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． （１）两个锐角的和是锐角； （２）邻补角是互补的角； （３）同旁内角互补． １３．完成下面的证明． （１）如图 （１），犃犅∥犆犇，犆犅∥犇犈．求证∠犅＋∠犇＝１８０°． 证明：∵ 犃犅∥犆犇， ２４ !"#$%&’()*’∴ ∠犅＝ （ ）． ∵ 犆犅∥犇犈， ∴ ∠犆＋∠犇＝１８０°（ ）． ∴ ∠犅＋∠犇＝１８０°． A B E A A′ D′ D C D 1 2 B C B′ C′ （１） （２） （第１３题） （２）如图 （２），∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′，犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的平 分线．求证∠１＝∠２． 证明：∵ 犅犇，犅′犇′分别是∠犃犅犆，∠犃′犅′犆′的平分线， １ ∴ ∠１＝ ∠犃犅犆，∠２＝ （ ）． ２ 又 ∠犃犅犆＝∠犃′犅′犆′， １ １ ∴ ∠犃犅犆＝ ∠犃′犅′犆′． ２ ２ ∴ ∠１＝∠２（ ）．   １４．如图，直线犇犈经过点犃，犇犈∥犅犆，∠犅＝４４°，∠犆＝５７°． A(cid:0) D(cid:0) E(cid:0) （１）∠犇犃犅等于多少度？为什么？ （２）∠犈犃犆等于多少度？为什么？ （３）∠犅犃犆等于多少度？ B(cid:0) C(cid:0) （通过这道题，你能说明为什么三角形的内角和是 （第１４题） １８０°吗？） １５．如图，潜望镜中的两面镜子是互相平  1 行放置的，光线经过镜子反射时， 5 2  ∠１＝∠２，∠３＝∠４，∠２和∠３有 3 什么关系？为什么进入潜望镜的光线 6 4 和离开潜望镜的光线是平行的？ （提 示：分析这两条光线被哪条直线 所截．） （第１５题） ２５ !"#$%&’()*’  探索两条直线的位置关系 利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便、直观地探索两条直线的位置 关系．下面，我们以 《几何画板》软件为例说明． １探索邻补角、对顶角的关系 画两条相交直线犃犅，犆犇（图１），在它们所成的四个角中，哪些互为邻补角？哪些 互为对顶角？度量这四个角的度数，它们的大小有什么关系？拖动点犅或点犆，改变角的 大小，这个关系还保持吗？ DDEEBB 61.41° C B BEC 118.59° CEA 61.41° E AED 118.59° A D DEB BEC 180.00° 图１ ２探索垂线段的性质 如图２，犘犗⊥犾，点犃在直线犾上运动，度量并观察线段犘犗和犘犃的长度，你能发 现什么结论？ P PO 2.69cm PA 4.30cm A O l 图２ ３探索平行线的性质 如图３，过点犆画直线犃犅的平行线，度量所形成的八个角的度数，其中的同位角、 内错角、同旁内角有什么关系？拖动点犃、点犅或直线犆犃，这个关系还成立吗？ ２６ !"#$%&’()*’FCE 56.96° F FCD 123.04° DCA 56.96° D C E ACE 123.04° CAB 56.96° G A B CAG 123.04° GAH 56.96° H HAB 123.04° 图３ 如图４，再任意画两条直线以及它们的截线，它们所形成的八个角的度数还存在上述 关系吗？拖动点犅或点犇，观察这些角的度数，什么时候直线犃犅和犆犇平行？ E(cid:0) D(cid:0) C(cid:0) C(cid:0) F(cid:0) G(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) H(cid:0) 图４ 图５ 利用上面的规律，你能过点犆画直线犃犅的平行线吗 （图５）？你有几种方法？利用 软件的画角功能试一试． ２７ !"#$%&’()*’５．４ 平移 仔细观察下面一些美丽的图案 （图５．４１），它们有什么共同的特点？能 否根据其中的一部分绘制出整个图案？ 图５．４１  如何在一张半透明的纸上，画出一排形状和大小如图５．４２的雪人呢？ 图５．４２ 图５．４３ 可以把半透明的纸盖在图５．４２上，先描出一个雪人，然后按同一方向陆 续移动这张纸，再描出第二个、第三个…… （图５．４３）．  如图５．４４，在所画出的相邻两个 B(cid:0) B(cid:0)′ 雪人中，找出三组对应点 （例如，它们 A(cid:0)′ A(cid:0) 的鼻尖犃与犃′，帽顶犅与犅′，纽扣犆 与犆′），连接这些对应点，观察得出的 C(cid:0) C(cid:0)′ 线段，它们的位置、长短有什么关系？ 图５．４４ ２８ !"#$%&’()*’可以发现，犃犃′∥犅犅′∥犆犆′，并且犃犃′＝犅犅′＝犆犆′． 再画出一些连接其他对应点的线段，它们是否仍有前面的关系？  １．把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新 图形与原图形的形状和大小完全相同． ２．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这 两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行 （或在同一条直线上）且 相等． 图形的这种移动，叫做平移 （ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ）． 图形平移的方向，不限于是水平的，如图５．４５． 平移在我们日常生活中是很常见的，利用平移也可以制作很多美丽的图 案．你能举出生活中一些利用平移的例子吗？ B(cid:0)′ B(cid:0)′ A′(cid:0) A′(cid:0) C(cid:0)′ C′(cid:0) B(cid:0) B(cid:0) A(cid:0) A(cid:0) C(cid:0) C(cid:0) 图５．４５ 例 如图５．４６ （１），平移三角形犃犅犆，使点犃移动到点犃′，画出平移 后的三角形犃′犅′犆′． A(cid:0)′ A(cid:0)′ l(cid:0) B(cid:0)′ A(cid:0) A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) （１） （２） 图５．４６ ２９ !"#$%&’()*’分析：图形平移后的对应点有什么特征？作出点犅和点犆的对应点犅′， 犆′，能确定三角形犃′犅′犆′吗？ 解：如图５．４６ （２），连接犃犃′，过点犅作犃犃′的平行线犾，在犾上截取 犅犅′＝犃犃′，则点犅′就是点犅的对应点． 类似地，你能作出点犆的对应点犆′，并进一步得到平移后的三角形 犃′犅′犆′吗？动手试一试． 习题５．４  １．下列图案可以由什么图形平移形成？ （第１题） ２．如图，有一个由４个三角形组成的图形，通过平移，你能用它组成什么图案？试 一试，把你的图案与同学们交流一下． A(cid:0) C(cid:0) M(cid:0) B(cid:0) N(cid:0) （第２题） （第３题） ３．如图，在方格纸中平移三角形犃犅犆，使点犃移到点犕，点犅和点犆应移到什么 位置？再将点犃由点犕移到点犖，分别画出两次平移后的三角形．如果直接平 移三角形犃犅犆，使点犃移到点犖，它和我们前面得到的三角形位置相同吗？ ３０ !"#$%&’()*’ ４．如图，用平移方法说明怎样得出平行四边形的面积公式犛＝犪犺． a(cid:0) h(cid:0) h(cid:0) a(cid:0) （第４题） ５．许多美丽的图案都是用平移的方法绘制而成的．观察下面图案的绘制规律，你能 类似地设计一些图案吗？ （第５题）   ６．如图，在一块长为犪ｍ，宽为犫ｍ的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的 左边线向右平移１ｍ就是它的右边线．求这块草地的绿地面积． b a （第６题） ３１ !"#$%&’()*’   


  

学习了平行线后，李强、张明、王玲三位同学分别想出了过一点画一 条直线的平行线的新的方法，他们分别是这样做的： 李强 b b b P P P 2 P 2 c a a a 1 a 1 过点P作直线b 作∠2=∠1 则c//a （１） （２） （３） （４） 张明 l l P S S b P P P a R R a a a 作P ⊥a 作l⊥a，取RS=P 连接PS，则b//a （１） （２） （３） （４） 王玲是通过折纸做的 P(cid:0) P(cid:0) P(cid:0) P(cid:0) a(cid:0) a(cid:0) a(cid:0) a(cid:0) （１） （２） （３） （４） 你还有其他方法吗？动手试一试，与同学们交流一下． ３２ !"#$%&’()*’




利用平移，可以设计非常美丽的图案，例如图１中每一匹马都可以由 正方形上的平移得到，如图２所示． 图１ 图２ 类似地，你还能用平移设计一些图案吗？ ３３ !"#$%&’()*’小 结 一、本章知识结构图 邻补角、对顶角 垂线及其性质 点到直线的距离 同位角、内错角、同旁内角 判定 平行公理 性质 平移 二、回顾与思考 本章我们学习了平面内不重合的两条直线的位置关系———相交与平行．当 两条直线只有一个公共点时，这两条直线相交．在相交线的学习中，我们研究 了两条直线相交所形成的邻补角和对顶角的位置和数量关系，这也是相交线的 性质．垂直是相交的特殊情形，它在实际生产和社会生活中具有广泛的应用． 当两条直线没有公共点时，这两条直线平行．借助两条直线被第三条直线所截形成 的同位角、内错角和同旁内角，我们研究了平行线的判定与性质． “图形的判定”讨论的是确定某种图形需要什么条件．例如，两条直线与 第三条直线相交，具备 “同位角相等”，就有 “两直线平行”． “图形的性质” 讨论的是这类图形有怎样的共同特性．例如，两条直线只要平行，它们被第三 条直线所截时，就一定有同位角相等． 学习本章时，要注意观察实物、模型和图形，通过观察、测量、实验、归 纳、对比、类比等来寻找图形中的位置关系和数量关系，从而发现图形的性 质．同时，还要注意体会通过 “推理”获得数学结论的方法，培养言之有据的 习惯和有条理地思考、表达的能力． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． ３４ !"#$%&’()*’１．下面是本章学到的一些数学名词，你能用自己的语言描述它们吗？你 能分别画一个图形表示它们吗？ 对顶角、邻补角、垂直、平行、同位角、内错角、同旁内角、平移． ２．两条直线相交形成四个角，它们具有怎样的位置关系和数量关系？ ３．什么是点到直线的距离？你会度量吗？请举例说明． ４．怎样判定两条直线是否平行？平行线有什么性质？对比平行线的性质 和直线平行的判定方法，它们有什么异同？ ５．什么是命题？如何判断一个命题是真命题还是假命题？请结合具体例 子说明． ６．图形平移时，连接各对应点的线段有什么关系？你能利用平移设计一 些图案吗？ 复习题５  １．判断题 （正确的画，错误的画×）． （１）犪，犫，犮是直线，若犪∥犫，犫∥犮，则犪∥犮； （ ） （２）犪，犫，犮是直线，若犪⊥犫，犫⊥犮，则犪⊥犮． （ ） ２．如图，两条直线犪，犫相交． （１）如果∠１＝６０°，求∠２，∠３，∠４的度数； （２）如果２∠３＝３∠１，求∠２，∠３，∠４的度数． C a(cid:0) F 3(cid:0) 2 4(cid:0) 1(cid:0) A 1 B 3 2(cid:0) O E b(cid:0) D （第２题） （第３题） ３．如图，直线犃犅⊥犆犇，垂足为犗，直线犈犉经过点犗，∠１＝２６°，求∠２，∠３， ∠犅犗犈的度数． ４．根据下列语句画出图形： （１）过线段犃犅的中点犆，画犆犇⊥犃犅； （２）点犘到直线犃犅的距离是３ｃｍ，过点犘画直线犃犅的垂线犘犆； （３）过三角形犃犅犆内的一点犘，分别画犃犅，犅犆，犆犃的平行线． ３５ !"#$%&’()*’５．如图，某人骑自行车自犃沿正东方向前进，至犅处后，行驶方向改为东偏南１５°， 行驶到犆处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线． A(cid:0) B(cid:0) 15(cid:0)° C(cid:0) （第５题） ６．如图，∠１＝３０°，∠犅＝６０°，犃犅⊥犃犆． （１）∠犇犃犅＋∠犅等于多少度？ （２）犃犇与犅犆平行吗？犃犅与犆犇平行吗？ c A D 1 a 3 2 4 1 B C b 7 6 8 5 （第６题） （第７题） ７．如图，平行线犪，犫被直线犮所截，知道∠１～∠８中一个角的度数，能否求出其他 角的度数？如果能，用其中一个角表示出其他各角．  ８．选择题． （１）如图 （１），点犈在犃犆的延长线上，下列条件中能判断犃犅∥犆犇的是 （ ）． （Ａ）∠３＝∠４ （Ｂ）∠１＝∠２ （Ｃ）∠犇＝∠犇犆犈 （Ｄ）∠犇＋∠犃犆犇＝１８０° （２）如图 （２），∠１＋∠２＝１８０°，∠３＝１０８°，则∠４＝（ ）． （Ａ）７２° （Ｂ）８０° （Ｃ）８２° （Ｄ）１０８° c d B D 1 3 1 3 a 2 A 4 4 C E b 2 （１） （２） （第８题） ３６ !"#$%&’()*’９．图中所示为一组护网的示意图，它可看成由两组平行线组成，你能通过检验一些 角的大小来判断其中的线段是否平行吗？说出你的理由． B(cid:0) P(cid:0) A(cid:0) O(cid:0) （第９题） （第１０题） １０．如图，∠犃犗犅内有一点犘： （１）过点犘画犘犆∥犗犅交犗犃于点犆，画犘犇∥犗犃交犗犅于点犇； （２）写出图中互补的角； （３）写出图中相等的角． １１．如图，利用平移可以画出一些立体图形．在 方格纸上写出你的名字或你的校名，用类似 MMMMMMMMMMMMMMMM AAAAAAAAAAAAAAAA TTTTTTTTTT (cid:0)(cid:0)(cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0) T (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) HHHHHHHHHHHHHHHH (cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0)(cid:0) 的方法画出它的立体图．变换不同的长度和 方向多试几次，你认为哪一种更具艺术效果？ （第１１题） １２．指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题．如果是假命题， 举出一个反例． （１）两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； （２）内错角相等； （３）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． １３．完成下面的证明． （１）如图 （１），点犇，犈，犉分别是三角形犃犅犆的边犅犆，犆犃，犃犅上的点， 犇犈∥犅犃，犇犉∥犆犃．求证∠犉犇犈＝∠犃． 证明：∵ 犇犈∥犅犃， ∴ ∠犉犇犈＝ （ ）． ∵ 犇犉∥犆犃， ∴ ∠犃＝ （ ）． ∴ ∠犉犇犈＝∠犃． ３７ !"#$%&’()*’A A E C D O F B D C B （１） （２） （第１３题） （２）如图 （２），犃犅和犆犇相交于点犗，∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇．求证 犃犆∥犅犇． 证明：∵ ∠犆＝∠犆犗犃，∠犇＝∠犅犗犇， 又 ∠犆犗犃＝∠犅犗犇（ ）， ∴ ∠犆＝ ． ∴ 犃犆∥犅犇（ ）．   １４．如图，这是一套住房的平面图，图中有许多相交线和平行线．量量你家的住房， 选择适当的比例尺，画出它的平面图．你能自己设计一个户型吗？ 阳 台 D R 厨 房 卫 生 卧 室 M C 间 B N 卧 客 厅 室 A P S 阳 台 （第１４题） （第１５题） １５．一个台球桌的桌面如图所示，一个球在桌面上的点犃滚向桌边犘犙，碰着犘犙 上的点犅后便反弹而滚向桌边犚犛，碰着犚犛上的点犆便反弹而滚向点犇．如果 犘犙∥犚犛，犃犅，犅犆，犆犇都是直线，且∠犃犅犆的平分线犅犖垂直于犘犙， ∠犅犆犇的平分线犆犕垂直于犚犛，那么，球经过两次反弹后所滚的路径犆犇是 否平行于原来的路径犃犅？ ３８ !"#$%&’()*’第六章 实数 同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入地 面附近轨道的速度在什么范围内吗？这时它的速 度要大于第一宇宙速度狏（单位：ｍ／ｓ），而小于第 １ 二宇宙速度狏（单位：ｍ／ｓ）．狏，狏 的大小满足 ２ １ ２ 狏 ２ ＝犵犚，狏 ２ ＝２犵犚，其中犵是物理中的一个常数 １ ２ （重力加速度），犵≈ ９．８ ｍ／ｓ ２ ，犚是地球半径， 犚 ６．４×１０ ｍ．怎样求狏，狏 呢？这就要用到平 ≈ ６ １ ２ 方根的概念． 随着对于数的认识的不断深入，人们发现， 边长为１的正方形的对角线的长不是有理数，这就 需要引入一种新的数———无理数．实际上，计算 第一、第二宇宙速度等也要用到 无理数．本章将 首先学习平方根与立方根；在此基础上引入无理 数，把数的范围扩充到实数；然后类比有理数， 引入实数在数轴上的表示和实数的运算，并用这 些知识解决一些实际问题．６．１ 平方根 问题 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出 一块面积为２５ｄｍ２ 的正方形画布，画上自己的得意 之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你一定会算出边长应取５ｄｍ．说一说，你是怎 样算出来的？ 因为５２＝２５，所以这个正方形画布的边长应取 ５ｄｍ． 填表： ４ 正方形的面积／ｄｍ２ １ ９ １６ ３６ ２５ 正方形的边长／ｄｍ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题． 一般地，如果一个正数狓的平方等于犪，即狓２＝犪，那么这个正数狓叫做 犪的算术平方根 （ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）．犪的算术平方根记为槡犪，读作 “根 号犪”，犪叫做被开方数 （ｒａｄｉｃａｎｄ）． 规定：０的算术平方根是０． 例１ 求下列各数的算术平方根： ４９ （１）１００； （２） ； （３）０．０００１． ６４ 解：（１）因为１０２＝１００，所以１００的算术平方根是１０，即槡１００＝１０； （ ） （２）因为 ７ ２ ＝ ４９ ，所以 ４９ 的算术平方根是 ７ ，即 槡４９ ＝ ７ ； ８ ６４ ６４ ８ ６４ ８ （３）因为０．０１２＝０．０００１，所以０．０００１的算术平方根是０．０１，即 槡０．０００１＝０．０１． 从例１可以看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．这个结论对 所有正数都成立． ４０ !+#$,-１．求下列各数的算术平方根： （１）０．００２５； （２）８１； （３）３２． ２．求下列各式的值： 槡９ （１）槡１； （２） ； （３）槡２２． ２５  能否用两个面积为１ｄｍ２ 的小正方形拼成一个面积为２ｄｍ２ 的大正方 形？ 图６．１１ 如图６．１１，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角 形拼在一起，就得到一个面积为２ｄｍ２ 的大正方形．你知道这个大正方形的边 长是多少吗？ 设大正方形的边长为狓ｄｍ，则 狓２＝２． 小正方形的对 角线的长是多少呢？ 由算术平方根的意义可知 狓＝槡２， 所以大正方形的边长是槡２ｄｍ．  槡２有多大呢？ ４１ !+#$,-因为１２＝１，２２＝４， 所以１＜槡２＜２； 因为１．４２＝１．９６，１．５２＝２．２５， 所以１．４＜槡２＜１．５； 因为１．４１２＝１．９８８１，１．４２２＝２．０１６４， 所以１．４１＜槡２＜１．４２； 因为１．４１４２＝１．９９９３９６，１．４１５２＝２．００２２２５， 所以１．４１４＜槡２＜１．４１５； …… 如此进行下去，可以得到槡２的更精确的近似 无限不循环小 数是指小数位数无 值．事实上，槡２＝１．４１４２１３５６２３７３…，它是一 限，且小数部分不 个无限不循环小数． 循环的小数．你以 实际上，许多正有理数的算术平方根 （例如 前见过这种数吗？ 槡３，槡５，槡７等）都是无限不循环小数． 大多数计算器都有 槡 键，用它可以求出一 个正有理数的算术平方根 （或其近似值）． 例２ 用计算器求下列各式的值： （１）槡３１３６； （２）槡２ （精确到０．００１）． 解：（１）依次按键 槡 ３１３６ ＝ ， 显示：５６． 不同品牌的计算 器，按键顺序有所不同． ∴ 槡３１３６＝５６． （２）依次按键 槡 ２ ＝ ， 计算器上显示的 显示：１．４１４２１３５６２． １．４１４２１３５６２是槡２的近 ∴ 槡２≈１．４１４． 似值． ４２ !+#$,-下面我们来看引言中提出的问题： 由狏２ ＝犵犚，狏２ ＝２犵犚，得狏＝ 槡犵犚，狏＝ 槡２犵犚，其 中犵≈９．８， １ ２ １ ２ 犚≈６．４×１０６． 用计算器求狏和狏 （用科学记数法把结果写成犪×１０狀 的形式，其中犪保 １ ２ 留小数点后一位），得 狏≈槡９．８×６．４×１０６≈７．９×１０３ ， １ 狏≈槡２×９．８×６．４×１０６≈１．１×１０４． ２ 因此，第一宇宙速度狏大约是７．９×１０３ｍ／ｓ，第二宇宙速度狏大约是 １ ２ １．１×１０４ｍ／ｓ．  （１）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表中， 你发现了什么规律？你能说出其中的道理吗？ … 槡０．０６２５ 槡０．６２５ 槡６．２５ 槡６２．５ 槡６２５ 槡６２５０ 槡６２５００ … … … （２）用计算器计算槡３ （精确到０．００１），并利用你在 （１）中发现的规 律说出槡０．０３，槡３００，槡３００００的近似值，你能根据槡３的值说出槡３０是多 少吗？ 在生活中，我们经常遇到估计一个数的大小的问题．请看下面的例子． 例３ 小丽想用一块面积为４００ｃｍ２ 的 正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积 为３００ｃｍ２ 的长方形纸片，使它的长宽之 比为３∶２．她不知能否裁得出来，正在发 愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块 面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你 同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁 出符合要求的纸片吗？ ４３ !+#$,-解：设长方形纸片的长为３狓ｃｍ，宽为２狓ｃｍ． 根据边长与面积的关系得 ３狓·２狓＝３００， ６狓２＝３００， 狓２＝５０， 狓＝槡５０． 因此长方形纸片的长为３槡５０ｃｍ． ３槡５０就是３×槡５０． 因为５０＞４９，所以槡５０＞７． 由上可知３槡５０＞２１，即长方形纸片的长应该大于２１ｃｍ． 因为槡４００＝２０，所以正方形纸片的边长只有２０ｃｍ．这样，长方形纸片 的长将大于正方形纸片的边长． 答：不能同意小明的说法．小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长 方形纸片． １．用计算器求下列各式的值： （１）槡１３６９； （２）槡１０１．２０３６； （３）槡５（精确到０．０１）． ２．比较下列各组数的大小： （１）槡８与槡１０； （２）槡６５与８； 槡５－１ 槡５－１ （３） 与０．５； （４） 与１． ２ ２  如果一个数的平方等于９，这个数是多少？ 从前面我们知道，这个数可以是３．除了３以外，还有没有别的数的平方 也等于９呢？ 由于（－３） ２＝９，这个数也可以是－３． 因此，如果一个数的平方等于９，那么这个数是３或－３． ４４ !+#$,-填表： ４ 狓２ １ １６ ３６ ４９ ２５ 狓 一般地，如果一个数的平方等于犪，那么这个 数叫做犪的平方根（ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）或二次方根．这 就是说，如果狓２＝犪，那么狓叫做犪的平方根． 几千年前，古埃 及人就已经知道了平 例如，３和－３是９的平方根，简记为±３是 方根． ９的平方根． 求一个数犪的平方根的运算，叫做开平方 （ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ）． 我们看到，±３的平方等于９，９的平方根是±３，所以平方与开平方互为 逆运算 （图６．１２）．根据这种互逆关系，可以求一个数的平方根． 平方 开平方 +1 +1 1 1 -1 -1 +2 +2 4 4 -2 -2 +3 +3 9 9 -3 -3 图６．１２ 例４ 求下列各数的平方根： ９ （１）１００； （２） ； （３）０．２５． １６ 解：（１）因为（±１０） ２＝１００，所以１００的平方根是±１０； （ ） （２）因为 ± ３ ２ ＝ ９ ，所以 ９ 的平方根是± ３ ； ４ １６ １６ ４ （３）因为（±０．５） ２＝０．２５，所以０．２５的平方根是±０．５．  正数的平方根有什么特点？０的平方根是多少？负数有平方根吗？ 我们发现，正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的平方根就是 这个数的算术平方根． ４５ !+#$,-因为０２＝０，并且任何一个不为０的数的平方都不等于０，所以０的平方 根是０． 正数的平方是正数，０的平方是０，负数的平方也是正数，即在我们所认 识的数中，任何一个数的平方都不会是负数，所以负数没有平方根．  正数有两个平方根，它们互为相反数； ０的平方根是０； 负数没有平方根． 我们知道，正数犪的算术平方根可以用槡犪表 符号槡犪只有当 示；正数犪的负的平方根，可以用符号 “－槡犪” 犪≥０ 时有意义， 表示，故正数犪的平方根可以用符号 “±槡犪”表 犪＜０时无意义．你 知道为什么吗？ 示，读作 “正、负根号犪”．例如，±槡９＝±３， ±槡２５＝±５． 例５ 求下列各式的值： 槡４９ 知道一个数的 （１）槡３６；（２）－槡０．８１；（３）± ． ９ 算术平方根，就可 以立即写出它的负 解：（１）因为６２＝３６，所以槡３６＝６； 的平方根．为什么？ （２）因为０．９２＝０．８１，所以－槡０．８１＝－０．９； （ ） （３）因为 ７ ２ ＝ ４９ ，所以± 槡４９ ＝± ７ ． ３ ９ ９ ３ １．判断下列说法是否正确： （１）０的平方根是０； （２）１的平方根是１； （３）－１的平方根是－１； （４）０．０１是０．１的一个平方根． ４６ !+#$,-２．填表： ３ ３ 狓 ８ －８ － ５ ５ 狓２ １６ ０．３６ ３．计算下列各式的值： 槡６４ （１）槡９； （２）－槡０．４９； （３）± ． ８１ ４．平方根概念的起源与几何中的正方形有关．如果一个正方形的面积为犃，那么 这个正方形的边长是多少？ 习题６．１  １．求下列各数的算术平方根： ２５ （１）８１； （２） ； （３）０．０４； （４）１０２． ６４ ２．下列各式是否有意义？为什么？ 槡１ （１）－槡３； （２）槡－３； （３）槡（－３）２； （４） ． １０２ ３．求下列各数的平方根： ４ １ （１）４９； （２） ； （３） ； （４）０．００１６． ２５ １０６ ４．判断下列说法是否正确： （１）５是２５的算术平方根； ５ ２５ （２） 是 的一个平方根； ６ ３６ （３）（－４）２ 的平方根是－４； （４）０的平方根与算术平方根都是０． ５．用计算器计算下列各式的值 （精确到０．０１）： 槡８ （１）槡８６７； （２）槡０．４６２５４； （３）－ ； （４）±槡２４０２． ２５ ６．估计与槡４０最接近的两个整数是多少． ４７ !+#$,- ７．根据下表回答下列问题： 狓 １６ １６．１ １６．２ １６．３ １６．４ １６．５ １６．６ １６．７ １６．８ １６．９ １７ 狓２ ２５６ ２５９．２１２６２．４４２６５．６９２６８．９６２７２．２５２７５．５６２７８．８９２８２．２４２８５．６１ ２８９ （１）２６８．９６的平方根是多少？ （２）槡２８５．６≈ ． （３）槡２７０在表中哪两个相邻的数之间？为什么？ !"#$%& 书书书 m 021 ８．求下列各式中狓的值： （１）狓２＝２５； （２）狓２－８１＝０； （３）２５狓２＝３６． ９．物体自由下落的高度犺（单位：ｍ）与下落时间狋（单位： ｓ）的关系是犺＝４．９狋２．如图，有一个物体从１２０ｍ高的建 筑物上自由落下，到达地面需要多长时间 （结果取整 数）？ １０．一个正方形的面积扩大为原来的４倍，它的边长变为原 （第９题） 来的多少倍？面积扩大为原来的９倍呢？狀倍呢？   １１．（１）求槡２２，槡（－３）２，槡５２，槡（－６）２，槡７２，槡０２的值．对于任意数犪，槡犪２ 等于多少？ （２）求（ 槡４ ） ２，（ 槡９ ） ２，（ 槡２５ ） ２，（ 槡３６ ） ２，（ 槡４９ ） ２，（ 槡０ ） ２ 的值．对于任意非 负数犪，（ 槡犪 ） ２等于多少？ １２．任意找一个正数，比如１２３４，利用计算器对它开平方，再对得到的算术平方根 开平方……如此进行下去，你有什么发现？ ４８６．２ 立方根 问题 要制作一种容积为２７ｍ３ 的正方体形状的包装箱，这种包装箱 的棱长应该是多少？ 设这种包装箱的棱长为狓ｍ，则 狓３＝２７． 这就是要求一个数，使它的立方 等于２７． 因为３３＝２７，所以狓＝３． 因此这种包装箱的棱长应为３ｍ． 一般地，如果一个数的立方等于犪，那么这个数叫做犪的立方根 （ｃｕｂｅ ｒｏｏｔ）或三次方根．这就是说，如果狓３＝犪，那么狓叫做犪的立方根． 在上面的问题中，由于３３＝２７，所以３是２７的立方根． 求一个数的立方根的运算，叫做开立方 （ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｃｕｂｅｒｏｏｔ）．正如 开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．我们可以根据这 种关系求一个数的立方根．  根据立方根的意义填空．你能发现正数、０和负数的立方根各有什么 特点吗？ 因为２３＝８，所以８的立方根是 （ ）； 因为 （ ） ３＝０．０６４，所以０．０６４的立方根是 （ ）； 因为 （ ） ３＝０，所以０的立方根是 （ ）； 因为 （ ） ３＝－８，所以－８的立方根是 （ ）； ８ ８ 因为 （ ） ３＝－ ，所以－ 的立方根是 （ ）． ２７ ２７ ４９ !+#$,-你能说说数的  平方根与数的立方 正数的立方根是正数， 根有什么不同吗？ 负数的立方根是负数， ０的立方根是０． 类似于平方根，一个数犪的立方根，用符号 “３槡犪”表示，读作 “三次根号犪”，其中犪是被开方 算术平方根的符号 数，３是根指数 （ｒａｄｉｃａｌｅｘｐｏｎｅｎｔ）．例如，３槡８表 槡犪，实际上省略了槡２犪中 示８的立方根，３槡８＝２；槡３－８表示－８的立方根， 的根指数２．因此，槡犪也 槡３－８＝－２．３槡犪中的根指数３不能省略． 可读作 “二次根号犪”．  因为槡３－８＝ ，－３槡８＝ ，所以槡３－８ －３槡８； 因为槡３－２７＝ ，－槡３２７＝ ，所以槡３－２７ －槡３２７． 一般地， 槡３－犪＝－３槡犪． 例 求下列各式的值： 槡３１ 槡３ ２７ （１）槡３６４； （２）－ ； （３） － ． ８ ６４ 解：（１）槡３６４＝４； 槡３１ １ （２）－ ＝－ ； ８ ２ 槡３ ２７ ３ （３） － ＝－ ． ６４ ４ 实际上，很多有理数的立方根是无限不循环小数．例如３槡２，３槡３等都是无 限不循环小数．我们可以用有理数近似地表示它们． 一些计算器设有 ３槡 键，用它可以求出一个数的立方根 （或其近似值）． ５０ !+#$,-例如，用计算器求槡３１８４５，可以按照下面的步骤进行： 依次按键 ３槡 １８４５ ＝ ，显示：１２．２６４９４０８１． 这样就得到槡３１８４５的近似值１２．２６４９４０８１． 有些计算器需要用第二功能键求一个数的立方根．例如用这种计算器求 槡３１８４５，可以依次按键 ２ｎｄＦ ３槡 １８４５ ＝ ，显示：１２．２６４９４０８１．  用计算器计算…，槡３０．０００２１６，槡３０．２１６，槡３２１６，槡３２１６０００，…， 你能发现什么规律？用计算器计算槡３１００ （精确到０．００１），并利用你发现 的规律求槡３０．１，槡３０．０００１，槡３１０００００的近似值． １．求下列各式的值： 槡３６４ （１）槡３１０００； （２）槡３－０．００１； （３）槡３－１； （４）－ ． ２７ ２．用计算器求下列各式的值： （１）槡３１７２８； （２）槡３１５６２５； （３）±槡３２１９７． ３．比较３，４，槡３５０的大小． ４．立方根概念的起源与几何中的正方体有关．如果一个正方体的体积为犞，这个 正方体的棱长为多少？ 习题６．２  １．判断下列说法是否正确： （１）２是８的立方根； （２）±４是６４的立方根； １ １ （３）－ 是－ 的立方根； ３ ２７ （４）（－４）３的立方根是－４． ５１ !+#$,-２．下列各式是否有意义？为什么？ 槡３ １ （１）－３槡３； （２）槡３－３； （３）槡３（－３）３； （４） ． １０３ ３．求下列各式的值： 槡３ ８ 槡３ ３７ 槡３７ （１）－槡３０．０２７； （２） － ； （３） １－ ； （４） －１． ２７ ６４ ８ ４．用计算器计算下列各式的值 （精确到０．００１）： 槡３８ （１）槡３８６８； （２）槡３０．４２６２５４； （３）－ ； （４）±槡３２４０２． ２５  ５．求下列各式中狓的值： ３ （１）狓３＝０．００８； （２）狓３－３＝ ； （３）（狓－１）３＝６４． ８ ６．一个正方体的体积扩大为原来的８倍，它的棱长变为原来 的多少倍？扩大为原来的２７倍呢？狀倍呢？ ７．如图，要生产一种容积为５０Ｌ的圆柱形热水器，使它的 高等于底面直径的２倍，这种容器的底面直径应取多少分 米 （用计算器计算，结果保留小数点后一位）？ ８．比较下列各组数的大小： ３ （１）３槡９与２．５； （２）３槡３与 ． ２   （第７题） ９．（１）求槡３２３，槡３（－２）３，槡３（－３）３，槡３４３，槡３０３ 的值．对于任意数犪，槡３犪３等于 多少？ （２）求（ ３槡８ ） ３，（ 槡３－８ ） ３，（ 槡３２７ ） ３，（ 槡３－２７ ） ３，（ ３槡０ ） ３ 的值．对于任意数犪， （ ３槡犪 ） ３等于多少？ １０．任意找一个数，比如１２３４，利用计算器对它开立方，再对得到的立方根开立 方……如此进行下去，你有什么发现？ ５２ !"#$%&６．３ 实数  我们知道有理数包括整数和分数，请把下列分数写成小数的形式，你 有什么发现？ ５ ３ ２７ １１ ９ ，－ ， ， ， ． ２ ５ ４ ９ １１ 我们发现，上面的分数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，即 ５ ３ ２７ １１ · ９ ·· ＝２．５，－ ＝－０．６， ＝６．７５， ＝１．２， ＝０．８１． ２ ５ ４ ９ １１ 事实上，如果把整数看成小数点后是０的小数 （例如，将３看成３．０）， 那么任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式．反过来，任 何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 通过前两节的学习，我们知道，很多数的平方根和立方根都是无限不循环 小数，无限不循环小数又叫做无理数 （ｉｒｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ）．例如槡２，－槡５， ３槡２，３槡３等都是无理数，π＝３．１４１５９２６５…也是无理数． 像有理数一样，无理数也有正负之分．例如，槡２，３槡３，π是正无理数， －槡２，－３槡３，－π是负无理数． 有理数和无理数统称实数 （ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ）．这样，我们学过的数可以这样分类： 正有理数 烄 烌 有理数 烅０ 烍 有限小数或无限循环小数 烄 负有理数 实数 烆 烎 烅 正无理数 烄 烌 烆无理数 无限不循环小数 烅 烍 负无理数 烆 烎 由于非０有理数和无理数都有正负之分，实数也有正负之分，所以实数还 可以按大小分类如下： 正实数 烄 实数 烅０ 烆负实数 ５３ !+#$,-我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示．无理数是否也可以用 数轴上的点表示出来呢？  如图６．３１，直径为１个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周， 圆上的一点由原点到达点犗′，点犗′对应的数是多少？ O(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 3(cid:0)O(cid:0)′ 4(cid:0) 图６．３１ 从图中可以看出，犗犗′的长是这个圆的周长π，所以点犗′对应的数是π． 这样，无理数π可以用数轴上的点表示出来． 又如，以单位长度为边长画一个正方形 （图６．３２），以原点为圆心，正方形的对角 线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示槡２，与负半轴的交点就表示－槡２．（为什么？） 2 2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 图６．３２ 事实上，每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来． 当数的范围从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的，即 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数．与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，右边的点 表示的实数总比左边的点表示的实数大． 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数．  （１）槡２的相反数是 ，－π的相反数是 ，０的相反数 是 ； （２）｜槡２｜＝ ，｜－π｜＝ ，｜０｜＝ ． ５４ !+#$,-数犪的相反数是－犪，这里犪表示任意一个实数． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；０的 绝对值是０．即设犪表示一个实数，则 烄犪，当犪＞０时； ｜犪｜＝烅０，当犪＝０时； 烆－犪，当犪＜０时． 例１ （１）分别写出－槡６，π－３．１４的相反数； （２）指出－槡５，１－３槡３分别是什么数的相反数； （３）求槡３－６４的绝对值； （４）已知一个数的绝对值是槡３，求这个数． 解：（１）因为 －（－槡６）＝槡６，－（π－３．１４）＝３．１４－π， 所以，－槡６，π－３．１４的相反数分别为槡６，３．１４－π． （２）因为 －（槡５）＝－槡５，－（３槡３－１）＝１－３槡３， 所以，－槡５，１－３槡３分别是槡５，３槡３－１的相反数． （３）因为 槡３－６４＝－槡３６４＝－４， 所以 槡３－６４ ＝｜－４｜＝４． （４）因为 ｜槡３｜＝槡３，｜－槡３｜＝槡３， 所以绝对值为槡３的数是槡３或－槡３． 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除 （除 数不为０）、乘方运算，而且正数及０可以进行开 随着数的进一步 扩充，负数将可以进 平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算． 行开方运算，这是我 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算 们今后要学的． 性质等同样适用． ５５ !+#$,-例２ 计算下列各式的值： （１）（ 槡３＋槡２ ）－槡２； （２）３槡３＋２槡３． 解：（１） （ 槡３＋槡２ ）－槡２ ＝槡３＋（ 槡２－槡２ ） （加法结合律） ＝槡３＋０＝槡３； （２） ３槡３＋２槡３ ＝（３＋２）槡３ （分配律） ＝５槡３． 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所 要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算． 例３ 计算（结果保留小数点后两位）： （１）槡５＋π； （２）槡３·槡２． 解：（１）槡５＋π≈２．２３６＋３．１４２≈５．３８； （２）槡３·槡２≈１．７３２×１．４１４≈２．４５． １．请将图中数轴上标有字母的各点与下列实数对应起来： 槡２，－１．５，槡５，π，３． -2(cid:0)(cid:0)A(cid:0) 0(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) D(cid:0)E(cid:0) 4(cid:0) （第１题） ２．求下列各数的相反数与绝对值： π ２．５，－槡７，－ ，槡３－２，０． ２ ３．求下列各式中的实数狓： ２ （１）｜狓｜＝ ； （２）｜狓｜＝０； ３ （３）｜狓｜＝槡１０； （４）｜狓｜＝π． ４．计算： （１）２槡２－３槡２； （２） 槡２－槡３ ＋２槡２． ５６ !+#$,-习题６．３  １．判断下列说法是否正确： （１）无限小数都是无理数； （２）无理数都是无限小数； （３）带根号的数都是无理数； （４）所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数； （５）所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数． ２．把下列各数分别填在相应的集合中： ２２ π ，３．１４１５９２６５， 槡７， －８， ３槡２，０．６，０， 槡３６， ． ７ ３ … … 有理数集合 无理数集合 ３．求下列各数的绝对值： 槡２ 槡３－８，槡１７，－ ，槡３－１．７，１．４－槡２． ３ ４．用计算器计算 （结果保留小数点后两位）： （１）槡５－槡３＋０．１４５； （２）３槡６－π－槡２． ５．计算： （１）３槡２＋２槡２； （２）３槡３－ －３槡３ ．  ６．比较下列各组数的大小： 槡５－２ 槡２ 槡３ （１）π，３．１４６； （２）槡３，１．７３２； （３）槡５－３， ； （４） ， ． ２ ２ ３ ７．（１）有没有最小的正整数？有没有最小的整数？ （２）有没有最小的有理数？有没有最小的无理数？ （３）有没有最小的正实数？有没有最小的实数？ ８．如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让 这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时 间狋（单位：ｓ）与细线的长度犾（单位：ｍ）之间满 槡犾 足关系狋＝２π ．当细线的长度为０．５ｍ时，小重 （第８题） １０ ５７ !+#$,-物来回摆动一次所用的时间是多少 （结果保留小数点后一位）？   ９．已知数０．１０１００１０００１００００１…，它的特点是：从左向右看，相邻的两个１之间 依次多一个０．这个数是有理数还是无理数？为什么？   为什么说槡２不是有理数 公元前６世纪古希腊的毕达哥拉斯学派有一种观点， 即 “万物皆数”，一切量都可以用整数或整数的比 （分数） 表示．后来，当这一学派中的希帕索斯 （Ｈｉｐｐａｓｕｓ）发现 边长为１的正方形的对角线的长度不能用整数或整数的比 表示，即槡２不是有理数时，毕达哥拉斯学派感到惊恐不安． 由此，引发了第一次数学危机． 随着人们认识的不断深入，毕达哥拉斯学派逐渐承认 毕达哥拉斯 （Ｐｙｔｈａｇｏｒａｓ， 槡２不是有理数，并给出了证明．下面给出槡２不是有理数的 约公元前５８０—约前５００）， 证明方法． 古希腊数学家，毕达哥拉 假设槡２是有理数，那么存在两个互质的正整数狆，狇，使得 斯学派的主要代表人物． 狆 槡２＝ ， 狇 于是 狆＝槡２狇． 两边平方得 狆２＝２狇２． 由２狇２ 是偶数，可得狆２ 是偶数．而只有偶数的平方才是偶数，所以狆也是偶数． 因此可设狆＝２狊，代入上式，得４狊２＝２狇２，即 狇２＝２狊２． 所以狇也是偶数．这样，狆和狇都是偶数，不互质，这与假设狆，狇互质矛盾． 这个矛盾说明，槡２不能写成分数的形式，即槡２不是有理数．实际上，槡２是无限不循 环小数． 用类似的方法，你能证明３槡２不是有理数吗？ 事实上，无理数只是一种命名，并非 “无理”，而是实际存在的不能写成分数形式的 数，它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映． ５８ !"#$%& 书书书   

１．制作一个表面积为１２ｄｍ２ 的正方体纸盒． （１）这个正方体的棱长是多少？ （２）做出这个正方体纸盒． ２．制作一个底面半径为１０ｃｍ，高为２０ｃｍ的圆柱形纸盒． （１）圆柱的侧面展开图是什么形状？ （２）这个侧面展开图各边的长分别是多少？ （３）做出这个圆柱形纸盒． 

据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访 问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有 一道智力题：一个数是５９３１９，希望求它的立方 根．华罗庚脱口而出：３９．邻座的乘客十分惊 奇，忙问计算的奥妙． 你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的 吗？请按照下面的问题试一试： 华罗庚 （１９１０—１９８５） （１）由１０３＝１０００，１００３＝１００００００，你能 确定槡３５９３１９是几位数吗？ （２）由５９３１９的个位上的数是９，你能确定 槡３５９３１９的个位上的数是几吗？ （３）如果划去５９３１９后面的三位３１９得到 数５９，而 ３３＝２７，４３＝６４，由此你能确定 槡３５９３１９的十位上的数是几吗？ 已知１９６８３，１１０５９２都是整数的立方，按 照上述方法，你能确定它们的立方根吗？ ５９ !+#$,-小 结 一、本章知识结构图 开平方 乘 开 平方根 开立方 方 方 立方根 有理数 实 数 无理数 二、回顾与思考 本章我们学习了平方根和立方根，并通过开平方、开立方运算认识了一些 不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实 数．随着数的扩充，数的运算也有了新的发展．在实数范围内，不仅能进行 加、减、乘、除四则运算，而且对０和任意正数能进行开平方运算，对任意实 数能进行开立方运算． 本章中，我们通过类比有理数及其运算，引入了实数的相反数、绝对值等 概念，以及实数的运算和运算律，学习时应注意体会类比这种研究方法的作 用．实数与数轴上的点是一一对应的，因此，我们可以利用数轴将 “数”与 “形”联系起来，这对理解实数的有关概念及运算很有帮助． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？随着数的不断扩充，数的 运算有什么发展？加法与乘法的运算律始终保持不变吗？ ２．回顾平方根与立方根的概念．乘方运算与开方运算有什么关系？ ３．无理数和有理数的区别是什么？ ４．实数由哪些数组成？实数与数轴上的点有什么关系？ ６０ !+#$,-复习题６  １．求下列各数的算术平方根及平方根： ４ （１）６４； （２）０．２５； （３） ； ９ （ ） （４）５６； （５） － ４ ２； （６）１０４． １３ ２．求下列各数的立方根： １ （１）－ ； （２）－０．００８； ６４ ２７ （３） ； （４）３６． ８ ３．求下列各式的值： 槡４９ （１）－ ； （２）槡３－１； ２５ （３）槡０．１６； （４）槡３０．０２７． ４．下列各数分别界于哪两个相邻的整数之间？ （１）槡２８； （２）槡３８； （３）槡３９９． ５．用计算器求下列各式的值 （精确到０．００１）： （１）－槡９４．３； （２）槡３０．４３； （３）槡５５２２５； （４）槡３３４０１２２２４． ６．０，１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０的平方根及立方根中，哪些是有理数？哪些 是无理数？ ７．比较下列各组数的大小： （１）｜－１．５｜，１．５ ·； （２）１．４１４，槡２； ２ （３） ，０．６６６６７． ３ ８．计算下列各式的值： （ ） １ （１）槡２ （ 槡２＋２ ） ； （２）槡３ 槡３＋ ． 槡３  ９．已知（狓－１）２＝４，求狓的值． １０．已知｜狓｜＜２π，狓是整数，求狓的值，并在数轴上表示求得的数． ６１ !+#$,-１１．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离狊（单位：ｋｍ）可用公式狊２＝１６．８８犺来 估计，其中犺（单位：ｍ）是眼睛离海平面的高度．如果一个人站在岸边观察，当 眼睛离海平面的高度是１．５ｍ时，能看到多远 （精确到０．０１ｋｍ）？如果登上一个 观望台，当眼睛离海平面的高度是３５ｍ时，能看到多远 （精确到０．０１ｋｍ）？ １２．一个圆与一个正方形的面积都是２πｃｍ２，它们中哪一个的周长比较大？你能从 中得到什么启示？ １３．要生产一种容积为５００Ｌ的球形容器，这种球形容器的半径是多少分米 （结果保 ４ 留小数点后两位）？（球的体积公式是犞＝ π犚３，其中犚是球的半径．） ３   １４．填空： （１）一个数的平方等于它本身，这个数是 ；一个数的平方根等于它本身， 这个数是 ；一个数的算术平方根等于它本身，这个数是 ． （２）一个数的立方等于它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它本身， 这个数是 ． ６２ !+#$,-第七章 平面直角坐标系 在庆祝中华人民共和国成立７０周年的联欢活 动中，天安门广场上出现了 “五星红旗”“祖国万 岁”等壮观的图案，你知道它是怎么组成的吗？ 原来，表演现场设置了由有序数对标识的点 位，３０００多名表演者手举光影屏，根据预先编排 的流程，不停地变换所在的点位，就拼出了不同 的图案． 类似于用 “第几排第几列”来确定位置，在 数学中可以通过建立坐标系，用有顺序的两个数 来刻画平面内点的位置． 本章中，我们将学习平面直角坐标系等有关 知识，由此建立图形与数量间的 联系．这将为几 何问题和代数问题的相互转化打下基础．７．１ 平面直角坐标系 ７．１．１ 有序数对 我们都有去影剧院看电影的经历．你一定知 道，影剧院对观众席的所有座位都按 “几排几号” 编号，以便确定每一个座位在影剧院中的位置．这 样，观众就能根据入场券上的 “排数”和 “号数” 准确地 “对号入座”． 这种办法在日常生活中是常用的．比如，当发 现一本书上某页有一处印刷错误时，你可以怎样告 诉其他同学这一处的位置呢？又如，假设根据教室 平面图 （图７．１１）写出如下通知，你知道哪些同 学参加讨论吗？ “请以下座位的同学今天放学后参加数学问题 讨论： （１，５），（２，４），（４，２），（３，３），（５，６）．” （２，４）和（４， ２）在同一位置吗？ 77 66 55 44 33 22 11 11 22 33 44 55 66   图７．１１ ６４ !.#$)/01234 怎样确定教室里座位的位置？排数和列数的先后顺序对位置有影响 吗？假设我们约定 “列数在前，排数在后”，请你在图７．１１上标出被邀 请参加讨论的同学的座位． 上面的问题都是通过像 “９排７号”“第１列第５排”这样含有两个数的 表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义，例如前边 的表示 “排数”，后边的表示 “号数”．我们把这种有顺序的两个数犪与犫组成 的数对，叫做有序数对 （ｏｒｄｅｒｅｄｐａｉｒ），记作 （犪，犫）． 利用有序数对，可以准确地表示出一个位置．生活中利用有序数对表示位 置的情况是很常见的，如人们常用经纬度来表示地球上的地点等．你能再举出 一些例子吗？ 如图，甲处表示２街与５巷的十字路口，乙处表示５街与２巷的十字路口．如果 用 （２，５）表示甲处的位置，那么 “（２，５）→ （３，５）→ （４，５）→ （５，５）→ （５，４）→ （５，３）→ （５，２）”表示从甲处到乙处的一种路线．请你用这种形式 写出几种从甲处到乙处的路线． 6(cid:0)巷 5(cid:0)巷 甲 4(cid:0)巷 3(cid:0)巷 2(cid:0)巷 乙 1(cid:0)巷 1(cid:0)街 2(cid:0)街 3(cid:0)街 4(cid:0)街 5(cid:0)街 6(cid:0)街 ７．１．２ 平面直角坐标系 图７．１２是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都 对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点犃在数轴上 的坐标为－４，点犅在数轴上的坐标为２．反过来，知道数轴上一个点的坐标， 这个点在数轴上的位置也就确定了．例如，数轴上坐标为５的点是点犆． ６５ !.#$)/01234A(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) -5(cid:0)(cid:0) -4(cid:0)(cid:0) -3(cid:0)(cid:0) -2(cid:0)(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) 0(cid:0) 1(cid:0) 2(cid:0) 3(cid:0) 4(cid:0) 5(cid:0) 图７．１２  类似于利用数轴确定直线上点的位置，能不能找到一种办法来确定平 面内的点的位置呢 （例如图７．１３中犃，犅，犆，犇各点）？ y y轴 N 4 A A(3,4) 3 2 C C 原点1 x轴 M -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 D D B B -4 图７．１３ 图７．１４ 如图７．１４，我们可以在平面内画两条互相 垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系 （ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ）．水平的数轴称 为狓轴 （狓ａｘｉｓ）或横轴，习惯上取向右为正方 向；竖直的数轴称为狔轴 （狔ａｘｉｓ）或纵轴，取 向上为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标 系的原点． 法国数学家笛卡儿（Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ， １５９６—１６５０），最早引入坐标 有了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一 系，用代数方法研究几何图形． 个有序数对来表示了．例如，如图７．１４，由点犃分 别向狓轴和狔轴作垂线，垂足犕在狓轴上的坐标是３，垂足犖在狔轴上的坐标是 ４，我们说点犃的横坐标是３，纵坐标是４，有序数对 （３，４）就叫做点犃的坐标 （ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ），记作犃（３，４）．类似地，请你写出点犅，犆，犇的坐标：犅（ ， ）， 犆（ ， ），犇（ ， ）． ６６ !.#$)/01234 原点犗的坐标是什么？狓轴和狔轴上的点的坐标有什么特点？ 可以看出，原点犗的坐标为 （０，０）；狓轴上的点的纵坐标为０，例如（１，０）， （－１，０），…；狔轴上的点的横坐标为０，例如 （０，１），（０，－１），…． 建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ， Ⅳ四个部分 （图７．１５），每个部分称为象限 （ｑｕａｄｒａｎｔ），分别叫做第一象限、 第二象限、第三象限和第四象限．坐标轴上的点不属于任何象限． y y 5 5 A(4,5) 第二象限 第一象限 4 4 Ⅱ Ⅰ 3 3 2 2 1 1 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -1 -2 -2 Ⅲ Ⅳ -3 -3 第三象限 -4 第四象限 -4 -5 -5 图７．１５ 图７．１６ 例 在平面直角坐标系（图７．１６）中描出下列各点： 犃（４，５），犅（－２，３），犆（－４，－１），犇（２．５，－２），犈（０，－４）． 解：如图７．１６，先在狓轴上找出表示４的点，再在狔轴上找出表示５的 点，过这两个点分别作狓轴和狔轴的垂线，垂线的交点就是点犃． 类似地，请你在图７．１６上描出点犅，犆，犇，犈． 我们知道，数轴上的点与实数是一一对应的．我们还可以得出：对于坐标 平面内任意一点犕，都有唯一的一对有序实数 （狓，狔）（即点犕的坐标）和 它对应；反过来，对于任意一对有序实数 （狓，狔），在坐标平面内都有唯一的 一点犕（即坐标为 （狓，狔）的点）和它对应．也就是说，坐标平面内的点与 有序实数对是一一对应的． ６７ !.#$)/01234 如图７．１７，正方形犃犅犆犇的边长为６， D C 如果以点犃为原点，犃犅所在直线为狓轴，建 立平面直角坐标系，那么狔轴是哪条线？写出 正方形的顶点犃，犅，犆，犇的坐标． 请另建立一个平面直角坐标系，这时正方 形的顶点犃，犅，犆，犇的坐标又分别是什么？ A(O) B x 与同学们交流一下． 图７．１７ １．写出图中点犃，犅，犆，犇，犈，犉的坐标． y 5 E B 4 3 2 1 F -6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 A -3 D -4 C （第１，２题） ２．在图中描出下列各点： 犔（－５，－３），犕（４，０），犖（－６，２），犘（５，－３．５），犙（０，５），犚（６，２）． 习题７．１  １．如图，写出表示下列各点的有序数对： 犃（ ， ）；犅（５，２）；犆（ ， ）；犇（ ， ）；犈（ ， ）；犉（ ， ）； 犌（ ， ）；犎（ ， ）；犐（ ， ）． ６８ !.#$)/012349 I 8 7 G F 6 H 5 E 4 3 A C D 2 B 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （第１题） ２．根据点所在的位置，用 “＋”“－”填表． 点的位置 横坐标符号 纵坐标符号 在第一象限 ＋ ＋ 在第二象限 在第三象限 在第四象限 ３．如图，写出其中标有字母的各点的坐标，并指出它们的横坐标和纵坐标． y 5 A 4 C 3 2 B 1 D -6 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x H -1 -2 F G -3 E -4 -5 （第３题） ４．在平面直角坐标系中，描出下列各点： 点犃在狔轴上，位于原点上方，距离原点２个单位长度； 点犅在狓轴上，位于原点右侧，距离原点１个单位长度； 点犆在狓轴上方，狔轴右侧，距离每条坐标轴都是２个单位长度； 点犇在狓轴上，位于原点右侧，距离原点３个单位长度； ６９ !.#$)/01234点犈在狓轴上方，狔轴右侧，距离狓轴２个单位长度，距离狔轴４个单位长度． 依次连接这些点，你能得到什么图形？ ５．如图，在所给的坐标系中描出下列各点： 犃（－４，－４），犅（－２，－２），犆（３，３），犇（５，５），犈（－３，－３），犉（０，０）． 这些点有什么关系？你能再找出一些类似的点吗？ y 5 4 G 3 2 1 E A F -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 D -2 -3 B C -4 （第５题） （第６题） ６．如图，建立平面直角坐标系，使点犅，犆的坐标分别为（０，０）和（４，０），写出点犃， 犇，犈，犉，犌的坐标，并指出它们所在的象限．  ７．在平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来． （１）（－５，０），（－４，３），（－３，０），（－２，３），（－１，０），（－５，０）； （２）（２，１），（６，１），（６，３），（７，３），（４，６），（１，３），（２，３），（２，１）． 观察得到的图形，你觉得它们像什么？求出所得到图形的面积． ８．建立一个平面直角坐标系，描出点犃（－２，４），犅（３，４），画直线犃犅．若点犆为 直线犃犅上的任意一点，则点犆的纵坐标是什么？想一想： （１）如果一些点在平行于狓轴的直线上，那么这些点的纵坐标有什么特点？ （２）如果一些点在平行于狔轴的直线上，那么 这些点的横坐标有什么特点？  y/m ９．李强同学家在学校以东１０００ｍ再往北１５００ｍ 处，张明同学家在学校以西２０００ｍ再往南 500 ５００ｍ处，王玲同学家在学校以南１５００ｍ处． O 500 x/m 如图，在坐标系 （规定一个单位长度代表１ｍ  长）中画出这三位同学家的位置，并用坐标表 示出来． （第９题） ７０ !.#$)/01234１０．在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下面条件的点，标出它们的位置， 看看它们在第几象限或哪条坐标轴上： （１）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＞０； （２）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＜０； （３）点犘（狓，狔）的坐标满足狓狔＝０． １１．图中正方形 （实线）四条边上横坐标、纵坐标都为整数的点有几个？写出它们的 坐标． y 3 2 1 -3 -2 -1O 1 2 3 x -1 -2 -3 （第１１题）   １２．设计一个容易用它的顶点坐标描绘出来的图形，把这些坐标告诉你的同学，看看 他能否画出你所设计的图形． １３．如图，右图是由左图平移后得到的图形，找几对特殊的对应点，分别写出它们的 坐标，你能发现什么规律吗？ y 7 6 5 4 3 2 1 -6-5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x -1 -2 （第１３题） １４．已知点犗（０，０），犅（１，２），点犃在坐标轴上，且犛 ＝２，求满足条件的 三角形犗犃犅 点犃的坐标． ７１ !’#$()*+,-.  用经纬度表示地理位置 怎样表示地理位置呢？通过地球上的经度和纬度， 人们可以确定一个地点在地球上的位置． 不管在地球仪上、还是在各种地图上都布满了细线 网，这就是经线和纬线．地图上水平方向的线是纬线， 它们用度 （°）来表示地理纬度．赤道上所有的点是０纬 度，北极对应北纬９０°，南极对应南纬９０°．北京位于北 纬３９．９°，但仅用纬度确定北京的位置还是不够的，还需 要第二个坐标———经度． 地图上竖直方向的线是经线，它们也用度 （°）来表 示地理经度．经过英国格林尼治 （Ｇｒｅｅｎｗｉｃｈ）天文台的 经线是初始经线 （０经度）．它东面的所有点有东经度值 （从０°到１８０°），西面的点有西经度值．例如北京位于东 经１１６．４°，再加上北京位于北纬３９．９°，就能确定北京在 地球上的位置了． 由于地球可近似地看作一个球体，所以经线和纬线 在地球表面构成一个坐标网．经线沿东西方向分布，纬 线沿南北方向分布．指明一点的经度和纬度，就可以确 定这一点在地球上的位置． 东 经 以下是某气象台发布的一次热带风暴的风暴中心位 110 120 130 140 150 置的一些信息： 40 ９月２５日１６时：北纬１７．９°，东经１１９．４°． ９月２７日１１时：北纬２１．４°，东经１１８．６°． 北30 右图是利用经纬度画出的地图的一部分，你能在它 纬 上面找到这次热带风暴的风暴中心在上述两个时刻的位 20 置吗？ 10 ７２ !.#$)/01234７．２ 坐标方法的简单应用 ７．２．１ 用坐标表示地理位置  不管是出差办事，还是出去旅游， 人们都愿意带上一幅地图，它给人们 出行带来了很大方便．如图７．２１，这 是北京市地图的一部分，你知道怎样 用坐标表示地理位置吗？ 图７．２１  根据以下条件画一幅示意图，标出学校和小刚家、小强家、小敏家的 位置． 小刚家：出校门向东走１５００ｍ，再向北走２０００ｍ． 小强家：出校门向西走２０００ｍ，再向北走３５００ｍ，最后向东走 ５００ｍ． 小敏家：出校门向南走１０００ｍ，再向东走３０００ｍ，最后向南走 ７５０ｍ． 如图７．２２，选学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为狓轴、狔 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表１ｍ长．依题目所给 条件，点 （１５００，２０００）就是小刚家的位置． 类似地，请你在图７．２２上画出小强家、小敏家的位置，并标明它们 的坐标． ７３ !.#$)/01234y/m 选取学校所在 位置为原点，并以 小刚家 正东、正北方向为 (1 500,2 000) 狓轴、狔轴正方向 有什么优点？ 学校 O 500 x/m 图７．２２  利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下： （１）建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定狓轴、狔轴的 正方向； （２）根据具体问题确定单位长度； （３）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称． 我们知道，通过建立平面直角坐标系，可以用坐标表示平面内点的位置． 还有其他方法吗？  北 如图７．２３，一艘船在犃处遇险后 向相距３５ｎｍｉｌｅ位于犅处的救生船报 B 警，如何用方向和距离描述救生船相对 于遇险船的位置？救生船接到报警后准 60° A 备前往救援，如何用方向和距离描述遇 险船相对于救生船的位置？ 图７．２３ 由图７．２３可知，救生船在遇险船北偏东６０°的方向上，与遇险船的距离是 ３５ｎｍｉｌｅ，用北偏东６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定救生船相对于遇险船的位置．反 ７４ !.#$)/01234过来，用南偏西６０°，３５ｎｍｉｌｅ就可以确定遇险船相对于救生船的位置． 一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示地理位置．此外，还可以 用方向和距离表示平面内物体的位置． !’#$()*+,-. (cid:0)52 １．长方形零件如图 （单位：ｍｍ），建立适当的坐标系，用坐标表示孔心的位置． 货轮 北 50° 15(cid:0) 灯塔 （第１题） （第２题） ２．如图，货轮与灯塔相距４０ｎｍｉｌｅ，如何用方向和距离描述灯塔相对于货轮的位 置？反过来，如何用方向和距离描述货轮相对于灯塔的位置？ ７．２．２ 用坐标表示平移 在平面直角坐标系中，对一个图形进行平移，图形上点的位置发生了变 化，坐标也发生了变化．  如图７．２４，将点犃（－２，－３）向右 y 平移５个单位长度，得到点犃，在图上标 １ 4 出这个点，并写出它的坐标．观察坐标的 3 变化，你能从中发现什么规律吗？把点犃 2 1 向上平移４个单位长度呢？把点犃向左或 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x 向下平移呢？ -1 再找几个点，对它们进行平移，观察 -2 -3 它们的坐标是否按你发现的规律变化． A(- 2 , - 3) 图７．２４ ７５一般地，在平面直角坐标系中，将点 （狓，狔）向右 （或左）平移犪个单 位长度，可以得到对应点 （狓＋犪，狔）（或 （狓－犪，狔））；将点（狓，狔）向上 （或 下）平移犫个单位长度，可以得到对应点 （狓，狔＋犫）（或（狓，狔－犫））．  如图７．２５，正方形犃犅犆犇四个顶点的坐标分别是犃（－２，４）， 犅（－２，３），犆（－１，３），犇（－１，４），将正方形犃犅犆犇向下平移７个单 位长度，再向右平移８个单位长度，两次平移后四个顶点相应变为点犈， 犉，犌，犎，它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形犃犅犆犇，使点 犃移到点犈，它和我们前面得到的正方形位置相同吗？ y(cid:0) y 5(cid:0) 5 D(cid:0) D A(cid:0) 4(cid:0) A 4 3(cid:0) 3 B(cid:0) C(cid:0) B C 2(cid:0) 2 1(cid:0) 1 -6(cid:0)(cid:0)-5(cid:0)(cid:0)-4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0) -1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2 3 4 5 6 7 x(cid:0) -6 -5-4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7 x -1(cid:0)(cid:0) -1 -2(cid:0)(cid:0) -2 -3(cid:0)(cid:0) -3 E H -4(cid:0)(cid:0) -4 F G -5(cid:0)(cid:0) -5 图７．２５ 图７．２６ 可求出点犈，犉，犌，犎的坐标分别是 （６，－３），（６，－４），（７，－４）， （７，－３）．如果直接平移正方形犃犅犆犇，使点犃移到点犈，它和我们前面得 到的正方形位置相同 （图７．２６）． 一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过 将原来的图形作一次平移得到． 对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反 过来，从图形上的点的坐标的某种变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎 样的平移． 例 如图７．２７ （１），三角形犃犅犆三个顶点的坐标分别是犃（４，３）， 犅（３，１），犆（１，２）． （１）将三角形犃犅犆三个顶点的横坐标都减去６，纵坐标不变，分别得到 ７６ !.#$)/01234点犃，犅，犆，依次连接犃，犅，犆 各点，所得三角形犃犅犆 与三角形 １ １ １ １ １ １ １ １ １ 犃犅犆的大小、形状和位置有什么关系？ （２）将三角形犃犅犆三个顶点的纵坐标都减去５，横坐标不变，分别得到 点犃，犅，犆，依次连接犃，犅，犆 各点，所得三角形犃犅犆 与三角形 ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ 犃犅犆的大小、形状和位置有什么关系？ y(cid:0) y(cid:0) 4(cid:0) 4(cid:0) 3(cid:0) A(cid:0) A 1 (cid:0) (cid:0) 3(cid:0) A(cid:0) 2(cid:0) C(cid:0) C 1 (cid:0) (cid:0) 2(cid:0) C(cid:0) 1(cid:0) B(cid:0) B 1 (cid:0) (cid:0) 1(cid:0) B(cid:0) -4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0)(cid:0)-1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2(cid:0) 3 4(cid:0) x(cid:0)(cid:0) -5(cid:0)(cid:0)-4(cid:0)(cid:0)-3(cid:0)(cid:0)-2(cid:0)(cid:0)-1(cid:0)(cid:0)O(cid:0) 1 2(cid:0) 3 4(cid:0) (cid:0)x(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) -1(cid:0)(cid:0) -2(cid:0)(cid:0) -2(cid:0)(cid:0) A 2 (cid:0) (cid:0) -3(cid:0)(cid:0) -3(cid:0)(cid:0) C 2 (cid:0) (cid:0) -4(cid:0)(cid:0) -4(cid:0)(cid:0) B(cid:0) 2(cid:0) （１） （２） 图７．２７ 解：如图７．２７ （２），所得三角形犃犅犆 与三角形犃犅犆的大小、形状完 １ １ １ 全相同，三角形犃犅犆 可以看作将三角形犃犅犆向左平移６个单位长度得到． １ １ １ 类似地，三角形犃犅犆 与三角形犃犅犆的大小、形状完全相同，它可以看作 ２ ２ ２ 将三角形犃犅犆向下平移５个单位长度得到．  （１）如果将这个问题中的 “横坐标都减去６”“纵坐标都减去５”相应 地变为 “横坐标都加３”“纵坐标都加２”，分别能得出什么结论？画出得 到的图形． （２）如果将三角形犃犅犆三个顶点的横坐标都减去６，同时纵坐标都 减去５，能得到什么结论？画出得到的图形． 一般地，在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加 （或 减去）一个正数犪，相应的新图形就是把原图形向右 （或向左）平移犪个单位 长度；如果把它各个点的纵坐标都加 （或减去）一个正数犪，相应的新图形就 是把原图形向上 （或向下）平移犪个单位长度． ７７ !.#$)/01234如图，将平行四边形犃犅犆犇向左平移２个单位长 y 4 度，然后再向上平移３个单位长度，可以得到平 3 行四边形犃′犅′犆′犇′，画出平移后的图形，并指出其 2 D 各个顶点的坐标． 1 C -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 A-2 B -3 习题７．２  １．如图，三辆汽车犘，犙，犚保持编队行驶，分别写出它们的坐标．当汽车犘行驶 到犘′位置时，汽车犙，犚行驶到了什么位置？分别写出这三辆汽车新位置的 坐标． y y 4 3 B P′ 2 1 Q P -3 -2 -1O 1 2 3 4 x O 1 x -1 R A -2 -3 （第１题） （第２题） ２．如图，机械手要将一个工件从图中犃处移动到犅处，但是这个工件不能碰到图中 的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线． ３．如图，长方形犃犅犆犇四个顶点分别是犃（－３，２），犅（－３，－２），犆（３，－２）， 犇（３，２）．将长方形向左平移２个单位长度，各个顶点的坐标变为什么？将它向上 平移３个单位长度呢？分别画出平移后的图形． ７８ !.#$)/01234y y 5 (-1,4) 4 4 3 3 A 2 D 2 1 1 (1,1) -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x -1 -1 (-4,-1) B -2 C -2 -3 -3 （第３题） （第４题） ４．选择题．如图，将三角形向右平移２个单位长度，再向上平移３个单位长度，则 平移后三个顶点的坐标是 （ ）． （Ａ）（２，２），（３，４），（１，７） （Ｂ）（－２，２），（４，３），（１，７） （Ｃ）（－２，２），（３，４），（１，７） （Ｄ）（２，－２），（３，３），（１，７） ５．如图，这是一所学校的平面示意图，建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示 教学楼、图书馆、校门、实验楼、国旗杆的位置．类似地，你能用坐标表示你自 己学校各主要建筑物的位置吗？ 比例尺： 北 1:10 000 图书馆 北 A 校门 国旗杆 教学楼 40° 实验楼 B （第５题） （第６题） ６．如图，在一次活动中，位于犃处的１班准备前往相距５ｋｍ的犅处与２班会合，如 何用方向和距离描述２班相对于１班的位置？反过来，如何用方向和距离描述１班 相对于２班的位置？  ７．制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鸭子从犃到犅， 7(cid:0) 6(cid:0) 5(cid:0) 再到犆，到犇，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？ 4(cid:0) 3(cid:0) B(cid:0) C(cid:0) ８．如图，三角形犃犅犆中任意一点犘（狓，狔）经平移后对应点为 2(cid:0) A(cid:0) D(cid:0) ０ ０ 1(cid:0) 1 2 3(cid:0) 4 5(cid:0) 6 7(cid:0) 8 9(cid:0)(cid:0) 犘（狓＋５，狔＋３），将三角形犃犅犆作同样的平移得到三角形 １ ０ ０ 犃犅犆．求犃，犅，犆的坐标． （第７题） １ １ １ １ １ １ ７９ !.#$)/01234y 6 y 5 A P (x +5, y +3) 4 4 1 0 0 A(-2, 3) 3 3 2 B 2 P(x , y ) 1 0 0 1 C(2, 0) -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 7x -1 -1 B(-4,-1) -2 -2 （第８题） （第９题） ９．如图，三角形犃犗犅中，犃，犅两点的坐标分别为 （２，４），（６，２），求三角形犃犗犅的面积．（提示：三 角形犃犗犅的面积可以看作一个长方形的面积减去一些 y 小三角形的面积．） 3 A B １０． 如图，长方形 犃犅犆犇四个顶点的坐标分别是 2 D C 犃（２，２槡２），犅（５，２槡２），犆（５，槡２），犇（２，槡２）． 1 将这个长方形向下平移２槡２个单位长度，得到长方形 O 1 2 3 4 5 6 x 犃′犅′犆′犇′．求长方形犃′犅′犆′犇′四个顶点的坐标． （第１０题）   １１．如图，三角形犆犗犅是由三角形犃犗犅经过某种变换后得到的图形，观察点犃与点 犆的坐标之间的关系．三角形犃犗犅内任意一点犕的坐标为 （狓，狔），点犕经过 这种变换后得到点犖，点犖的坐标是什么？ 北 y 4 A 3 2 M 1 狮虎山 B -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -1 猴山 -2 N -3 C （第１１题） （第１２题） １２．如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某动物园的示意图，如果这个坐标系 分别以正东、正北方向为狓轴、狔轴的正方向，并且猴山和狮虎山的坐标分别是 （２，１）和 （８，２）．你能在此图上标出熊猫馆 （６，６）的位置吗？ ８０ !.#$)/01234   

近年来，园林部门为了对古树名木进行系 统养护，建立了相关的地理信息系统，其中重 要的一条就是要确定这些树的位置． 如下图，某小区有树龄百年以上的古松树４棵 （Ｓ，Ｓ，Ｓ，Ｓ），古槐树６棵 （Ｈ ，Ｈ ，Ｈ ， １ ２ ３ ４ １ ２ ３ Ｈ ，Ｈ ，Ｈ ）．为了加强对古树的保护，园林部 ４ ５ ６ 门将４棵古松树的位置用坐标表示为Ｓ（３，９）， １ Ｓ（５，１０），Ｓ（１１，６），Ｓ（１２，１１）． ２ ３ ４ 类似地，你能在下图中把６棵古槐树的位 置也用坐标表示出来吗？ S4 S2 S 1 H6 H 4 H 1 H 3 S3 H 2 H 5 请以小组的形式完成下面的活动： （１）收集一些当地古树名木的资料，特别是有关它们具体位置的记 载，并为它们编号； （２）建立适当的平面直角坐标系，为上述树木绘制一幅平面分布图； （３）你也可以收集一些校园或自己家附近有代表性的建筑，绘制出相 关的平面分布图． ８１ !.#$)/01234

春天到了，七 （２）班组织同学到人民公园春游，张明、李华对着景 区示意图 （图１）如下描述牡丹园的位置 （图中小正方形的边长代表 １００ｍ长）． 张明：“牡丹园的坐标是 （３００，３００）．” 李华：“牡丹园在中心广场东北方向约４２０ｍ处．” 北 音乐台 牡丹园 湖心亭 西门 中心广场 东门 望春亭 游乐园 南门 图１ 实际上，他们所说的位置都是正确的．你知道张明同学是如何在景区 示意图上建立坐标系的吗？你理解李华同学所说的 “东北方向约４２０ｍ 处”的含义吗？ 用他们的方法，你能描述公园内其他景点的位置吗？与同学们交流 一下． ８２ !.#$)/01234小 结 一、本章知识结构图       

 


 P x, y 二、回顾与思考 本章我们通过具体实例学习了平面直角坐标系等知识，应用坐标方法解决 了一些简单问题． 建立平面直角坐标系后，对于坐标平面内任意一点犕，都有唯一的一对有 序实数 （狓，狔）和它对应；反过来，对于任意一对有序实数 （狓，狔），在坐标 平面内都有唯一的点犕和它对应．这样，我们就可以数形结合地研究问题． 坐标方法有广泛的应用．例如，我们可以利用坐标描述一些地点的分布情况； 还可以通过直角坐标系中对应点的坐标之间的关系，研究图形平移等问题．这种用 数和运算来研究几何问题的方法是非常重要的，今后我们将不断地看到它的应用． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．在日常生活中，我们可以用有序数对来描述物体的位置．以教室中座位 位置为例，说明有序数对 （狓，狔）和 （狔，狓）是否相同以及为什么． ２．平面直角坐标系由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成．请你举例说 明如何建立平面直角坐标系，在直角坐标平面内描出点犘（２，４）和原点的位 置，并指出点犘和原点的横坐标和纵坐标． 平面直角坐标系的两条坐标轴将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分，这四 个部分依次称为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限．请你在直角坐标 平面内描出点犃（２，１），犅（－２，１），犆（－２，－１），犇（２，－１）的位置，并 说明它们所在的象限． ３．平面直角坐标系具有广泛的应用，请你举例说明它的应用． ８３ !.#$)/01234复习题７  １．指出下列各点的横坐标和纵坐标，并指出各点所在的象限． 犃（２，３），犅（－２，３），犆（－２，－３），犇（２，－３）． ２．如图，写出八边形各顶点的坐标． y 5 4 3 2 1 -5 -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 （第２题） ３．在同一平面直角坐标系中描出下列各组点，并将各组内的点用线段依次连接起来． （１）（２，０），（４，０），（２，２），（２，０）； （２）（０，２），（０，４），（－２，２），（０，２）； （３）（－４，０），（－２，－２），（－２，０），（－４，０）； （４）（０，－２），（２，－２），（０，－４），（０，－２）． 观察所得的图形，你觉得它像什么？ ４．图中标明了李明家附近的一些地方． y/m 300  200  100     -300 -200 -100O 100 200 300 400x/m -100     -200   （第４题） ８４ !.#$)/01234（１）写出书店和邮局的坐标； （２）某星期日早晨，李明同学从家里出发，沿 （－１００，２００），（１００，０），（２００， １００），（２００，－２００），（－１００，－２００），（０，－１００）的路线转了一下，又回 到家里，写出他路上经过的地方； （３）连接他在 （２）中经过的地点，你能得到什么图形？ ５．如图，红色图形可以由蓝色图形经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？ y y 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -6 -5-4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -6 -5-4-3 -2 -1O 1 2 3 4 5 6 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -5 -5 -6 -6 （１） （２） （第５题）  ６．（１）坐标 （狓，３）中的狓取－３，－２，－１，０，１，２，３所表示的点是否在一条直 线上？这条直线与狓轴有什么关系？ （２）坐标 （３，狔）中的狔取－３，－２，－１，０，１，２，３所表示的点是否在一条直 线上？这条直线与狓轴有什么关系？ ７．图中显示了１０名学生平均每周用于阅读课外 用 于 书的时间和用于看电视的时间 （单位：ｈ）． 阅 读 （１）用有序数对表示图中各点． 的 时 （２）图中有一个点位于方格的对角线上， 间 这表示什么意思？ 5 （３）图中方格纸的对角线的左上方的点有 什么共同的特点？它右下方的点呢？ （４）估计一下你每周用于阅读课外书的时 间和用于看电视的时间，在图上描出 用于看电视的时间 5 来，这个点位于什么位置？ （第７题） ８５ !.#$)/01234８．某村过去是一个缺水的村庄，由于兴修水利，现在家家户户都用上了自来水．据 村委会主任徐伯伯讲，以前全村４００多户人家只有五口水井：第一口在村委会的 院子里，第二口在村委会北偏东３０°方向２０００ｍ处，第三口在村委会正西方向 １５００ｍ处，第四口在村委会东南方向１０００ｍ处，第五口在村委会正南方向９００ｍ 处．请你根据徐伯伯的话，和同学们一起讨论，画图表示这个村庄五口水井的位置． ９．如图，平行四边形犃犅犆犗四个顶点的坐 y 标分别是犃（槡３，槡３），犅（３槡３，槡３）， 2 犆（２槡３，０），犗（０，０）．将这个平行四边 A B 形向左平移槡３个单位长度，得到平行四 1 边形犃′犅′犆′犗′．求平行四边形犃′犅′犆′犗′ O 1 2 3 C 4 5 6 x 四个顶点的坐标． （第９题）   １０．建立平面直角坐标系，并描出下列各点： 犃（１，１），犅（５，１），犆（３，３），犇（－３，３），犈（１，－２），犉（１，４），犌（３，２）， 犎（３，－２），犐（－１，－１），犑（－１，１）． 连接犃犅，犆犇，犈犉，犌犎，犐犑，找出它们中点的坐标，将上述中点的横坐标和纵 坐标分别与对应线段的两个端点的横坐标和纵坐标进行比较，你发现它们之间有 什么关系？写出你的发现，并与其他同学进行交流． １１．如图，三角形犘犙犚是三角形犃犅犆经过 y 某种变换后得到的图形，分别写出点犃 4 与点犘，点犅与点犙，点犆与点犚的坐 3 A 2 C 标，并观察它们之间的关系．三角形 M 1 犃犅犆内任意一点犕的坐标为 （狓，狔）， B -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 5 x 点犕经过这种变换后得到点犖，点犖的 -1 坐标是什么？ N -2 R P -3 （第１１题） ８６ !.#$)/01234第八章 二元一次方程组 我们看下面的问题． 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队 胜１场得２分，负１场得１分．某队在１０场比赛 中得到１６分，那么这个队胜负场数分别是多少？ 在上面的问题中，要求的是两个未知数．如 果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个 未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接 设两个未知数，使列方程变得容易呢？我们从这 个想法出发开始本章的学习． 本章我们将从实际问题出发，认识二元一次 方程组，学会解二元一次方程组的方法，并运用 二元一次方程组解决一些实际问题．在此基础上， 学习三元一次方程组及其解法，进一步体会消元 的思想方法．通过本章的学习，你将对方程 （组） 有新的认识．     x y 10   2x y 16 x+y=10, 2x+y=16. 书书书８．１ 二元一次方程组  引言中的问题包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是狓，负 的场数是狔，你能用方程把这些条件表示出来吗？ 由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数， 胜场积分＋负场积分＝总积分． 这两个条件可以用方程 狓＋狔＝１０， 这两个方程有 ２狓＋狔＝１６ 什么特点？与一元 一次方程有什么 表示． 不同？ 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知 数 （狓和狔），并且含有未知数的项的次数都是１， 像这样的方程叫做二元一次方程 （ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎ ｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）． 上面的问题中包含两个必须同时满足的条件，也就是未知数狓，狔必须同 时满足方程 狓＋狔＝１０ ① 和 ２狓＋狔＝１６． ② 把这两个方程合在一起，写成 烄狓＋狔＝１０， 烅 烆２狓＋狔＝１６， 就组成了一个方程组．这个方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次 数都是１，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组 （ｓｙｓ ｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ）． ８８ !"#$%&’()*+ 满足方程①，且符合问题的实际意义的狓，狔的值有哪些？把它们填 入表中． 狓 狔 上表中哪对狓，狔的值还满足方程②？ 由上表可知，狓＝０，狔＝１０；狓＝１，狔＝９；…；狓＝１０，狔＝０使方程狓＋狔＝ １０两边的值相等，它们都是方程狓＋狔＝１０的解．如果不考虑方程狓＋狔＝１０ 与上面实际问题的联系，那么狓＝－１，狔＝１１；狓＝０．５，狔＝９．５；……也都是 这个方程的解． 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次 方程的解． 我们还发现，狓＝６，狔＝４既满足方程①，又满足方程②．也就是说，狓＝ ６，狔＝４是方程①与方程②的公共解．我们把狓＝６，狔＝４叫做二元一次方 程组 烄狓＋狔＝１０， 烅 烆２狓＋狔＝１６ 的解．这个解通常记作 烄狓＝６， 烅 烆狔＝４． 联系前面的问题可知，这个队在１０场比赛中胜６场、负４场． 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组 的解． 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解． 加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成９００件，第二道工序每人 每天可完成１２００件．现有７位工人参加这两道工序，应怎样安排人力，才能使每 天第一、第二道工序所完成的件数相等？ ８９ !"#$%&’()*+习题８．１  １．填表，使上下每对狓，狔的值是方程３狓＋狔＝５的解． 狓 －２ ０ ０．４ ２ 狔 －０．５ －１ ０ ３ ２．选择题． 方程组 烄３狓＋４狔＝５， 烅 ５ －７狓＋９狔＝－ 烆 ２ 的解是 （ ）． 烄狓＝２， 烄狓＝－５．５， 烄狓＝１， 烄狓＝－１， （Ａ）烅 （Ｂ）烅 （Ｃ）烅 （Ｄ）烅 烆狔＝－０．２５ 烆狔＝４ 烆狔＝０．５ 烆狔＝－０．５  ３．如果三角形的三个内角分别是狓°，狔°，狔°，求： （１）狓，狔满足的关系式； （２）当狓＝９０时，狔的值； （３）当狔＝６０时，狓的值． ４．我国古代数学著作 《孙子算经》中有 “鸡兔同笼”问题： “今有鸡兔同笼，上有 三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”你能用二元一次方程组表示题中的 数量关系吗？试找出问题的解．   ５．把一根长７ｍ的钢管截成２ｍ长和１ｍ长两种规格的钢管，怎样截不造成浪费？ 你有几种不同的截法？ ９０ !"#$%&’()*+８．２ 消元———解二元一次方程组 在８．１节中我们已经看到，直接设两个未知数：胜狓场、负狔场，可以列 烄狓＋狔＝１０， 方程组 烅 表示本章引言中问题的数量关系．如果只设一个未知数： 烆２狓＋狔＝１６ 胜狓场，那么这个问题也可以用一元一次方程 ２狓＋（１０－狓）＝１６ 来解．  上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？ 我们发现，二元一次方程组中第一个方程狓＋狔＝１０可以写为狔＝１０－狓． 由于两个方程中的狔都表示负的场数，所以，我们把第二个方程２狓＋狔＝１６ 中的狔换为１０－狓，这个方程就化为一元一次方程２狓＋（１０－狓）＝１６．解这 个方程，得狓＝６．把狓＝６代入狔＝１０－狓，得狔＝４．从而得到这个方程组 的解． 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二 元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．我们可以先求出一个未知数， 然后再求另一个未知数．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫 做消元思想． 上面的解法，是把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个 未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元 一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法 （ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ）． 例１ 用代入法解方程组 烄狓－狔＝３， ① 烅 烆３狓－８狔＝１４． ② ９１ !"#$%&’()*+分析：方程①中狓的系数是１，用含狔的式子表示狓，比较简便． 解：由①，得 把③代入①可以 狓＝狔＋３． ③ 吗？试试看． 把③代入②，得 ３（狔＋３）－８狔＝１４． 解这个方程，得 狔＝－１． 把狔＝－１代入③，得 把狔＝－１代入 狓＝２． ①或②可以吗？ 所以这个方程组的解是 烄狓＝２， 烅 烆狔＝－１． 例２ 根据市场调查，某种消毒液的大瓶装 （５００ｇ）和小瓶装 （２５０ｇ）两 种产品的销售数量 （按瓶计算）比为２∶５．某厂每天生产这种消毒液２２．５ｔ， 这些消毒液应该分装大、小瓶两种产品各多少瓶？ 分析：问题中包含两个条件： 大瓶数∶小瓶数＝２∶５， 大瓶所装消毒液＋小瓶所装消毒液＝总生产量． 解：设这些消毒液应该分装狓大瓶、狔小瓶． 根据大、小瓶数的比，以及消毒液分装量与总生产量的数量关系，得 烄５狓＝２狔， ① 烅 烆５００狓＋２５０狔＝２２５０００００． ② 由①，得 ５ 狔＝ 狓． ③ ２ 把③代入②，得 ５ ５００狓＋２５０× 狓＝２２５０００００． ２ 解这个方程，得 ９２ !"#$%&’()*+狓＝２００００． 把狓＝２００００代入③，得 狔＝５００００． 所以这个方程组的解是 烄狓＝２００００， 烅 烆狔＝５００００． 答：这些消毒液应该分装２００００大瓶和５００００小瓶． 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示： 解得 变形 二 ５ ＝５０ ０００ 元 ５ ＝２ ＝ 一 ２ ＝２０ ０００ 次 代入 解得 方 一元一次方程 程 消去 组 ５ ５００ ＋２５０ ＝２２ ５００ ０００ ５００ ＋２５０× ＝２２ ５００ ０００ ２ 用 ５ 代替 消去未知数 ， ２  解这个方程组时，可以先消去狓吗？试试看． １．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式： （１）２狓－狔＝３； （２）３狓＋狔－１＝０． ２．用代入法解下列方程组： 烄狔＝２狓－３， 烄２狓－狔＝５， （１）烅 （２）烅 烆３狓＋２狔＝８； 烆３狓＋４狔＝２． ３．有４８支队５２０名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队１０人，每支排 球队１２人，每名运动员只能参加一项比赛．篮球、排球队各有多少支参赛？ ４．张翔从学校出发骑自行车去县城，中途因道路施工步行一段路，１．５ｈ 后到达县城．他骑车的平均速度是１５ｋｍ／ｈ，步行的平均速度是５ｋｍ／ｈ，路程 全长２０ｋｍ．他骑车与步行各用多少时间？ ９３ !"#$%&’()*+ 前面我们用代入法求出了方程组 烄狓＋狔＝１０， ① 烅 烆２狓＋狔＝１６ ② 的解．这个方程组的两个方程中，狔的系数有什么关系？利用这种关系你 能发现新的消元方法吗？ 这两个方程中未知数狔的系数相等，②－① 可消去未知数狔，得 ②－①就是用方程 狓＝６． ②的左边减去方程①的 把狓＝６代入①，得 左边，方程②的右边减 狔＝４． 去方程①的右边． 所以这个方程组的解是 烄狓＝６， 烅 烆狔＝４． ①－②也能消去 未知数狔，求得狓吗？  联系上面的解法，想一想怎样解方程组 烄３狓＋１０狔＝２．８， 烅 烆１５狓－１０狔＝８． 从上面两个方程组的解法可以看出：当二元一次方程组的两个方程中同一 未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去 这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法 （ａｄｄｉｔｉｏｎｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ）． ９４ !"#$%&’()*+例３ 用加减法解方程组 烄３狓＋４狔＝１６， ① 烅 烆５狓－６狔＝３３． ② 分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相等，直接加减这两 个方程不能消元．我们对方程变形，使得这两个方程中某个未知数的系数相反 或相等． 解：①×３，得 ９狓＋１２狔＝４８． ③ ②×２，得 １０狓－１２狔＝６６． ④ ③＋④，得 １９狓＝１１４， 狓＝６． 把狓＝６代入 ① ，得 ３×６＋４狔＝１６， 把狓＝６代入② 可以解得狔吗？ ４狔＝－２， １ 狔＝－ ． ２ 所以这个方程组的解是 如果用加减法消 烄狓＝６， 去狓应如何解？解得 烅 １ 的结果一样吗？ 狔＝－ ． 烆 ２ 例４ ２台大收割机和５台小收割机同时工作２ｈ共收割小麦３．６ｈｍ２ ， ３台大收割机和２台小收割机同时工作５ｈ共收割小麦８ｈｍ２．１台大收割机 和１台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？ 分析：如果１台大收割机和１台小收割机每小时各收割小麦狓ｈｍ２ 和狔ｈｍ２ ， 那么２台大收割机和５台小收割机同时工作１ｈ共收割小麦 ｈｍ２ ， ３台大收割机和２台小收割机同时工作１ｈ共收割小麦 ｈｍ２．由此考 虑两种情况下的工作量． 解：设１台大收割机和１台小收割机每小时各收割小麦狓ｈｍ２ 和狔ｈｍ２． 根据两种工作方式中的相等关系，得方程组 ９５ !"#$%&’()*+烄２（２狓＋５狔）＝３．６， 烅 烆５（３狓＋２狔）＝８． 去括号，得 烄４狓＋１０狔＝３．６， ① 烅 烆１５狓＋１０狔＝８． ② ②－①，得 １１狓＝４．４． 解这个方程，得 狓＝０．４． 把狓＝０．４代入①，得 狔＝０．２． 因此，这个方程组的解是 烄狓＝０．４， 烅 烆狔＝０．２． 答：１台大收割机和１台小收割机每小时各收割小麦０．４ｈｍ２ 和０．２ｈｍ２． 上面解方程组的过程可以用下面的框图表示： 解得 二 ＝０．２ 元 ４ ＋１０ ＝３．６ ① ＝０．４ 一 解得 次 方 ②－① 程 一元一次方程 组 １５ ＋１０ ＝８ ② １１ ＝４．４ 两方程相减 消去未知数 ， １．用加减法解下列方程组： 烄狓＋２狔＝９， 烄５狓＋２狔＝２５， （１）烅 （２）烅 烆３狓－２狔＝－１； 烆３狓＋４狔＝１５； ９６ !"#$%&’()*+烄２狓＋５狔＝８， 烄２狓＋３狔＝６， （３）烅 （４）烅 烆３狓＋２狔＝５； 烆３狓－２狔＝－２． ２．一条船顺流航行，每小时行２０ｋｍ；逆流航行，每小时行１６ｋｍ．求轮船在静水 中的速度与水的流速． ３．运输３６０ｔ化肥，装载了６节火车车厢和１５辆汽车；运输４４０ｔ化肥，装载了 ８节火车车厢和１０辆汽车．每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？ 代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的两种解法，它们都是通过消 元使方程组转化为一元一次方程，只是消元的方法不同．我们应根据方程组的 具体情况，选择适合它的解法．  （１）你怎样解下面的方程组？ 烄２狓＋狔＝１．５， 烄狓＋２狔＝３， 烅 烅 烆０．８狓＋０．６狔＝１．３； 烆３狓－２狔＝５． （２）选择你认为简便的方法解习题８．１中的第４题 （“鸡兔同笼”问 题）． 习题８．２  １．把下列方程改写成用含狓的式子表示狔的形式： ３ １ ７ （１） 狓＋２狔＝１； （２） 狓＋ 狔＝２； ２ ４ ４ （３）５狓－３狔＝狓＋２狔； （４）２（３狔－３）＝６狓＋４． ２．用代入法解下列方程组： 烄狔＝狓＋３， 烄３狊－狋＝５， （１）烅 （２）烅 烆７狓＋５狔＝９； 烆５狊＋２狋＝１５； 烄４狓＋狔＝１５， 烄４（狓＋２）＋５狔＝１， （３）烅 （４）烅 烆３狓－２狔＝３； 烆２狓＋３（狔＋２）＝３． ９７ !"#$%&’()*+ 书书书３．用加减法解下列方程组： 烄３狌＋２狋＝７， 烄２犪＋犫＝３， （１）烅 （２）烅 烆６狌－２狋＝１１； 烆３犪＋犫＝４； 烄１ ３ 烄２狓－５狔＝－３， 狓－ 狔＝－１， （３）烅 （４）烅 ２ ２ 烆－４狓＋狔＝－３； 烆２狓＋狔＝３． ４．某班去看演出，甲种票每张２４元，乙种票每张１８元．如果３５名学生购票恰好用 去７５０元，甲乙两种票各买了多少张？  ５．解下列方程组： 烄２狌 ３狏 １ ＋ ＝ ， 烄３（狓－１）＝狔＋５， ３ ４ ２ （１）烅 （２）烅 烆５（狔－１）＝３（狓＋５）； ４狌 ５狏 ７ ＋ ＝ ． 烆５ ６ １５ ６．顺风旅行社组织２００人到花果岭和云水洞旅游，到花果岭的人数比到云水洞的人 数的２倍少１，到两地旅游的人数各是多少？ ７．小方、小程两人相距６ｋｍ，两人同时出发相向而行，１ｈ相遇；同时出发同向而 行，小方３ｈ可追上小程．两人的平均速度各是多少？ ８．一种商品有大小盒两种包装，３大盒、４小盒共装１０８瓶，２大盒、３小盒共装７６ 瓶．大盒与小盒每盒各装多少瓶？   ９．一个长方形的长减少５ｃｍ，宽增加２ｃｍ，就成为一个正方形，并且这两个图形的 面积相等．这个长方形的长、宽各是多少？ ９８ !"#$%&’()*+８．３ 实际问题与二元一次方程组 前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些 实际问题．本节我们继续探究如何用二元一次方程组解决实际问题．同学们可 以先独立分析问题中的数量关系，列出方程组，得出问题的解答，然后再互相 交流． 
 养牛场原有３０头大牛和１５头小牛，１天约用饲料６７５ｋｇ；一周后又 购进１２头大牛和５头小牛，这时１天约用饲料９４０ｋｇ．饲养员李大叔估 计每头大牛１天约需饲料１８～２０ｋｇ，每头小牛１天约需饲料７～８ｋｇ．你 能通过计算检验他的估计吗？ 分析：设每头大牛和每头小牛１天各约用饲料狓ｋｇ和狔ｋｇ． 根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，列方程组 ， 烄 烅 烆 ． 解这个方程组，得 烄狓＝ ， 烅 烆狔＝ ． 这就是说，每头大牛１天约需饲料 ｋｇ，每头小牛１天约需饲料 ｋｇ．因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计 ，对小牛的食量估计 ． 
 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是１∶２．现要把 一块长２００ｍ、宽１００ｍ的长方形土地，分为两块小长方形土地，分别种 植这两种作物．怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比 是３∶４？ ９９ !"#$%&’()*+分析：如图８．３１，一种种植方案为：甲、 D F C 乙两种作物的种植区域分别为长方形犃犈犉犇和 犅犆犉犈．此时设犃犈＝狓ｍ，犅犈＝狔ｍ，根据问题 中涉及长度、产量的数量关系，列方程组 E 烄 ， A x y B 烅 烆 ． 图８．３１ 解这个方程组，得 烄狓＝ ， 烅 烆狔＝ ． 你还能设计其 过长方形土地的长边上离一端 处，作 他种植方案吗？ 这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地． 较大一块土地种 种作物，较小一块土地种 种作物． 
 如图８．３２，长青化工厂与Ａ，Ｂ两地有公路、铁路相连．这家工厂从 Ａ地购买一批每吨１０００元的原料运回工厂，制成每吨８０００元的产品运到Ｂ 地．已知公路运价为１．５元／（ｔ·ｋｍ），铁路运价为１．２元／（ｔ·ｋｍ），且这 两次运输共支出公路运费１５０００元，铁路运费９７２００元．这批产品的销售 款比原料费与运输费的和多多少元？ A 120 km 10 km   B 20 km 110 km 图８．３２ 分析：销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关．设制成狓ｔ产品， 购买狔ｔ原料．根据题中数量关系填写下页表． １００ !"#$%&’()*+产品狓ｔ 原料狔ｔ 合计 公路运费／元 铁路运费／元 价 值／元 题目所求数值是 ，为此需先解出 与 ． 由上表，列方程组 ， 烄 烅 烆 ． 解这个方程组，得 烄狓＝ ， 烅 烆狔＝ ． 因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多 元． 从以上探究可以看出，方程组是解决含有多个未知数问题的重要工具．用 方程组解决问题时，要根据问题中的数量关系列出方程组，求出方程组的解 后，应进一步考虑它是否符合问题的实际意义． 习题８．３  １．解下列方程组： 烄２狓 ３狔 １７ ＋ ＝ ， 烄３狓－狔＝５， ３ ４ １２ （１）烅 （２）烅 烆５狔－１＝３狓＋５； 狓 狔 １ － ＝－ ． 烆６ ２ ３ ２．Ａ地至Ｂ地的航线长９７５０ｋｍ，一架飞机从Ａ地顺风飞往Ｂ地需１２．５ｈ，它逆风 飞行同样的航线需１３ｈ．求飞机无风时的平均速度与风速． ３．一支部队第一天行军４ｈ，第二天行军５ｈ，两天共行军９８ｋｍ，且第一天比第二 天少走２ｋｍ．第一天和第二天行军的平均速度各是多少？ １０１ !"#$%&’()*+ ４．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身２５个，或制盒底４０个，一个盒身与两个 盒底配成一套罐头盒．现有３６张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使 盒身与盒底正好配套？ ５．有大小两种货车，２辆大货车与３辆小货车一次可以运货１５．５ｔ，５辆大货车与６ 辆小货车一次可以运货３５ｔ．３辆大货车与５辆小货车一次可以运货多少吨？ ６．从甲地到乙地有一段上坡与一段平路．如果保持上坡每小时走３ｋｍ，平路每小时 走４ｋｍ，下坡每小时走５ｋｍ，那么从甲地到乙地需５４ｍｉｎ，从乙地到甲地需 ４２ｍｉｎ．甲地到乙地全程是多少？ ７．用含药３０％和７５％的两种防腐药水，配制含药５０％的防腐药水１８ｋｇ，两种药水 各需多少千克？   ８．打折前，买６０件Ａ商品和３０件Ｂ商品用了１０８０元，买５０件Ａ商品和１０件Ｂ 商品用了８４０元．打折后，买５００件Ａ商品和５００件Ｂ商品用了９６００元，比不 打折少花多少钱？ ９．某家商店的账目记录显示，某天卖出３９支牙刷和２１盒牙膏，收入３９６元；另一 天，以同样的价格卖出同样的５２支牙刷和２８盒牙膏，收入５１８元．这个记录是 否有误？如果有误，请说明理由． １０２ !"#$%&’()*+８．４ 三元一次方程组的解法  前面我们学习了二元一次方程组及其解法———消元法．有些有两个未知数 的问题，可以列出二元一次方程组来解决．实际上，有不少问题含有更多未知 数．我们看下面的问题： 小明手头有１２张面额分别为１元、２元、５元的纸币，共计２２元，其中 １元纸币的数量是２元纸币数量的４倍．求１元、２元、５元纸币各多少张． 自然的想法是，设１元、２元、５元的纸币分别为狓张、狔张、狕张，根 据题意，可以得到下面三个方程： 狓＋狔＋狕＝１２， 狓＋２狔＋５狕＝２２， 狓＝４狔． 这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在 一起，写成 烄狓＋狔＋狕＝１２， 烅狓＋２狔＋５狕＝２２， 烆狓＝４狔． 这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是１，并 且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 怎样解三元一次方程组呢？我们知道，二元一次方程组可以利用代入法或 加减法消去一个未知数，化成一元一次方程求解．那么，能不能用同样的思 路，用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数，把它化成二元一次 方程组呢？ 让我们看前面列出的三元一次方程组 烄狓＋狔＋狕＝１２， ① 烅狓＋２狔＋５狕＝２２， ② 烆狓＝４狔． ③ 仿照前面学过的代入法，我们可以把③分别代入①②，得到两个只含狔， 本节内容为选学内容． １０３ !"#$%&’()*+狕的方程： ４狔＋狔＋狕＝１２， ４狔＋２狔＋５狕＝２２． 它们组成方程组 烄５狔＋狕＝１２， 烅 烆６狔＋５狕＝２２． 得到二元一次方程组之后，就不难求出狔和狕，进而可求出狓． 从上面的分析可以看出，解三元一次方程组的基本思路是：通过 “代入” 或 “加减”进行消元，把 “三元”化为 “二元”，使解三元一次方程组转化为 解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程．这与解二元一次方程组的 思路是一样的．         例１ 解三元一次方程组 烄３狓＋４狕＝７， ① 烅２狓＋３狔＋狕＝９， ② 烆５狓－９狔＋７狕＝８． ③ 分析：方程①只含狓，狕，因此，可以由②③消去狔，得到一个只含狓，狕 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组． 解：②×３＋③，得 １１狓＋１０狕＝３５． ④ ①与④组成方程组 烄３狓＋４狕＝７， 烅 烆１１狓＋１０狕＝３５． 解这个方程组，得 烄狓＝５， 烅 烆狕＝－２． 把狓＝５，狕＝－２代入② ，得 ２×５＋３狔－２＝９， １ 所以 狔＝ ． ３ １０４ !"#$%&’()*+因此，这个三元一次方程组的解为 烄 狓＝５， 你还有其他解 １ 法吗？试一试，并 烅狔＝ ， ３ 与这种解法进行 烆狕＝－２． 比较． 例２ 在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝－１时，狔＝０；当狓＝２时， 狔＝３；当狓＝５时，狔＝６０．求犪，犫，犮的值． 分析：把犪，犫，犮看作三个未知数，分别把已知的狓，狔值代入原等式， 就可以得到一个三元一次方程组． 解：根据题意，得三元一次方程组 烄犪－犫＋犮＝０， ① 烅４犪＋２犫＋犮＝３， ② 烆２５犪＋５犫＋犮＝６０． ③ ②－①，得 犪＋犫＝１； ④ ③－①，得 ４犪＋犫＝１０． ⑤ ④与⑤组成二元一次方程组 烄犪＋犫＝１， 烅 烆４犪＋犫＝１０． 解这个方程组，得 烄犪＝３， 烅 烆犫＝－２． 烄犪＝３， 把 烅 代入①，得 烆犫＝－２ 犮＝－５． 因此 烄犪＝３， 烅犫＝－２， 烆犮＝－５， 即犪，犫，犮的值分别为３，－２，－５． １０５ !"#$%&’()*+１．解下列三元一次方程组： 烄狓－２狔＝－９， 烄３狓－狔＋狕＝４， （１）烅狔－狕＝３， （２）烅２狓＋３狔－狕＝１２， 烆２狕＋狓＝４７； 烆狓＋狔＋狕＝６． １ １ ２．甲、乙、丙三个数的和是３５，甲数的２倍比乙数大５，乙数的 等于丙数的 ． ３ ２ 求这三个数． 习题８．４  １．解下列三元一次方程组： 烄狔＝２狓－７， 烄４狓＋９狔＝１２， ３狔－２狕＝１， （１）烅５狓＋３狔＋２狕＝２， （２）烅 １９ 烆３狓－４狕＝４； ７狓＋５狕＝ ． 烆 ４ ２．解下列三元一次方程组： 烄４狓－９狕＝１７， 烄２狓＋４狔＋３狕＝９， （１）烅３狓＋狔＋１５狕＝１８， （２）烅３狓－２狔＋５狕＝１１， 烆狓＋２狔＋３狕＝２； 烆５狓－６狔＋７狕＝１３．  ３．一个三位数，个位、百位上的数的和等于十位上的数，百位上的数的７倍比个位、 十位上的数的和大２，且个位、十位、百位上的数的和是１４．求这个三位数． ４．解方程组 烄狓∶狔＝３∶２， 烅狔∶狕＝５∶４， 烆狓＋狔＋狕＝６６．   ３ ５．在等式狔＝犪狓２＋犫狓＋犮中，当狓＝１时，狔＝－２；当狓＝－１时，狔＝２０；当狓＝ ２ １ 与狓＝ 时，狔的值相等．求犪，犫，犮的值． ３ １０６ !"#$%&’()*+  一次方程组的古今表示及解法 我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收入古代数学著作 《九 章算术》中．《九章算术》的 “方程”章，有许多关于一次方程组的内容．这一章的第一 个问题译成现代汉语是这样的： 上等谷３束，中等谷２束，下等谷１束，可得粮食３９斗； 上等谷２束，中等谷３束，下等谷１束，可得粮食３４斗； 斗是过去的容积 上等谷１束，中等谷２束，下等谷３束，可得粮食２６斗． 计量单位． 求上、中、下三等谷每束各可得粮食几斗． 下面的算筹图代表了古代解决这个问题的方法，它是什么意思呢？    《九章算术》中的算筹图是竖排的．为看图方便，上图改为横 排，使三个横行表示三句话的含义． 不妨先用我们熟悉的数学符号来表述怎样解这个有３个未知数的问题． 设每束上等谷、中等谷、下等谷各可得粮食狓斗、狔斗、狕斗． 根据题意，得三元一次方程组 烄３狓＋２狔＋狕＝３９， ① 烅２狓＋３狔＋狕＝３４， ② （） 烆狓＋２狔＋３狕＝２６． ③ 通过消元，可以求出各未知数． 上图实际上就是用算筹列出的方程组（），它省略了各未知数，只用算筹表示出未知 １０７ !"#$%&’()*+数的系数与相应的常数项． 我国古代解方程组时，也用算筹做计算工具，具体解法是：在一个方程两边乘另一个 方程中某未知数的系数，然后再累减另一个方程．例如，解方程组（），在②的两边乘 ３，然后累减①两次消去狓（这与②×３－①×２的结果一样）；在③的两边乘３，然后减① 消去狓，从而得到二元一次方程组 烄５狔＋狕＝２４， 烅 烆４狔＋８狕＝３９． 再用上面的方法消去狔，求得狕． （ ） 用现代高等代数的符号可以将方程组（）的系数排成一个表 ３ ２ １ ３９ ２ ３ １ ３４． １ ２ ３ ２６ 这种由数排成的表叫做矩阵．容易看出，这个矩阵与上面的算筹图是一致的，只是用阿拉 伯数字替代了算筹．利用矩阵解一次方程组的方法，与前面说的算筹方法也是一致的．我 们祖先掌握上述解法，比起欧洲人来，要早一千多年．这是我国古代数学的一个光辉 成就． １０８ !"#$%&’()*+   

（１）在平面直角坐标系中，你能把二元一次方程狓－狔＝０的一个解用 一个点表示出来吗？标出一些以方程狓－狔＝０的解为坐标的点．过这些点 中的任意两点作直线，你有什么发现？在这条直线上任取一点，这个点的 坐标是方程狓－狔＝０的解吗？ 以方程狓－狔＝０的解为坐标的点的全体叫做方程狓－狔＝０的图象． 根据上面的探究想一想：方程狓－狔＝０的图象是什么． （２）一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都 是一条直线．根据这个结论，在同一平面直角坐标系中画出二元一次方 程组 烄２狓＋狔＝４， 烅 烆狓－狔＝－１ 中的两个二元一次方程的图象． 由这两个二元一次方程的图象，你能得出这个二元一次方程组的 解吗？ 

２０１０年的一项调查显示，全世界每天平均有１３０００人死于与吸烟有 关的疾病．我国吸烟者约３．５６亿人，占世界吸烟人数的四分之一．比较 一年中死于与吸烟有关的疾病的人数占吸烟者总数的百分比，我国比世界 其他国家约高０．１％． 根据上述资料，试用二元一次方程组解决以下问题： 我国及世界其他国家一年中死于与吸烟有关的疾病的人数分别是多少？ 从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编成 问题．看看能不能用二元一次方程组解决这些问题． １０９ !"#$%&’()*+小 结 一、本章知识结构图                     二、回顾与思考 本章我们通过实际问题引入了二元一次方程 （组），并学习了二元一次方 程组的解法———代入消元法和加减消元法．在此基础上，学习了简单的三元一 次方程组及其解法． 消元是解二 （三）元一次方程组的基本方法．通过消元，我们把 “三元” 转化为 “二元”，把 “二元”转化为 “一元”，这一过程体现了化归思想． 二 （三）元一次方程组是刻画实际问题的重要数学模型，在现实中具有广 泛的应用．用它解决实际问题时，要注意分析问题中的各种等量关系，引进适 当的未知量，建立相应的方程组． 请你带着下面问题，复习一下全章内容吧． １．举例说明怎样用代入法和加减法解二元一次方程组．“代入”与 “加减” 的目的是什么？ ２．比较解三元一次方程组与解二元一次方程组的联系与区别．你能说说 “消元”的思想方法在解三元一次方程组中的体现吗？ ３．用二元或三元一次方程组解决一个实际问题，你能说说用方程组解决实 际问题的基本思路吗？ １１０ !"#$%&’()*+复习题８  １．用代入法解下列方程组： 烄犪＝２犫＋３， 烄狓－狔＝１３， （１）烅 （２）烅 烆犪＝３犫＋２０； 烆狓＝６狔－７； 烄狓－狔＝４， 烄５狓－狔＝１１０， （３）烅 （４）烅 烆４狓＋２狔＝－１； 烆９狔－狓＝１１０． ２．用加减法解下列方程组： 烄３犿＋犫＝１１， 烄０．６狓－０．４狔＝１．１， （１）烅 （２）烅 烆－４犿－犫＝１１； 烆０．２狓－０．４狔＝２．３； 烄１ 狓＋３狔＝－６， 烄４犳＋犵＝１５， ２ （３）烅 （４）烅 烆３犵－４犳＝－３； １ 狓＋狔＝２． 烆２ ３．解下列方程组： 烄４（狓－狔－１）＝３（１－狔）－２， 烄２（狓－狔）狓＋狔 － ＝－１， （１）烅狓 狔 （２）烅 ３ ４ ＋ ＝２； 烆２ ３ 烆６（狓＋狔）－４（２狓－狔）＝１６． ４．解下列方程组： 烄３狓－狔＋狕＝３， 烄５狓－４狔＋４狕＝１３， （１）烅２狓＋狔－３狕＝１１， （２）烅２狓＋７狔－３狕＝１９， 烆狓＋狔＋狕＝１２； 烆３狓＋２狔－狕＝１８． ５．１号仓库与２号仓库共存粮４５０ｔ．现从１号仓库运出存粮的６０％，从２号仓库运 出存粮的４０％，结果２号仓库所余粮食比１号仓库所余粮食多３０ｔ．１号仓库与２ 号仓库原来各存粮多少吨？  ６．甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果 同时同地出发，反向而行，每隔２ｍｉｎ相遇一次；如 果同时同地出发，同向而行，每隔６ｍｉｎ相遇一次． 已知甲比乙跑得快，甲、乙二人每分各跑多少圈？ ７．用１块Ａ型钢板可制成２块Ｃ型钢板、１块Ｄ型钢 板；用１块Ｂ型钢板可制成１块Ｃ型钢板、２块Ｄ型 （第６题） １１１ !"#$%&’()*+ 书书书钢板．现需１５块Ｃ型钢板、１８块Ｄ型钢板，可恰好用Ａ型钢板、Ｂ型钢板各多 少块？ ８．（我国古代问题）有大小两种盛酒的桶，已知５个大桶加上１个小桶可以盛酒３斛 （斛，音犺ú，是古代的一种容量单位），１个大桶加上５个小桶可以盛酒２斛．１个 大桶、１个小桶分别可以盛酒多少斛？   ９．现有１角、５角、１元硬币各１０枚，从中取出１５枚，共值７元．１角、５角、１元 硬币各取多少枚？ １０．某电脑公司有Ａ型、Ｂ型、Ｃ型三种型号的电脑，其中Ａ型每台６０００元、Ｂ型 每台４０００元、Ｃ型每台２５００元．某中学现有资金１００５００元，计划全部用于从 这家电脑公司购进３６台两种型号的电脑．请你设计几种不同的购买方案供这个 学校选择，并说明理由． １１．甲地到乙地全程是３．３ｋｍ，一段上坡、一段平路、一段下坡．如果保持上坡每 小时走３ｋｍ，平路每小时走４ｋｍ，下坡每小时走５ｋｍ，那么从甲地到乙地需 ５１ｍｉｎ，从乙地到甲地需５３．４ｍｉｎ．从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程 各是多少？ １１２ !"#$%&’()*+第九章 不等式与不等式组 数量有大小之分，它们之间有相等关系，也 有不等关系．现实世界和日常生活中存在大量涉 及不等关系的问题．例如，当两家商场推出不同 的优惠方案时，到哪家商场购物花费少？这个问 题就蕴含了不等关系．对于这样的问题，我们常 常把要比较的对象数量化，分析其中的不等关系， 列出相应的数学式子———不等式 （组），并通过解 不等式 （组）而得出结论．这样的思路与利用方 程 （组）研究相等关系是类似的． 本章我们将从什么是不等式说起，类比等式 和方程，讨论不等式的性质，学习一元一次不等 式 （组）及其解法，并利用这些知识解决一些问 题，感受不等式在研究不等关系问题中的重要 作用．  50 0.95( x 5 0 ) 100 0.9 ( x 1 0 0 )９．１ 不等式 ９．１．１ 不等式及其解集 问题 一辆匀速行驶的汽车在１１：２０距离Ａ 地５０ｋｍ，要在１２：００之前驶过Ａ地，车速应满 足什么条件？ 分析：设车速是狓ｋｍ／ｈ． 从时间上看，汽车要在１２：００之前驶过Ａ地， ２ 则以这个速度行驶５０ｋｍ所用的时间不到 ｈ，即 ３ ５０ ２ ＜ ． ① 狓 ３ ２ 从路程上看，汽车要在１２：００之前驶过Ａ地，则以这个速度行驶 ｈ的 ３ 路程要超过５０ｋｍ，即 ２ 狓＞５０． ② ３ 式子①和②从不同角度表示了车速应满足的条件． 像①和②这样用符号 “＜”或 “＞”表示大小关系的式子，叫做不等式 （ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ）．像犪＋２≠犪－２这样用符号 “≠”表示不等关系的式子也是不等式． 有些不等式中不含未知数，例如３＜４，－１＞－２．有些不等式中含有未知 数，例如①和②式中字母狓表示未知数． 虽然①和②式表示了车速应满足的条件，但是我们希望更明确地得出狓应 ２ ２ 取哪些值．例如对不等式②，当狓＝８０时， 狓＞５０；当狓＝７８时， 狓＞５０；当 ３ ３ ２ ２ 狓＝７５时， 狓＝５０；当狓＝７２时， 狓＜５０．这就是说，当狓取某些值 （如８０， ３ ３ ２ ２ ７８）时，不等式 狓＞５０成立；当狓取某些值 （如７５，７２）时，不等式 狓＞５０ ３ ３ 不成立．与方程的解类似，我们把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． １１４ !,#$-./0-./+２ ２ 例如８０和７８是不等式 狓＞５０的解，而７５和７２不是不等式 狓＞５０的解． ３ ３  ２ 除了８０和７８，不等式 狓＞５０还有其他解吗？如果有，这些解应满 ３ 足什么条件？ ２ 可以发现，当狓＞７５时，不等式 狓＞５０总成立；而当狓＜７５或狓＝７５ ３ ２ 时，不等式 狓＞５０不成立．这就是说，任何一个大于７５的数都是不等式 ３ ２ 狓＞５０的解，这样的解有无数个；任何一个小于或等于７５的数都不是不等 ３ ２ ２ 式 狓＞５０的解．因此，狓＞７５表示了能使不等式 狓＞５０成立的狓的取值范 ３ ３ 围，它可以在数轴上表示 （图９．１１）． 在表示７５的点上 画空心圆圈，表示不包 含这一点． 0 75 图９．１１ 由上可知，在前面问题中，汽车要在１２：００ 之前驶过Ａ地，车速必须大于７５ｋｍ／ｈ． 由不等式①能 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的 得出这个结果吗？ 解，组成这个不等式的解集 （ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔ）．求不 等式的解集的过程叫做解不等式． １．用不等式表示： （１）犪是正数； （２）犪是负数； （３）犪与５的和小于７； （４）犪与２的差大于－１； （５）犪的４倍大于８； （６）犪的一半小于３． １１５ !"#$%&’(%&’) 书书书２．下列数中哪些是不等式狓＋３＞６的解？哪些不是？ －４，－２．５，０，１，２．５，３，３．２，４．８，８，１２． ３．直接说出下列不等式的解集： （１）狓＋３＞６； （２）２狓＜８； （３）狓－２＞０． ９．１．２ 不等式的性质 对于某些简单的不等式，我们可以直接得出它们的解集，例如不等式狓＋３＞６ 的解集是狓＞３，不等式２狓＜８的解集是狓＜４．但是对于比较复杂的不等式， ５狓＋１ 狓－５ 例如 －２＞ ，直接得出解集就比较困难．因此，还要讨论怎样解不 ６ ４ 等式．与解方程需要依据等式的性质一样，解不等式需要依据不等式的性质． 为此，我们先来看看不等式有什么性质． 我们知道，等式两边加或减同一个数 （或式子），乘或除以同一个数 （除 数不为０），结果仍相等．不等式是否也有类似的性质呢？  用 “＞”或 “＜”填空，并总结其中的规律： （１）５＞３，５＋２ ３＋２，５－２ ３－２； （２）－１＜３，－１＋２ ３＋２，－１－３ ３－３； （３）６＞２，６×５ ２×５，６×（－５） ２×（－５）； （４）－２＜３，（－２）×６ ３×６，（－２）×（－６） ３×（－６）． 根据发现的规律填空：当不等式两边加或减 同一个数 （正数或负数）时，不等号的方向 ．当不等式两边乘同一个正数时，不等 换一些其他的数， 验证这个发现． 号的方向 ；而乘同一个负数时，不等号 的方向 ． １１６ !,#$-./0-./+一般地，不等式有以下性质． 不等式的性质１ 不等式两边加 （或减）同一个数 （或式子），不等号的 方向不变． 如果犪＞犫，那么犪±犮＞犫±犮． 不等式的性质２ 不等式两边乘 （或除以）同一个正数，不等号的方向 不变． （ ） 犪 犫 如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮或 ＞ ． 犮 犮 不等式的性质３ 不等式两边乘 （或除以）同一个负数，不等号的方向 改变． （ ） 犪 犫 如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮或 ＜ ． 犮 犮 比较上面的性质２和性质３，指出它们有什么区别．再比较等式的性质和 不等式的性质，它们有什么异同？ 设犪＞犫，用 “＜”或 “＞”填空： （１）犪＋２ 犫＋２； （２）犪－３ 犫－３； 犪 犫 （３）－４犪 －４犫； （４） ． ２ ２ 例１ 利用不等式的性质解下列不等式： （１）狓－７＞２６； （２）３狓＜２狓＋１； ２ （３） 狓＞５０； （４）－４狓＞３． ３ 分析：解不等式，就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为狓＞犪或 狓＜犪（犪为常数）的形式． 解：（１）根据不等式的性质１，不等式两边加７，不等号的方向不变，所以 狓－７＋７＞２６＋７， 狓＞３３． １１７ !,#$-./0-./+（２）根据不等式的性质１，不等式两边减２狓，不等号的方向不变，所以 ３狓－２狓＜２狓＋１－２狓， 狓＜１． ３ （３）根据不等式的性质２，不等式两边乘 ，不等号的方向不变，所以 ２ ３ ２ ３ × 狓＞ ×５０， ２ ３ ２ 狓＞７５． （４）根据不等式的性质３，不等式两边除以－４，不等号的方向改变，所以 －４狓 ３ ＜ ， －４ －４ ３ 狓＜－ ． ４ 不等式的解集也可以在数轴上表示，如上例中不等式狓－７＞２６的解集在 数轴上的表示如图９．１２所示． 0 33 图９．１２ 不等式３狓＜２狓＋１的解集在数轴上的表示如图９．１３所示． 0 1 图９．１３ 请你在数轴上表示例１中其他两个不等式的解集． 像犪≥犫或犪≤犫这样的式子，也经常用来表 示两个数量的大小关系．例如，为了表示２０１１ 符号 “≥”与 年９月１日北京的最低气温是１９℃，最高气温 “＞”的意思有什 么区别？ “≤”与 是２８℃，我们可以用狋表示这天的气温，狋是随 “＜”呢？ 时间 变 化 的，但 是 它 有一定的变化范围，即 狋≥１９℃并且狋≤２８℃．符号 “≥”读作 “大于 或等于”，也可说是 “不小于”；符号 “≤”读作 “小于或等于”，也可说是 “不大于”．犪≥犫或 犪≤犫形式的式子，具有与前面所说的不等式的性 质类似的性质． １１８ !"#$%&’(%&’)例２ 某长方体形状的容器长５ｃｍ，宽３ｃｍ， 高１０ｃｍ．容器内原有水的高度为３ｃｍ，现准备 向它继续注水．用犞（单位：ｃｍ３ ）表示新注入水 的体积，写出犞的取值范围． 解：新注入水的体积犞与原有水的体积的和 m 不能超过容器的容积，即 c 0 1 m 犞＋３×５×３≤３×５×１０， 5cm 3 c 犞≤１０５． 又由于新注入水的体积犞不能是负数，因 此，犞的取值范围是 犞≥０并且犞≤１０５． 在表示０和１０５的 在数轴上表示犞的取值范围如图９．１４所示． 点上画实心圆点，表示 取值 范 围 包 含 这 两 0 105 个数． 图９．１４ １．用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： （１）狓＋５＞－１； （２）４狓＜３狓－５； １ ６ （３） 狓＜ ； （４）－８狓＞１０． ７ ７ ２．用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集： （１）狓的３倍大于或等于１； （２）狓与３的和不小于６； １ （３）狔与１的差不大于０； （４）狔的 小于或等于－２． ４ 习题９．１  １．下列数值中哪些是不等式２狓＋３＞９的解？哪些不是？ －４，－２，０，３，３．０１，４，６，１００． １１９ !,#$-./0-./+２．用不等式表示： （１）犪与５的和是正数； （２）犪与２的差是负数； （３）犫与１５的和小于２７； （４）犫与１２的差大于－５； （５）犮的４倍大于或等于８； （６）犮的一半小于或等于３； （７）犱与犲的和不小于０； （８）犱与犲的差不大于－２． ３．写出不等式的解集： （１）狓＋２＞６； （２）２狓＜１０； （３）狓－２＞０．１； （４）－３狓＜１０． ４．设犿＞狀，用 “＜”或 “＞”填空： （１）犿－５ 狀－５； （２）犿＋４ 狀＋４； １ １ （３）６犿 ６狀； （４）－ 犿 － 狀． ３ ３ ５．利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： （１）狓＋３＞－１； （２）６狓≤５狓－７； １ ２ （３）－ 狓＜ ； （４）４狓≥－１２． ３ ３  ６．设犪＞犫，用 “＜”或 “＞”填空： （１）２犪－５ ２犫－５； （２）－３．５犫＋１ －３．５犪＋１． ７．根据机器零件的设计图纸 （如图），用不等式表 示零件长度的合格尺寸 （犔的取值范围）． L 40 0.02 ８．一罐饮料净重约３００ｇ，罐上注有 “蛋白质含量 ≥０．６％”，其中蛋白质的含量为多少克？ （第７题）   ９．有一个两位数，如果把它的个位上的数犪和十位上的数犫对调，那么什么情况下 得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？ 什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？ １２０ !,#$-./0-./+  用求差法比较大小 制作某产品有两种用料方案，方案１用４块Ａ型钢板，８块Ｂ型钢板；方案２用３块 Ａ型钢板，９块Ｂ型钢板．Ａ型钢板的面积比Ｂ型钢板大．从省料角度考虑，应选哪种 方案？ 设Ａ型钢板和Ｂ型钢板的面积分别为狓和狔．于是，两种方案用料面积分别为 ４狓＋８狔和３狓＋９狔． 现在需要比较上面两个数量的大小． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断．如果两个数犪和犫比较大小，那么 当犪＞犫时，一定有犪－犫＞０； 当犪＝犫时，一定有犪－犫＝０； 当犪＜犫时，一定有犪－犫＜０． 反过来也对，即 当犪－犫＞０时，一定有犪＞犫； 当犪－犫＝０时，一定有犪＝犫； 当犪－犫＜０时，一定有犪＜犫． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对 象的大小． 用求差的方法，你能回答前面的用料问题吗？ １２１ !,#$-./0-./+９．２ 一元一次不等式 我们已经知道了什么是不等式以及不等式的性质．本节我们将学习一元一 次不等式及其解法，并用它解决一些实际问题．  观察下面的不等式： ２ 狓－７＞２６，３狓＜２狓＋１， 狓＞５０，－４狓＞３． ３ 它们有哪些共同特征？ 可以发现，上述每个不等式都只含有一个未知数，并且未知数的次数是１． 类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是１的不等式，叫做一 元一次不等式 （ｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ）． 从上节我们知道，不等式 狓－７＞２６ 的解集是 狓＞３３． 这个解集是通过 “不等式两边都加７，不等号的方向不变”而得到的，事 实上，这相当于由狓－７＞２６得狓＞２６＋７．这就是说，解不等式时也可以 “移 项”，即把不等式一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向． 一般地，利用不等式的性质，采取与解一元一次方程相类似的步骤，就可 以求出一元一次不等式的解集． 例１ 解下列不等式，并在数轴上表示解集： ２＋狓 ２狓－１ （１）２（１＋狓）＜３； （２） ≥ ． ２ ３ 解：（１）去括号，得 ２＋２狓＜３． 移项，得 １２２ !,#$-./0-./+２狓＜３－２． 合并同类项，得 ２狓＜１． 系数化为１，得 １ 狓＜ ． ２ 这个不等式的解集在数轴上的表示如图９．２１所示． 0 1 2 图９．２１ （２）去分母，得 ３（２＋狓）≥２（２狓－１）． 去括号，得 ６＋３狓≥４狓－２． 移项，得 ３狓－４狓≥－２－６． 合并同类项，得 要特别注意，当不 等式的两边都乘 （或除 －狓≥－８． 以）同一个负数时，不 系数化为１，得 等号的方向改变． 狓≤８． 这个不等式的解集在数轴上的表示如图９．２２所示． 0 8 图９．２２  解一元一次方程，要根据等式的性质，将方程逐步化为狓＝犪的形 式；而解一元一次不等式，则要根据不等式的性质，将不等式逐步化为 狓＜犪或狓＞犪的形式． １２３ !,#$-./0-./+１．解下列不等式，并在数轴上表示解集： （１）５狓＋１５＞４狓－１； （２）２（狓＋５）≤３（狓－５）； 狓－１ ２狓＋５ 狓＋１ ２狓－５ （３） ＜ ； （４） ≥ ＋１． ７ ３ ６ ４ ２．当狓或狔满足什么条件时，下列关系成立？ （１）２（狓＋１）大于或等于１； （２）４狓与７的和不小于６； （３）狔与１的差不大于２狔与３的差； （４）３狔与７的和的四分之一小于－２． 有些实际问题中存在不等关系，用不等式来表示这样的关系，就能把实际 问题转化为数学问题，从而通过解不等式得到实际问题的答案． 例２ 去年某市空气质量良好 （二级以上）的天数与全年天数 （３６５）之 比达到６０％，如果明年 （３６５天）这样的比值要超过７０％，那么明年空气质 量良好的天数比去年至少要增加多少？ 分析：“明年这样的比值要超过７０％”指出了这个问题中蕴含的不等关 明年空气质量良好的天数 系，转化为不等式，即 ＞７０％． 明年天数 解：设明年比去年空气质量良好的天数增加了狓． 去年有３６５×６０％天空气质量良好，明年有 （狓＋３６５×６０％）天空气质量 良好，并且 狓＋３６５×６０％ ＞７０％． ３６５ 去分母，得 狓＋２１９＞２５５．５． 移项，合并同类项，得 狓＞３６．５． 由狓应为正整数，得 狓≥３７． 答：明年空气质量良好的天数比去年至少要增加３７，才能使这一年空气 质量良好的天数超过全年天数的７０％． １２４ !,#$-./0-./+例３ 甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的 优惠方案：在甲商场累计购物超过１００元后，超出１００元的部分按９０％收费； 在乙商场累计购物超过５０元后，超出５０元的部分按９５％收费．顾客到哪家 商场购物花费少？ 分析：在甲商场购物超过１００元后享受优惠，在乙商场购物超过５０元后 享受优惠．因此，我们需要分三种情况讨论： （１）累计购物不超过５０元； （２）累计购物超过５０元而不超过１００元； （３）累计购物超过１００元． 解：（１）当累计购物不超过５０元时，在甲、乙两商场购物都不享受优惠， 且两商场以同样价格出售同样的商品，因此到两商场购物花费一样． （２）当累计购物超过５０元而不超过１００元时，享受乙商场的购物优惠， 不享受甲商场的购物优惠，因此到乙商场购物花费少． （３）当累计购物超过１００元时，设累计购物狓（狓＞１００）元． ① 若到甲商场购物花费少，则 ５０＋０．９５（狓－５０）＞１００＋０．９（狓－１００）． 解得 狓＞１５０． 这就是说，累计购物超过１５０元时，到甲商场购物花费少． ② 若到乙商场购物花费少，则 ５０＋０．９５（狓－５０）＜１００＋０．９（狓－１００）． 解得 狓＜１５０． 这就是说，累计购物超过１００元而不到１５０元时，到乙商场购物花费少． ③ 若５０＋０．９５（狓－５０）＝１００＋０．９（狓－１００），解得 狓＝１５０． 这就是说，累计购物为１５０元时，到甲、乙两商场购物花费一样． １．某工程队计划在１０天内修路６ｋｍ．施工前２天修完１．２ｋｍ后，计划发生变 化，准备至少提前２天完成修路任务，以后几天内平均每天至少要修路多少？ ２．某次知识竞赛共有２０道题，每一题答对得１０分，答错或不答都扣５分．小明 得分要超过９０分，他至少要答对多少道题？ １２５ !"#$%&’(%&’)习题９．２  １．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （１）３（２狓＋５）＞２（４狓＋３）； （２）１０－４（狓－４）≤２（狓－１）； 狓－３ ２狓－５ ２狓－１ ３狓－４ （３） ＜ ； （４） ≤ ； ２ ３ ３ ６ ５狓＋１ 狓－５ 狔＋１ ２狔－５ （５） －２＞ ； （６） － ≥１． ６ ４ ６ ４ ４犪＋１ ２．犪取什么值时，式子 表示下列数？ ６ （１）正数； （２）小于－２的数； （３）０． ３．根据下列条件求正整数狓： （１）狓＋２＜６； （２）２狓＋５＜１０； 狓－３ ２狓－５ ２＋狓 ２狓－１ （３） ≥ ； （４） ≥ －２． ２ ３ ２ ３ ４．总结解一元一次不等式的一般步骤，并与解一元一次方程进行比较．  ５．某商店以每辆２５０元的进价购入２００辆自行车，并以每辆２７５元的价格销售．两个 月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时至少已售出多少辆自行车？ ６．长跑比赛中，张华跑在前面，在离终点１００ｍ时他以４ｍ／ｓ的速度向终点冲刺，在 他身后１０ｍ的李明需以多快的速度同时开始冲刺，才能够在张华之前到达终点？ ７．某工厂前年有员工２８０人，去年经过结构改革减员４０人，全厂年利润增加１００万元， 人均创利至少增加６０００元，前年全厂年利润至少是多少？ ８．苹果的进价是每千克１．５元，销售中估计有５％的苹果正常损耗．商家把售价至 少定为多少，才能避免亏本？ ９．电脑公司销售一批计算机，第一个月以５５００元／台的价格售出６０台，第二个月 起降价，以５０００元／台的价格将这批计算机全部售出，销售总额超过５５万元． 这批计算机最少有多少台？   １ ３ １０．求不等式５狓－１＞３（狓＋１）与 狓－１＜７－ 狓的解集的公共部分． ２ ２ １２６ !,#$-./0-./+９．３ 一元一次不等式组 问题 用每分可抽３０ｔ水的抽水机来抽污水管道里积存的污水，估计积存 的污水超过１２００ｔ而不足１５００ｔ，那么将污水抽完所用时间的范围是什么？ 设用狓ｍｉｎ将污水抽完，则狓同时满足不等式 ３０狓＞１２００， ① ３０狓＜１５００． ② 类似于方程组，把这两个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组 （ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ），记作 烄３０狓＞１２００， 烅 烆３０狓＜１５００． 怎样确定不等式组中狓的可取值的范围呢？ 类比方程组的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组 中狓可以取值的范围． 由不等式①，解得 狓＞４０． 由不等式②，解得 狓＜５０． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图９．３１）． 0 40 50 利用数轴体会：狓 图９．３１ 可取值的范围是两个不 从图９．３１容易看出，狓取值的范围为 等式解集的公共部分． ４０＜狓＜５０． 这就是说，将污水抽完所用时间多于４０ｍｉｎ 而少于５０ｍｉｎ． １２７ !,#$-./0-./+一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的 解集．解不等式组就是求它的解集． 例１ 解下列不等式组： 烄２狓－１＞狓＋１， ① （１） 烅 烆狓＋８＜４狓－１； ② 烄２狓＋３≥狓＋１１， ① （２） 烅２狓＋５ －１＜２－狓． ② 烆 ３ 解：（１）解不等式①，得 狓＞２． 解不等式②，得 狓＞３． 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图９．３２）． 0 2 3 图９．３２ 从图９．３２可以找出两个不等式解集的公共部 分，得不等式组的解集 利用数轴可以确定 狓＞３． 不等式组的解集． （２）解不等式①，得 狓≥８． 解不等式②，得 ４ 狓＜ ． ５ 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来 （图９．３３）． 0 4 8 5 图９．３３ 从图９．３３可以看到这两个不等式的解集没有公共部分，不等式组无解． １２８ !,#$-./0-./+例２ 狓取哪些整数值时，不等式 ５狓＋２＞３（狓－１） 与 １ ３ 狓－１≤７－ 狓 ２ ２ 都成立？ 分析：求出这两个不等式组成的不等式组的解集，解集中的整数就是狓 可取的整数值． 解：解不等式组 烄５狓＋２＞３（狓－１）， 烅１ ３ 狓－１≤７－ 狓， 烆２ ２ 得 ５ － ＜狓≤４． ２ 所以狓可取的整数值是－２，－１，０，１，２，３，４．  解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这 些解集的公共部分．利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． １．解下列不等式组： 烄２狓＞１－狓， 烄狓－５＞１＋２狓， （１）烅 （２）烅 烆狓＋２＜４狓－１； 烆３狓＋２≤４狓； 烄２ 狓＋５＞１－狓， ３ （３）烅 ３ １ 狓－１≤ 狓－ ． 烆 ４ ８ ２．狓取哪些正整数值时，不等式狓＋３＞６与２狓－１＜１０都成立？ １２９ !,#$-./0-./+习题９．３  １．解下列不等式组： 烄狓－１＜３， 烄狓－１＞３， （１）烅 （２）烅 烆狓＋１＜３； 烆狓＋１＞３； 烄狓－１＜３， 烄狓－１＞３， （３）烅 （４）烅 烆狓＋１＞３； 烆狓＋１＜３． ２．解下列不等式组： 烄２狓－１＞０， 烄－３狓－１＞３， （１）烅 （２）烅 烆狓＋１≤３； 烆２狓＋１＞３； 烄狓－３（狓－２）≥４， 烄３（狓－１）＋１３＞５狓－２（５－狓）， （３）烅 （４）烅１＋２狓 烆５－（２狓＋１）＜３－６狓； ＞狓－１； 烆 ３ 烄１ 烄狓－３（狓－２）≥４， （狓＋４）＜２， ２ （５）烅２狓－１ 狓＋１ （６）烅 ＞ ； 狓＋２ 狓＋３ 烆 ５ ２ ＞ ． 烆 ２ ３  ３．狓取哪些整数值时，不等式 ４（狓－０．３）＜０．５狓＋５．８ 与 １ ３＋狓＞ 狓＋１ ２ 都成立？ ４．狓取哪些整数值时，２≤３狓－７＜８成立？   １ ３ ５．你能求三个不等式５狓－１＞３（狓＋１）， 狓－１＞３－ 狓，狓－１＜３狓＋１的解集的 ２ ２ 公共部分吗？ ６．把一些书分给几名同学，如果每人分３本，那么余８本；如果前面的每名同学分 ５本，那么最后一人就分不到３本．这些书有多少本？共有多少人？ １３０ !,#$-./0-./+   

统计资料表明，２００５年Ａ省的城市建成区面积 （简称建成区面积）为 １３１６．４ｋｍ２ ，城市建成区园林绿地面积 （简称绿地面积）为３７３．４８ｋｍ２ ， 城市建成区园林绿地率 （简称绿地率）为２８．３７％．２０１０年该省建成区面 积增加了３００ｋｍ２ 左右，绿地率超过了３５％． 根据上述资料，试用一元一次不等式解决以下问题： 这五年 （２００５～２０１０年），Ａ 省增加的绿地面积超过了多少平方 千米？ 从报刊、图书、网络等再搜集一些资料，分析其中的数量关系，编成 问题．看看能不能用一元一次不等式解决这些问题． 

 

小丽在４张同样的纸片上各写了一个正整数，从中随机抽取２张，并 将它们上面的数相加．重复这样做，每次所得的和都是５，６，７，８中的 一个数，并且这４个数都能取到．猜猜看，小丽在４张纸片上各写了什 么数． １３１ !,#$-./0-./+小 结 一、本章知识结构图                      二、回顾与思考 不等式 （组）是刻画不等关系的数学模型，它有广泛的应用．本章主要学习 不等式的基础知识以及一类最简单的不等式 （组）———一元一次不等式 （组）， 并运用它们解决一些数学问题和实际问题． 在学习不等式的性质和一元一次不等式 （组）的解法时，与等式的性质和 方程 （组）的解法进行类比，有益于对知识的理解与掌握． 与解方程是逐步将方程化为狓＝犪的形式类似，解不等式是逐步将不等式 化为狓＞犪或狓＜犪的形式，两者都运用了化归的思想． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．总结不等式的性质，并与等式的性质进行比较． ２．总结一元一次不等式的解法，并与一元一次方程的解法进行比较．结合 例子说明：解未知数为狓的不等式，就是将不等式逐步变成狓＞犪或狓＜犪的形 式，而不等式的性质是变形的重要依据． ３．如何解一元一次不等式组？结合例子说明：解不等式组就是求有关不等 式的解集的公共部分． ４．举例说明数轴在解不等式 （组）中的作用． ５．结合实例体会运用不等式解决实际问题的过程． １３２ !,#$-./0-./+复习题９  １．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： （１）３（２狓＋７）＞２３； （２）１２－４（３狓－１）≤２（２狓－１６）； 狓＋３ ２狓－５ ２狓－１ ３狓－１ ５ （３） ＜ －１； （４） － ≥ ． ５ ３ ３ ２ １２ ２．犪取什么值时，１５－７犪的值满足下列条件？ （１）大于１； （２）小于１； （３）等于１． ３．解下列不等式组： 烄２狓＋１＞－１， 烄－（狓－１）＞３， （１）烅 （２）烅 烆２狓＋１＜３； 烆２狓＋９＞３； 烄－３（狓－２）≥４－狓， 烄３（狓－１）＋１＞５狓－２（１－狓）， （３）烅 （４）烅１＋２狓 烆５－（２狓－１）＜－６狓； ＞狓－１． 烆 ３ 狓＋３ ４． 的值能否同时大于２狓＋３和１－狓的值？说明理由． ５ ５．赵军说不等式犪＞２犪永远不会成立，因为如果在这个不等式两边同除以犪，就会 出现１＞２这样的错误结论．他的说法对吗？ ６．解一元一次不等式组与解一元一次不等式有什么区别和联系？  ７．一艘轮船从某江上游的Ａ地匀速驶到下游的Ｂ地用了１０ｈ，从Ｂ地匀速返回Ａ 地用了不到１２ｈ，这段江水流速为３ｋｍ／ｈ，轮船在静水里的往返速度狏不变，狏 满足什么条件？ ８．老张与老李购买了相同数量的种兔，一年后，老张养兔数比买入种兔数增加了 ２只，老李养兔数比买入种兔数的２倍少１只，老张养兔数不超过老李养兔数的 ２ ．一年前老张至少买了多少只种兔？ ３   ９．三个连续正整数的和小于３３３，这样的正整数有多少组？写出其中最大的一组． １３３ !,#$-./0-./+第十章 数据的收集、整理 与描述 从报纸、杂志、电视、互联网等媒体上，我们 经常可以看到很多统计数据和统计图表．例如，从 ２０１２年到２０２１年，我国国内生产总值 （ＧＤＰ）从 ５４万亿元增长到１１４万亿元，２０２１年我国义务教育 的巩固率达９５．４％，某电视节目的收视率为９％，某 地年人均生活用水量为３６ｍ 等．这些数据可以帮助 ３ 人们了解周围世界的现状和变化规律，从而为人们制 定决策提供依据．你知道它们是怎样得到的吗？ 统计学 （ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ）能帮我们回答上述问题． 这一章我们将在小学所学统计知识 的基础上，学 习收集数据的一些基本方法，在此基础上进一步 学习如何整理数据，并用统计图表直观形象地描 述数据，从中发现数据蕴含的规律，获取我们需 要的信息． 节目类型 划记 人数 百分比 Ａ新闻 正 ６ ６％ Ｂ体育 正正正正 ２２ ２２％ Ｃ动画 正正正正正 ２９ ２９％ Ｄ娱乐 正正正正正正正 ３８ ３８％ Ｅ戏曲 正 ５ ５％ 合计 １００ １００％１０．１ 统计调查 问题１ 如果要了解全班同学对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视 节目的喜爱情况，你会怎么做？    为解决问题１，需要进行统计调查． 首先可以对全班同学采用问卷调查的方法收 集数据．为此要设计调查问卷． 调查问卷 如果想了解 年 月 男、女生喜爱节目 在下面五类电视节目中，你最喜爱的是 的差异，问卷中还 应该包含什么内容？ （ ）（单选） （Ａ）新闻． （Ｂ）体育． （Ｃ）动画． （Ｄ）娱乐． （Ｅ）戏曲． 填完后，请将问卷交给数学课代表． 利用调查问卷，可以收集到全班每位同学最喜爱的节目的编号 （字母）， 我们把它们称为数据．例如，某同学经调查，得到如下５０个数据： ＣＣＡＤＢＣＡＤＣＤ ＣＥＡＢＤＤＢＣＣＣ ＤＢＤＣＤＤＤＣＤＣ 用字母代替节目 ＥＢＢＤＤＣＣＥＢＤ 的类型，可方便统计． ＡＢＤＤＣＢＣＢＤＤ 从上面的数据中，你能看出全班同学喜爱各 类节目的情况吗？ １３５ !"#$%&’()* +,-./ 书书书杂乱无章的数据不利于我们发现其中的规律．为了更清楚地了解数据所蕴含 的规律，需要对数据进行整理．统计中经常用表格整理数据，对前面数据的整理如 表１０１所示． 表１０１ 全班同学最喜爱节目的人数统计表 节目类型 划记 人数 百分比 Ａ新闻 ■ ４ ８％ Ｂ体育 正正 １０ ２０％ Ｃ动画 正正正 １５ ３０％ Ｄ娱乐 正正正 １８ ３６％ Ｅ戏曲 ３ ６％ 合计 ５０ ５０ １００％ 此例中，用划记法记录数据时，“正”字的每一划 （笔画）代表一名同学． 例如，编号为Ａ的节目对应的人数是４，记为 “■”． 表１０１可以清楚地反映全班同学喜爱各类节目的情况．例如，最喜爱新 闻节目的同学有４名，占全班同学的８％；最喜爱体育节目的同学有１０名， 占全班同学的２０％；等等． 为了更直观地看出表１０１中的信息，还可以 用条形图和扇形图来描述数据 （图１０．１１）．  20 18 6% 8% 15 15 20%  10 10 36%  4 5 3  30% 0     （１） （２） 图１０．１１ 你能根据表１０１和图１０．１１说出全班同学喜 爱五类电视节目的情况吗？ 我们知道，扇形图用圆代表总体，每一个扇 圆心角越大，扇形 在圆中占的百分比就 形代表总体中的一部分，通过扇形的大小来反映 越大． 各个部分占总体的百分比．画扇形图１０．１１ （２） 时，首先按各类节目所占的百分比算出对应扇形 的圆心角度数．例如，“体育”和 “动画”对应扇   形的圆心角分别为３６０°×２０％＝７２°，３６０°×３０％＝ １３６ !1#$234567 890:;１０８°．然后在一个圆中，根据算得的各圆心角度数画出各个扇形，并注明各类 节目的名称及其相应的百分比． 在上面的调查中，我们利用调查问卷得到全班同学喜爱电视节目的数据， 利用表格整理数据，并用统计图进行直观形象的描述．通过分析表和图，了解 到了全班同学喜爱电视节目的情况．在这个调查中，全班同学是要考察的全体 对象，我们对全体对象都进行了调查．像这样考察全体对象的调查叫做全面调 查．例如，２０１０年我国进行的第六次人口普查，就是一次全面调查． １．小明为了解同学们的课余生活，设计了如下调查问题： 你平时最喜欢的一项课余活动是 （ ）． （Ａ）看课外书 （Ｂ）体育活动 （Ｃ）看电视 （Ｄ）踢足球 你认为此问题的答案选项设计合理吗？为什么？如果不合理，请修改． ２．经调查，某班学生上学所用的交通工具中，自行车占６０％，公交车占３０％，其 他占１０％，请画出扇形图描述以上统计数据． ３．请你举出一些生活中运用全面调查的例子． 问题２ 某校有２０００名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、 娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，怎样进行调查？ 可以用全面调查的方法对全校学生逐个进行调查，然后整理收集到的数 据，统计出全校学生对五类电视节目的喜爱情况．但是，由于学生比较多，全 面调查花费的时间长，消耗的人力、物力大．因此，需要寻找一种不作全面调 查就能了解全校学生喜爱各类电视节目的情况的方法，达到既省时省力又能解 决问题的目的．这就是我们要讨论的抽样调查． 抽样调查 （ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ）是这样一种方 法，它只抽取一部分对象进行调查，然后根据调 查数据推断全体对象的情况．在问题２中，我们 为了强调调查目 的，人们有时也把全 只抽取一部分学生进行调查，然后通过分析被调 校学生喜爱的电视节 查学生的数据来推断全校学生喜爱电视节目的情 目作为总体，每一个 况．全校学生是要考察的全体对象，称为总体， 学生喜爱的电视节目 组成总体的每一个学生称为个体，而被抽取调查 作为个体． 的那部分学生构成总体的一个样本． １３７ !1#$234567 890:;  那么，抽取多少名学生进行调查比较合适？ 被调查的学生又如何抽取呢？ 想了解一锅八宝 如果抽取调查的学生很少，样本就不容易具 粥里各种成分的比例， 有代表性，也就不能客观地反映总体的情况；如 只要搅拌均匀后，舀 果抽取调查的学生很多，虽然样本容易具有代表 一勺查看，就能对整 性，但花费的时间、精力也很多，达不到省时省 锅的情况估计个八九 力的目的．因此抽取调查的学生数目要适当．例 不离十．你能说说这 与抽取部分学生估计 如，这个问题中可以抽取１００名学生作为样本进 全校学生情况之间的 行调查．一个样本中包含的个体的数目称为样本 相似之处吗？ 容量，上述抽取的样本容量为１００． 为了使样本尽可能具有代表性，除了抽取调 查的学生数要合适外，抽取样本时，不能偏向某 你还能想出使 些学生，应使学校中的每一个学生都有相等的机 每个学生都有相等 机会被抽到的方 会被抽到．例如，上学时在学校门口随意调查 法吗？ １００名学生；在全校学生的注册学号中，随意抽 取１００个学号，调查这些学号对应的学生；等等． 下面是某同学抽取样本容量为１００的调查数据统计表． 表１０２ 抽样调查１００名学生最喜爱节目的人数统计表 节目类型 划记 人数 百分比 Ａ新闻 正■ ６ ６％ Ｂ体育 正正正正■ ２２ ２２％ Ｃ动画 正正正正正■ ２９ ２９％ Ｄ娱乐 正正正正正正正■ ３８ ３８％ Ｅ戏曲 正 ５ ５％ 合计 １００ １００％ １３８ !,#$-./012 34567从表１０２可以看出，样本中喜爱娱乐节目的学生最多，为３８％．据此可 以估计出，这个学校的学生中，喜爱娱乐节目的最多，约为３８％．类似地， 由上表可以估计这个学校喜爱其他节目的学生的百分比，如图１０．１２所示． 5%6% 22%  38%   29% 图１０．１２ 上面抽取样本的过程中，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，像 这样的抽样方法是一种简单随机抽样 （ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ）． 抽样调查是实际中经常采用的收集数据的方式．除了具有花费少、省时省 力的特点外，还适用于一些不宜用全面调查的情况，例如，检测某批次灯泡的 使用寿命、火柴的质量等具有破坏性的调查．需要注意的是，在抽样调查中， 如果抽取样本的方法得当，一般样本能客观地反映总体的情况，抽样调查的结 果会比较接近总体的情况，否则抽样调查的结果往往会偏离总体的情况．  全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式．全面调查收集到的数据 全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查．抽 样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关 系到对总体估计的准确程度． 请以小组为单位解决如下问题． 问题３ 比较你所在学校三个年级同学的平均体重： （１）制定调查方案，利用课余时间实施调查； （２）根据收集到的数据，分析出每个年级同学的平均体重，并用折线图表 示平均体重随年级增加的变化趋势； （３）每组安排一位代表向全班介绍本组完成上述问题的情况，并进行比较 和评议． １３９ !"#$%&’()* +,-./ 书书书１．为了解全校同学的平均身高，小明调查了座位在自己旁边的３名同学，把他们 身高的平均值作为全校同学平均身高的估计． （１）小明的调查是抽样调查吗？ （２）这个调查结果能较好地反映总体的情况吗？如果不能，请说明理由． ２．某班要选３名同学代表本班参加班级间的交流活动．现在按下面的办法抽取： 把全班同学的姓名分别写在没有明显差别的小纸片上，把纸片混放在一个盒子 里，充分搅拌后，随意抽取３张，按照纸片上所写的名字选取３名同学．你觉 得上面的抽取过程是简单随机抽样吗？为什么？ ３．以下调查中，哪些适宜全面调查，哪些适宜抽样调查？ （１）调查某批次汽车的抗撞击能力； （２）了解某班学生的身高情况； （３）调查春节联欢晚会的收视率； （４）选出某校短跑最快的学生参加全市比赛． ４．请你举出一些不宜用全面调查的例子，并说明理由． 习题１０．１  １．请对全班同学进行调查，并填写下表． 全班同学出生月份统计表 月份 划记 人数 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ １４０ !1#$234567 890:;续表 月份 划记 人数 ９ １０ １１ １２ 合计 ２．两名同学在作抽样调查时使用下面两种提问方式，你认为哪一种更好些？ （１）难道你不认为科幻片比纪录片更有意思吗？ （２）你更喜欢哪一类电影———科幻片还是纪录片？ ３．要调查下面几个问题，你认为应该作全面调查还是抽样调查？ （１）了解全班同学每周体育锻炼的时间． （２）调查市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准． （３）鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数． ４．根据下图中所标世界七大洲的面积 （单位：万ｋｍ２），画扇形图表示各大洲面积占 全球陆地面积的百分比，并用语言描述你获得的信息．       1000 2400  4400        3000  1800     900   1400 !,#$-./012 34567          （第４题） １４１５．我国体育健儿在最近八届奥运会上获得奖牌的情况如图所示．  120 100 100 80 88 88 60 70 63 59 40 54 50 20 0 25 26 27 28 29 30 31 32  （第５题） （１）最近八届奥运会上，我国体育健儿共获得多少枚奖牌？ （２）用条形图表示折线图中的信息．  ６．一家食品公司的市场调查员将本公司生产的一种新 点心免费送给３６人品尝，以调查这种点心的甜度是 Ａ太甜 否适中．调查结果如下： Ｂ稍甜 Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ适中 Ｄ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｄ Ｃ Ｅ Ｃ Ｄ稍淡 Ｅ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｅ Ｃ Ｂ Ｃ Ｅ太淡 Ｃ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 请用表格整理上面的数据，画出条形图，并推断甜点的甜度是否适中． ７．为了了解七年级同学对三种元旦活动方案的意见，校学生会对七年级全体同学进 行了一次调查 （每人至多赞成一种方案）．结果有１１５人赞成方案１，６２人赞成方 案２，４０人赞成方案３，８人弃权．请用扇形图描述这些数据，并对校学生会采用 哪种方案组织元旦活动提出建议． ８．随着对外开放程度的不断扩大，我国对外贸易迅速发展．下表是我国近几年的进 出口额数据．请选择适当统计图描述这两组数据，并对它们进行比较． 年份 ２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０ 出口额／亿元 １４３８８４１４１１６７１３８４１９１５３３０９１６４１２８１７２３７４１７９２７９ 进口额／亿元 １２０３５８１０４３３６１０４９６７１２４７９０１４０８８０１４３２５４１４２９３６ １４２ !,#$-./012 34567９．镇政府想了解李家庄的经济情况，用简单随机抽样的方法，在１３０户家庭中抽取 ２０户调查过去一年家庭人均收入 （单位：万元），结果如下： ３．３ ２．７ ２．４ ４．１ ３．４ １．６ １．６ ２．７ ２．１ １．５ １．９ ３．２ ２．３ ２．１ ２．６ ２．１ ２．０ １．８ ３．２ ２．８ 试估计李家庄家庭人均年收入以及村中家庭人均年收入超过３．０万元的百分比． １０．小明想了解光明小区的家庭教育费用支出情况，调查了自己学校家住光明小区 的３０名同学的家庭，并把这３０个家庭的教育费用的平均数作为光明小区家庭教 育费用的平均数的估计，你觉得合理吗？若不合理，请说明理由，并设计一个 抽样调查的方案．   １１．据统计，Ａ，Ｂ两省人口总数基本相同．某年Ａ省的城镇在校中学生人数为１５６ 万，农村在校中学生人数为７２万；Ｂ省的城镇在校中学生人数为８４万，农村在 校中学生人数为１０３万．李军同学根据数据画出下面两种复合条形统计图． 学生人数 学生人数 250(cid:0) 200(cid:0) 200(cid:0) 150(cid:0) 150(cid:0) 农村 农村 100(cid:0) 100(cid:0) 城镇 城镇 50(cid:0) 50(cid:0) 0(cid:0) 0(cid:0) A(cid:0)省 B(cid:0)省 省份 A(cid:0)省 B(cid:0)省 省份 （第１１题） （１）哪种图能更好地反映两省在校中学生总人数？ （２）哪种图能更好地比较Ａ （Ｂ）省城镇与农村在校中学生人数？ （３）说说这两种图的特点． １２．设计一份关于一周内丢弃塑料袋个数的调查问卷，并设计一个抽样调查方案， 对全校同学作抽样调查．估计全校同学的家庭一周内共丢弃的塑料袋个数，并 根据调查结果估计一个月的情况． １４３ !,#$-./012 34567   瓶子中有多少粒豆子 一个瓶子中装有一些豆子，你能用几种方法估计出这个瓶子中豆子的数目？请 同学们小组合作完成下面的活动： （１）从瓶子中取出一些豆子， （２）给这些豆子做上记号； 记录这些豆子的粒数犿； （３）把这些豆子放回瓶子中， （４）从瓶子中再取出一些豆子， 充分摇匀； 记录这些豆子的粒数狆和其中 带有记号的豆子的粒数狀； （５）利用得到的数据犿，狆，狀，估计原来瓶子中豆子的粒数狇，狇＝ ； （６）数出瓶子中豆子的总数，验证你的估计． 上面的试验利用了抽样调查的方法．类似的试验在生产和科研中经常用到．例如，我 们可以用这种方法估计一个养鱼池中鱼的数目． 首先从鱼池的不同地方捞出一些鱼，在这些鱼的身上做上记号，并记录捞出的鱼的数 目犿，然后把鱼放回鱼池．过一段时间后，在同样的地方再捞出一些鱼，记录这些鱼的数 狀 目狆，数出其中带有记号的鱼的数目狀，计算 ，并把它作为整个鱼池中带有记号的鱼在 狆 鱼的总数中所占的比值．这样就可以估计鱼池里鱼的数目狇，即 狆 狇≈ ×犿． 狀 １４４ !1#$234567 890:;１０．２ 直方图 我们学习了条形图、折线图、扇形图等描述数据的方法，下面介绍另一种 常用来描述数据的统计图———直方图． 问题 为了参加全校各年级之间的广播体操比赛，七年级准备从６３名同 学中挑选身高相差不多的４０名同学参加比赛．为此收集到这６３名同学的身高 （单位：ｃｍ）如下： １５８ １５８ １６０ １６８ １５９ １５９ １５１ １５８ １５９ １６８ １５８ １５４ １５８ １５４ １６９ １５８ １５８ １５８ １５９ １６７ １７０ １５３ １６０ １６０ １５９ １５９ １６０ １４９ １６３ １６３ １６２ １７２ １６１ １５３ １５６ １６２ １６２ １６３ １５７ １６２ １６２ １６１ １５７ １５７ １６４ １５５ １５６ １６５ １６６ １５６ １５４ １６６ １６４ １６５ １５６ １５７ １５３ １６５ １５９ １５７ １５５ １６４ １５６ 选择身高在哪个范围的同学参加呢？ 为了使选取的参赛选手身高比较整齐，需要知道数据 （身高）的分布情 况，即在哪些身高范围的同学比较多，而哪些身高范围的同学比较少．为此可 以通过对这些数据适当分组来进行整理． １．计算最大值与最小值的差 在上面的数据中，最小值是１４９，最大值是１７２，最大值与最小值的差是 ２３，说明身高的变化范围是２３． １４５ !1#$234567 890:;２．决定组距和组数 把所有数据分成若干组，每个小组的两个端点之间的距离 （组内数据的取 值范围）称为组距．根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同．本问题中 我们作等距分组，即令各组的组距相同．如果从最小值起每隔３作为一组，那 么由于 最大值－最小值 ２３ ２ ＝ ＝７ ， 组距 ３ ３ 所以要将数据分成８组：１４９≤狓＜１５２，１５２≤ 狓＜１５５，…，１７０≤狓＜１７３．这里组数和组距分 别为８和３． 组距和组数的确定没有固定的标准，要凭借经 验和所研究的具体问题来决定．将一批数据分组， 你能举出其他 一般数据越多分的组数也越多．当数据在１００个以 分组的例子吗？ 内时，按照数据的多少，常分成５～１２组． ３．列频数分布表 对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数 （叫做 频数 （ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ））．整理可得下面的频数分布表： 表１０３ 频数分布表 身高分组 划记 频数 １４９≤狓＜１５２ ■ ２ １５２≤狓＜１５５ 正■ ６ １５５≤狓＜１５８ 正正■ １２ １５８≤狓＜１６１ 正正正■ １９ １６１≤狓＜１６４ 正正 １０ １６４≤狓＜１６７ 正■ ８ １６７≤狓＜１７０ ■ ４ １７０≤狓＜１７３ ■ ２ 从表１０３中可以看出，身高在１５５≤狓＜１５８，１５８≤狓＜１６１，１６１≤狓＜ １６４三个组的人数最多，一共有１２＋１９＋１０＝４１ （人）． 因此可以从身高在１５５ｃｍ至１６４ｃｍ （不含１６４ｃｍ）的同学中挑选参加比 赛的同学． １４６ !1#$234567 890:; 上面对数据进行分组时，组距取３，把数据分成８组．如果组距取２ 或４，那么数据分成几个组？这样能否选出需要的４０名同学呢？ ４．画频数分布直方图 如图１０．２１，为了更直观形象地看出频数分布的情况，可以根据表１０３ 画出频数分布直方图 （ｈｉｓｔｏｇｒａｍ）． 频数/组距 7(cid:0) 6(cid:0) 5(cid:0) 4(cid:0) 3(cid:0) 2(cid:0) 1(cid:0) 0(cid:0) 149(cid:0)152(cid:0) 155(cid:0) 158(cid:0) 161(cid:0) 164(cid:0) 167(cid:0) 170(cid:0) 173(cid:0)身高/cm(cid:0) 图１０．２１ 在图１０．２１中，横轴表示身高，纵轴表示频数与组距的比值．容易看出， 频数 小长方形面积＝组距× ＝频数． 组距 可见，频数分布直方图是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数 的大小，小长方形的高是频数与组距的比值． 等距分组时，各小长方形的面积 （频数）与高的比是常数 （组距）．因此， 画等距分组的频数分布直方图时，为画图与看图方便，通常直接用小长方形的 高表示频数．例如，图１０．２１表示的等距分组问题通常用图１０．２２的形式 表示． ! ! 20 15 10 5 0 149 152 155 158 161 164 167 170 173  cm 图１０．２２ １４７ !1#$234567 890:;例 为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了１００根麦 穗，量得它们的长度如下表 （单位：ｃｍ）： ６．５ ６．４ ６．７ ５．８ ５．９ ５．９ ５．２ ４．０ ５．４ ４．６ ５．８ ５．５ ６．０ ６．５ ５．１ ６．５ ５．３ ５．９ ５．５ ５．８ ６．２ ５．４ ５．０ ５．０ ６．８ ６．０ ５．０ ５．７ ６．０ ５．５ ６．８ ６．０ ６．３ ５．５ ５．０ ６．３ ５．２ ６．０ ７．０ ６．４ ６．４ ５．８ ５．９ ５．７ ６．８ ６．６ ６．０ ６．４ ５．７ ７．４ ６．０ ５．４ ６．５ ６．０ ６．８ ５．８ ６．３ ６．０ ６．３ ５．６ ５．３ ６．４ ５．７ ６．７ ６．２ ５．６ ６．０ ６．７ ６．７ ６．０ ５．５ ６．２ ６．１ ５．３ ６．２ ６．８ ６．６ ４．７ ５．７ ５．７ ５．８ ５．３ ７．０ ６．０ ６．０ ５．９ ５．４ ６．０ ５．２ ６．０ ６．３ ５．７ ６．８ ６．１ ４．５ ５．６ ６．３ ６．０ ５．８ ６．３ 列出样本的频数分布表，画出频数分布直方图． 解：（１）计算最大值与最小值的差． 在样本数据中，最大值是７．４，最小值是４．０，它们的差是 ７．４－４．０＝３．４． （２）决定组距与组数． 在本例中，最大值与最小值的差是３．４．如果取组距为０．３，那么由于 ３．４ １ ＝１１ ， ０．３ ３ 可分成１２组，组数适合．于是取组距为０．３，组数为１２． （３）列频数分布表． 表１０４ 分组 划记 频数 ４．０≤狓＜４．３ ■ １ ４．３≤狓＜４．６ ■ １ ４．６≤狓＜４．９ ■ ２ ４．９≤狓＜５．２ 正 ５ ５．２≤狓＜５．５ 正正■ １１ ５．５≤狓＜５．８ 正正正 １５ ５．８≤狓＜６．１ 正正正正正■ ２８ ６．１≤狓＜６．４ 正正■ １３ ６．４≤狓＜６．７ 正正■ １１ ６．７≤狓＜７．０ 正正 １０ ７．０≤狓＜７．３ ■ ２ ７．３≤狓＜７．６ ■ １ 合计 １００ １４８ !1#$234567 890:;（４）画频数分布直方图． 30 25 20 15 10 5 0 4.0 4.3 4.6 4.9 5.2 5.5 5.8 6.1 6.4 6.7 7.0 7.3 7.6  cm 图１０．２３ 从表１０４和图１０．２３看到，麦穗长度大部分落在５．２ｃｍ至７．０ｃｍ之 间，其他范围较少．长度在５．８≤狓＜６．１范围内的麦穗根数最多，有２８根， 而长度在４．０≤狓＜４．３，４．３≤狓＜４．６，４．６≤狓＜４．９，７．０≤狓＜７．３， ７．３≤狓＜７．６范围内的麦穗根数很少，总共只有７根． 下面数据是截至２０２２年费尔兹奖得主获奖时的年龄： ２９ ３９ ３５ ３３ ３９ ２８ ３３ ３５ ３１ ３１ ３７ ３２ ３８ ３６ ３１ ３９ ３２ ３８ ３７ ３４ ２９ ３４ ３８ ３２ ３５ ３６ ３３ ２９ ３２ ３５ ３６ ３７ ３９ ３８ ４０ ３８ ３７ ３９ ３８ ３４ ３３ ４０ ３６ ３６ ３７ ４０ ３１ ３８ ３８ ４０ ４０ ３７ ３５ ４０ ３９ ３７ ３０ ４０ ３４ ３６ ３６ ３９ ３５ ３７ 费尔兹奖是国际上享有崇 请根据下面不同的分组方法列出频数分布表，画出 高声誉的一个数学奖项， 频数分布直方图，比较哪一种分组能更好地说明费 每４年评选一次，主要授 尔兹奖得主获奖时的年龄分布： 予年轻的数学家．美籍华 （１）组距是２，各组是２８≤狓＜３０，３０≤狓＜３２，…； 人丘成桐 （１９４９年出生） １９８２年获费尔兹奖． （２）组距是５，各组是２５≤狓＜３０，３０≤狓＜３５，…； （３）组距是１０，各组是２０≤狓＜３０，３０≤狓＜４０，…． １４９ !,#$-./012 34567习题１０．２  １．江涛同学统计了他家１０月份的长途电话明细清单，按通话时间画出直方图 （如图）． （１）他家这个月一共打了多少次长途电话？ （２）通话时间不足１０ｍｉｎ的多少次？ （３）哪个时间范围的通话最多？哪个时间范围的通话最少？ ! ! 30 25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25  min （第１题） ２．从蔬菜大棚中收集到５０株西红柿秧上小西红柿的个数： ２８ ６２ ５４ ２９ ３２ ４７ ６８ ２７ ５５ ４３ ３６ ７９ ４６ ５４ ２５ ８２ １６ ３９ ３２ ６４ ６１ ５９ ６７ ５６ ４５ ７４ ４９ ３６ ３９ ５２ ８５ ６５ ４８ ５８ ５９ ６４ ９１ ６７ ５４ ５７ ６８ ５４ ７１ ２６ ５９ ４７ ５８ ５２ ５２ ７０ 请按组距为１０将数据分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，分析数据分 布的情况．  ３．体育委员统计了全班同学６０秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 ６０≤狓＜８０ ８０≤狓＜１００１００≤狓＜１２０１２０≤狓＜１４０１４０≤狓＜１６０１６０≤狓＜１８０１８０≤狓＜２００ 频数 ２ ４ ２１ １３ ８ ４ １ （１）全班有多少学生？ （２）组距是多少？组数是多少？ （３）跳绳次数狓在１００≤狓＜１４０范围的学生有多少？占全班学生的百分之几？ （４）画出适当的统计图表示上面的信息． （５）你怎样评价这个班的跳绳成绩？ １５０ !1#$234567 890:;４．一个面粉批发商统计了前４８个星期的销售量 （单位：ｔ）： ２４．４ １９．１ ２２．７ ２０．４ ２１．０ ２１．６ ２２．８ ２０．９ ２１．８ １８．６ ２４．３ ２０．５ １９．７ ２３．５ ２１．６ １９．８ ２０．３ ２２．４ ２０．２ ２２．３ ２１．９ ２２．３ ２１．４ １９．２ ２３．５ ２０．５ ２２．１ ２２．７ ２３．２ ２１．７ ２１．１ ２３．１ ２３．４ ２３．３ ２１．０ ２４．１ １８．５ ２１．５ ２４．４ ２２．６ ２１．０ ２０．０ ２０．７ ２１．５ １９．８ １９．１ １９．１ ２２．４ 请将数据适当分组，列出频数分布表，画出频数分布直方图，并分析这个面粉批 发商每星期进面粉多少吨比较合适．   ５．下面是２０２０年全国一些省 （自治区、直辖市）的城市园林绿地面积 （单位： ｈｍ２）． 北京 ９３６８３ 上海 １６４６１１ 湖北 １０５７５２ 云南 ５１３３８ 天津 ４３７０４ 江苏 ３０５８１６ 湖南 ８０９６４ 西藏 ６２９０ 河北 ９８７８６ 浙江 １７９３５０ 广东 ５２５５４５ 陕西 ６５８９４ 山西 ５６６２５ 安徽 １１９５３３ 广西 ７４７１９ 甘肃 ３０２５３ 内蒙古 ６８５４１ 福建 ７５２８３ 海南 １７６５２ 青海 ８４４３ 辽宁 １４７９０６ 江西 ７７１４９ 重庆 ７０６８０ 宁夏 ２６９３４ 吉林 ９２５７１ 山东 ２６２９６８ 四川 １３０５１４ 新疆 ８１２８０ 黑龙江 ７１５２６ 河南 １２２１１０ 贵州 ５６８２５ 根据上面提供的数据，分析２０２０年这些地区的城市园林绿地面积的分布情况．   利用计算机画统计图 在计算机上画统计图不但快捷方便，而且画出的统计图标准、美观．我们可以用电子 表格画统计图．下面以画扇形图１０．１１（２）为例，简单介绍一下操作过程． １．打开电子表格 （如Ｅｘｃｅｌ）软件，按列 （或行）输入数据并选中它们 （图１）． ２．利用软件图表功能，打开 “图表向导”窗口 （图２）． １５１ !,#$-./012 34567图１ 图２ ３．在 “标准类型”的 “图表类型”中选择 “饼图”（扇形图），点击 “下一步”，出现 窗口 （图３）． 图３ 图４ ４．选择 “列”，点击 “下一步”，出现窗口 （图４）． ５．在 “数据标志”的 “数据标签包括”中选择 “百分比 （Ｐ）”，并点击完成，就可以 作出扇形图． 利用电子表格不仅能够画扇形图，还可以画出其他类型的统计图．请利用电子表格画 出条形图１０．１１（１）和直方图１０．２２． 注：不同软件的不同版本的具体操作可能不同． １５２ !"#$%&’()* +,-./ 书书书１０．３ 课题学习 从数据谈节水 阅读下面资料． 地球上的水包括大气水、地表水和地下水三大类．地表水可分为海洋水和陆 地水．陆地水又可分为冰川、河流、湖泊等．地球上水的总体积是１４．２亿ｋｍ３． 其中，海洋水约占９６．５３％以上，淡水约占２．５３％．而在淡水中，大部分在两 极的冰川、冰盖和以地下水的形式存在，其中冰川、冰盖占７７．２％，地下水 占２２．４％，而人类可以利用的水还不到１％． 目前，由于世界人口增长、水污染以及水资源浪费等原因，使全世界面临 着淡水资源不足的问题．世界各国特别是发展中国家水资源紧缺问题越来越严 重．发展中国家疾病死亡事件中８０％与缺水和水资源污染有关． 我国是世界上严重缺水的国家之一． 中国年水资源总量约为２．７５×１０４ 亿ｍ３ ， 居世界第六位，人均占有水量仅为 １ ２４００ｍ３ 左右，只相当于世界人均的 ， ４ 居世界第１１０位．中国已被联合国列为 １３个贫水国家之一． 随着水利事业的发展，我国的水利 建设工程取得了突飞猛进的发展．但由 于经济的进一步发展和人们生活用水量 的日益增长，水资源供应和需求出现了日益尖锐的矛盾．缺水状况在全国范围 内普遍存在．以城市供水为例，全国大约６７０个城市中，一半以上不同程度缺 水，其中严重缺水的有１１０多个．２０世纪８０年代以来，我国北方许多大中城 市因缺水致使居民定量供水，电厂、工厂停产或限产． 我国一方面存在水资源供不应求的情况，另一方面水资源得不到合理利 用．例如，２０１９年，全国农业用水量约为３６８２亿 ｍ３ ，占全国总用水量的 ６１．２％，但在灌溉农田时，有６５％左右的水消耗于蒸发渗透；全国生活用水 量逐年上升，如下页表所示，这除了与人口增长有关，生活中浪费水的现象也 不容忽视． １５３ !,#$-./012 34567２０１２—２０１９年全国生活用水量 年份 ２０１２ ２０１３ ２０１４ ２０１５ ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ 用水量／亿ｍ３ ７４０ ７５０ ７６７ ７９４ ８２２ ８３８ ８６０ ８７２ 水资源的短缺已成为制约社会和经济发展的重要因素．合理利用水资源是 人类可持续发展的当务之急．而节约用水是水资源合理利用的关键所在，是最 快捷、最有效、最可行的维护水资源可持续利用的途径之一．我们每个人都应 该有节约用水的意识，积极参与节水行动，这是实现水资源合理利用的前提和 保证． 一、根据阅读材料，完成下列问题． １．请给短文配上合适的统计图形，直观地表示地球上水资源和淡水资源 的分布情况． ２．由表 “２０１２—２０１９年全国生活用水量”可知，全国生活用水量逐年上 升．若在平面直角坐标系中描出表中各对值所对应的点，其中横坐标表示年份， 纵坐标表示年用水量 （图１０．３１），可以发现，这些散点近似落在某条直线上． m3 900 880 860 840 820 800 780 760 740 0 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019  图１０．３１ （１）如果用靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的这种发展趋势，你能 试着在图１０．３１上作出这条直线吗？ （２）根据所作直线，估计２０２０年和２０２１年的全国生活用水量，并和自己 查阅的这两年实际的用水量进行比较．你的估计准确吗？为什么？ 二、进行统计调查，完成统计报告． 请以小组为单位，以 “家庭人均月生活用水量”为题，在全校范围内开展 １５４ !,#$-./012 34567一次统计调查活动，并完成一篇调查报告． １．给出调查目的，调查对象，调查问卷，调查方法． ２．用表格整理收集到的数据，用直方图描述数据，并分析数据中蕴含的 信息． ３．计算或估计全校同学家庭人均月生活用水量的平均数，并与全国人均 月生活用水量比较． ４．结合我国水资源短缺的形势，谈谈节约用水的意义，以及节约用水如 何从我做起． １５５ !,#$-./012 34567   

 

小组合作完成下列活动： 根据本班人数准备相同数量的小纸片， 这些小纸片没有明显差别． １．调查并记录全班每个同学的身高，分 别写在不同小纸片上，算出全班同学的平均 身高，然后把所有的小纸片放在一个纸盒里． ２．充分搅拌盒中的纸片，随意抽取出１５ 张纸片作为一个样本，计算纸片上数字的平 均值，将抽取的纸片放回纸盒． ３．比较样本平均身高和全班平均身高，谈谈你对这个结果的看法． ４．重复上述步骤２若干次，把每次求得的样本平均身高和全班平均 身高作比较，你有什么发现？ 



准备一把带刻度的直尺，和一位同学合 作来测量反应速度． 第一步：伸出一只手，拇指和其余四指 分开； 第二步：让同伴把直尺直立，刻度０在 下方，拿到你的拇指和四指之间，使刻度０ 的位置与拇指在同一高度，然后松手，你要 以最快的速度抓住直尺； 第三步：记录手抓在直尺上的刻度犾（单位：ｃｍ）； 第四步：重复试验１０次，记录并整理试验所得数据． 在１０次试验中，所得犾的最大值和最小值各是多少？犾的平均值是多 少？犾的值与反应速度有什么关系？与你的同伴对调，并重复上面的过程， 看谁的反应速度快． １５６ !,#$-./012 34567小 结 一、本章知识结构图 数据处理的一般过程：                  二、回顾与思考 为了更好地了解周围世界，根据现有信息作合理推断和预测，我们经常需 要有目的地收集一些数据． 本章我们学习了两种收集数据的方法———全面调查和抽样调查．全面调查 要考察全体调查对象，而抽样调查只考察部分调查对象．因为抽样调查是根据 样本来推断总体，所以在设计抽样方案时，要注意样本对总体的代表性．简单 随机抽样是一种基本且实用的抽样方法，它要求总体中的每一个体有相等的机 会被抽到．除了抽样方法要合理外，为了使样本能比较客观地反映总体，还要 考虑样本容量的大小． 利用统计图表等整理和描述数据，有利于我们发现和探索数据中蕴含的规 律，获取数据中的信息．不同的统计图从不同侧面描述了数据的特点，因此， 选用合适的统计图描述数据，对发现和探索数据的特点和规律是很重要的． 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． １．什么是全面调查和抽样调查？它们各有什么优缺点？ ２．哪些情况下宜用全面调查？哪些情况下宜用抽样调查？ ３．为什么抽样调查可以作为了解总体的方法？为了使样本对总体有较好的 代表性，抽样时需要注意什么？ ４．简单随机抽样有什么特点？用简单随机抽样抽出的样本是否一定具有代 表性？请举例说明． ５．条形图、扇形图、折线图和直方图在表示数据方面各有什么特点？ １５７ !1#$234567 890:;条形图 扇形图 能够显示每组中的具体数据 能够显示部分在总体中所占的百分比 折线图 直方图 能够显示数据的变化趋势 能够显示数据的分布情况 复习题１０  １．要调查下列问题，你觉得应采用全面调查还是抽样调查？说说理由． （１）检测某城市的空气质量； （２）了解全国中学生的视力和用眼卫生情况； （３）企业招聘，对应聘人员进行面试； （４）调查某池塘中现有鱼的数量． ２．请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性． （１）了解全校同学喜欢课程情况，对某班男同学进行调查； （２）了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查； （３）了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查． ３．校医院调查在校七年级学生的体重，对七年级３０名男生进行了调查，平均体重为 ４８ｋｇ，你觉得这个可以作为七年级学生平均体重的估计吗？为什么？ ４．为更好地开展体育运动，增强学生体质，学校准备在运动会前购买一批运动鞋， 供学生借用．七 （２）班为配合学校工作，从全校各个年级共随机抽查了３８名同 学的鞋号，具体数据如下： １５８ !1#$234567 890:;３５ ３７ ３６ ３５ ３７ ３６ ３７ ３８ ３６ ３７ ３７ ３５ ３５ ３４ ３４ ３５ ３５ ３６ ３７ ３６ ３８ ３９ ３７ ３５ ３６ ３５ ３６ ３７ ３３ ３４ ４０ ３６ ３５ ３４ ３５ ３６ ３７ ３６ 整理上面的数据，看看穿不同鞋号的同学各有多少，他们各占调查总人数的百分 之几．请你对学校购鞋提出建议． ５．某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为２∶７∶３， 如图所示的扇形图表示上述分布情况． 甲 丙 （１）如果来自甲地区的为１８０人，求这个学校学生的 总数； 乙 （２）求各个扇形的圆心角的度数． （第５题） ６．下面是某年参加国际教育评估的１５个国家学生的数学平 均成绩 （狓）的统计图． （１）哪一个图能更好地说明一半以上国家的学生成绩在６０≤狓＜７０之间？ （２）哪一个图能更好地说明学生成绩在７０≤狓＜８０的国家多于在５０≤狓＜６０的国家？ ! ! 10 6.7% 8 6 26.7% 13.3% 40
x!50 50
x!60 4 60
x!70 2 53.3% 70
x!80 0 40 50 60 70 80  （第６题）  ７．对 “您觉得该不该在公共场所禁烟”作民意调查，下面是三名同学设计的调查 方案： 同学Ａ：我把要调查的问题放到访问量很大的网站上，这样大部分上网的人就可 以看到调查的问题，并很快就可以反馈给我． 同学Ｂ：我给我们小区的居民每一住户发一份问卷，一两天也就可以得到结果了． 同学Ｃ：我只要在班级上调查一下同学就可以了，马上就可以得到结果． 上面三名同学能获得比较准确的民意吗？为什么？ １５９ !1#$234567 890:;８．下表给出了我国２０１５—２０２０年国内生产总值 （ＧＤＰ）． 年 份 ２０１５ ２０１６ ２０１７ ２０１８ ２０１９ ２０２０ ＧＤＰ／亿元 ６８８８５８ ７４６３９５ ８３２０３６ ９１９２８１ ９８６５１５ １０１３５６７ （１）请选择合适的统计图描述表中的数据，并分析这几年国内生产总值的变化 趋势． （２）根据这种趋势，请估计我国２０２１年的国内生产总值，并与这一年实际的 ＧＤＰ进行比较．你的估计准确吗？为什么？ ９．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，下表是通过 简单随机抽样调查获得的５０个家庭去年的月均用水量 （单位：ｔ）． ４．７ ２．０ ３．１ ２．３ ５．２ ２．８ ７．３ ４．３ ４．８ ６．７ ４．５ ５．１ ６．５ ８．９ ２．０ ４．５ ３．２ ３．２ ４．５ ３．５ ３．５ ３．５ ３．６ ４．９ ３．７ ３．８ ５．６ ５．５ ５．９ ６．２ ５．７ ３．９ ４．０ ４．０ ７．０ ３．７ ８．３ ４．２ ６．４ ３．５ ４．５ ４．５ ４．６ ５．４ ５．６ ６．６ ５．８ ４．５ ６．２ ７．５ （１）请选择合适的组距和组数，列出样本频数分布表，画出频数分布直方图．从 直方图中你能得到什么信息？ （２）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按１．５ 倍价格收费．若要使６０％的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量 应该定为多少？为什么？ １０．下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况． 
32 30 28 26 24 22 20 18 0:00 2:00 4:00 6:00 8:00 10:00 12:00 14:00 16:00 18:00 20:00 22:00 24:00  （第１０题） （１）这一天的最高气温是多少？什么时候达到最高气温？ （２）这一天的最低气温是多少？什么时候达到最低气温？ （３）估计这一天７时、１１时、１５时和１９时的气温． １６０ !,#$-./012 34567１１．在同一条件下，对同一型号的３０辆汽车进行耗油１Ｌ所行驶的路程的试验，结 果如下 （单位：ｋｍ）： １４．１ １２．３ １３．７ １４．０ １２．８ １２．９ １３．１ １３．６ １４．４ １３．８ １３．８ １２．６ １３．２ １３．３ １４．２ １３．９ １２．７ １３．０ １３．２ １３．５ １３．６ １３．４ １３．６ １２．１ １２．５ １３．１ １３．５ １３．２ １３．４ １２．６ 请统计分析汽车的耗油情况． １２．请你设计一个抽样调查的方案，了解自己所在学校有多少初中生帮父母做过 家务．   １３．高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生 活，……给我们带来种种好处．请你设计一个调查方案，了解你所在学校同学 课余阅读的情况，并比较男、女生在阅读爱好和阅读量上是否有差异． １６１ !1#$234567 890:;部分中英文词汇索引 中文 英文 页码 邻补角 ａｄｊａｃｅｎｔａｎｇｌｅｓｏｎａｓｔｒａｉｇｈｔｌｉｎｅ ２ 对顶角 ｏｐｐｏｓｉｔｅａｎｇｌｅｓ ２ 垂直 ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ３ 垂线 ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｌｉｎｅ ３ 垂足 ｆｏｏｔｏｆａｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒ ３ 同位角 ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇａｎｇｌｅｓ ６ 内错角 ａｌｔｅｒｎａｔｅｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓ ６ 同旁内角 ｉｎｔｅｒｉｏｒａｎｇｌｅｓｏｎｔｈｅｓａｍｅｓｉｄｅ ６ 平行 ｐａｒａｌｌｅｌ １１ 命题 ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ ２０ 定理 ｔｈｅｏｒｅｍ ２１ 证明 ｐｒｏｏｆ ２１ 平移 ｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ ２９ 算术平方根 ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ ４０ 被开方数 ｒａｄｉｃａｎｄ ４０ 平方根 ｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ ４５ 开平方 ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｓｑｕａｒｅｒｏｏｔ ４５ 立方根 ｃｕｂｅｒｏｏｔ ４９ 开立方 ｅｘｔｒａｃｔｉｏｎｏｆｃｕｂｅｒｏｏｔ ４９ 根指数 ｒａｄｉｃａｌｅｘｐｏｎｅｎｔ ５０ 无理数 ｉｒｒａｔｉｏｎａｌｎｕｍｂｅｒ ５３ 实数 ｒｅａｌｎｕｍｂｅｒ ５３ 有序数对 ｏｒｄｅｒｅｄｐａｉｒ ６５ 平面直角坐标系 ｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｃｏｏｒｄｉｎａｔｅｓｙｓｔｅｍ ６６ 狓轴 狓ａｘｉｓ ６６ １６２ <=>?@ABCD狔轴 狔ａｘｉｓ ６６ 坐标 ｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ ６６ 象限 ｑｕａｄｒａｎｔ ６７ 二元一次方程 ｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ ８８ 二元一次方程组 ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｅｑｕａｔｉｏｎｓｉｎｔｗｏｕｎｋｎｏｗｎｓ ８８ 代入法 ｓｕｂｓｔｉｔｕｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ９１ 加减法 ａｄｄｉｔｉｏｎｓｕｂｔｒａｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ ９４ 不等式 ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ １１４ 解集 ｓｏｌｕｔｉｏｎｓｅｔ １１５ 一元一次不等式 ｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｙｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ １２２ 一元一次不等式组 ｓｙｓｔｅｍｏｆｌｉｎｅａｒｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓｉｎｏｎｅｕｎｋｎｏｗｎ １２７ 统计学 ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ １３４ 抽样调查 ｓａｍｐｌｉｎｇｓｕｒｖｅｙ １３７ 简单随机抽样 ｓｉｍｐｌｅｒａｎｄｏｍｓａｍｐｌｉｎｇ １３９ 频数 ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ １４６ 直方图 ｈｉｓｔｏｇｒａｍ １４７ １６３ <=>?@ABCD后 记 本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发 中心依据教育部《义务教育数学课程标准（2011年版）》编写的，2012年经国 家基础教育课程教材专家工作委员会审核通过。 本册教科书集中反映了基础教育教科书研究与实验的成果，凝聚了参与课 改实验的教育专家、学科专家、教研人员以及一线教师的集体智慧。我们感谢 所有对教科书的编写、出版提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。 本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、 画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感 谢！但仍有部分作者未能取得联系，恳请入选作品的作者与我们联系，以便支 付稿酬。 本册教科书投入使用后，我们根据各方意见作了修订，真诚希望广大师生 和家长继续提出宝贵意见！ 联系方式 电 话：010-58758322 电子邮箱：jcfk@pep.com.cn 人民教育出版社 课程教材研究所 中学数学课程教材研究开发中心 2022年12月® YIWU JIAOYU JIAOKESHU SHUXUE 义 务 七年级 教 全国优秀教材二等奖 育 教 科 义务教育教科书 下册 书 数学 七年级 下册 数 数学 学 七 年 级 下 册 绿绿色色印印刷刷产产品品 定价：10.45 元 数数学学封封面面七七年年级级下下加加教教材材建建设设奖奖 11 22002211//1111//1166 0099::5544