文档内容
人教版七上数学全册电子教案
正数和负数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会判断一个数是正数还是负数；2.能用正、负数表示生活中具有相反意
义的量.
(二)过程与方法：经历从现实生活中的实例引入负数的过程，体会引入负数的必要性与合理
性.
(三)情感态度与价值观：感知到数学知识来源于生活并为生活服务.
二、教学重点、难点
重点：会判断正数、负数，运用正负数表示具有相反意义的量.
难点：负数的引入.
三、教学过程
创设情境
数的产生和发展离不开生活和生产的需要.
由记数、排序，产生数1、2、3，…
由表示“没有”“空位”，产生数0.
由分物、测量，产生分数 ， ，…
正数和负数
本章引言中，表示温度、产量增长率、收支情况时，既要用到数3，1.8%，3.5等，还要用到
数-3，-2.7%，-4.5，-1.2等，它们实际意义分别是：零下3摄氏度，减少2.7%，支出4.5元，亏
空1.2元.
3，1.8%，3.5等的实际意义吗？
像3，1.8%，3.5这样大于0的数叫做正数. 像-3，-2.7%，-4.5，-1.2这样在正数前加上
符号“-”(负)的数叫做负数.有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”(正)号.例
如，+3，+2，+0.5，+ ，…就是3，2，0.5， ，…. 一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.
0既不是正数，也不是负数.
中国古代用算筹(表示数的工具)进行计算，红色算筹表示正数， 黑
色算筹表示负数.
例 (1)一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变
1化，写出他们这个月的体重增长值；
(2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是：
美国减少6.4%， 德国增长1.3%， 法国减少2.4%，
英国减少3.5%， 意大利增长0.2%， 中国增长7.5%.
写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率.
解：(1)这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
(2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是：
美国 -6.4%， 德国 1.3%， 法国 -2.4%，
英国 -3.5%， 意大利 0.2%， 中国 7.5%.
“负”与“正”相对. 增长-1，就是减少1；增长-6.4%，是什么意思？
什么情况下增长率是0？
1.增长-6.4%，就是减少6.4%；2.这一年商品进出口总额与上一年相同时，增长率是0.
归纳
如果一个问题中出现相反意义的量，我们可以用正数和负数分别表示它们.
练习
1.2010年我国全年平均降水量比上年增加108.7mm，2009年比上年减少
81.5mm，2008年比上年增加53.5mm. 用正数和负数表示这三年我国全
年平均降水量比上年的增长量.
解：这三年我国全年平均降水量比上年的增长量分别是：
2010年 108.7mm，2009年 -81.5mm，2008年 53.5mm.
2.如果把一个物体向右移动1m记作移动+1m，那么这个物体又移动了-1m是什么意思？如
何描述这时物体的位置？
解：这个物体又移动了-1m表示物体又向左移动1m；此时物体回到原来的位置.
零的意义
把0以外的数分为正数和负数，它们表示具有相反意义的量. 随着对正数、负数意义认
识的加深，正数和负数在实践中得到了广泛应用. 在地形图上表示某地的高度时，需要以海
平面为基准(规定海平面的海拔高度为0m)，通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，
用负数表示低于海平面的某地的海拔高度. 例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为8848.86m，吐
鲁番盆地的海拔高度为-155m. 记账时，通常用正数表示收入款额，用负数表示支出款额.
0是正数与负数的分界. 0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的平均高度. 0的
意义已不仅是表示“没有”.
思考
2上面的正数和负数的含义是什么？你能再举一些用正数、负数表示数量的实际例子吗？
练习
1.读下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数.
-1，2.5，+ ，0，-3.14，120，-1.732，- .
2.如果80m表示向东走80m，那么-60m表示____________.
3.如果水位升高3m时水位变化记作+3m，那么水位下降3m时水位变化记作____m，水位不
升不降时水位变化记作____m.
4.月球表面的白天平均温度零上126℃，记作_____℃，夜间平均温度零下150℃，记作
______℃.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要.
数学与我们的生活密不可分；经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新
知识来解决实际问题. 这样教学更能激发学生学习数学的兴趣；提升学生的能力；促进学生
的发展. 使每个学生在数学上都能得到不同程度的收获.
3有理数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能说出有理数的意义；2.能把给出的有理数按要求分类，知道数0在有
理数分类中的作用.
(二)过程与方法：经历按照不同标准对有理数分类的过程，培养归纳概括的数学思想方法.
(三)情感态度与价值观：通过有理数的分类，得到对称美的享受.
二、教学重点、难点
重点：有理数包括哪些数.
难点：有理数的分类.
三、教学过程
创设情境(2004年雅典奥运会)
在男子110米栏决赛中，中国选手刘翔以12.91秒的成绩夺得金牌，这个成绩打破了
12.96秒的奥运会纪录，平了世界纪录，实现了中国男子田径金牌0的突破.
在女子柔道52公斤级的冠军争夺战中，中国选手冼东妹仅用1.1分钟，就为中国柔道队
夺得首枚金牌.
女力士唐功红在女子+75公斤级举重比赛中，不负众望，以抓举122.5公斤，挺举182.5
公斤，总成绩305公斤夺得第18枚金牌，与获银牌的韩国选手相比，她的抓举重量-7.5公斤，
挺举重量+10公斤.
这些数你熟悉吗？你会对它们进行分类吗？
思考
回想一下，我们认识了哪些数？
正整数，如1，2，3，…；
零，0；
负整数，如-1，-2，-3，…；
正分数，如 ， ， ，0.1，5.32，…；
负分数，如-0.5，- ，- ，- ，-150.25，….
所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合.
0.1，5.23，-0.5，-150.25等为什么被列为分数？
因为这里的小数可化为分数，所以我们也把它们看成分数.
0.1= ，5.23= ，-0.5=- ，-150.25=-
整数和分数统称为有理数(rational number)
rational number原意为可写成两个整数的比的数. 例如，分数 是2与3的比；整数5可以
4看作分母为1的分数 . 1.5可以看作哪两个整数的比？
从小学开始，我们首先认识了正整数，后来又增加了0和正分数，在认识了负整数和负
分数后，对数的认识就扩充到了有理数范围.
选用适当的方法将下列各数进行分类：
110，52， ，+10，1.1， ，-203，18，-7.5， ，305，0，+75，122.5，12.96， ，2004，-8，
182.5， ，12.91， .
圈中的“…”表示填入的数只是集合的一部分.
丹丹在分类时，发现了新的分类方法，她认为：带“+”的数分为一类，带“-”的数分为
一类，数的前面没有符号的作为一类. 你认为她的分类方法对吗？为什么？若不对，你发现
什么新的分类方法吗？
带“+”的数：+10，+75，…
带“-”的数： ，-203，-7.5， ，-8， ， …
没有符号的数：110，52，1.1， ，18，305，0，122.5，12.96， ，2004，82.5，12.91，…
5练习
1.所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下面的有理数填入它属于的集合的圈
内：
15， ，-5， ， ，0.1，-5.32，-80，123，2.333.
2.指出下列各数中的正数、负数、整数、分数：
-15，+6，-2，-0.9，1， ，0， ，0.63，-4.95.
解：正数集合：{+6，1， ， ，0.63，…}
负数集合：{-15，-2，-0.9，-4.95，…}
整数集合：{-15，+6，-2，1，0，…}
分数集合：{-0.9， ， ，0.63，-4.95，…}
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是有理数分类的教学，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习
活动，亲自体验知识的形成过程. 避免教师直接分类带来学习的枯燥性. 要有意识地突出
“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是
无遗漏、无重复的.
6数轴
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过与温度计的类比，了解数轴的概念，会画数轴；2.知道如何在数轴上
表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有
唯一的点与之对应.
(二)过程与方法：1.从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念；2.通过数轴概念的学习，初
步体会对应的思想、数形结合的思想方法；3.会利用数轴解决有关问题.
(三)情感态度与价值观：通过对数轴的学习，体会到数形结合的思想方法，进而初步认识事
物之间的联系性.
二、教学重点、难点
重点：1.数轴的概念；2.能将已知数在 数轴上表示出来，说出数轴上已知点所表示的数.
难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念.
三、教学过程
创设情境
你会读温度计吗？
比2℃低9℃的温度是____℃，比-5℃高11℃的温度是____℃.
温度计上每个刻度值都对应一个温度，那么，我们能不能像温度计表示温度这样把所有
的有理数用一个图形表示出来呢？如果能，这个图形该怎么画？
问题 在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处分别有一棵柳树
和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一颗槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.
规定1个单位长度(线段OA的长)代表1m长.
思考
怎样用数简明地表示这些树、电线杆与汽车站的相对位置关系(方向、距离)？
在一条直线上取一个点O为基准点，用0表示它，再用负数表示点O左边的点，用正数表
示点O右边的点. 这样，我们就用负数、0、正数表示出了这条直线上的点.
7此时，-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8m处的电线杆.
你能说说图中其他数的实际意义吗？
一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”. 通常用一条直线上的点表示数，
这条直线叫做数轴，它满足以下要求：
(1)在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；(0是正数和负数的分界点；原点是数轴
的“基准点”.)
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
(3)选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示
1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，….
数轴定义的三层含义
第一层含义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；
第二层含义是说数轴有三要素(原点、正方向、单位长度)，三者缺一不可；
第三层含义是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规
定”的.
分数或小数也可以用数轴上的点表示，例如从原点向右 6.5个单位长度的点表示小数
6.5，从原点向左 个单位长度的点表示分数 .
任意一个有理数，都可以在数轴上找到一个点来表示.
(1)写出上面数轴上点A，B，C所表示的数.A:_____，B:_____，C:_____.
(2)在上面数轴上分别找出表示 ，-3，0， 的点.
归纳
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的____边，与原点距离是____个
单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点距离是____个单位长度.
用数轴上的点表示数对数学的发展起了重要作用，以它作基础，可以借助图直观地表示
很多与数相关的问题.
练习
81.如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数：
解：点A表示0，点B表示-2，点C表示1，点D表示2.5，点E表示-3.
2.画出数轴并表示下列有理数：
1.5，-2，2，-2.5， ， ，0.
解：
3.数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个___数；如果表示数b的点在原点
的右边，那么b是一个___数.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
数轴是数形转化、结合的重要桥梁，教学时的创设问题情境，激发学生的学习热情，发现
生活中的数学. 让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程，加深
对数轴概念的理解，同时培养学生的抽象和概括能力，学习过程中也体现出了从感性认识到
理性认识，再到抽象概括的认识规律.
9相反数
一、教学目标
(一)知识与技能：1.借助数轴理解相反数的意义；2.懂得数轴上表示相反数的两个点关于原
点对称；3.会求任意有理数的相反数.
(二)过程与方法：通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力.
(三)情感态度与价值观：通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养归纳能力.
二、教学重点、难点
重点：负数的相反数的表示方法.
难点：归纳相反数在数轴上表示的点的特征.
三、教学过程
创设情境
有理数王国的公民“1”，有一天不小心掉进了一个魔瓶里. 谁知出来后竟变成胖乎乎
的“0”，你说怪不怪？冷眼旁观的“2”说:“谁叫这瓶里睡着他的相反数兄弟呢？幸好我
兄弟不在里面！”同学们，你想知道“1”的相反数兄弟是谁吗？为什么他俩见面后就变成
“0”呢？就让我们一起走进神奇的相反数的世界吧!
动手操作——体验数学活动充满探索
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
+3，-4， ，-5.5，-3，5.5， ，+4
认真观察，在数轴上，+4与-4所表示的点有什么相同与不同之处，像这样关系的两个数你还
能找出多少对？
相同之处：它们在数轴上的位置到原点的距离相等.
不同之处：+4的点在原点的右边，-4的点在原点的左边.
探究
数轴上与原点的距离是2的点有___个，这些点表示的数是______；与原点的距离是5的点有
___个，这些点表示的数是______.
设a是一个正数，数轴上与原点的距离等于a的点有几个？这些点表示的数有什么关系？
归纳
一般地，设a是一个正数，数轴上与原点距离是a的点有两个，它们分别在原点左右，表
示-a和a. 我们说这两点关于原点对称.
10像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 这就是说，2的相反数
是-2，-2的相反数是2；5的相反数是-5，-5的相反数是5.
一般地，a和-a互为相反数. 特别地，0的相反数是0.这里，a表示任意一个数，可以是
正数、负数，也可以是0.
当a=2.5时，-a=-2.5，2.5的相反数是-2.5；同时，-2.5的相反数是2.5.
数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？(关于原点对称)
思考
设a表示一个数，-a一定是负数吗？
不一定，如果a是一个负数，那么-a就是一个正数。
容易看出，在正数前面添上“-”号，就得到这个正数的相反数. 在任意一个数前面添
上“-”号，新的数就是表示原数的相反数. 例如，-(+5)=___，-(-5)=___，-0=___.
+5的相反数是-5，-5的相反数是5，0的相反数是0.
你能借助数轴说明-(-5)=+5吗？
-5和+5关于原点对称，它们互为相反数.
练习
1.判断下列说法是否正确：
(1)-3是相反数；( ) (2)+3是相反数；( )
(3)3是-3的相反数；( ) (4)-3与+3互为相反数.( )
2.写出下列各数的相反数：
6，-8，-3.9， ， ，100，0.
解：相反数依次是-6，8，3.9， ， ，-100，0.
3.如果a=-a，那么表示a的点在数轴上的什么位置？______.
4.化简下列各数：
-(-68)=____，-(+7.5)=______，-(- )=___，-(+3.8)=_____.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
从具体的场景出发，利用数轴引导学生感受相反数的意义. 通过教师的层层设问，充分
展示学生的思维过程，让学生学会“理性”思考，从而归纳出互为相反数的意义. 让学生意
识到数学“源于生活，又高于生活”；在认识相反数的意义的过程中，通过数形结合，将数学
文化灵活应用于教学中，旨在让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性.
11绝对值
一、教学目标
(一)知识与技能：1.使学生掌握有理数的绝对值概念及表示方法；2.能熟练运用法则结合数
轴比较有理数的大小，特别是应用绝对值概念比较两个负数的大小，能利用数轴对多个有理
数进行有序排列；3.能正确运用符号“＜”“＞”“因为”“所以”写出表示推理过程中
简单的因果关系.
(二)过程与方法：1.在绝对值概念形成的过程中，渗透数形结合等思想方法，并注意培养学
生的概括能力；2.能根据一个数的绝对值表示“距离”，初步理解绝对值的概念；3.经历由
实际问题总结归纳出应用绝对值概念比较有理数大小， 特别是比较两个负数的大小的过程，
渗透数形结合思想.
(三)情感态度与价值观：通过学生自己动手操作，观察、思考，使学 生亲身体验探索的乐趣，
培养学生合作交流能力和观察、归纳、用 数学语言表达数学规律的能力；同时培养学生逻辑
思维能力和推理论证能力.
二、教学重点、难点
重点：给出一个数会求它的绝对值；运用法则借助数轴比较两个有理数的大小.
难点：绝对值的几何意义，代数定义的导出；负数的绝对值是它的相反数；利用绝对值概念比
较两个负分数的大小.
三、教学过程
创设情境
(1)在数轴上表示出这一情景.
(2)它们所要跑的路线相同吗？
解：路线不同.
(3)它们所要跑的路程(线段OA、OB的长度)一样吗？
解：路程一样，到原点的距离相等(不管方向)，OA=OB.
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 例如，图中A，
B两点分别表示-3和3，它们与原点距离都是3个单位长度，所以-3和3的绝对值都是3，即
|-3|=3，|3|=3. 显然|0|=0.
这里的数a可以是正数、负数和0.
例1 求下列各数的绝对值：
-21，12， ， ，0，-7.8.
解：|-21|=21，|12|=12，| |= ，| |= ，|0|=0，|-7.8|=7.8.
归纳
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 即
(1)如果 a＞0，那么|a|=___；(2)如果 a=0，那么|a|=___；(3)如果 a＜0，那么|a|=___.
例2 求下列各数的绝对值：
12(1) 4，-4； (2) 0.8，-0.8； (3) ， .
解: (1) |4|=4，|-4|=4 (2) |0.8|=0.8，|-0.8|=0.8 (3) | |= ，| |=
互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？(相 等)
思考
如图，给出了未来一周中每天的最高气温
和最低气温，其中最低气温是____℃，最高气
温是____℃. 你能将这七天中每天的最低温度
按从低到高的顺序排列吗？
-4，-3，-2，-1，0，1，2
按照这个顺序排列的温度，在温度计上所
对应的点是从下到上的. 按照这个顺序把这些
数表示在数轴上，表示它们的各点的顺序是从
左到右的.
数学中规定：在数轴上表示有理数，它从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的
数小于右边的数.
由这个规定可知，-6＜-5，-5＜-4，-4＜-3，-2＜0，-1＜1，….
思考
对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？
前面最低气温由低到高的排列与你的结论一致吗？
一般地，(1) 正数大于0，0大于负数，正数大于负数；(2) 两个负数，绝对值大的反而小.
例如：1____0，0____-1，1____-1，-1____-2.
例3 比较下列各对数的大小：
(1) -(-1)和-(+2)；(2) 和 ；(3) -(-0.3)和| |.
解：(1)先化简，-(-1)=1，-(+2)=-2
因为正数大于负数，所以1＞-2，即 -(-1)＞-(+2)
(2)这是两个负数比较大小，先求它们的绝对值.
| |= ，| |= =
因为 ＜ ，即 | |＜| |，所以 ＞
(3)先化简，-(-0.3)=0.3，| |=
0.3＜ ，即-(-0.3)＜
异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值.
练习
比较下列各对数的大小：
13(1) 3和-5 (2) -3和-5 (3) -2.5和-|-2.25| (4) 和
解：(1) 3＞-5
(2) 因为|-3|＜|-5|，所以-3＞-5
(3) 先化简，-|-2.25|=-2.25
因为|-2.5|＞|-2.25|，所以 -2.5＜-|-2.25|
(4) | |= = ，| |= =
因为 ＞ ，所以 ＞
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
绝对值这个名词既陌生，又是一个不易理解的数学术语，是本章的重点内容，同时也是
一个难点内容. 教材从几何的角度给出绝对值的概念，也就是从数轴上表示数的点的位置
出发，得出定义的.在数学教学过程中，要千方百计教给学生探索方法、使学生了解知识的形
成过程，并掌握更多的数学思想、方法；教学过程中做到形数兼备、数形结合. 本课中，我们
有意识地突出“分类讨论”、“因为，所以”这些数学思想方法，以期使学生对此有一个初
步的认识与了解.
14有理数的加法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生理解有理数加法的意义，掌握有理数加法法则，并能准确地进行有
理数的加法运算.
(二)过程与方法：通过有理数加法的教学，体现化归的意识、数形结合和分类的思想方法，培
养学生观察、比较和概括的思维能力.
(三)情感态度与价值观：在传授知识、培养能力的同时，注意培养学生勇于探索的精神.
二、教学重点、难点
重点：有理数的加法法则的理解和运用.
难点：异号两数相加的法则.
三、教学过程
引言导入
在小学，我们学过正数及0的加法运算. 引入负数后，怎样进行加法运算呢？
实际问题中，有时也会遇到与负数有关的加法运算. 例如，在本章引言中，把收入记作
正数，支出记作负数，在求“结余”时，需要计算8.5+(-4.5)，4+(-5.2)等.
思考
小学学过的加法是正数与正数相加、正数与0相加. 引入负数后，加法有哪几种情况？
正数 + 正数 正数 + 0 负数 + 负数 负数 + 正数 负数 + 0
探究方法
某赛季，凯旋足球队第一场比赛赢了1个球，第二场比赛输了1个球，该队这两场比赛的
净胜球数是多少？
我们可以把赢一个球记为＋1，输一个球记为－1，此时该队的净胜球数为：
(＋1)＋(－1)＝0
思考
如果该队第一场比赛输了1个球，第二场比赛赢了1个球，那么该队这两场比赛的净胜
球数是多少？
(－1)＋(＋1)＝0
如果我们用1个 表示+1，用1个 表示-1，那么 就表示0. 同样， 也表示0.
(1)计算 5＋3 即(＋5)＋(＋3)
因此 5＋3＝8
我们也可以利用数轴来表示加法运算过程. 以原点为起点，规定向东的方向为正方向，向西
的方向为负方向.
15因此 5＋3＝8
(2)计算 (－5)＋(－3)
因此 (－5)＋(－3)＝－8
归纳
从算式5＋3＝8、(－5)＋(－3)＝－8可以看出：符号相同的两个数相加，结果的符号不变，
绝对值相加.
(+5)+(+13)=____ 8+5=____ (+7)+4=____
(-4)+(-1)=____ (-12)+(-5)=____ (-3)+(-13)=____
(3)计算 (－3)＋5
因此 (－3)＋5＝2
(4)计算 3＋(－5)
因此 3＋(－5)＝－2
归纳
从算式(－3)＋5＝2、3＋(－5)＝－2可以看出：符号相反的两个数相加，结果的符号与绝对
值较大的加数的符号相同，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
(-9)+(+13)=____ 5+(-8)=____ (-7)+2=____
(+4)+(-1)=____ 12+(-5)=____ 3+(-13)=____
(5)计算 5＋(－5)
16因此 5＋(－5)＝0
互为相反数的两个数相加，结果为0.
思考
一个数同0相加，结果如何？仍得这个数
5＋0＝____，(－5)＋0＝____.
归纳
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小
的绝对值. 互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数.
例1 计算：
(1) (-3)+(-9) (2) (-4.7)+3.9 (先定符号，再算绝对值.)
解：(1) (-3)+(-9)=-(3+9)=-12
(2) (-4.7)+3.9=-(4.7-3.9)=-0.8
练习
1.用算式表示下面的结果：
(1)温度由-4℃上升7℃；__________________
(2)收入7元，又支出5元.__________________
2.口算：
①(-4)+(-6)=_____ ②4+(-6)=_____ ③(-4)+6=_____ ④(-4)+4=_____
⑤(-4)+14=_____ ⑥(-14)+4=_____ ⑦6+(-6)=_____ ⑧0+(-6)=_____
3.计算：
(1)15+(-22) (2)(-13)+(-8) (3)(-0.9)+1.5 (4) +( )
解：(1)原式=-(22-15) =-7 (2)原式=-(13+8) =-21
(3)原式=+(1.5-0.9) =0.6 (4)原式=-( - )=-( - )=
4.请你用生活实例解释5+(-3)=2，(-5)+(-3)=-8的意义.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本课时利用情境教学、解决问题等方法进行教学，使学生在情境中提出问题，并寻找解
决问题的途径，因此不知不觉地进入学习氛围，使学生从被动学习变为主动探究. 在本节教
学中，要坚持以学生为主体，教师为主导，致力联系学生已掌握的知识，充分调动学生的兴趣
和积极性，使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
有理数的加法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能运用加法运算律简化加法运算；2.理解加法运算律在加法运算中的作
用，适当进行推理训练.
17(二)过程与方法：经历探索有理数加法运算律过程，培养观察思维逻辑推理能力.
(三)情感态度与价值观：问题分析解决过程中，感受数学的魅力.
二、教学重点、难点
重点：如何运用加法运算律简化运算.
难点：灵活运用加法运算律.
三、教学过程
创设情境
有人养了一群猴子，每天早晨，给每只猴子4个栗子，晚上再给3个，猴子大吵大闹起来，
它们想不通，为什么晚上比早晨少了一个呢？
这个人希望猴子愉快一点，可他又没有更多的栗子，于是改成早晨给3个，晚上给4个.
从此，猴子高兴了，它们发现：每天晚上，都比早晨吃到更多的栗子.
3+4=4+3，猴子到底是猴子，它们不懂得交换律，所以朝3暮4和朝4暮3得到了不同的
效果.
探究
计算
30+(-20)，(-20)+30；(-15)+28，28+(-15)；13+(-32)，(-32)+13；(-41)+14，14+(-41).
[8+(-5)]+(-4)，8+[(-5)+(-4)]；[14+(-3)]+23，14+[(-3)+23]；
[(-3)+16]+(-16)，(-3)+[16+(-16)]；[15+(-30)]+13，15+[(-30)+13].
两次所得的和相同吗？
从上述计算中，你能得出什么结论？
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变.
加法交换律：a + b = b + a
有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)
例2 计算 16+(-25)+24+(-35)
解：原式=16+24+[(-25)+(-35)]=40+(-60)=-20
例2中是怎样使计算简化的？根据是什么？
利用加法交换律、结合律，可以使运算简化. 认识运算律对于理解运算有很重要的意义.
例3 10袋小麦称后记录如图所示(单位：kg). 10袋小麦一共多少千克？如果每袋小麦以
90kg为标准，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？
解法1：先计算10袋小麦一共多少千克：
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.
1=905.4
再计算总计超过多少千克：905.4-90×10=5.4
解法2：每袋小麦超过90kg的千克数记作正数，
不足的千克数记作负数. 10袋小麦对应的数分别为：
+1，+1，+1.5，-1，+1.2，+1.3，-1.3，-1.2，+1.8，+1.1
1+1+1.5+(-1)+1.2+1.3+(-1.3)+(-1.2)+1.8+1.1
=[1+(-1)]+[1.2+(-1.2)]+[1.3+(-1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)
=5.4
90×10+5.4=905.4
答：10袋小麦一共905.4kg，总计超过5.4千克.
练习
1.计算：
18(1) 23+(-17)+6+(-22) (2) (-2)+3+1+(-3)+2+(-4)
解：(1)原式=23+6+[(-17)+(-22)]=29+(-39)=-10
(2)原式=[(-2)+2]+[3+(-3)]+[1+(-4)]=0+0+(-3)=-3
2.计算：
(1) (2)
解：(1)原式= = =
(2)原式= =9+(-11) =-2
实验探究
填 幻 方
有人建议向火星发射如下左图的图案. 它叫做幻方，其中9个格中的点数分别是1，2，
3，4，5，6，7，8，9. 每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数和都是15. 如果火星上
有智能生物，那么他们可以从这种"数学语言"了解到地球上也有智能生物(人).
你能将-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4这9个数分别填入右图的幻方的9个空格中，使得处
于同一横行、同一竖列、同一斜对角线上的3个数相加都得0吗？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课教学以故事引入，在学生已有的知识经验上建构新知，主动探索有理数加法交换
律和结合律，从而激发他们学习的兴趣，使他们由被动地接受学习变成一种主动探索获取知
识. 课堂中学生通过自主互助交流，不断地总结规律、方法和解题技巧.
有理数的减法
一、教学目标
(一)知识与技能：经历探索有理数的减法法则的过程，理解有理数的减法法则，并能熟练运
用法则进行有理数的减法运算.
19(二)过程与方法：经历由特例归纳出一般规律的过程，培养学生的抽象概括能力及表达能力；
通过减法到加法的转化，让学生初步体会转化、化归的数学思想.
(三)情感态度与价值观：在归纳有理数减法法则的过程中，通过讨论、交流等方式进行同伴
间的合作学习.
二、教学重点、难点
重点：有理数的减法法则的理解和运用.
难点：在实际情境中体会减法运算的意义并利用有理数的减法法则解决实际问题.
三、教学过程
创设情境
下面是北京冬季某天的气温(-3～3℃). 根据你的生活经验，你
能说出这天的温差吗？____℃.
温差是指最高气温减最低气温.
你还能从温度计上看出3℃比-3℃高多少℃吗？
你会列式求这一天北京的温差吗？__________.
这里用到正数与负数的减法.
结果分析
减法是加法的逆运算，计算3-(-3)，就是要求出一个数x，使得 x 与-3相加得3. 因为
6与-3相加得3，所以 x 应该是6，即
3-(-3)=6 ①
另一方面，我们知道
3+(+3)=6 ②
由①②，有
3-(-3)=3+(+3) ③
探究
从3-(-3)=3+(+3)能看出减-3相当加哪个数吗？把3换成0，-1，-5，用上面的方法考虑0-
(-3)，(-1)-(-3)，(-5)-(-3).这些数减-3的结果与它们加+3的结果相同吗？
0-(-3) = 0+3 = 3，(-1)-(-3) = (-1)+3 = 2，(-5)-(-3) = (-5)+3 = -2
计算9-8，9+(-8)；15-7，15+(-7).从中又能有什么发现吗？
9-8 = 9+(-8) = 1，15-7 = 15+(-7) = 8
有理数减法法则：
减去一个数，等于加这个数的相反数. a - b = a + (-b)
例4 计算：
(1) (-3)-(-5) (2) 0-7 (3) 7.2-(-4.8) (4) -
解：(1) (-3)-(-5)=(-3)+5=2
(2) 0-7=0+(-7)=-7
(3) 7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12
(4) - = + =
思考
在小学，只有当 a 大于或等于 b 时，我们才会做 a - b(例如2-1，1-1). 现在，当 a
小于 b 时，你会做 a - b(例如1-2，(-1)-1)吗？
一般地，较小的数减较大的数，所得的差是_____数.
20练习
1.计算：
(1) 6-9 (2) (+4)-(-7) (3) (-5)-(-8)
(4) 0-(-5) (5) (-2.5)-5.9 (6) 1.9-(-0.6)
解：(1) 6-9=6+(-9)=-3 (2) (+4)-(-7)=4+7=11
(3) (-5)-(-8)=(-5)+8=3 (4) 0-(-5)=0+5=5
(5) (-2.5)-5.9=(-2.5)+(-5.9)=-8.4 (6) 1.9-(-0.6)=1.9+0.6=2.5
2.计算：
(1) 比2℃低8℃的温度； (2) 比-3℃低6℃的温度.
解：(1) 2-8=2+(-8)=-6℃ (2) (-3)-6=(-3)+(-6)=-9℃
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从实际问题出发，创设教学情境，有效调动学生学习的兴趣和积极性. 通过实例
计算，激发学生的探索精神. 通过大量的数学练习，使学生在计算中巩固解题技能，在小组交
流中体验有理数的减法运算的运算魅力，并在教师的指导下自行归纳运算法则；学生亲身体
验知识的形成过程，感悟数学的转化思想.
有理数的加减混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解加减法混合运算统一为加法运算的意义；2.学会把加减法统一成加
法；3.会正确熟练地进行有理数加减混合运算.
(二)过程与方法：通过有理数的加减法的运算，发展学生的运算能力.
21(三)情感态度与价值观：培养学生的程序意识,提高学生的学习积极性与学习数学的兴趣,
以及学好数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：把加、减混合运算统一成加法运算.
难点：把加、减法统一成加法运算,并用加法运算律合理地进行运算.
三、教学过程
创设情境
一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
此时飞机比起飞点高了多少千米？
方法一：4.5+(-3.2)+1.1+(-1.4) =1.3+1.1+(-1.4) =2.4+(-1.4) =1(千米)
方法二：4.5-3.2+1.1-1.4=1.3+1.1-1.4=2.4-1.4=1(千米)
比较以上两种算法，你发现了什么？
下面我们研究怎样进行有理数的加减混合运算.
例5 计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
分析：这个算式中有加法，也有减法. 可以根据有理数减法法则，把它改写为
(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
使问题转化为几个有理数的加法.
解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+5)+(+3)]
=(-27)+(+8)
=-19
这里使用了哪些运算律？(加法交换律与加法结合律)
归纳
引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算.a + b - c = a + b + (-c)
算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是-20，3，5，-7这四个数的和，为书写简单，可以省略式中
的括号和加号，把它写为-20+3+5-7这个算式可以读作“负20、正3、正5、负7的和”或读作
“负20加3加5减7”.
互相出算式，并读出两种读法.
例5 计算(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
解：(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19
探究
在数轴上，点A，B分别表示数a，b. 利用有理数减法，分别计算下列情况下点A，B之间
的距离：
22a=2，b=6；a=0，b=6；a=2，b=-6；a=-2，b=-6.
你能发现点A，B之间的距离与数a，b之间的关系吗？
A，B之间的距离分别为：6-2=4；6-0=6；2-(-6)=8；(-2)-(-6)=4.
A，B之间的距离就是a，b中较大的减较少的差.
练习
计算：
(1) 1-4+3-0.5 (2) -2.4+3.5-4.6+3.5
(3) (-7)-(+5)+(-4)-(-10) (4)
解：(1) 原式=1+3-4-0.5=4-4-0.5=-0.5
(2) 原式=-2.4-4.6+3.5+3.5=-7+7=0
(3) 原式=-7-5-4+10=-16+10=-6
(4) 原式= = = = = =
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是学生在学习了有理数的加法和减法的基础上进行的. 通过本节课的学习使学
生知道所有含有有理数的加、减混合运算的式子都可以化为有理数的加法的形式，并能熟练
掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序. 本节课本着“扎实、有效”的原则，既关注课堂
教学的本质，又注重学生能力的培养，且面向全体学生来设计教学.
有理数的乘法(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解并掌握有理数的乘法法则，会进行有理数的乘法运算.
23(二)过程与方法：在探索有理数乘法法则的教学活动中，体会有理数乘法的实际意义,发展
学生应用数学知识的意识能力.
(三)情感态度与价值观：培养学生的语言表达能力，通过合作学习调动学生学习的积极性，
增强学习数学的信心.
二、教学重点、难点
重点：能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点：含有负因数的乘法.
三、教学过程
创设情境
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后甲、乙水库水位的
总的变化量各是多少？
如果用正号表示水位上升，用负号表示水位下降，那么4天后甲水库的水位变化量为:
3+3+3+3=3×4=12(厘米)
乙水库的水位变化量为:(-3)+(-3)+(-3)+(-3)=(-3)×4=___(厘米)
思考
观察下面的乘法算式，你能发现什么规律吗？
3×3=9 3×2=6 3×1=3 3×0=0
随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
3×(-1)=___ 3×(-2)=___ 3×(-3)=___
观察下面的算式，你又能发现什么规律吗？
3×3=9 2×3=6 1×3=3 0×3=0
随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3.
要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有：
(-1)×3=___ (-2)×3=___ (-3)×3=___
3×3=9 3×3=9
3×2=6 2×3=6
3×1=3 1×3=3
3×(-1)=-3 (-1)×3=-3
3×(-2)=-6 (-2)×3=-6
3×(-3)=-9 (-3)×3=-9
从符号和绝对值两个角度观察以上算式，可以归纳如下：
正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积是负数；负数乘正数，积也是负数. 积的绝对值等于
各乘数绝对值的积.
思考
利用刚才归纳的结论计算下面的算式，你发现有什么规律吗？
(-3)×3=____ (-3)×2=____ (-3)×1=____ (-3)×0=____
随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3.
24按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可以归纳出什么结论？
(-3)×(-1)=___ (-3)×(-2)=___ (-3)×(-3)=___
可归纳出如下结论：
负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积.
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.
例如，(-5)×(-3)，……………同号两数相乘
(-5)×(-3)=+( )，………………得正
5×3=15，………………把绝对值相乘
所以，(-5)×(-3)=15.
又如，(-7)×4，……………_______________
(-7)×4=-( )，……_______________
7×4=28，……………______________
所以，(-7)×4=____
有理数相乘，可以先确定积的_______，再确定积的________.
例1 计算：
(1) (-3)×9 (2) 8×(-1) (3) (- )×(-2)
解：(1) (-3)×9=-27 (2) 8×(-1)=-8 (3) (- )×(-2)=1
要得到一个数的相反数，只要将它乘-1.
(- )×(-2)=1，我们说- 和-2互为倒数. 一般地，在有理数中仍然有：
乘积为1的两个数互为倒数. 数a(a≠0)的倒数是_____.
想一想
倒数和相反数有什么异同？
相同点：它们都是成对出现的.
不同点：①互为相反数的两个数和为0；互为倒数的两个数积为1.
②正数的相反数是负数，正数的倒数是正数；
负数的相反数是正数，负数的倒数是负数；
零的相反数是零，零没有倒数.
例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高 1 km
气温的变化量为-6℃，攀登 3 km后，气温有什么变化？
解：(-6)×3=-18
答：气温下降18℃.
练习
1.计算：
(1) 6×(-9)=______ (2) (-4)×6=______ (3) (-6)×(-1)=_____
(4) (-6)×0=____ (5) ×(- )=_____ (6) (- )× =____
2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件后，与按原价销售同样数量的商品相比，
销售额有什么变化？
解：(-5)×60=-300(元)，即销售额减少300元.
3.写出下列各数的倒数：
251，-1， ，- ，5，-5， ，- .
解：倒数分别是：1，-1，3，-3， ，- ， ，- .
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
有理数的乘法是有理数运算中一个非常重要的内容，它与有理数的加法运算一样，也是
建立在小学算术运算的基础上. “有理数乘法”的教学，在性质上属于定义教学，历来是一
个难点课题，教学时应略举简单的事例，尽早出现法则，然后用较多的时间去练法则，背法则.
本节课尽量考虑在有利于基础知识、基础技能的掌握和学生的创新能力培养的前提下，最
大限度地使教学的设计过程面向全体学生，充分照顾不同层次的学生，使设计的思路符合
“新课程标准”倡导的理念.
有理数的乘法(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解和掌握乘法交换律，乘法结合律和乘法分配律；2.能应用运算律使
26运算简便.
(二)过程与方法：使学生在合作交流中对运算定律的认识由感性认识逐步发展到理性认识，
合理构建知识.
(三)情感态度与价值观：培养学生分析、推理能力，培养学生探索规律的欲望和学习数学的
兴趣.
二、教学重点、难点
重点：理解和掌握乘法交换律，乘法结合律和乘法分配律.
难点：灵活运用乘法的运算律简化运算.
三、教学过程
复习巩固
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0.
口算：
(1) -2×3 (2) 3×5 (3) 2.5×(-2) (4) (-2.5)×(-2)
(5) -1.37×0 (6) -1×(-1) (7) -5×6 (8) -8×(-2)
思考
观察下列各式，它们的积是正的还是负的？
2×3×4×(-5) ___
2×3×(-4)×(-5) ___
2×(-3)×(-4)×(-5) ___
(-2)×(-3)×(-4)×(-5) ___
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5) ___
(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×(-5)×(-6) ___
几个不是0的数相乘，积的符号与负因数的个数之间有什么关系？
归纳
几个不是0的数相乘，当负因数的个数是_____时，积是正数；当负因数的个数是_____
时，积是负数.
例3 计算：
(1) (-3)× ×(- )×(- )
(2) (-5)×6×(- )×
解：(1) (-3)× ×(- )×(- )=-3× × × =-
(2) (-5)×6×(- )× =5×6× × =6
多个不是0的数相乘，先做哪一步，再做哪一步？
多个不是0的数相乘，先确定积的符号，再把各个乘数的绝对值相乘，作为积的绝对值.
思考
你能看出下式的结果吗？如果能，请说明理由.
7.8×(-8.1)×0×(-19.6) -3.5×0×213×(-13.5)
-16×(-23.6)×1.58×0×6 5×(-3.1)×(-2.8)×0.65×0
几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0.
练习
271.口算：(1) (-2)×3×4×(-1) (2) (-5)×(-3)×4×(-2)
(3) (-2)×(-2)×(-2)×(-2) (4) (-3)×(-3)×(-3)×(-3)
2.计算：
(1) (-5)×8×(-7)×(-0.25)
(2) (- )× × ×(- )
(3) (-1)×(- )× × ×(- )×0×(-1)
解：(1) 原式=-5×8×7×0.25=-70 (2) 原式= × × × = (3) 原式=0
观察归纳
5×(-6)=____，(-6)×5=____
即5×(-6)=(-6)×5
[3×(-4)]×(-5)=____________=____，3×[(-4)×(-5)]=____________=____
即[3×(-4)]×(-5)= 3×[(-4)×(-5)]
一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.
乘法交换律：ab=ba
三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.
乘法结合律：(ab)c=a(bc)
a×b也可以写为a·b或ab. 当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略.
5×[3+(-7)]=___________=_____，5×3+5×(-7)=__________=_____
即5×[3+(-7)]= 5×3+5×(-7)
一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，
再把积相加.
分配律：a(b+c)= ab+ac
例4 用两种方法计算：( + - )×12
解法1：原式=( + - )×12=- ×1=-1
解法2：原式= ×12+ ×12- ×12=3+2-6=-1
思考
比较上面两种解法，它们在运算顺序上有什么区别？解法2用了什么运算律？哪种解法
运算量小？
练习
计算：(1) (-85)×(-25)×(-4) (2) ( - )×30
(3) (- )×15×(-1 ) (4) (- )×(- )+(- )×(+ )
解：(1) 原式=-85×(25×4)=-85×100=-8500
(2) 原式= ×30- ×30=27-2=25
(3) 原式= × ×15=1×15=15
28(4) 原式=(- )×(- + )=(- )×5=-6
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
新课程理念要求把学生“学”数学放在教师“教”之前，“导学”是教学的重点. 因
此，在本节课的教学中，不要直接将结论告诉学生，而是引导学生从大量的实例中寻找解决
问题的规律. 学生经历探索知识的过程，最后总结得出有理数乘法的运算律. 整个教学过
程要让学生积极参与，独立思考和合作探究相结合，教师适当引导，以达到预期的教学效果.
有理数的除法
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握有理数除法的计算法则，并能够进行正确的计算.
29(二)过程与方法：通过观察、归纳、概括以及运算的过程，提析问题和解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：在解决问题的过程中，体会数学与生活的联系，提高对数学的学习
兴趣.
二、教学重点、难点
重点：正确应用法则进行有理数的除法运算.
难点：怎样根据不同的情况来选取适当的方法求商.
三、教学过程
知识回顾
倒数的定义你还记得吗？
乘积是1的两个数互为倒数.
你能很快地说出下列各数的倒数吗？
情境一：
小明从家里到学校，每分钟走70米，共走了20分钟，问小明家离学校有多远？
70×20=1400(米)
放学后，小明仍然以每分钟70米的速度回家，应该走多少分钟才会到家？
1400÷70=20(分)
情境二：
经统计，某商场一年共亏损3.6万元，那么该商场平均每月亏损多少万元？
规定盈利为正，亏损为负. 则列式为：(-3.6)÷12= ？(万元)
这个式子应该怎样计算呢？
问题解决
怎样计算8÷(-4)呢？
因为 ___×(-4)=8
所以 8÷(-4)=___ …………①
另一方面，我们有 8×( )=-2 …………②
于是有 8÷(-4)=8×(- ) ………③
③式表明，一个数除以-4可以转化为乘- 来进行，即一个数除以-4，等于乘-4的倒数- .
-6÷2=____，-6× =____；-12÷(-3)=____，-12×(- )=____；
10÷(-5)=____，10×(- )=____.
换其他数的除法进行类似讨论，是否仍有除以a(a≠0)可以转化为乘 ？
有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.a÷b＝a· (b≠0)
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例5 计算：
30(1) (-36)÷9 (2) (- )÷(- )
解：(1) 原式=-(36÷9)=-4
(2) 原式=(- )×(- )=
练习
计算：
(1) (-18)÷6=____ (2) (-63)÷(-7)=____ (3) 1÷(-9)=____ (4) 0÷(-8)=____
例6 化简分数：
(1) (2)
解：(1) 原式=(-12)÷3=-4；(2) 原式=(-45)÷(-12)=45÷12= .
除法可以写成几种不同的形式.例如，8÷2，也可写成 ，还可以写成8:2.因此，化简 或
8:2，都可以利用除法.
或解：(1) 原式=- =-4；(2) 原式= = .
例7 计算：
(1) (-125 )÷(-5) (2) -2.5÷ ×(- )
因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算. 乘除混合运算
往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果.
解：(1) 原式=(125+ )× =125× + × =25+ =25
(2) 原式= × × =1
练习
1.化简：
(1) =____ (2) =____ (3) =____
2.计算：
(1) (-36 )÷9 (2) (-12)÷(-4)÷(-1 ) (3) (- )×(- )÷(-0.25)
解：(1) 原式=[(-36)+(- )]× =(-36)× +(- )× =-4+(- )=-4
(2) 原式=-12× × =-
(3) 原式=- × ×4=-
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
让学生深刻理解除法是乘法的逆运算，对学好本节内容有比较好的作用. 教学设计是
31可以采用课本的引例做为探究除法法则的导入. 让学生自己探索并总结除法法则，同时也
让学生对比乘法法则和除法法则，加深印象. 教学时应该使学生掌握除法的两种运算方法：
1.在除式的项和数字不复杂的情况下直接运用除法法则求解；2.在多个有理数进行除法运
算或者是乘、除混合运算时应该把除法转化为乘法，然后统一用乘法的运算律解决问题.
有理数加减乘除混合运算
一、教学目标
(一)知识与技能：进一步掌握有理数混合运算的法则以及能合理地使用运算律简化运算.
32(二)过程与方法：鼓励学生通过独立运算、教师点拨、小组合作交流按有理数混合运算法则
和运算律进行混合运算.
(三)情感态度与价值观：注意培养学生的运算能力；锻炼学生克服困难的意识和细心的情感
态度.
二、教学重点、难点
重点：能熟练地运用有理数的运算法则进行有理数的加、减、乘、除混合运算.
难点：准确地掌握有理数混合运算的法则和使用运算律简化运算以及运算中的符号问题.
三、教学过程
复习巩固
(1)加法：同号两数相加，取_____的符号，并把绝对值_____.
乘法：两数相乘，同号_____，并把绝对值_____.
(2)加法：绝对值不相等的异号两数相加，取___________加数的符号，并用_____的绝对值
_____较小的绝对值.
乘法：两数相乘，异号_____，并把绝对值_____.
(3)加法：一个数同0相加，___________.
乘法：任何数与0相乘，___________.
(4)减法：减去一个数，等于_____这个数的_______.
除法：除以一个________的数，等于___这个数的_____.
有理数的混合运算，在没有括号的前提下，先做____，再算____，同级运算_______________，
如果有括号的先做____________，和小学里的四则运算顺序相一致.
例8 计算：
(1) -8+4÷(-2) (2) (-7)×(-5)-90÷(-15)
解：(1) 原式=-8+(-2)=-10
(2) 原式=35-(-6)=35+6=41
练习
计算：
(1) 6-(-12)÷(-3) (2) 3×(-4)+(-28)÷7
(3) (-48)÷8-(-25 )×(-6) (4) 42×(- )+(- )÷(-0.25)
解：(1)原式=6-4=2
(2)原式=-12+(-4)=-16
(3)原式=-6-150=-156
(4)原式=-28+3=-25
例9 某公司去年1～3月平均每月亏损1.5万元，4～6月平均每月盈利2万元，7～10月平均
每月盈利1.7万元，11～12月平均每月亏损2.3万元. 这个公司去年总的盈亏情况如何？
解：记盈利额为正数，亏损额为负数. 公司去年全年盈亏额(单位：万元)为
(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+6+6.8-4.6
=3.7
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
计算器
计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复
杂的数的计算，比笔算要快捷得多.
例如，可以用计算器计算例9中的
33(-1.5)×3+2×3+1.7×4+(-2.3)×2
如果计算器带符号键 ，只需按键
就可以得到答案3.7.
不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同，具体参见计算器的使用说明.
练习
用计算器计算：
(1) 357+(-154)+26+(-212)=_____________
(2) -5.13+4.62+(-8.47)-(-2.3)=_____________
(3) 26×(-41)+(-35)×(-17)=_____________
(4) 1.252÷(-44)-(-356)÷(-0.196)≈_____________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算. 运算顺序“先乘除后加减”学生早已
熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点. 在教学时，要注意结合
学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯.
有理数的乘方
一、教学目标
(一)知识与技能：让学生理解并掌握有理数的乘方，幂，底数，指数的概念及意义；能正确进
行有理数的乘方运算.
34(二)过程与方法：在生动的情境中让学生获得有理数乘方的初步体验，培养学生观察，分析，
归纳，概括的能力；经历从乘法到乘方的过程，从中感受转化的数学思想.
(三)情感态度与价值观：让学生通过观察，推理，归纳出有理数乘方的符号法则，增进学生学
好数学的自信心，让学生经历知识拓展的过程，培养学生的探究能力与动手操作能力，体会
与他人合作交流的重要性.
二、教学重点、难点
重点：正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点：准确理解底数、指数和幂三个概念，并能进行求幂的运算.
三、教学过程
创设情境
某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个. 经过5时，这种细胞由1个能分裂成多少个？
边长为2cm的正方形的面积是2×2=4(cm2)；棱长为2cm的正方体
的体积2×2×2=8(cm3).
2×2记作22，读作“2的平方”(或“2的二次方”)；
2×2×2记作23，读作“2的立方”(或“2的三次方”).
2×2×2×2×2×2×2×2×2×2记作_____，读作___________.
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作_____，读作___________.
(- )×( - )×(- )×(- )×(- )记作______，读作___________.
(-2)4与-24一样吗？为什么？
负数的乘方，在书写时一定要把整个负数(连同负号)用小括号括起来.
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)记作(-2)4；-(2×2×2×2)记作-24.(-2)4与-24是不相同的.
与 一样吗？为什么？
× × × 记作 ； 记作 . 与 是不相同的.
一般地，n个相同的因数 a 相乘，即a·a·…·a，记作 an，读作“a 的 n 次方”.
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在
an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看作a的n次方的结果时，也可读
作a的n次幂.
例如，在94中，底数是____，指数是____，94读作9的4次方，或9
的4次幂.
一个数可以看作这个数本身的一次方. 例如，5就是51.指数1通
常省略不写.
因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
35例1 计算：(1) (-4)3 (2) (-2)4 (3)
解：(1) (-4)3 =(-4)×(-4)×(-4)=-64
(2) (-2)4 =(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=16
(3) = =
思考
从例1，你发现负数的幂的正负有什么规律？
当指数是_____数时，负数的幂是_____数；当指数是_____数时，负数的幂是_____数.
根据有理数的乘法法则可以得出：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
显然，正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
例2 用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解：用带符号键 的计算器.
显示：(-8)^5
-32768.
显示：(-3)^6
729.
所以(-8)5=-32768，和(-3)6=729.
练习
1.(1) (-7)8中，底数是____、指数是____.
(2) (-10)8中-10叫做____数，8叫做____数，幂是____数.
2.计算：
(1) (-1)10 =______ (2) (-1)7 =______ (3) 83 =______ (4) (-5)3 =______
(5) 0.13 =______ (6) =______ (7) (-10)4 =______ (8) (-10)5 =________
3.用计算器计算：
(1) (-11)6=________ (2) 167=____________
(3) 8.43=__________ (4) (-5.6)3=__________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节教学以细包分裂引入，提出问题，引导学生积极思考，并归结出答案，由答案的表现
形式向学生提出问题，激发学生的求知欲望. 在教师的启发诱导下自然过度到新知识的学
习，接着层层设问，引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系
起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握.
有理数的混合运算
一、教学目标
36(一)知识与技能：理解并熟练掌握有理数的混合运算的顺序，并会进行简单有理数的混合运
算.
(二)过程与方法：经历有理数的混合运算的一般顺序的探究过程，从中锻炼学生的综合运算
能力和解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：通过小组合作，体验与他人合作的精神以及认识到学习数学的乐趣，
增加学习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：应用有理数的混合运算的法则进行运算.
难点：熟练并且正确的运用有理数混合运算法则进行运算.
三、教学过程
例3 计算：
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15
(2) (-2)3+(-3)×[(-4)2+2]-(-3)2÷(-2)
思考
上述两个式子中，存在着哪几种运算？你认为应按怎样的顺序计算？
有理数混合运算法则:
1.先乘方，再乘除，最后加减；
2.同级运算，从左到右进行；
3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
解：(1)原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27
(2)原式=-8+(-3)×(16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×18-(-4.5)
=-8-54+4.5
=-57.5
例4 观察下面三行数：
-2，4，-8，16，-32，64，…； ①
0，6，-6, 18，-30，66，…； ②
-1，2，-4， 8，-16，32，…； ③
(1)第①行数按什么规律排列？
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系？
(3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
解：(1)第①行数是-2，(-2)2，(-2)3，(-2)4，…
(2)对比①②两行中位置相对应的数，可以发现：第②行数是第①行相应的数加2，即
-2+2，(-2)2+2，(-2)3+2，(-2)4+2，…
对比①③两行中位置相对应的数，可以发现：第③行数是第①行相应的数的0.5倍，即
-2×0.5，(-2)2×0.5，(-2)3×0.5，(-2)4×0.5，…
(3)每行数中的第10个数的和是
(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×0.5
=1024+(1024+2)+1024×0.5
=1024+1026+512
=2562
练习
37计算：
(1) (-1)10×2+(-2)3÷4 (2) (-5)3-3×(- )4
(3) ×( - )× ÷
(4) (-10)4+[(-4)2-(3+32)×2]
解：(1) 原式=1×2+(-8)÷4=2+(-2)=0
(2) 原式=-125-3× =-125- =-125
(3) 原式= ×(- )× × =-
(4) 原式=10000+[16-(3+9)×2]
=10000+(16-12×2)
=10000+(16-24)
=10000+(-8)
=9992
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
有理数的运算是数学中很多其他运算的基础，培养学生正确迅速的运算能力，是数学教
学中的一项重要目标. 在加、减、乘、除、乘方这几种运算基本掌握的前提下，学生进行混合
运算，首先应注意的就是运算顺序的问题. 小组讨论有理数运算法则后，教师应提醒学生牢
固掌握有理数混合运算的几项规定，特别是加入乘方以后，学生对乘方运算不熟悉，容易算
成加法或底数与指数相乘. 学生在运算符号多的时候容易出错，需要进行针对性讲解.
科学记数法
一、教学目标
38(一)知识与技能：借助身边熟悉的事物体会大数，并会用科学计数法表示大数.
(二)过程与方法：经历探索科学计数法表示数的过程，培养观察能力和运算能力.
(三)情感态度与价值观：体验数学符号是有效描述现实世界的重要手段，了解数学对促进社
会进步和人类理性精神的作用.
二、教学重点、难点
重点：会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点：正确使用科学记数法表示数.
三、教学过程
创设情境
天上的星星知多少？
2003年7月22日在悉尼举行的国际天文学联合会大会上，天文学家指出整个可见宇宙
空间大约有70000000000000000000000颗恒星，这个数字比地球上所有沙漠和海滩上的沙砾
总和数量还要多.
现实中，我们会遇到一些比较大的数. 例如：太阳的半径，光的速度，目前世界人口等.
读、写这样大的数有一定的困难.
那么可以用怎样的方法来表示这些大数，使它易读、易记、易判断大小还便于计算呢？
仔细观察，说说它们有什么特点.
70000000000000000000000 300000000 696000 7600000000
仔细观察
102=____，103=_____，104=______，105=_______，….
你观察到什么规律？
1.10的n次幂就等于10…0(在1后面有n个0)；
2.运算结果的位数比指数大1.
科学记数法
把下列各数写成10的幂的形式.
(1)1000=____； (2)1000000=____； (3)100000000=____；
(4)10000000000=____； (5)10000000000000=____.
因此我们可以用10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×100000000=5.67×108
读作“5.67乘10的8次方(幂)”.
这样不仅可以使书写简短，同时还便于读数.
39像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，使
用的是科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似表示. 例如-567000000=-5.67×108
学以致用
用科学记数法表示下列各数：
70000000000000000000000=__________；300000000=__________；
696000=__________；7600000000=__________.
例5 用科学记数法表示下列各数：
1000000，57000000，-123000000000.
解：1000000=106，57000000=5.7×107，-123000000000=-1.23×1011.
思考
上面的式子中，等号左边整数的位数与右边10的指数有什么关系？
右边10的指数等于左边整数的位数减1.
用科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是_____.
练习
1.用科学记数法写出下列各数：
10000，800000，56000000，-7400000.
解：10000=104， 800000=8×105， 56000000=5.6×107， -7400000=-7.4×106.
2.下列用科学记数法写出的数，原数分别是什么数？
1×107，4×103， 8.5×106， 7.04×105， -3.96×104.
解：1×107=10000000， 4×103=4000， 8.5×106=8500000，
7.04×105=704000，-3.96×104=-39600.
3.中国的陆地面积约为9600000km2，领水面积约为370000km2，用科学记数法表示上述两个
数字.
解：9600000=9.6×106，370000=3.7×105.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知
识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动. 把学生被动接受知识
的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学
习中逐渐展现.
近似数
一、教学目标
40(一)知识与技能：1.了解近似数的概念；2.会按精确度要求取近似数；3.给一个近似数，会说
出它精确到哪一位.
(二)过程与方法：通过小组讨论、合作学习等方式，经历概念的形成过程，培养学生自主探索
知识和合作交流能力.
(三)情感态度与价值观：通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情.
二、教学重点、难点
重点：了解近似数的概念，并按要求取近似数.
难点：按给定的精确度求一个数的近似数.
三、教学过程
创设情境
下面有一段在博物馆的对话
管理员：小姐，这个化石有800002年了.
参观者：你怎么知道得这么精确？
管理员：两年前，有位考古学家参观过这里，他说这个化石有80万年了.现在，两年过去了，
所以就是800002年了.
管理员的推断对吗？说说你的理由？
问题
问题①：我们班在座的有_____位同学，其中男生有_____人, 女生有_____人.
问题②：你的身高是______米，你的体重是______千克.
大家想一想，上述的几个数据有什么不同？
准确数、近似数
对于参加同一个会议的人数，有两个报道. 一个报道说：“会议秘书处宣布，参加今天
会议的有513人.”这里数字513确切地反映了实际人数，它是一个准确数. 另一报道说：
“约有五百人参加了今天的会议.”五百这个数只是接近实际人数，但与实际人数还有差别，
它是一个近似数.
在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数. 例如，宇宙
现在的年龄约为200亿年，长江长约6300km，圆周率π约为3.14，这里的数都是近似数.
练习1
1.判断下列各数是准确数还是近似数.
(1) 地球到太阳的距离大约是1500万千米；
(2) 一个星期有7天；
(3) 地球的表面积为5.1×108平方千米；
(4) 第六次人口普查时，中国人口约13.4亿；
(5) 昨天小明到书店买了10本书.
2.请你举例说明生活中的准确数与近似数.
近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示.例如，前面的五百是精确到百位的近
似数，它与准确数513的误差为13.
按四舍五入法对圆周率π(3.1415926……)取近似数时，有
π≈3 (精确到个位)
π≈3.1 (精确到0.1，或叫做精确到十分位)
π≈____ (精确到0.01，或叫做精确到百分位)
π≈3.142 (精确到_______，或叫做精确到________)
π≈3.1416 (精确到________，或叫做精确到________)
……
41例6 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1) 0.0158 (精确到0.001) (2) 304.35 (精确到个位)
(3) 1.804 (精确到0.1) (4) 1.804 (精确到0.01)
解：(1) 0.0158≈0.016 (2) 304.35≈304 (3) 1.804≈1.8 (4) 1.804≈1.80
这里的1.8和1.80的精确度相同吗？表示近似数时，能简单地把1.80后面的0去掉吗？
有效数字
对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫
做这个数的有效数字.
例如，近似数0.025有两个有效数字：2，5；
近似数1500有___个有效数字：_____________；
近似数0.30有___个有效数字：_____________；
近似数0.103有___个有效数字：____________.
对于用科学记数法表示的近似数a×10n，规定它的有效数字就是a中的有效数字.
例如，近似数5.104×106有4个有效数字：5，1，0，4；
近似数3.2×104有___个有效数字：__________.
规定有效数字的个数，也是对近似数精确程度的一种要求. 一般说，对于同一个数取近
似值时，有效数字个数越多，精确程度越高.
练习2
用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1) 0.00356 (精确到万分位) (2) 61.235 (精确到个位)
(3) 1.8935 (精确到0.001) (4) 0.0571 (精确到0.1)
解：(1) 0.00356≈0.0036 (2) 61.235≈61 (3) 1.8935≈1.894 (4) 0.0571≈0.1
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知
识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动. 把学生被动接受知识
的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学
习中逐渐展现.
第1章有理数小结与复习
一、教学目标
421.复习有理数的意义及其有关概念，其内容包括正负数、有理数、数轴、有理数大小的比
较、相反数与绝对值等，通过复习使学生系统掌握有理数这一章的有关基本概念；
2.会运用有理数的运算法则、运算律，熟练进行有理数的运算；
3.用四舍五入法，按要求(精确度)确定运算结果；
4.会利用计算器进行有理数的简单计算和探索数的规律.
二、教学重点、难点
重点：1.掌握有理数的概念；2.理解并会用有理数的加、减、乘、除和乘方五种运算法则进行
有理数的混合运算；3.学会借助数轴来理解绝对值、有理数比较大小等相关知识；4.理解科
学记数法，近似数.
难点：准确地掌握有理数的运算顺序和运算中的符号问题.
三、教学过程
知识梳理
一、正数和负数
1.小学学过的除0以外的数都是正数.在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数.
2.用正、负数表示具有相反意义的量.
二、有理数
1.有理数的概念
整数和分数统称为有理数.
2.有理数的分类
(1)按定义分类 (2)按符号分类
3.数轴
(1)规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴.
(2)任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
4.相反数
(1)只有符号不同的两个数叫做互为相反数.(2)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
5.绝对值
(1)一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.
(2)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
6.有理数大小的比较
(1)数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大.
(2)正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小.
三、有理数的运算
1.有理数的加法
有理数加法法则
1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小
的绝对值. 互为相反数的两个数相加得0；
3.一个数同0相加，仍得这个数.
2.有理数的减法
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.
433.有理数的乘法
乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘，都得0.
4.有理数的除法
除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.
5.有理数的乘方
求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
6.有理数的混合运算
(1)先乘方，再乘除，最后加减；
(2)同级运算，从左到右进行；
(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
四、科学记数法
把大于10的数记成a×10n的形式，其中
1.1≤a＜10
2.n为原数的整数位减去1
五、近似数
1.按照要求取近似数
四舍五入到某一位，就说这个近似数精确到那一位.
2.由近似数判断精确度
考点讲练
考点一 正、负数的意义
例1 如果＋4米表示向东走4米，那么向西走2米记作_____.
针对训练
1.下列语句中，含有相反意义的两个量是( )
A.盈利2千元和收入2千元 B.上升8米和前进8米
C.存入2千元和取出2千元 D.超过2厘米和上涨2厘米
2.水位下降9cm记作－9cm，那么水位上升8cm记作_______.
考点二 正、负数的概念
例2 判断:
①不带“－”号的数都是正数……………………( )
②如果a是正数，那么－a一定是负数…………( )
③不存在既不是正数，也不是负数的数…………( )
④一个有理数不是正数就是负数…………………( )
⑤0℃表示没有温度…………………………………( )
方法总结
0既不是正数也不是负数，0的相反数是它本身.
0不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.
考点三 有理数的分类
例3 将下列各数分别填入相应的圈内：
●
3.5，－3.5，0，|－2|，－2， ， ，0.5
44针对训练
3.在2.3，0，＋3，－6， ，－0.9中，负分数有____个.
考点四 相反数、倒数、绝对值
例4 填表：
考点五 数轴、有理数比较大小
例5 请将下面的数在数轴上表示出来，并将它们用“＞”连接起来.
3.5，－3.5，0，－2， .
解：表示如下
3.5＞ ＞0＞-2＞-3.5
针对训练
4.在数轴上，点A所表示的数为－2，那么到点A的距离等于5个单位长度的点所表示的数是
_______.
5.某日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是－4℃、5℃、6℃、－8℃，当时这四个城市
中，气温最低的是( )
A.北京 B.上海 C.重庆 D.宁夏
考点六 科学记数法
例6 将数2 560 000 000km用科学记数法表示____________m.
针对训练
6.某城市常住人口总数为563.8万人，用科学记数法表示为____________人.
考点七 近似数
例7 2017年我国全年出境旅游人数达1.27亿人次.这里的1.27亿精确到______位.
针对训练
7.由四舍五入法得到的近似数2.96×105精确到____位，如果精确到万位可写成_________.
45考点八 有理数的运算
例8 计算
(1)
解：原式= +3 -3 +11 - =( -3 )+(3 - )+11 =(-3)+3+11 =11
(2)
解：原式=- ×(-36)+ ×(-36)- ×(-36)+ ×(-36)
=21+(-27)-(-30)+(-10)
=21-27+30-10
=14
(3)
解：原式=-2÷ ÷ =-2×12×12=288
(4)
解：原式=-16÷( )2+ ×(- )-(- )2
=-16× +(- )-
=- - -
=- - -
=-
针对训练
8.计算
(1) －3＋8－7－15 (2) 23－6×(－3)＋2×(－4)
(3) (4)
参考答案：(1) -17 (2) 33 (3) -3.3 (4) -
46整式(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.初步认识用字母表示数的意义，并能用字母表示简单的运算定律和计算
公式；2.使学生掌握含有字母的乘法算式的简便写法及平方的意义及读写法，会根据计算公
式用代入法求值.
(二)过程与方法：在具体情境中经历用字母表示数的过程，培养学生的抽象概括能力，感受
47从具体到抽象的归纳思想，发展学生的数感与符号化思想.
(三)情感态度与价值观：让学生在自主探索、合作交流中获得成功体验，培养学生的团结协
作精神.
二、教学重点、难点
重点：理解用字母表示数的意义和作用.
难点：理解含有字母的式子的意义.
三、教学过程
创设情境
1只青蛙1张嘴，2只眼睛4条腿，扑通1声跳下水；2只青蛙2张嘴，4只眼睛8条腿，扑通2
声跳下水；3只青蛙3张嘴，6只眼睛12条腿，扑通3声跳下水；4只青蛙__张嘴，__只眼睛__
条腿，扑通__声跳下水；……a只青蛙__张嘴，__只眼睛__条腿，扑通__声跳下水.
例1
(1)苹果原价是每千克p元，按8折优惠出售，用式子表示现价；
(2)某产品前年的产量是n件，去年的产量是前年产量的m倍，用式子表示去年的产量；
(3)一个长方体包装盒的长和宽都是a cm，高是h cm，用式子表示它的体积；
(4)用式子表示数n的相反数.
解：(1)现价是每千克0.8p元；(2)去年的产量是mn件；(3)由长方体的体积=长×宽×高，得
这个长方体包装盒的体积是a·a·h cm3，即a2h cm3；(4)数n的相反数是-n.
例2
(1)一条河的水流速度是2.5km/h，船在静水中的速度是v km/h，用式子表示船在这条河中
顺水行驶和逆水行驶时的速度；
(2)买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，用式子表示买3个篮
球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
(3)如左图(图中长度单位：cm)，用式子表示三角尺的面积；
(4)如右图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位：m)，用式子表示这所住宅的建筑面积.
解：(1)船在这条河中顺水行驶的速度是(v+2.5)km/h，逆水行驶的速度是(v-2.5)km/h.
(2)买3个篮球、5个排球、2个足球共需要(3x+5y+2z)元.
(3)三角尺的面积(单位：cm2)是 ab-πr2.
(4)这所住宅的建筑面积(单位：m2)是x2+2x+18.
归纳
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，
也就是把文字语言转化为符号语言.
48要点：
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、
倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次，明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式.
列式注意事项：
1.表示数的字母相乘时，可用“·”代替乘号或省略不写.如：a×b 通常写作a·b或ab.
2.数和字母相乘时，数字应写在字母前面.如：a×2通常写作2a.
3.带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数.如：3 ×a通常写作 a.
4.式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写.如：y÷3通常写作: .
5.最后一步是加、减运算时，如果有单位，要用括号把式子括起来.如：温度由2℃上升t℃后
是(2+t)℃.
练习
1.某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m袋，用式子表示在这个月内销售这种商品
的收入. ____________
2.圆柱体的底面半径、高分别是r，h，用式子表示圆柱体的体积. ____________
3.有两片棉田，一片有m hm2(公顷，1 hm2=104 m2)，平均每公顷产棉花a kg；另一片有n
hm2，平均每公顷产棉花b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量. ____________
4.在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是a mm，小正方形的边
长是b mm，用式子表示剩余部分的面积. ____________
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过本课时的教学要让学生经历从实际问题中用字母表示数，初步理解用字母表示数
的意义及目的，可以先用数，后用字母来表示. 让学生循序渐进的学习本部分内容，让学生
在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数，发展学生的符号感. 在数学教学中，让学
生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题.
整式(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会列单项式表示简单的数量关系，理解单项式所表示的实际含义；2.理
解单项式的概念，掌握单项式系数和次数的概念；3.能准确迅速地确定一个单项式的系数和
次数.
(二)过程与方法：1.初步培养学生观察、分析、抽象、概括的思维能力；2.通过质疑、讨论、释
49疑，经历概念的形成过程，养成自主探索和合作交流的能力.
(三)情感态度与价值观：1.养成善于疑质，喜欢提问，勇于探索的学习精神；2.通过合作探究，
获得数学知识，体验成功的喜悦.
二、教学重点、难点
重点：掌握单项式及单项式的系数、次数的概念，能迅速地确定一个单项式的系数和次数.
难点：概念形成的过程.
三、教学过程
思考
观察式子100t，0.8p，mn，a2h，-n，这些式子有什么特点？
单项式定义：
表示数或字母的积的式子叫做单项式. 单独的一个数或一个字母也是单项式. 例如，
5，0.2，a，b.
单项式的系数：
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如，单项式100t，a2h，-n的系数分别是
100，1，-1.
注意：
①单项式表示数与字母相乘时，通常数写在前面；
②当系数为1或-1时，这个“1”省略不写.
单项式的次数：
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 例如，在单项式100t中，
字母 t 的指数是1，100t的次数是1；在单项式 a2h 中，字母 a 与 h 的指数的和是3，a2h
的次数是3.
对于单独一个非零的数，规定它的次数为0.
如，单项式15中的次数是0.
例3 用单项式填空，并指出它们的系数和次数：
(1)每包书有12册，n 包书有_____册；
(2)底边长为 a cm，高为 h cm的三角形的面积是_____cm2；
(3)棱长为 a cm的正方体的体积是____cm3；
(4)一台电视机原价 b 元，现按原价的9折出售，这台电视机现在的售价为______元；
(5)一个长方形的长是0.9 m，宽是 b m，这个长方形的面积是______m2.
用字母表示数后，同一个式子可以表示不同的含义. 例如，在例3的第(4)(5)小题中，0.9b
既可以表示电视机的售价，又可以表示长方形的面积，当然它还可以表示更多的含义，你能
赋予0.9b 一个含义吗？
练习
1.填表：
2.填空：
50(1)全校学生总数是 x ，其中女生占总数48%，则女生人数是_____，男生人数是_____.
(2)一辆长途汽车从杨柳村出发，3h后到达距出发地 s km的溪河镇，这辆长途汽车的平均
速度是____km/h.
(3)产量由 m kg增长10%，就达到_______kg.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是研究整式的起始课，它是进一步学习多项式的基础，因此对单项式有关概念的
理解和掌握情况，将直接影响到后续学习. 为突出重点，突破难点，教学中要加强直观性，即
为学生提供足够的感知材料，丰富学生的感性认识，帮助学生认识概念，同时也要注重分析，
抓住概念易混淆处和判断易出错处，强化认识，帮助学生理解单项式系数、次数，为进一步学
习新知做好铺垫.
整式(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解多项式、整式的概念；2.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次
数；3.能用多项式表示实际问题中的数量关系.
(二)过程与方法：让学生经历观察、分析、交流，概括出有关概念，发展有条理的思考及语言
表达能力和用数学知识解决实际问题的能力.
51(三)情感态度与价值观：1.鼓励学生积极参与数学活动，独立思考形成自己的见解，并能与
他人合作交流，逐步养成反思与质疑的习惯；2.让学生在活动中获得成功的体验，锻炼克服
困难的意志，建立自信.
二、教学重点、难点
重点：掌握多项式及整式的有关概念，掌握多项式的定义、多项式的项和次数，以及常数项等
概念.
难点：确定多项式的次数和项数并和单项式区分开来.
三、教学过程
复习巩固
(1)对于单项式，我们学习了哪些内容？
(2)请举例说明单项式、单项式的系数和次数的概念.
思考
观察式子v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z， ab-πr2，x2+2x+18，这些式子有什么特点？
它们都可以看作几个单项式的和.例如，v-2.5可以看作单项式v与-2.5的和；x2+2x+18
可以看作单项式x2，2x和18的和.
多项式定义：
像这样，几个单项式的和叫做多项式. 其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的
项叫做常数项. 例如，多项式v-2.5的项是v与-2.5，其中-2.5是常数项；多项式x2+2x+18
的项是x2，2x和18，其中18是常数项.
多项式的次数：
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.例如，多项式v-2.5中次数最高
的项是一次项v，这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+18中次数最高的项是二次项x2，这个
多项式的次数是2.
v+2.5，3x+5y+2z， ab-πr2的项分别是什么？次数分别是多少？
整式
单项式与多项式统称整式.例如，前面见到的单项式100t，0.8p，mn，a2h，-n，以及多项式
v+2.5，v-2.5，3x+5y+2z， ab-πr2，x2+2x+18等都是整式.
例4 如图所示，用式子表示圆环的面积.当R=15cm，r=10cm时，求圆环的面积(π取3.14).
解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR2-πr2.
当R=15cm，r=10cm时，圆环的面积(单位：cm2)是
πR2-πr2=3.14×152-3.14×102
=392.5
这个圆环的面积是392.5cm2.
练习
1.填空：
(1)a、b分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l=_____，面积S=___，当a=2cm，b=3cm
52时，l=___cm，S=___ cm2.
(2)a、b分别表示梯形的上底和下底，h表示梯形的高，则梯形的面积S=__________，当a=2，
b=4，h=5时，S=____.
2.用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项：
(1)每袋大米5kg，x袋大米( )kg；
(2)如图(图中长度单位：m)，阴影部分的面积是( )m2；
(3)体重由xkg增加2kg后是( )kg.
解：(1)5x，单项式，次数是1；
(2)x2+3x+6，多项式，次数是2，项是x2，3x，6；
(3)x+2，多项式，次数是1，项是x，2.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
这节课的教学内容并不难，如果采用讲授的方式，很快多数的学生都可以理解、掌握.虽
然单纯地从学生接受知识的角度，讲授法应该效果更好，但同时学生的自主学习的习惯和能
力也不知不觉地被忽略了. 事实证明，学生没有养成一个良好的自主学习的习惯，不会自己
阅读、分析题意，他们今后的学习会受到很大的制约.
整式的加减(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：理解多项式中同类项的概念，会识别同类项，能利用合并同类项法则来化
简整式.
(二)过程与方法：1.在具体的情景中，通过探究、交流、反思等活动获得合并同类项的法则，
53体验探求规律的思想方法；2.并熟练运用法则进行合并同类项的运算，体验化繁为简的数学
思想.
(三)情感态度与价值观：1.在积极参与教学活动，获得成功的体验；2.培养团结协作，严谨求
实的学习作风和锲而不舍，勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
重点：同类项的概念和合并同类项的法则.
难点：找出同类项并正确地合并.
三、教学过程
复习巩固
1.银行职员数钞票时，把100元票面、50元票面、20元票面、10元票面…的人民币分类来数，
在多项式中是否也有类似的情形呢？
2.下图中有两个三角形，两个矩形，你能用式子表示这四个图形的面积和吗？
四个图形面积和：2a+ab+3a+2ab=___________.
探究
(1) 运用运算律计算：
100×2＋252×2=______________；
100×(-2)＋252×(-2)=________________；
(2) 根据(1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理：
100t＋252t=____________.
在(1)中，我们知道，根据分配律可得
100×2＋252×2=(100＋252)×2=352×2，
100×(-2)＋252×(-2)=(100＋252)×(-2)=352×(-2).
在(2)中，式子100t＋252t表示100t与252t两项的和.它与(1)中的两个式子有相同的结构，
并且字母t代表的是一个因(乘)数，因此根据分配律也应该有
100t＋252t=(100＋252)t=352t.
填空：
(1) 100t－252t=( )t；
(2) 3x2＋2x2=( )x2；
(3) 3ab2－4ab2=( )ab2.
上述运算有什么共同特点，你能从中得出什么规律吗？
对于上面的(1)(2)(3)，利用分配律可得
100t－252t=(100－252)t=-152t
3x2＋2x2=(3＋2)x2=5x2
3ab2－4ab2=(3－4)ab2=-ab2
注意分配律的使用：100t－252t=[100＋(－252)]t=(100－252)t.
观察
多项式100t－252t的项100t和-252t，它们含有相同的字母t，并且t的指数都是1；
多项式3x2＋2x2的项3x2和2x2，它们含有相同的字母x，并且x的指数都是2；
多项式3ab2－4ab2的项3ab2和-4ab2，它们含有相同的字母a、b，并且a的指数都是1次，b的
54指数都是2次.
同类项：
像100t与-252t，3x2与2x2，3ab2与-4ab2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相
同的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项. 例如5与-3.
因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项
式中的同类项进行合并.例如，
4x2＋2x＋7＋3x－8x2－2
=4x2－8x2＋2x＋3x＋7－2 (交换律)
=(4x2－8x2)＋(2x＋3x)＋(7－2) (结合律)
=(4－8)x2＋(2＋3)x＋(7－2) (分配律)
=－4x2＋5x＋5
通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小(降幂)或者从小到大(升
幂)的顺序排列，如－4x2＋5x＋5也可以写成5＋5x－4x2.
合并同类项：
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.
合并同类项法则：
合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变.
例1 合并下列各式的同类项：
(1) xy2－ xy2； (2) -3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3) 4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2.
解：(1) xy2－ xy2=(1－ )xy2= xy2；
(2) -3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2=(-3＋2)x2y＋(3－2)xy2=-x2y＋xy2；
(3) 4a2＋3b2＋2ab－4a2－4b2
=(4a2－4a2)＋(3b2－4b2)＋2ab=(4－4)a2＋(3－4)b2＋2ab=－b2＋2ab.
例2 (1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x= ；
(2)求多项式3a＋abc－ c22－3a＋ c2的值，其中a=- ，b=2，c=-3.
分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值，这样做往往可以简
化计算.
解：(1) 2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2=(2＋1－3)x2＋(－5＋4)x－2=-x－2
当x= 时，原式=- －2=- .
(2) 3a＋abc－ c22－3a＋ c2=(3－3)a＋abc＋(- ＋ )c2==abc
当a=- 时，b=2，c=-3时，原式=(- )×2×(-3)=1.
请你把字母的值直接代入原式求值.与例2的运算过程比较，哪种方法更简便？
例3 (1)水库水位第一天连续下降了ah，每小时平均下降2cm；第二天连续上升ah，每小时
平均上升0.5cm，这两天水位总的变化情况如何？
(2)某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午卖出3袋，下午又购进同样包装的大米4袋，
进货后这个商店有大米多少千克？
解：(1)把下降的水位变化量记为负，上升的水位量记为正.第一天水位的变化量为-2a cm，
55第二天水位的变化量为0.5a cm.
两天水位的总变化量(单位：cm)是 -2a＋0.5a=(-2＋0.5)a=-1.5a.
这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm.
(2)把进货的数量记为正，售出的数量记为负.进货后这个商店共有大米(单位：kg)
5x－3x＋4x=(5－3＋4)x=6x.
练习
1.计算：
(1) 12x－20x； (2) x＋7x－5x； (3) -5a＋0.3a－2.7a；
(4) y－ y＋2y； (5) -6ab＋ba＋8ab； (6) 10y2－0.5y2.
解：(1) 12x－20x=(12－20)x=-8x；
(2) x＋7x－5x=(1＋7－5)x=3x；
(3) -5a＋0.3a－2.7a=(-5＋0.3－2.7)a=-7.4a；
(4) y－ y＋2y=( － ＋2)y= y；
(5) -6ab＋ba＋8ab=(-6＋1＋8)ab=3ab；
(6) 10y2－0.5y2=(10－0.5)y2=9.5y2.
2.求下列各式的值：
(1) 3a＋2b－5a－b，其中a=-2，b=1；
(2) 3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1，其中x=-3.
解：(1) 3a＋2b－5a－b=(3－5)a＋(2－1)b=-2a＋b
当a=-2，b=1时，原式=-2×(-2)＋1=4＋1=5.
(2) 3x－4x2＋7－3x＋2x2＋1=3x－3x－4x2＋2x2＋7＋1=(3－3)x＋(-4＋2)x2＋8=-2x2+8
当x=-3时，原式=-2×(-3)2＋8=-18＋8=-10.
3.(1)x的4倍与x的5倍的和是多少？ (2)x的3倍比x的一半大多少？
解：(1)4x＋5x=9x；(2)3x－ x= x.
4.如图，大圆的半径是R，小圆的面积是大圆面积的 ，求阴影部分的面积.
解：阴影部分的面积=πR2－ πR2= πR2
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
数学教学要紧密联系学生的生活实际，本节课从学生已有的知识和经验出发，从实际问
题入手，引出合并同类项的概念. 通过独立思考、讨论交流等方式归纳出合并同类项的法则，
通过例题教学、练习等方式巩固相关知识. 教学中应激发学生主动参与的学习动机，培养学
生思维的灵活性.
整式的加减(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：能运用运算律探究去括号法则，并且利用去括号法则将整式化简.
(二)过程与方法：经历类比带有括号的有理数的运算，发现去括号时的符号变化规律，归纳
出去括号法则，培养学生观察、分析、归纳能力.
56(三)情感态度与价值观：让学生在探究活动中，体验类比思想价值观.
二、教学重点、难点
重点：去括号法则.
难点：括号前面是“一”时，去括号后的符号变化.
三、教学过程
创设情境
在格尔木到拉萨路段，如果列车通过冻土地段需要 u h，那么它通过非冻土地段的时间
是(u－0.5)h. 于是，冻土地段的路程为100u km，非冻土地段的路程是120(u－0.5)km.
因
此，这段铁路的全长(单位：km)是
100u＋120(u－0.5) ①
冻土地段与非冻土地段相差(单位：km)
100u－120(u－0.5) ②
思考
100u＋120(u－0.5) ①
100u－120(u－0.5) ②
上面的式子①②都带有括号. 类比数的运算，它们应如何化简？
利用分配律，可以去括号，再合并同类项，得
100u＋120(u－0.5)=100u＋120u－60=220u－60，
100u－120(u－0.5)=100u－120u＋60=－20u＋60.
上面两式中
＋120(u－0.5)=＋120u－60， ③
－120(u－0.5)=－120u＋60. ④
比较上面③④两式，你能发现去括号时符号变化的规律吗？
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
特别地，＋(x－3)与－(x－3)可以分别看作1与－1分别乘(x－3). 利用分配律，可以
将式子中的括号去掉，得＋(x－3)=x－3，－(x－3)=－x＋3.
注意：
(1)去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
(2)去括号时，首先要弄清楚括号前面是“＋”号还是“－”号；
(3)注意“括号内各项的符号”的含义是指“各项都变号”或“都不变号”.
例4 化简下列各式：
(1) 8a+2b+(5a-b)； (2) (5a-3b)-3(a2-2b).
解：(1) 8a+2b+(5a-b)=8a+2b+5a-b=13a+b；
(2) (5a-3b)-3(a2-2b)=5a-3b-(3a2-6b)=5a-3b-3a2+6b=-3a2+5a+3b.
例5 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是
50km/h，水流速度是akm/h.(1)2h后两船相距多远？(2)2h后甲船比乙船多航行多少千米？
解：顺水航速=船速+水速=(50+a)km/h，逆水航速=船速-水速=(50-a)km/h.
(1) 2h后两船相距(单位:km)
2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200.
(2) 2h后甲船比乙船多航行(单位:km)
2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a.
57练习
1.化简：
(1) 12(x-0.5)； (2) -5(1- x)； (3) -5a+(3a-2)-(3a-7)； (4) (9y-3)+2(y+1).
解：(1) 12(x-0.5)=12x-6；
(2) -5(1- x)=-5+x；
(3) -5a+(3a-2)-(3a-7)=-5a+3a-2-3a+7=-5a+5；
(4) (9y-3)+2(y+1)=3y-1+2y+2=5y+1.
2.飞机的无风航速为a km/h，风速为20 km/h，飞机顺风飞行4h的行程是多少？飞机逆风
飞行3h的行程是多少？两个行程相差多少？
解：顺风航速=无风航速+风速=(a+20) km/h，逆风航速=无风航速-风速=(a-20) km/h.
顺风飞行4小时的行程4(a+20) km，逆风飞行3小时的行程3(a-20) km.
因此，两个行程相差(单位: km)
4(a+20)-3(a-20)=4a+80-3a+60=(a+140) km.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
去括号法则是本章的重点和难点. 运用法则去括号时，开始学生确实容易混淆，因为刚
探索出来的东西毕竟是陌生事物，学生的认知水平不可能马上接受，所以必须经过练习，经
过练习使学生牢固掌握法则.
整式的加减(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：能根据题意列出式子，会用整式加减的运算法则进行整式加减运算，并能
说明其中的算理.
58(二)过程与方法：经历用字母表示实际问题中的数量关系的过程，发展符号感，提高运算能
力及综合运用知识进行分析、解决问题的能力.
(三)情感态度与价值观：培养学生积极探索的学习态度，发展学生有条理地思考及整式表达
能力，体会整式的应用价值.
二、教学重点、难点
重点：列式表示实际问题中的数量关系，会用整式加减的运算法则进行整式加减运算.
难点：列式表示问题中的数量关系，整式加减的运算法则的运用.
三、教学过程
例6 计 算：(1) (2x-3y)+(5x+4y)； (2) (8a-7b)-(4a-5b).
分析：第(1)题是计算多项式2x-3y和5x+4y的和；第(2)题是计算多项式的8a-7b和4a-5b的
差.
解：(1) (2x-3y)+(5x+4y) =2x-3y+5x+4y=2x+5x-3y+4y=7x+y
(2)(8a-7b)-(4a-5b)=8a-7b-4a+5b=8a-4a-7b+5b=4a-2b
例7 笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买3本笔记本，2支圆珠笔；小明买4
本笔记本，3支圆珠笔.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
解法1：小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小明买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元.
小红和小明一共花费(单位：元)(3x+2y)+(4x+3y)=3x+2y+4x+3y=7x+5y.
解法2：小红和小明买笔记本共花费(3x+4x)元，买圆珠笔共花费(2y+3y)元.
小红和小明一共花费(单位：元)(3x+4x)+(2y+3y)=7x+5y.
例8 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位:cm):
(1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？(2)做大纸盒比做小纸盒多用料多少平方厘米？
解：小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca)cm2，大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca)cm2.
(1)做这两个纸盒共用料(单位：cm2)
(2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca)=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca=8ab+10bc+8ca.
(2)做大纸盒比做小纸盒多用料(单位：cm2)
(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)=6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca=4ab+6bc+4ca.
通过上面的学习，我们可以得到整式加减的运算法则：
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
例9 求 x-2(x- y2)+(- x+ y2)的值，其中x=-2，y= .
先将式子化简，再代入数值进行计算比较简便.
解： x-2(x- y2)+(- x+ y2) = x-2x+ y2- x+ y2==-3x+y2
当x=-2，y= 时，原式=(-3)×(-2)+( )2=6+ =6 .
练习
1.计算：
(1) 3xy-4xy-(-2xy)； (2) - ab- a2+ a2-(- ab).
解：(1) 3xy-4xy-(-2xy)=3xy-4xy+2xy=xy；
59(2) - ab- a2+ a2-(- ab)=- ab- a2+ a2+ ab= ab+ a2
2.计算：
(1) (-x+2x2+5)+(4x2-3-6x)； (2) (3a2-ab+7)-(-4a2+2ab+7).
解：(1) (-x+2x2+5)+(4x2-3-6x) =-x+2x2+5+4x2-3-6x=2x2+4x2-x-6x+5-3=6x2-7x+2
(2) (3a2-ab+7)-(-4a2+2ab+7)=3a2-ab+7+4a2-2ab-7=3a2+4a2-ab-2ab+7-7=7a2-3ab
3.先化简下式，再求值：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)，其中a= ，b= .
解：5(3a2b-ab2)-(ab2+3a2b)
=15a2b-5ab2-ab2-3a2b
=15a2b-3a2b-5ab2-ab2
=12a2b-6ab2
当a= ，b= 时，原式=12×( )2× －6× ×( )2
=12× × －6× ×
=1－
=
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
通过实际问题，让学生体会进行整式的加减的必要性. 通过“去括号、合并同类项”习
题的复习归纳总结出整式的加减的一般步骤，培养学生的观察、分析、归纳和概括的能力，了
解知识的发生发展过程，理解整式的加减实质就是去括号、合并同类项.
第2章整式的加减小结与复习
一、教学目标
1.使学生对本章内容的认识更全面、更系统化.
2.进一步加深学生对本章基础知识的理解以及基本技能(主要是计算)的掌握.
603.通过复习，培养学生主动分析问题的习惯.
二、教学重点、难点
重点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算.
难点：本章基础知识的归纳、总结；基础知识的运用；整式的加减运算.
三、教学过程
知识梳理
一、整式的有关概念
1.单项式：都是数或字母的积，这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项
式.
2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.
3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
4.多项式：几个单项式的和叫做多项式.
5.多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
6.整式：单项式与多项式统称整式.
二、同类项、合并同类项
1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 几个常数项也是同
类项.
2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，即把它们的系数相加作
为新的系数，而字母部分不变.
注意：(1)同类项不考虑字母的排列顺序，如-7xy与yx是同类项；(2)只有同类项才能合并，
如x2+x3不能合并.
三、整式的加减
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.
考点讲练
考点一 整式的有关概念
例1 在式子3m＋n，－2mn，p， ，0中，单项式的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
针对训练
1.式子 的系数是_____，次数是_____.
考点二 整式的有关概念
例2 若3xm+5y2与x3yn的和是单项式，求mn的值.
解：由题意得 m+5=3，n=2，所以 m=-2.
所以 mn=(-2)2=4.
针对训练
2.若5x2y与xmyn是同类项，则m＝( )，n＝( )
若单项式a2b3与3am-nbn能合并，则m＝( )，n＝( )
考点三 去括号
例3 已知A＝x3＋2y3－xy2，B＝－y3＋x3＋2xy2，
求:(1) A＋B；(2) 2B－2A.
解：(1)A+B=(x3+2y3-xy2)+(-y3+x3+2xy2)
=x3+2y3-xy2-y3+x3+2xy2
=x3+x3+2y3-y3-xy2+2xy2
61=2x3+y3+xy2
(2)2B-2A=2(-y3+x3+2xy2)-2(x3+2y3-xy2)
=-2y3+2x3+4xy2-2x3-4y3+2xy2
=-2y3-4y3+2x3-2x3+4xy2+2xy2
=-6y3+6xy2
针对训练
3.下列各项中，去括号正确的是( )
A.x2＋(2x－y＋2)＝x2＋2x＋y＋2 B.－(m＋n)－mn＝－m＋n－mn
C.x－(5y－3z＋1)＝x－5y＋3z－1 D.a－2(－ab＋3)＝a＋2ab－3
例4 若A是一个三次多项式，B是一个四次多项式，则A＋B一定是( )
A.三次多项式 B.四次多项式或单项式 C.七次多项式 D.四次七项式
针对训练
4.若A是一个四次多项式，B是一个二次多项式，则A－B( )
A.可能是六次多项式 B.可能是二次多项式
C.一定是四次多项式或单项式 D.可能是0
考点四 整式的加减运算与求值
例5 已知A＝3x2－x＋2，B＝x＋1，C＝ ，求3A＋2B－36C的值，其中x＝－6.
解：3A+2B-36C=3(3x2-x+2)+2(x+1)-36( x2- )
=9x2-3x+6+2x+2-9x2+16
=9x2-9x2-3x+2x+6+2+16
=-x+24
当x=-6时，原式=-(-6)+24=6+24=30
针对训练
5.先化简再求值：5x2－2y－8(x2－2y)＋3(2x2－3y)，其中|x＋2|＋(y－3)2＝0.
解：原式=5x2-2y-8x2+16y+6x2-9y=5x2-8x2+6x2-2y+16y-9y=3x2+5y
因为|x+2|+(y-3)2=0
所以x+2=0、y-3=0，解得x=-2，y=3
则原式=3×(-2)2+5×3=12+15=27
6.关于x、y的多项式6mx2＋4nxy＋2x＋2xy－x2＋y＋4不含二次项，求多项式
2m(mn＋5)－2(2n－1)－2m(mn＋2)＋2n的值.
解：6mx2+4nxy+2x+2xy-x2+y+4=6mx2-x2+4nxy+2xy+2x+y+4=(6m-1)x2+(4n+2)xy+2x+y+4
因为该多项式不含二次项
所以6m-1=0，4n+2=0，解得m= ，n=-
所以2m(mn+5)-2(2n-1)-2m(mn+2)+2n
=2m2n+10m-4n+2-2m2n-4m+2n
=6m-2n+2=6× -2×(- )+2=1+1+2=4
考点五 与整式的加减有关的探索性问题
例6 从2开始连续的偶数相加，它们和的情况如下表:
62(1)s与n之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？
(2)计算2＋4＋6＋8＋……＋2020.
解：(1)s=n(n+1)
(2)n=2020÷2=1010，s=1010×(1010+1)=1021110
即2+4+6+8+……+2020=1021110
7.下列图形都是由同样大小的空心圆圈按照一定规律所组成的，其中图1中一共有7个空心
圆圈；图2中一共有12个空心圆圈；图3中一共有17个空心圆圈；…
(1)图4一共应有_____个空心圆圈.
(2)按此规律排列下去，图n中一共有______个空心圆圈(用含n的式子表示).
8.观察下表
我们把表格中字母的和所得的多项式称为“特征多项式”，例如：第1格的“特征多项式”
为4x＋y；第2格的“特征多项式”为8x＋4y，回答下列问题：
(1)第3格的“特征多项式”为_______，第4格的“特征多项式”为_______，第n格的“特
征多项式”为_______；
(2)若第m格的“特征多项式”与多项式－24x＋2y－5的和不含有x项，求此“特征多项
式”.
解：因为第m格的“特征多项式”是4mx+m2y
所以(4mx+m2y)+(-24x+2y-5)
=4mx+m2y-24x+2y-5
=(4m-24)x+(m2+2)y-5
因为(4m-24)x+(m2+2)y-5不含有x项
所以4m-24=0，解得m=6
所以此“特征多项式”是24x+36y
一元一次方程
一、教学目标
63(一)知识与技能：
了解方程，一元一次方程的概念，能准确结合题意列出一元一次方程并进行简单求解.
(二)过程与方法：经历把实际问题抽象成数学问题的过程，初步观察分析问题和解决问题的
能力.
(三)情感态度与价值观：体验在生活中学数学、用数学的价值，感受学习数学的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：一元一次方程的概念以及列一元一次方程.
难点：寻求等量关系列方程.
三、教学过程
问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是
70km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？
你会用算术法解决这个问题吗？列算式试试.
如果设A，B两地相距x km，你能分别列式表示客车和卡车从A地到B地的行驶时间吗？
客车从A地到B地的行驶时间： h
卡车从A地到B地的行驶时间： h
想一想，如何用式子表示两车的行驶时间之间的关系？
因为客车比卡车早1h经过B地，所以 比 小1，即 .
我们已经知道，方程是含有未知数的等式.等式 中的x是未知数，这个等式是一
个方程.
思考
对于上面的问题，你还能列出其他方程吗？如果能，你依据的是哪个相等关系？
解：设客车从A地到B地的时间为xh，则卡车从A到B的所用时间为(x+1)h.由A到B的路程
为定值可列方程：70x=60(x+1)
列方程时，要先设字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式—
方程.
例1 根据下列问题，设未知数并列出方程：
(1)用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
(2)一台计算机已使用1700h，预计每月再使用150h，经过多少月这台计算机的使用时间达
到规定的检修时间2450h？
(3)某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
解：(1)设正方形的宽为x cm.
列方程 4x=24
(2)设x月后这台计算机的使用时间达到2450h，那么在x月里这台计算机使用了150x h.
列方程 1700+150x=2450
(3)设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为(1-0.52)x.
列方程 0.52x-(1-0.52)x=80
观察
下列方程有什么共同特点？
(1) (2) 70x=60(x+1) (3) 4x=24
64(4) 1700+150x=2450 (5) 0.52x-(1-0.52)x=80
一元一次方程：
上面各方程都只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的
方程叫做一元一次方程.
归纳
上面的分析过程可以表示如下：
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的
一种方法.
列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以求出未知数.
可以发现，当x=6时，4x的值是24，这时方程4x=24等号左右两边相等.x=6叫做方程
4x=24的解.这就是说，方程4x=24中未知数x的值应是6.同样地，当x=5时，1700+150x的值
是2450，这时方程1700+150x=2450等号左右两边相等.x=5叫做方程1700+150x=2450的解.
这就是说，方程1700+150x=2450中未知数x的值应是5.
解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.
思考
x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(1-0.52)x=80的解？
解：把x=1000代入方程，左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40≠右边，
因此，x=1000不是方程的解.
把x=2000代入方程，左边=0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80=右边，
因此，x=2000是方程的解.
练习
根据下列问题，设未知数，列出方程.
1.环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？
2.甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔各
买了多少支？
3.一个梯形的下底比上底多2cm，高是5cm，面积是40cm2，求上底.
4.用买10个大水杯的钱，可以买15个小水杯，大水杯比小水杯的单价多5元，两种水杯的单
价各是多少元？
解：1.设跑x周. 列方程：400x=3000
2.设买甲种铅笔x支，则乙种铅笔(20-x)支. 列方程：0.3x+0.6(20-x)=9
3.设上底为x cm，列方程： ×5(x+x+2)=40
4.设大水杯的单价为x元，则小水杯的单价为(x-5)元. 列方程：10x=15(x-5)
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本课首先用实际问题引入课题，然后运用算术的方法给出解答. 在各环节的安排上都
设计成一个个的问题，使学生能围绕问题展开思考、讨论. 通过本节的教学让学生体会到从
算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重要数学思想. 使学生体会到数学与日常
生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决；从而激发学生学习数学的热情.
65等式的性质
一、教学目标
(一)知识与技能：会利用等式的两条性质解方程.
66(二)过程与方法：利用天平，通过观察、分析得出等式的两条性质.
(三)情感态度与价值观：培养学生参与数学活动的自信心、合作交流意识.
二、教学重点、难点
重点：了解等式的概念和等式的两条性质，并能运用这两条性质解方程.
难点：由具体实例抽象出等式的性质.
三、教学过程
猜谜语
上图是一架天平，现在我把“天平”做为谜面，请你们猜一数学术语.
等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.
如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的性质2:
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么 = .
例2 利用等式的性质解下列方程：
(1) x+7=26； (2) -5x=20； (3) - x-5=4.
解以x为未知数的方程，就是把方程逐步转化为x=a(常数)的形式，等式的性质是转化的重
要依据.
分析：要使方程x+7=26转化为x=a(常数)的形式，需去掉方程左边的7，利用等式的性质1，
方程两边减7就得出x的值. 你可以类似地考虑另两个方程如何转化为x=a的形式.
解：(1)两边减7，得 x + 7 - 7 = 26 - 7
于是 x = 19.
(2)两边除以-5，得
于是 x = -4.
(3)两边加5，得 - x-5+5=4+5
化简，得 - x=9
两边乘-3，得 x = -27.
67检验方程：一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程
的两边相等.
例如，将x=-27代入方程- x-5=4的左边，得 - ×(-27)-5=9-5=4.
方程的左右两边相等，所以x=-27是方程- x-5=4的解.
练习
利用等式的性质解下列方程并检验：
(1) x-5=6； (2) 0.3x =45； (3) 5x+4=0；(4) 2- x=3.
解：(1)两边加5，得 x - 5 + 5 = 6 + 5
于是 x = 11
将x =11代入方程x-5=6的左边，得 11-5= 6
方程的左右两边相等，所以x =11是方程的解.
(2)两边除以0.3，得 0.3x ÷ 0.3 = 45÷ 0.3
于是 x = 150
将x =150代入方程0.3x =45的左边，得 0.3×150=45
方程的左右两边相等，所以x =150是方程的解.
(3)两边减4，得 5 x + 4 - 4 = 0 - 4
化简，得 5 x = -4
两边除以5，得
于是 x = - .
将x = - 代入方程5x+4=0的左边，得 5×(- )+4=0
(4)两边减2，得 2-2- x =3-2
化简，得 - x =1
两边乘-4，得 - x×(-4)=1×(-4)
于是 x = -4.
将x =-4代入方程2- x =3的左边，得 2- ×(-4)=3
方程的左右两边相等，所以x =-4是方程的解.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从天平的入手，激发学生学习兴趣，采用类比等式性质创设问题情景的方法，引
导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动手、
善于观察、善于思考的学习习惯. 利用学生的好奇心设疑、解疑，组织活泼互动、有效的教学
活动，学生积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.
力求在整个探究学习的过程充满师生之间、生生之间的交流和互动，体现教师是教学活动的
68组织者、引导者、合作者，学生才是学习的主体.
合并同类项与移项(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：找相等关系列一元一次方程，用合并解一元一次方程；了解如何通过应用
数学知识解决生活中问题.
69(二)过程与方法：学习分析问题找到相等关系并通过列方程解决问题的方法，通过学习和并
解一元-次方程，体会到式子变形的转化作用.
(三)情感态度与价值观：通过学习“合并”，体会到古老的代数书的“对消”和“还愿”的
思想，激发数学学习的热情.
二、教学重点、难点
重点：找相等关系列一元一次方程，用合并同类项解一元一次方程.
难点：找相等关系列方程，正确用合并解一元一次方程.
三、教学过程
花拉子米
约公元820年，中亚细亚数学家阿尔—花拉子米写了一本代数书， 重
点论述怎样解方程. 这本书的拉丁译本取名为《对消与还原》.
对消与还原推动了古代数学的进步，为人们解方程问题提供了简便 的
方法.
其实不管是对消与还原，还是合并同类项与移项，其目的都是为了 化
简方程.
问题1 某校三年共购买计算机140台，去年购买的数量是前年的2倍，今年购买的数量又是
去年的2倍. 前年这个学校购买了多少台计算机？
设前年购买计算机x台. 可以表示出：去年购买计算机_____台，今年购买计算机_____
台. 根据问题中的相等关系：前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台，列得方程
x+2x+4x=140
把含有x的项合并同类项，得 7x=140
下面的框图表示了解这个方程的流程：
x+2x+4x=140
合并同类项
7x=140
系数化为1
x=20
由上可知，前年这个学校购买了20台计算机.
回顾本题列方程的过程，可以发现：“总量=各部分量的和”是一个基本的相等关系.
思考
上面解方程中“合并同类项”起了什么作用？
“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式.
例1 解下列方程：
(1) 2x－ x=6－8 (2) 7x－2.5x＋3x－1.5x=－15×4－6×3
解：(1) 合并同类项，得 - x=-2.
系数化为1，得 x=4.
(2) 合并同类项，得 6x=-78.
系数化为1，得 x=-13.
例2 有一列数，按一定的规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…. 其中某三个相邻数的和
70是-1701，这三个数各是多少？
分析：从符号和绝对值两方面观察，可发现这列数的排列规律：后面的数是它前面的数与-3
的乘积. 如果三个相邻数中的第1个记为x，则后两个数分别是-3x，9x.
解：设所求三个数分别是x，-3x，9x.
由三个数的和是-1701，得 x-3x+9x=-1701
合并同类项，得 7x=-1701
系数化为1，得 x=-243
所以 -3x=729，9x=-2187.
答：这三个数是-243，729，-2187.
练习
1.解下列方程：
(1) 5x-2x=9； (2) ； (3) -3x+0.5x=10； (4) 7x-4.5x=2.5×3-5.
解：(1) 合并同类项，得 3x=9
系数化为1，得 x=3
(2) 合并同类项，得 2x=7
系数化为1，得
(3) 合并同类项，得 -2.5x=10
系数化为1，得 x=-4
(4) 合并同类项，得 2.5x=2.5
系数化为1，得 x=1
2.某工厂的产值连续增长，去年是前年的1.5倍，今年是去年的2倍，这三年的总产值为550
万元. 前年的产值是多少？
解：设前年的产值为x万元，则去年的产值为1.5x万元，今年的产值为3x万元.
列方程 x+1.5x+3x=550
合并同类项，得 5.5x=550
系数化为1，得 x=100
答：前年的产值为100万元.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
教学中采用引导发现的方法，课堂训练中鼓励自己动手，体现学生在课堂上的主体地位；
整个教学过程中充分调动学生学习积极性，培养学生合作学习，主动探究的习惯.
合并同类项与移项(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.要求学生学会用移项解方程的方法；2.使学生掌握移项变号的基本原则.
(二)过程与方法：1.采用引导发现法，通过课堂训练体现学生主体地位，调动课堂气氛；2.通
过移项变形方法的教学，培养学生由算术解法过渡到代数解法的解方程的基本能力.
71(三)情感态度与价值观：在用代数方法解方程的过程中，逐步渗透数学中变未知为己知的重
要数学思想.
二、教学重点、难点
重点：建立方程解决实际问题，会解“ax+b=cx+d”类型的一元一次方程.
难点：分析实际问题中的相等关系，列出方程.
三、教学过程
问题2 把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则
还缺25本. 这个班有多少学生？
这批书的总数有几种表示法？它们之间有什么关系？本题哪个相等关系可作为列方程
的依据呢？
解：设这个班有x名学生.
每人分3本，共分出_____本，加上剩余的20本，这批书共___________本.
每人分4本，需要_____本，减去缺的25本，这批书共____________本.
这批书的总数是一个定值，表示它的两个式子应相等，根据这一相等关系列得方程
3x+20=4x-25
思考
方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项(3x与4x)和不含字母的常数项(20与-25)，怎样
才能使它向x=a(常数)的形式转化呢？
3x+20=4 x-25
3 x-4 x+20=4 x-4 x-25
3 x-4 x+20=-25
3 x-4 x+20-20=-25-20
3 x-4 x=-25-20
比较下面的两个方程，你发现了什么？
像上面那样把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
由上可知，这个班有45名学生.
回顾本题列方程的过程，可以发现：“表示同一个量的两个不同的式子相等”是一个基本的
相等关系.
思考
上面解方程中“移项”起了什么作用？
通过移项，含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于x=a的形式.
解方程时经常要“合并同类项”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”
和“还原”，指的就是“合并同类项”和“移项”. 早在一千多年前，数学家阿尔-花拉子
米就已经对“合并同类项”和“移项”非常重视了.
例3 解下列方程：
(1) 3x+7=32-2x (2) x-3= x+1
解：(1) 移项，得 3x+2x=32-7
合并同类项，得 5x=25
72系数化为1，得 x=5
(2) 移项，得 x- x=1+3
合并同类项，得 - x=4
系数化为1，得 x=-8
例4 某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如
用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新、旧工艺的废水排量之比为2:5，两
种工艺的废水排量各是多少？
解：设新、旧工艺的废水排量分别为2x t，5x t.根据废水排量与环保限制最大量之间的关系
得 5x-200=2x+100
移项，得 5x-2x=100+200
合并同类项，得 3x=300
系数化为1，得 x=100
所以 2x=200，5x=500.
答：新、旧工艺的废水排量分别为200 t和500 t.
练习
1.解下列方程：
(1) 6x-7=4x-5； (2) x-6= x.
解：(1) 移项，得 6x-4x=-5+7
合并同类项，得 2x=2
系数化为1，得 x=1
(2) 移项，得 x- x=6
合并同类项，得 - x=6
系数化为1，得 x=-24
2.王芳和李丽同时采摘樱桃，王芳平均每小时采摘8 kg，李丽平均每小时采摘7 kg. 采摘
结束后王芳从她采摘的樱桃中取出0.25 kg给了李丽，这时两人的樱桃一样多，她们采摘用
了多少时间？
解：设她们采摘用了x小时. 列方程 8x-0.25=7x+0.25
移项，得 8x-7x=0.25+0.25
合并同类项，得 x=0.5
答：她们采摘用了0.5小时.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课先利用等式的基本性质来解方程，从而引出了移项的概念，然后让学生利用移项
的方法来解方程.学生在移项过程中，大致会遇到以下几种比较常见的情况：①含未知数的
项不知道如何处理；②移项没有变号；③没移动的项也改变了符号；第一种情况在授课过程
中强调不够，后面的两种情况出现最多，因此在教学设计当中应给学生进行针对性训练.引
导学生正确地解方程.
73去括号与去分母(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握去括号解一元一次方程的方法，能熟练求解一元一次方程(数字系数)，
能判别解的合理性.
(二)过程与方法：1.通过学生观察、独立思考等过程、培养学生归纳、概括的能力；2.进一步
74让学生感受到并尝试寻找不同的解决问题的方法.
(三)情感态度与价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神.
二、教学重点、难点
重点：如何审题、解题，且达到对一个题目举一反三的程度，学会从不同的角度分析问题的能
力.
难点：分析数量关系、列方程.
三、教学过程
去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
化简：(1) -2(3x+2)+4(x-2) (2) -3(3y-1)-(y+10)
解：(1) 原式=-6x-4+4x-8=-2x-12
(2) 原式=-9y+3-y-10=-10y-7
问题1 某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000kW·h(千
瓦·时)，全年用电15万kW·h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？
设上半年每月平均用电 x kW·h，则下半年每月用电___ kW·h；上半年共用电___
kW·h，下半年共用电________ kW·h.
根据全年用电15万kW·h，列得方程 6x+6(x-2000)=150000.
6x+6(x-2000)=150000
去括号
6x+6x-12000=150000
移项
6x+6x=150000+12000
合并同类项
12x=162000
系数化为1
x=13500
由上可知，这工厂去年上半年每月平均用电13500 kW·h.
思考
本题还有其他列方程的方法吗？用其他方法列出的方程应该怎样解？
设下半年每月平均用电 x kW·h，则上半年每月用电___ kW·h；下半年共用电___
kW·h，上半年共用电___________ kW·h. 根据全年用电15万kW·h，列得方程
6x+6(x+2000)=150000
去括号，得 6x+6x+12000=150000
移项，得 6x+6x=150000-12000
合并同类项，得 12x=138000
合并同类项，得 12x=138000
11500+2000=13500(kW·h)
因此，这工厂去年上半年每月平均用电13500 kW·h.
例1 解下列方程：
(1) 2x-(x+10)=5x+2(x-1) (2) 3x-7(x-1)=3-2(x+3)
解：(1) 去括号，得 2x-x-10=5x+2x-2
移项，得 2x-x-5x-2x=-2+10
合并同类项，得 -6x=8
75系数化为1，得
(2) 去括号，得 3x-7x+7=3-2x-6
移项，得 3x-7x+2x=3-6-7
合并同类项，得 -2x=-10
系数化为1，得 x=5
通过观察你发现什么？
顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度.
例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了
2.5h. 已知水流的速度是3km/h，求船在静水中的平均速度.
分析：一般情况下可以认为这艘船往返的路程相等，由此填空：顺流速度___顺流时间___逆
流速度___逆流时间.
解：设船在静水中的平均速度为x km/h，则顺流速度为_____ km/h，逆流速度为_____
km/h.
根据往返路程相等，列得
2(x+3)=2.5(x-3)
去括号，得 2x+6=2.5x-7.5
移项，得 2x-2.5x=-7.5-6
合并同类项，得 -0.5x=-13.5
系数化为1，得 x=27
答：船在静水中的平均速度为27 km/h.
练习
解下列方程：
(1) 2(x+3)=5x； (2) 4x+3(2x-3)=12-(x+4)；
(3) 6( x-4)+2x=7-( x-1)； (4) 2-3(x+1)=1-2(1+0.5x).
解：(1) 去括号，得 2x+6=5x
移项，得 2x-5x=-6
合并同类项，得 -3x=-6
系数化为1，得 x=2
(2) 去括号，得 4x+6x-9=12-x-4
移项，得 4x+6x+x=12-4+9
76合并同类项，得 11x=17
系数化为1，得
(3) 去括号，得 3x-24+2x=7- x+1
移项，得 3x+2x+ x=7+1+24
合并同类项，得
系数化为1，得 x=6
(4) 去括号，得 2-3x-3=1-2-x
移项，得 -3x+x=1-2-2+3
合并同类项，得 -2x=0
系数化为1，得 x=0
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的教学先让学生回顾去括号所学的知识. 然后通过一个实际问题，列出一个有
括号的方程，大胆放手让学生去探索、猜想各种方法，去尝试各种解题的途径，启发学生探索
新的解题方法.
去括号与去分母(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.会根据方程的特点，正确而熟练地去分母；2.能较熟练地通过去分母解
一元-次方程；3.归纳、掌握解一元一次方程的一般步骤.
77(二)过程与方法：在解决实际问题的过程中理清基本的数量关系，并能列出方程，感受方程
对解诀实际问题的作用.
(三)情感态度与价值观：渗透方程，思想，培养学生的方程意识；体会数学的化归思想：把复
杂变简单，将未知变已知的作用，体会数学的应用价值.
二、教学重点、难点
重点：熟练掌握去分母解一元一次方程，归纳解一元- -次方程的一般步骤.
难点：会根据方程的特点正确的去分母.
三、教学过程
纸草书
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物---纸草书.这
是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的
著作，它于公元前1700年左右写成.这部书中记载了许多有关
数学的问题，下面的问题2就是书中一道著名的求未知数的问
题.
问题2 一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33.
解：设这个数是x，根据题意得
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等. 这个方程中各分母的最小公倍数是42，
方程两边乘42，得
即 28x＋21x＋6x＋42x=1386
合并同类项，得 97x=1386
化系数为1，得
答：这个数为 .
去分母
这个方程中各分母的最小公倍数是10，方程两边乘10，于是方程左边变为
方程右边变为什么？你具体算算.
去分母(方程两边乘各分母的最小公倍数)
5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3)
去括号
15x+5-20=3x-2-4x-6
移项
15x-3x+4x=-2-6-5+20
78合并同类项
16x=7
系数化为1
方程两边的每一项都要乘10.
归纳
解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等.通
过这些步骤可以使以x为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化，这个过程主要依据等式的
基本性质和运算律等.
例3 解下列方程：
(1) (2)
(3) (4)
解：(1)去分母(方程两边乘4)，得
2(x+1)-4=8+(2-x)
去括号，得 2x+2-4=8+2-x
移项，得 2x+x=8+2-2+4
合并同类项，得 3x=12
系数化为1，得 x=4
(2)去分母(方程两边乘6)，得
18x+3(x-1)=18-2(2x-1)
去括号，得 18x+3x-3=18-4x+2
移项，得 18x+3x+4x=18+2+3
合并同类项，得 25x=23
系数化为1，得
问题 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是
70km/h，卡车的行驶速度是60km/h，客车比卡车早1h经过B地. A，B两地间的路程是多少？
如果设A，B两地相距x km，我们根据路程、速度和时间三者的关系，列得方程
去分母(方程两边乘420)，得 7x-6x=420
合并同类项，得 x=420
于是得出两地间的路程为420km.
练习
解下列方程：
(1) (2)
解：(1)去分母(方程两边乘100)，得
19x=21(x-2)
去括号，得 19x=21x-42
移项，得 19x-21x=-42
79合并同类项，得 -2x=-42
系数化为1，得 x=21
(2)去分母(方程两边乘4)，得
2(x+1)-8=x
去括号，得 2x+2-8=x
移项，得 2x-x=-2+8
合并同类项，得 x=6
(3)去分母(方程两边乘12)，得
3(5x-1)=6(3x+1)-4(2-x)
去括号，得 15x-3=18x+6-8+4x
移项，得 15x-18x-4x=6-8+3
合并同类项，得 -7x=1
系数化为1，得
(4)去分母(方程两边乘20)，得
10(3x+2)-20=5(2x-1)-4(2x+1)
去括号，得 30x+20-20=10x-5-8x-4
移项，得 30x-10x+8x=-5-4-20+20
合并同类项，得 28x=-9
系数化为1，得
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课采用的教学方法是讲练结合，通过一个简单的实例让学生明白去分母是解一元
一次方程的重要步骤，通过去分母可以把系数是分数的方程转化为系数是整数的方程，进而
使方程的计算更加简便. 在解方程中去分母时，发现学生还存以下问题：①部分学生不会找
各分母的最小公倍数，这点要适当指导；②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时，漏
乘不含分母的项；③当减式中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，
分子没有作为一个整体加上括号，容易弄错符号.
实际问题与一元一次方程(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：掌握利用一元一次方程解决实际问题，根据实际问题中的等量关系列出方
80程，掌握配套句题，培养分析问题，解决问题的能力.
(二)过程与方法：经历分析配套问题中的数量关系，列出方程，并依据乘法的分配律去括号，
感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力，体会
“建模”思想.
(三)情感态度与价值观：鼓励学生积极思考，合作交流，发展数学才能.
二、教学重点、难点
重点：根据配套问题中各量的数量关系，找出相等关系.
难点：根据等量关系列出正确的一元一次方程.
三、教学过程
课前热身
1.一个三角形的三边长度的比是3:4:5，最短的边比最长边短4，则三边各是多少？
解：设最短边为3x，则最长边为____，根据题意，列得方程____________.
2.铅笔每支1元，钢笔每支8元. 小明买回铅笔钢笔共8支，用了22元. 问小明买了铅笔钢
笔各多少支？
解：设小明买了x支铅笔，则买了_____支钢笔，根据题意，列得方程______________.
3.甲队有32人，乙队有40人，现在从乙队抽调 x 人到甲队，使得甲队的人数是乙队人数的
2倍，根据题意，列得方程_________________.
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉要配2
个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
这类问题中配套的物品之间具有一定的数量关系，这可以作为列方程的依据.
分析：每天生产的螺母数量是螺钉数量的2倍时，它们刚好配套.
解：设应安排x名工人生产螺钉，(22-x)名工人生产螺母.根据螺母数量应是
螺钉数量的2倍，列出方程
2000(22-x)=2×1200x
解方程，得 5(22-x)=6x
110-5x=6x
11x=110
x=10
22-x=12
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
如果设x名工人生产螺母，怎样列方程？
解：设应安排x名工人生产螺母，(22-x)名工人生产螺钉.根据螺母数量应是螺钉数量的2倍，
列出方程
2×1200(22-x)=2000x
解方程，得 6(22-x)=5x
132-6x=5x
-11x=-132
x=12
22-x=10
答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
工程问题
做某件工作，甲单独做要8时才能完成，乙单独做要12时才能完成，问：
①甲做1时完成全部工作量的几分之几？_______.
②乙做1时完成全部工作量的几分之几？_______.
81③甲、乙合做1时完成全部工作量的几分之几？_______.
④甲做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______.
⑤甲、乙合做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______.
⑥甲先做2时完成全部工作量的几分之几？_______；乙后做3时完成全部工作量的几分之
几？_______；甲、乙再合做 x 时完成全部工作量的几分之几？_______；三次共完成全部工
作量的几分之几？______________；结果完成了工作，则可列出方程：________________.
工作量＝工作效率×工作时间(常常把总工作量看作1)
例2 整理一批图书，由一个人做要40h完成. 现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他
们一起做8h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
这类问题中常常把总工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人数×时间”的关系考虑
问题.
分析：这里可以把总工作量看作1；工作量=人均效率×人数×时间.
人均效率(一人做1h完成工作量)为( )
x人１h完成的工作量( )
x人４h完成的工作量( )
增加２人后再做８h，完成工作量为( )
这两个工作量之和为( ).
解：设安排x人先做4h. 根据先后两个时段的工作量之和应等于总工作量，列出方程
解方程，得 4x+8(x+2)=40
4x+8x+16=40
12x=24
x=2
答：应安排2人先做4h.
归纳
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
这一过程一般包括设、列、解、检、答等步骤，即设未知数，列方程，解方程，检验所得结果，确
定答案. 正确分析问题中的相等关系是列方程的基础.
练习
1.一套仪器由一个A部件和三个B部件构成. 用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件.
现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪
器多少套？
解：设应用x m3钢材做A部件，(6-x)m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器40x套.根据题意，
得 3×40x=240(6-x)
解方程，得 x=4
6-x=6-4=2，40x=160
82答：应用4m3钢材做A部件，2m3钢材做B部件，恰好配成这种仪器160套.
2.一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这
两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解：设两队同时施工x天可以铺好.根据题意，得
解方程，得 2x+x=24
x=8
答：两队同时施工8天可以铺好这条管线.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课以生活中常见的一个问题展开，提高学生的兴趣，让学生们认识到数学知识与我
们的实际生活息息相关. 然后通过例题教学，为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、
讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习的积极性. 让学生在实践中获得解决问题的方
法，得到学习的乐趣.
实际问题与一元一次方程(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：使学生能根据商品销售问题中的数量关系找出等量关系，列出方程，掌握
83商品盈亏的求法.
(二)过程与方法：培养学生分析问题、解决实际问题的能力.
(三)情感态度与价值观：让学生在实际生活问题中感受到数学的价值.
二、教学重点、难点
重点：弄清商品销售中的“进价”、“标价”、“售价”及“利润”的含义.
难点：让学生知道商品销售中的盈亏的算法.
三、教学过程
销售海报
预备知识
你能根据自己的理解说出它们的意思吗？
成本价：购进商品时的价格(有时也叫进价).
售价：在销售商品时的售出价(有时称成交价).
标价：在销售时标出的价(有时称定价).
打折：销售价占标价的百分率. 例如某种服装打8折即按标价的80%出售.
利润：在销售商品的过程中的纯收入. 即：利润=售价-成本价
利润率(盈利率)：利润占进价的百分率. 即：利润率= ×100%
预备练习
(1)原价100元的商品打8折后价格为______元；
(2)原价100元的商品提价40%后的价格为_____元；
(3)进价80元的商品以100元卖出，利润率是________；
(4)原价x元的商品打8折后价格为________元；
(5)原价x元的商品提价40%后的价格为_______元；
(6)原价10元的商品提价p%后的价格为__________元.
想一想
1.如果一件商品的进价是40元，售价是60元，那么商品的利润是多少？
利润=60-40=20(元)
2.如果一件商品的进价是40元，售价是20元，那么商品的利润是多少？
利润=20-40=-20(元)，即亏损20元.
3.假设一件商品的进价是40元，(1)如果卖出后盈利25%，那么商品的利润应怎样求？(2)如
果卖出后亏损25%，商品的利润又怎样求？
利润=进价×利润率
(1) 商品的利润是40×25%=10(元)
(2) 商品的利润是40×(-25%)=-10(元)，即亏损10元.
探究1 销售中的盈亏
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈
利25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或
是不盈不亏？
84问题1：你估计盈亏情况是怎样的？
盈利、亏损、不盈不亏
问题2：销售的盈亏决定于什么？
总售价 ？ 总成本(两件衣服的成本之和)
120＞总成本 盈利；120＞总成本 亏损；120＝总成本 不盈不亏
问题3：两件衣服的成本各是多少元？
盈利的一件
解：设盈利25%的那件衣服进价是x元. 根据题意，得
x+0.25x=60
解方程，得 x=48
亏损的一件
解：设亏损25%的那件衣服进价是y元. 根据题意，得
y-0.25y=60
解方程，得 y=80
两件衣服的进价是x＋y＝48＋80＝128元，而两件衣服的售价是60＋60＝120元，进价大于
售价，由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.
练习
1.某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同. 其
中，每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价.
解：设小书包的进价为x元. 根据题意，得
30%x=20%(x+10)
解方程，得 3x=2(x+10)
3x=2x+20
x=20
x+10=30
答：小书包的进价为20元，大书包的进价为30元.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课从和我们的生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在
生活实际中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣. 根据“实际售价＝进价＋利润”等数
量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题.审清题意，找出等量关系是解决问
题的关键. 另外，商品经济问题的题型很多，让学生触类旁通，达到举一反三，灵活的运用有
关的公式解决实际问题，提高学生的解题能力.
实际问题与一元一次方程(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法；2.
85学会解决信息图表问题的方法.
(二)过程与方法：经历探索球赛积分中数量关系的过程，进一步体会方程式解决实际问题的
数学模型.
(三)情感态度与价值观：认识数学与生活的紧密联系、数学题目的形式多样性，培养学生学
习数学的兴趣.
二、教学重点、难点
重点：掌握用方程计算球赛积分问题和信息图表问题的方法.
难点：学会从图表中获取有用的信息，找出等量关系列方程.
三、教学过程
篮球赛场
探究2 球赛积分表问题
问题1：你能从表格中了解到哪些信息？
问题2：你能从表格中看出负一场积多少分吗？
观察积分榜，从最下面一行可以看出：负一场积1分.
问题3：你能进一步算出胜一场积多少分吗？
解：设胜一场积x分，根据表中第一行，得
10x＋1×4＝24
解得 x＝2
所以，胜一场积2分.
结论：负一场积1分，胜一场积2分.
问题4：用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系.
解：如果一个队胜m场，则负_______场，胜场积分为___，负场积分为_______.
总积分为：2m＋(14－m)＝m＋14
问题5：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
解：设一个队胜了x场，则负了(14－x)场.根据题意，得
2x＝14－x
解方程，得 x＝
86想一想，x表示什么量？它可以是分数吗？
x(所胜的场数)的值必须是整数，所以x＝ 不符合实际，由此可以判定没有哪个队的胜场
总积分等于负场总积分.
这个问题说明：利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.
练习
3.下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每
次活动时间相同.
请将九年级课外兴趣小组活动次数填入上表.
解：由上表中七、八年级的数据可得每次文艺活动时间为12.5-10.5=2h，设科技活动的时间
为x h，根据表中七年级的数据列得4×2+3x=12.5，解得x=1.5，即每次科技活动的时间为
1.5h. 由于活动次数是整数，所以只能2×2+2×1.5=7h.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课主要是借球赛积分表问题学习数学知识的应用. 由于本节问题的背景和表达都
比较贴近实际，因为其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难点，
教师要恰当的引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的
主要相等关系，但教师不要代替学生的思考，要鼓励学生自主探究.
实际问题与一元一次方程(4)
一、教学目标
(一)知识与技能：会根据实际问题中数量关系列方程解决实际问题，熟练掌握一元一次方程
87的解法.
(二)过程与方法：培养学生的分析、解决问题的能力，敢于发表自己的观点，学会分享别人的
想法与结论，并重视审视自己的想法，能从交流中获益.
(三)情感态度与价值观：通过开放性问题的设计，培养学生创新能力和挑战自我的意识，增
强学生的学习兴趣，从而激发学习数学的热情.
二、教学重点、难点
重点：建立方程模型解决电话计费类似的实际问题.
难点：由实际问题抽象出数学模型的探究过程.
三、教学过程
套餐广告
探究3 电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式.
问题1 你了解表格中这些数字的含义吗？
月使用费固定收；主叫不超限定时间不再收费，主叫超时部分加收超时费；被叫免费.
问题2 你认为选择哪种计费方式更省钱呢？
计费方式一
计费方式二
“与主叫时间相关”
问题3 设一个月内用移动电话主叫为 t min( t 是正整数).根据上表，列表说明：当 t 在不
同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
问题4 观察以上列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？
88列方程：58+0.25(t-150)=88
解得 t=270
因此，当t=270min时，按两种方式计费相等，都是88元.
问题5 那么当t大于150且小于270和t大于270且小于350时，两种方式计费哪种更省钱
呢？
如果t大于150且小于270时，按方式一的计费少于按方式二的计费(88元)；如果t大于
270且小于350时，按方式一的计费多于按方式二的计费(88元).
问题6 当t大于350时，两种方式计费哪种更省钱呢？
当t大于350时，58+0.25(t-150)可变形为108+0.25(t-350)即按方式一的计费为108元
加上超过350min部分的超时费0.25(t-350)，按方式二的计费为 88 元加上超过350min部
分的超时费0.19(t-350)，显然按方式二的计费少.
问题7 综合以上的分析，可以发现：
_______________时，选择方式一省钱；_______________时，选择方式二省钱.
选一些具体数字，通过计算验证你的发现是否正确.
练习
2.用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20
时，超过部分每页收费降为0.09元. 在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收
费0.1元. 如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？(复印的页数不为零)
解：设复印页数为x，根据题意，列表得
(1)当x小于20时，0.12x大于0.1x恒成立，图书馆价格便宜；
(2)当x等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜；
(3)当x大于20时，根据题意，得
2.4+0.09(x-20)＝0.1x
解得 x＝60
所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；当x大于60时，誊印社价格便宜.
综上所述：
当x小于60页时，图书馆价格便宜；
当x等于60页时，两处收费相同；
当x大于60页时，誊印社价格便宜.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课主要通过教师层层设问，由浅入深，循序渐进，引导学生对问题的逐步探究，最终
得到电话计费问题的解决. 首先从熟悉的实际生活入手，切入课题，让学生感受生活中处处
有数学，数学来源于实践，也服务于实践．本节教学要以学生为主体，以探究为主线，采取合
作交流的探究方式进行学习，使学生的知识得到巩固的同时，生活经验、学习方法等也得到
提高.
89第3章一元一次方程小结与复习
一、教学目标
1.复习一元-次方程全章的知识结构、复习一元一次方程的相关概念、等式的性质、一元一次
方程的解法；2.在复习的过程中，体会解方程的目标和化归思想；3.通过知识梳理体会数学
问题从产生到解决的过程以及数学知识体系建立的过程，增强数学应用的意识，提高学习数
学的热情.
二、教学重点、难点
重点：等式的性质及一元一次方程的解法.
90难点：找等量关系列一元一次方程.
三、教学过程
知识梳理
一、方程的有关概念
1.方程：含有未知数的等式叫做方程.
2.一元一次方程的概念：只含有一个未知数，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样
的方程叫做一元一次方程.
3.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
4.解方程：求方程解的过程叫做解方程.
二、等式的性质
1.等式的性质1：
等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等.如果a=b，那么a±c=b±c.
2.等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b(c≠0)，那么 = .
三、一元一次方程的解法
解一元一次方程的一般步骤：
1.去分母：方程两边都乘各分母的最小公倍数，别漏乘.
2.去括号：注意括号前的系数与符号.
3.移项：把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程右边，移项注意要改变符号.
4.合并同类项：把方程化成ax＝b(a≠0)的形式.
5.系数化为1：方程两边同除以x的系数，得x＝m的形式.
四、实际问题与一元一次方程
1.列方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意，分清题中的已知量、未知量.
设：设未知数，设其中某个未知量为x.
列：根据题意寻找等量关系列方程.
解：解方程.
验：检验方程的解是否符合题意.
答：写出答案(包括单位).
2.常见的几种方程类型及等量关系：
(1)行程问题中基本量之间的关系：路程＝速度×时间
① 相遇问题：全路程＝甲走的路程＋乙走的路程
② 追及问题：甲为快者，被追路程＝甲走路程－乙走路程
③ 流水行船问题：v ＝v ＋v ，v ＝v －v
顺 静 水 逆 静 水
(2)工程问题中基本量之间的关系：
① 工作量＝工作效率×工作时间
② 合作的工作效率＝工作效率之和
③ 工作总量＝各部分工作量之和＝合作的工作效率×工作时间
④ 在没有具体数值的情况下，通常把工作总量看做1.
(3)销售问题中基本量之间的关系：
① 商品利润＝商品售价－商品进价
91② 利润率＝ ×100%
③ 商品售价＝标价×
④ 商品售价＝商品进价＋商品利润＝商品进价＋商品进价×利润率＝商品进价×(1＋利
润率)
考点讲练
考点一 方程的有关概念
例1 如果x＝2是方程 的解，那么a的值是( )
A.0 B.2 C.－2 D.－6
针对训练
1.若(m＋3)x|m|-2＋2＝1是关于x的一元一次方程，则m的值为_____.
注意：结合一元一次方程的定义求字母参数的值，需谨记未知数的系数不为0.
考点二 等式的基本性质
例2 下列说法正确的是( )
A.x＋1＝2＋2x变形得到1＝x B.2x＝3x变形得到2＝3
C.将方程 系数化为1，得 D.将方程3x＝4x－4变形得到x＝4
针对训练
2.下列运用等式的性质，变形正确的是( )
A.若x＝y，则x－5＝y＋5 B.若a＝b，则ac＝bc
C.若 ，则2a＝3b D.若x＝y，则
考点三 一元一次方程的解法
例3 解下列方程：
(1) 3x＋1＝4－2(x－3) (2)
解：(1)去括号，得 3x+1=4-2x+6
移项，得 3x+2x=4+6-1
合并同类项，得 5x=9
系数化为1，得 x=
(2)去分母，得 3(2x+1)-12=12x-(10x+1)
去括号，得 6x+3-12=12x-10x-1
移项，得 6x-12x+10x=-1-3+12
合并同类项，得 4x=8
系数化为1，得 x=2
针对训练
3.解下列方程：
(1) (2)
92解：(1)去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
(2)去分母，得 2(x-2)=20-5(x+3)
去括号，得 2x-4=20-5x-15
移项，得 2x+5x=20-15+4
合并同类项，得 7x=9
系数化为1，得 x=
考点四 实际问题与一元一次方程
例4 一轮船在甲、乙两码头间往返航行，已知船在静水中速度为7km/h，水流速度为2
km/h，往返一次共用28h，求甲、乙两码头之间的距离.
解：设甲、乙两码头之间的距离是x km.根据题意，得
解得 x=90
答：甲、乙两码头之间的距离是90km.
针对训练
4.小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15千米，可早到10分钟；每小时骑12千米，就会迟
到5分钟，则他家到学校的路程是多少千米？
解：设他家到学校的路程是x千米.根据题意，得
解得 x=15
答：他家到学校的路程是15千米.
例5 抗洪救灾小组在甲地有28人，乙地有15人，现在又调来17人，分配在甲、乙两地，要求
调配后甲地人数与乙地人数之比为3:2，求应调至甲地和乙地各多少人？
解：设应调至甲地x人，则调至乙地的人数为(17-x)人.根据题意，得
2(28+x)=3(15+17-x)
解得 x=8，则17-x=9
答：应调至甲地8人，乙地9人.
针对训练
5.春节期间，甲、乙两商场有某品牌服装共450件，由于甲商场销量上升，需从乙商场调运该
服装50件，调运后甲商场该服装的数量是乙商场的2倍，求甲、乙两商场原来各自有该品牌
服装的数量.
解：设甲商城原来有该品牌服装x件，则乙商城原来有该品牌服装(450-x)件.根据题意，得
x+50=2[(450-x)-50]
解得 x=250，则450-x=200
答：甲商城原来有该品牌服装250件，乙商城原来有该品牌服装200件.
93例6 一项工作，甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，丙单独做24天完成.现甲、乙合作3
天后，甲因有事离去，由乙、丙合作，则乙、丙还要几天才能完成这项工作？
解：设乙、丙还要x天才能完成这项工作.根据题意，得
解得 x=3
答：乙、丙还要3天才能完成这项工作.
针对训练
6.一辆拖拉机耕一片地，第一天耕了这片地的 ，第二天耕了剩余部分的 ，还剩下42公顷，
则这片地共有多少公顷？
解：设这片地共有x公顷.根据题意，得
解得 x=189
答：这片地共有189公顷.
例7 某个商品的进价是500元，把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率
搞促销活动，请你计算一下广告上可写出最多打几折？
解：设最多可以打x折.根据题意，得
500×(1+40%)× =500×(1+12%)
解得 x=8
答：广告上可写出最多打8折.
针对训练
7.一家商店将某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种
商品每件仍可获利24元，问这件商品的进价是多少元？
解：设这件商品的进价是x元.根据题意，得
x(1+40%)× =x+24
解得 x=200
答：这件商品的进价是200元.
例8 小王逛超市看到如下两个超市的促销信息：
假设两家超市相同商品的标价都一样.
(1)当一次性购物标价总额是300元时，甲、乙超市实付款分别是多少？
(2)当标价总额是多少时，甲、乙超市实付款一样？
(3)小王两次到乙超市分别购物付款198元和466元，若他只去一次该超市购买同样多的商
品，可以节省多少元？
94解：(1)甲超市实付款：300×0.88=264(元)，乙超市实付款：300×0.9=270(元).
(2) 设当标价总额是x元时，甲、乙超市实付款一样.由题意知，当x≤500时，甲超市的促销
力度大于乙超市，此时，标价总额一样的条件下，甲超市实付款始终小于乙超市实付款，所以
x＞500.根据题意，得
0.88x=500×(1-10％)+0.8(x-500)
解得 x=625
答：当标价总额是625元时，甲、乙超市实付款一样.
(3)由题意知：①购物标价总额不超过200元，不予优惠；②大于等于200元小于500元，实付
款大于等于200×0.9=180(元)，小于500×0.9=450(元)；③大于等于500元，实付款大于等
于450元.
小王第一次购物付款198元＜200元，购物标价可能是198元，也可能是198÷0.9=220(元)；
第 二 次 购 物 付 款 466 元 ＞ 450 元 ， 所 以 购 物 标 价 大 于 500 元 ， 为 (466-
450)÷0.8+500=520(元).所以，小王两次购物标价之和为 198+520=718(元)，或
220+520=740(元).
若他只去一次该超市购买同样多的商品，实付款为500×0.9+0.8×(718-500)=624.4(元)，
或500×0.9+0.8×(740-500)=642(元).
可以节省：198+466-624.4=39.6(元)，或198+466-642=22(元).
答：若他只去一次该超市购买同样多的商品，可以节省39.6元或22元.
针对训练
8.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：
在甲超市累计购买商品超出300元之后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市累计购买商品
超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠. 设顾客累计购物x元(x＞300).
(1)请用含字母x的式子分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
(2)李明准备购买500元的商品，你认为他应该去哪家超市？请说明理由.
(3)计算一下，李明购买多少元的商品时，到两家超市
购物所付的费用一样？
解：(1)顾客在甲超市购物所付的费用为：300+0.8(x-300)=(0.8x+60)元(x＞300)；
顾客在乙超市购物所付的费用为：200+0.85(x-200)=(0.85x+30)元(x＞300).
(2)他应该去乙超市，理由如下：
当x=500时，在甲超市购物所付的费用为：0.8×500+60=460(元)
在乙超市购物所付的费用为：0.85×500+30=455(元)
因为，460＞455
所以，他去乙超市划算.
(3)根据题意，得 0.8x+60=0.85x+30
解得 x=600
答：李明购买600元的商品时，到两家超市购物所付的费用一样.
9.为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超
过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按
0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费.
(1)若居民甲在6月份用电100度，则他这个月应缴纳电费_____元；若居民乙在7月份用电
200度，则他这个月应缴纳电费_____元；若居民丙在8月份用电300度，则他这个月应缴纳
电费_____元.
(2)若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？
解：设他这个月用电x度.根据题意，得
950.50×100+0.65×(200-100)+0.75×(x-200)=310
解得 x=460
答：他这个月用电460度.
立体图形与平面图形(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：初步认识立体图形和平面图形的概念，能从具体物体中抽象出立体图形，
96能举出类似于几何图形的物体实例.
(二)过程与方法：学生在探索实物与立体图形关系的活动过程中，通过观察思考、实践、类比、
推断等数学活动，能从具体实物中抽象出几何图形，再用几何图形描述一些现实中的物体.
(三)情感态度与价值观：让学生形成主动探究的意识，丰富学生数学活动的成功体验，激发
学生对几何图形的好奇心，培养合作交流的意识.
二、教学重点、难点
重点：识别简单几何体.
难点：从具体事物中抽象出几何图形.
三、教学过程
创设情境
宏伟的城市建筑、简朴的乡村住宅、四通八达的立交桥、独具创意的标志设计……
几何图形
对于生活中各种各样的物体，数学关注的是它们的形状、大小和位置. 而它们的颜色、
重量、材料等则是其他学科所关注的.
长方体、圆柱、球、长(正)方形、圆、线段、点等，以及小学学习过的三角形、四边形等，都
是从形形色色的物体外形中得出的，它们都是几何图形. 几何图形是数学研究的主要对象
之一.
立体图形
你能说出下列图形的名称吗？
有些几何图形(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)的各部分不都在同一平面内，它们
是立体图形. 棱柱、棱锥也是常见的立体图形.
棱柱和棱锥
97思考
下图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来.
平面图形
有些几何图形(如线段、角、三角形、长方形、圆等)各部分都在同一平面内，它们是平面
图形.
思考
下面各图中包含哪些简单的平面图形？请再举出一些平面图形的例子.
虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的. 立体图形中
某些部分是平面图形，例如长方体的侧面是长方形或正方形.
练习
981.如图，说出下图中的一些物体的形状所对应的立体图形.
2.图中的各立体图形的表面包含哪些平面图形？试指出这些平面图形在立体图形中的位置.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节利用课件展示图片，联系生活实际，激发学习兴趣，调动学生的积极性. 使学生以
最佳状态投入到学习中去. 使学生在讨论交流的基础上总结出立体图形和平面图形的特征.
99立体图形与平面图形(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.能画出从不同方向看一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及由它
们的简单组合得到的平面图形；2.初步认识立体图形与平面图形之间的关系.
(二)过程与方法：1.经历从不同方向观察同一物体可能看到不一样的结果，了解为什么要从
不同方向看，培养学生全面观察的能力；2.在立体图形与平面图形相互转换过程中，初步建
立空间观念，发展几何直觉，渗透数学转化思想.
(三)情感态度与价值观：1.激活学生对学习空间与图形的兴趣；2.渗透正确的审美观念；3.
通过师生，生生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识.
二、教学重点、难点
重点：识别一些基本几何体(直棱柱、圆柱、圆锥、球)以及由它们的简单组合得到的平面图形.
难点：画出从正面、左面、上面看简单组合体得到的平面图.
三、教学过程
创设情境
《题西林壁》“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”
(1)小华和小颖看到的图像一样吗？下面四幅图中，你认为哪幅是小华看到的？哪幅是小颖
看到的？
(2)如果你想看到所有的物体，那么你应该站在什么位置？
五个方向
下面的五幅图分别是从什么方向看到的？
立体转平面
对于一些立体图形的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理. 从不同方向看立
体图形，往往会得到不同形状的平面图形. 在建筑、工程等设计中，也常常用从不同方向看
到的平面图形来表示立体图形.
100三视图
我们从不同的方向观察一物体时，可能看到不同的图形. 其中，把从正面看到的图叫做
主视图，把从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图.
(注：俯视图通常画在主视图的下面，左视图通常画在主视图的右面)
设计师应用
图(1)是一个工件的立体图，设计师们常常画出从不同方向看它得到的平面图形来表示
它图(2).
探究
下图是一个由9个正方体组成的立体图形，分别从正面、左面、上面观察这个图形，各能
得到什么平面图形.
101练习
1.如图，右边的平面图分别是从哪个方向看左边的立体图形得到的？
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本课时先通过创设情景，跨越学科界限，让苏东坡的一首《题西林壁》把同学们带入了一
个如诗如画的境界，再从诗歌中提炼出隐含的数学知识，激发学生的学习兴趣. 由小组合作，
让学生主体参与，探索新知，充分体现了以学生为主体的新理念.
102立体图形与平面图形(3)
一、教学目标
(一)知识与技能：能根据展开图初步判断能否围成正方体，能解决有关正方体与其平面展开
图的问题，并进一步认识立体图形与平面图形之间的关系.
(二)过程与方法：通过动手、观察、操作、推断、分类等教学活动，了解正方体的侧面展开图.
(三)情感态度与价值观：培养学生的空间想象力，感受数学思考过程的条理性，发展形象思
维； 通过学生的探讨活动，提高学生学习数学的热情.
二、教学重点、难点
重点：正方体的展开图.
难点：正确判断以及运用正方体展开图解题.
三、教学过程
小壁虎的难题：
如图：一只圆桶的下方有一只壁虎，上方有一只蚊子，壁虎要想
尽快吃到蚊子，应该走哪条路径？
你有何高招？
包装盒
要设计、制作一个包装盒，除了美术设计以外，还要了解它展开后的形状，好根据它来准
备材料，这就是我们今天学习的立体图形的展开图.
展开图
有些立体图形是由一些平面图形围成的，将它们的表面适当剪开，可以展成平面图形.
这样的平面图形称为相应立体图形的展开图.
剪正方体
用剪刀把桌上的正方体纸盒按任意方式展开，你能得到哪些不同的展开图？
要求：1.沿着棱剪开2.不能剪散
成果展示
103探究
下面是一些立体图形的展开图，用它们能围成什么样的立体图形？把它们画在一张硬
纸片上，剪下来，折叠、粘贴，看看得到的图形和你想象的是否相同.
练习
2.如图，把相应的立体图形与它的展开图用线连起来.
3.下列图形中可以作为一个正方体的展开图的是( )
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节利用课件展示图片，联系生活实际，激发学习兴趣，调动学生的积极性，使学生以最
104佳状态投入到学习中去. 由小组合作，让学生主体参与，探索正方体的11种平面展开图，充
分体现了以学生为主体的新理念，同时再一次让学生亲身感受立体图形与平面图形之间的
联系.
105点、线、面、体
一、教学目标
(一)知识与技能：通过丰富的实例认识几何图形的基本元素：点、线、面、体进行排列造型.
(二)过程与方法：认识到点线面体的静态关系和动态关系，发展学生初步建立几何直觉，培
养学生创新思维能力和耐心细心的学习习惯.
(三)情感态度与价值观：体验生活中的点线面给人们带来的美感，培养学生热爱生活的态度；
感受生活中点、线、面独特的艺术语言及艺术魅力，激发学生的学习兴趣.
二、教学重点、难点
重点：感受生活中点、线、面独特的艺术语言及艺术魅力，培养艺术感知能力和造型表现
能力.
难点：恰当地运用点、线、面的组织原理进行造型活动.
三、教学过程
猜谜语
谜语：千条线万条线，落到水中看不见. (打一自然物)—雨点
你能用数学语言来描述这一现象吗？(点动成线)
几何体
我们先来认识“体”. 观察一本书、圆罐、篮球，从它们外形中分别可以抽象出什么立
体图形？
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体. 几何体简称体.
平面与曲面
如图：四棱锥有___个面；圆柱有___个面；圆锥有___个面. 再联想上一课“展开图”的
知识，可以得出结论：包围着体的是_____.
观察这些面，它们有区别吗？
四棱锥的5个面是平的；圆柱的侧面是曲的，上、下两个底面是平的；圆锥的侧面是曲的，
底面是平的.
面有平的面(平面)和曲的面(曲面)两种.
观察我们的教室和周围环境，举出一些实际生活中“面”的例子，并指出哪些面是平的，
那些面是曲的？
106点与线
观察几何体模型，回答下列问题：
(1)面与面相交的地方形成了什么图形？它们有什么不同？
(2)线与线相交的地方形成了什么图形？它们有什么不同？
面与面相交的地方形成线，线分为直线和曲线；
线与线相交的地方是点，点只代表位置，没有大小，所以点都是相同的.
线的形象
点的形象
思考
右图是一个长方体，它有____个
面，面和面相交的地方形成了____条
棱，棱和棱相交成____个顶点.
几何图形都是由________________组成的.
在点、线、面、体中最基本的元素是____.
物体的运动会留下运动轨迹，这些运动轨迹往往也能抽象成几何图形. 如果把笔尖看
成一个点，这个点在纸上运动时，形成的图形是什么？动手试一试.
点动成线
107线动成面
观察下列动画，你发现了什么？
面动成体
观察下列动画，你发现了什么？
练习
1.围成下面这些立体图形的各个面中，哪些面是平的？哪些面是曲的？
2.如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立体图形，把有对应关系的平面图
形与立体图形连接起来.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
在本节课的教学设计中，改变以往注重知识的传授的倾向，强调学生形成积极主动的学
习态度，关注学生的学习兴趣和体验. 数学学习活动中，应用多媒体给学生创设了生动的学
习活动情景，引导学生观察生活中的美妙画面，激发学生的学习兴趣，对点、线、面、体知识有
了初步的认识. 在学习中注重让学生主动参与学习活动，观察感受，亲身经历体验图形的变
化过程，通过自主、合作、探究学习，感悟知识的生成、变化、发展，激发学生的联想与再创造
108能力.
直线、射线、线段(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.理解直线、射线、线段的概念和它们的联系与区别，掌握它们的表示
方法；2.理解并掌握直线的性质，了解它在生活中和生产实际中的应用；3.直观了解平面上
两条直线具有相交与不相交两种位置关系；4.会根据语言描述画出图形.
(二)过程与方法：1.能在现实情境中，进行抽象的数学思考，提高抽象概括能力；2.经历画图
的数学活动过程，提高学生的动手操作与实践能力.
(三)情感态度与价值观：体验通过实验获得数学猜想，得到直线性质的过程.
二、教学重点、难点
重点：理解并掌握直线性质，会用字母表示图形和根据语言描述画出图形.
难点：理解画图语言，建立图形与语言之间的联系.
三、教学过程
创设情境
思考
(1)如图，要在墙上固定一根木条，至少需要几个钉子？
(2)如图，经过一点O画直线，能画出几条？经过两点A、B呢？动手试试.
基本事实
经过思考和画图，我们可以得到一个基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单说成：两点确定一条直线.
基本事实是人们在长期实践中总结出来的结论，有些基本事实也称为公理.
在日常生活和生产中常常用到这个基本事实. 例如，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚
109的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线；植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使
同一行树坑在一条直线上；等等.
表示法
结合直线自身的特点，请同学们想一想，我们该怎样表示一条直线呢？
直线有两种表示方法：
(1)可以用一个小写字母表示直线；
(2)因为“两点确定一条直线”，所以也可以用直线上的两点表示直线.
直线 l 或 直线AB(BA)
观察下图，用你自己的语言，试着表述图(1)、(2)中的点与线关系和线与线关系.
(1) 点O在直线 l 上(直线 l 经过点O)，点P在直线 l 外(直线 l 不经过点P).
一个点在一条直线上，也可以说这条直线经过这个点；一个点在直线外，也可以说直线
不经过这个点.
(2) 直线 a 和 b 相交于点O.
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做他们的
交点.
射线和线段都是直线的一部分，类比直线的表示方法，你认为应怎样恰当的表示射线和
线段呢？
线段AB(BA) 或 线段a (其中点A、B是线段的端点.)
射线OA 或 射线 l (其中点O是射线的端点且端点一定要写在前面，用一个小写字母表示射
线时，图上也要体现射线的端点.)
怎样由一条线段得到一条射线或一条直线.
把线段向一个方向无限延伸可得到射线.
把线段向两个方向无限延伸可得到直线.
填写表格，归纳直线、射线、线段的联系与区别.
110练习
1.判断下列说法是否正确：
(1) 线段AB与射线AB都是直线AB的一部分；( )
(2) 直线AB与直线BA是同一条直线；( )
(3) 射线AB和射线BA是同一条射线；( )
(4) 把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线.( )
2.按下列语句画出图形：
(1)直线EF经过点C； (2)点A在直线 l 外；
解： 解：
(3)经过点O的三条线段a、b、c； (4)线段AB，CD相交于点B.
解： 解：
3.用适当的语句表述图中点与直线的关系：
解：(1)点A在直线l(AB)上，点B在直线l(AB)上，点P在直线l(AB)外；
(2)直线b与c相交于点A，直线a与b相交于点B，直线a与c相交于点C，点A在直线a外，
点B在直线c外，点C在直线b外.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课是学生学习几何图形知识的基础，这堂课需要掌握的知识点多，而且比较抽象.
教师在教学时要体现新课程的三维目标，通过观察分析认识直线、射线和线段，掌握它们之
间的联系与区别，有效地利用学生已有的旧知来引导学生学习新知，并在此基础上引出射线.
接着由射线引入直线，并比较三者之间的关系，为后面学习新知做好了铺垫.
111直线、射线、线段(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.使学生发现线段长短比较的一般方法；2.会用几何语言表示两线段之间
的大小关系，了解线段线段和、差的概念；3.会画一条线段等于已知线段，会画两条线段的和、
差；4.利用丰富的活动情景，让学生体验到两点之间线段最短的性质，并能初步应用；
5.知道两点之间的距离和线段中点的含义.
(二)过程与方法：经历将实际问题抽象为数学问题的过程，经历个体思考、小组交流、全班交
流的合作化学习过程，渗透数形结合的数学思想方法.
(三)情感态度与价值观：培养学生应用数学的意识，让学生体会数学的应用价值.
二、教学重点、难点
重点：线段长短比较、线段的性质是重点.
难点：线段上点、三等分点、四等分点的表示方法及运用是难点.
三、教学过程
问题 老师手里的纸上有一条线段，你能在你的本上作出一条同样大小的线段来吗？
尺规作图
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
作一条线段等于已知线段.
则：线段AB就是所求的线段.
思考
如何比较两个人的身高？
怎样比较两条线段的长短呢？
你能从比身高上受到一些启发吗？
你能再举出一些比较线段长短的实例吗？
1.度量法 2.叠合法
判断线段AB和CD的大小.
(1)如图1，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；
112(2)如图2，线段AB和CD的大小关系是AB___CD；
(3)如图3，线段AB和CD的大小关系是AB___CD.
如图，线段AB和AC的大小关系是怎样的？线段AC与线段AB的差是哪条线段？你还能
从图中观察出其他线段间的和、差关系吗？
(1) AB＜AC (2) AC－AB＝BC，AC－BC＝AB，BC＋AB＝AC
线段和差
如图，已知线段a和线段b，怎样通过作图得到a与b的和、a与b的差呢？
线段中点
如图，已知线段a，求作线段AB＝2a.
解：
则：线段AB＝2a.
如上图，点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM；点M叫做线段AB的中点.
因此可得：M＝BM＝ AB，AB＝2AM＝2BM.
折纸得到线段AB的中点M.
类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.
AM＝MN＝NB＝ AB，AB＝3AM＝3MN＝3NB
AM＝MN＝NP＝PB＝ AB，AB＝4AM＝4MN＝4NP＝4PB
思考
如图，从A地到B地有四条道路，除它们之外能否再修一条从A地到B地的最短道路？
如果能，请联系你以前所学的知识，在图上画出最短路线.
两点的所有连线中，线段最短.
简单说成：两点之间，线段最短.
连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.
练习
1.估计下列图中线段AB与线段AC的大小关系，再用刻度尺或用圆规来检验你的估计.
113AB___AC AB___AC AB___AC
2.如图，已知线段a、b，作一条线段，使它等于2a－b.
解：
则：线段AC=2a－b.
3.如图，点D是线段AB的中点，C是线段AD的中点，若AB＝4cm，求线段CD的长度.
解：因为，D是线段AB的中点且AB＝4cm
所以，AD＝ AB=2cm
因为，C是线段AD的中点
所以，CD＝ AD=1cm
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课通过比较两个人的高矮这一生活中的实例让学生进行思考，从而引出课题，极大
地激发了学生的学习兴趣；并通过动手操作，亲身体验用叠合法比较线段的长短. 教师要尝
试让学生自主学习，优化课堂教学中的反馈与评价. 通过评价，激发学生的求知欲，坚定学
生学习的自信心.
114角
一、教学目标
(一)知识与技能：通过丰富的实例，理解角的有关概念，并认识角的表示方法，在此基础上能
了解角度制并能进行度与度分秒之间的转化.
(二)过程与方法：经历运用图形描述现实世界的过程，通过由学生观察实物图形抽象出角的
定义，培养学生的抽象概括能力.
(三)情感态度与价值观：在学习过程中，感受数学与生活密切联系，激发学生学习数学的兴
趣和积极性.
二、教学重点、难点
重点：角的概念与角的表示方法.
难点：正确理解角的概念.
三、教学过程
创设情境
宝剑锋从磨砺出，
梅花香自苦寒来.
同学们听过这句诗吗？它的含义是什么？为什么宝剑磨了会锋利呢？
角的定义
我们已经了解了生活中“角”的形象，那么什么样的图
形才是角呢？
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端
点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.
火眼金睛
下面的四个图形是角吗？
角的表示方法
115(1)角通常用三个字母及符号“∠”来表示，如上图中角可以表示为∠AOB或∠BOA，表示顶
点的字母O必须放在中间，其他两个字母A，B分别表示角的两边上的点.
(2)当顶点处只有一个角时，可用一个大写字母表示角，这个字母应标在顶点上. 如上图的
角可以表示为∠O.
(3)用一个数字表示一个角，如左图的角可以表示为∠1.
(4)用一个字母(希腊字母α、β、γ等)表示一个角，如右图的角可以表示为∠α.
注意：这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角.
如图，能把∠α记作∠O吗？为什么？∠α还可以怎样表示呢？
不能把∠α记作∠O，因为以O为顶点的角不止一个.
∠α记还可以用∠AOB来表示.
思考
角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
OA：始边，OB：终边. 注：转动OB改变角度 ∠BOA=60°
把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；
把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1
分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.
角度制起源于四大文明古国之一的古代巴比伦. 为什么选择60这个数作为进制的基数
呢？据说是由于60这个数是许多常用的数2、3、4、5、6、10、12、15、20、30的倍数，
60=12×5，12是一年中的月数，5是一只手的手指数，所以古代巴比伦人认为60是一个特别
而又重要的数.
1周角=____°，1平角=____°，1°=_____′，1′=_____″，
1″=_____′，1′=_____°，1°=_____″，1″=_____°.
如：∠α的度数是48度56分37秒，记作：∠α=48°56′37″.
以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，
我们以后将要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.
借助三角尺，我们可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，借助量角器，可以画出任何给定
度数(如36°，108°)的角.
116练习
1.6时整，钟表的时针和分针构成多少度的角，8时呢？8时30分呢？
解：6时整时，时针和分针构成180°；8时整时，时针和分针构成120°；8时30分时，时针和分
针构成75°.
2.(1) 35°等于多少分？等于多少秒？
(2) 38°15′和38.15°相等吗？如不相等，哪个大？
解：(1) 60′×35＝2100′，60″×2100＝126000″，即 35°＝2100′＝126000″.
(2) 先把0.15°化成分为：60′×0.15＝9′，所以 38.15°＝38°9′
因此 38°15′＞38°9′，即 38°15′＞38.15°
3.从蜂巢的入口处看，蜂巢由许多正六边形(六条边相等，六个角也相等)构成，按图示的方
法，利用三角尺和圆规画出一个正六边形.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节的教学从学生熟悉的实物出发，点出课题，引导学生明确角的初步概念. 课中给学
生提供了主动探索的时间、空间、能让学生表述的要让学生自己去表述，能让学生总结的要
让学生自己推导出结论，能让学生思考的要让学生自己去思考，能让学生观察的要让学生自
己去观察. 有针对性的设计例题、习题，从而完成教学目标.
117角的比较与运算
一、教学目标
(一)知识与技能：学生学会比较角的大小的方法，并且能够进行简单的角度加减运算.
(二)过程与方法：学生通过合作交流、探索发现的形式归纳出比较角度大小的方法，并且学
会运算.
(三)情感态度与价值观：培养自主学习、归纳比较的能力，增强数学学习的乐趣.
二、教学重点、难点
重点：学会比较角的大小的方法，并且能够进行简单的角度加减运算.
难点：体会数学在实际生活中的应用价值.
三、教学过程
创设情境
度量法与叠合法
与线段长短的比较类似，我们可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小(度量
法)；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小(叠
合法)
∠AOB___∠A′O′B′ ∠AOB___∠A′O′B′ ∠AOB___∠A′O′B′
思考
观察右边图形，图中共有几个角？
118它们之间有什么关系？
图中共有___个角分别是:____________________.
它们的关系为：
∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB＝______－∠BOC，∠AOC－∠AOB＝______.
探究
如图，借助三角尺画出15°，75°的角，用一副三角尺，你还能画出哪些度数的角？试一试.
角平分线
我们知道，线段的中点把线段分成相等的两条线段.类似地，下图中，如果∠AOB＝
∠BOC，那么射线OB把∠AOC分成两个相等的角，这时有
∠AOC＝2∠AOB＝2_____，∠AOB＝∠BOC＝ _____
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等
的角的射线，叫做这个角的平分线.
OB是∠AOC的平分线
三等分线
OB，OC是∠AOD的三等分线
∠AOD＝3∠AOB＝3∠BOC＝3∠COD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠AOD.
探究
通过折纸作角平分线
例1 如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC的度数.
分析：AB是直线，∠AOB是平角. ∠BOC与∠AOC的和是∠AOB.
解：由题意可知，∠AOB是平角，∠AOB＝∠AOC＋∠BOC.
所以 ∠BOC＝∠AOB－∠AOC
＝180°－53°17′
＝179°60′－53°17′
＝126°43′
这里的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相
减时要借1作60. 本题中应借1°，化为60′.
例2 把一个周角7等分，每一份是多少度的角(精确到分)？
解：360°÷7＝51°＋3°÷7＝51°＋180′÷7≈51°26′
答：每份是的51°26′角.
注意度、分、秒是60进制的，要把剩余的度数化成分.
119练习
1.估计图中∠1与∠2的大小关系，并用适当的方法检验.
2.如图，把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是多少度？如果要使每份中的角是15°，这个蛋
糕应等分成多少份？
解：360°÷8＝45°，360°÷15°＝24
答：把一个蛋糕等分成8份，每份中的角是45度；要使每份中的
角是15°，这个蛋糕应等分成24份.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课的教学内容是角的大小的比较、角的和差关系，角的平分线. 可利用类比线段的
学习方法引出角的大小的比较的两种方法：度量法、叠合法.对于本节教学要把握以下几点：
1．首先在讲授知识的过程中，必须对旧的知识进行适当的复习，使学生能对角的知识有一个
更深的记忆；2.在角的形象比较中，要努力引导学生的思维方向；3.重叠法是一个难点，但此
法比较适用于实际中的比较，对于角度的计算要设计各个类型的教学.
120余角和补角(1)
一、教学目标
(一)知识与技能：在具体的现实情境中，认识一个角的余角和补角，掌握余角和补角的性质.
(二)过程与方法：进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力，学会简
单的逻辑推理，并能对问题的结论进行合理的猜想.
(三)情感态度与价值观：体会观察、归纳、推理对获取数学猜想和论证的重要作用，初步体会
数学中推理的严谨性和结论的确定性，能在独立思考和小组交流中获益.
二、教学重点、难点
重点：认识角的互余、互补关系及性质.
难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质.
三、教学过程
创设情境
如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度数，但人不能进入
围墙，如何测量？画出图形，并简述你的测量方法.
∠AOB=180°-∠BOC
求下列各图中的两个角的和，并根据这些和把这四个图分成
两组. 你是怎么分的？每一组中的两个角的和有什么共同的特点？
(2)(4)为一组，它们的和都是90°，(1)(3)为一组，它们的和都是180°
余角、补角
一般地，如图(1)，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个
角是另一个角的余角.
类似地，如图(2)，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一
个角是另一个角的补角.
121两个角互为余角简称为两个角互余，两个角互为补角简称为两个角互补.
三角板
在一副三角板中，每块都有一个角是90°，那么另外两个锐角之和是多少度呢？这两个
锐角之间有什么关系？
30°＋60°＝90°(互 余)，45°＋45°＝90°(互 余).
思考
(1) 若∠1与∠2，∠3都互为补角，∠2与∠3的大小有什么关系？
(2) 若∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，那么∠2与∠4的大小有什么关系？
(1) 因为 ∠1与∠2，∠3都互为补角，
所以 ∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1
所以 ∠2=∠3
(2) 因为 ∠1与∠2互补，∠3与∠4互补
所以 ∠2=180°-∠1，∠4=180°-∠3
因为 ∠1=∠3
所以 ∠2=∠4
我们得到关于补角的一个性质：同角(等角)的补角相等
对于余角也有类似的性质：同角(等角)的余角相等
例3 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，图中哪些
角互为余角？
解：因为点A，O，B在同一条直线上，所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC= (∠AOC+∠BOC)=90°，
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理，∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
练习
1.图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
1222.一个角是70°39′，求它的余角和补角.
解：这个角的余角为：90°-70°39′=19°21′
这个角的补角为：180°-70°39′=109°21′
3.∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度？
解：根据题意，得180°-∠α=3∠α
解得 ∠α=45°
4.一个角是钝角，它的一半是什么角？
答：一个角是钝角，它的一半是锐角.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节课主要采用教师引导，学生自主探究的方式展开教学，但由于七年级学生刚接触几
何，且教学设计探究过程过于抽象，不符合学生的认知规律，加上教师没有能很好的引导，导
致整节课学生变主动为被动，整节课下来，教师讲得很多，且基本上是在灌输知识，没有培养
学生去探究发现问题和归纳知识.
123余角和补角(2)
一、教学目标
(一)知识与技能：1.了解用于表现方向的角—方位角的意义；2.初步掌握方位角的判别，体
会方位角在生活中的应用.
(二)过程与方法：经历观察、推理、交流等活动，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力
和有条理的表达能力.
(三)情感态度与价值观：在学习过程中，感受数学与生活密切联系，激发学生学习数学的兴
趣和积极性.
二、教学重点、难点
重点：方位角的判别与应用.
难点：方位角的判别与应用.
三、教学过程
创设情境
在广袤的森林里，在浩瀚的大海上，你知道人们是怎样去辨别方向的吗？
生活方位
生活中什么时候会用到方位的知识？
124在夜空中找到北斗星，今天刮西北风，燕子每年都从北方飞往南方过冬.
方位角1
1.正东、正南、正西、正北分别是射线OA、OB、OC、OD
2.东南方向是射线OG，东北方向是射线OH，
西南方向是射线OF，西北方向是射线OE.
东南方向(南偏东45°)，东北方向(北偏东45°)，
西南方向(南偏西45°)，西北方向(北偏西45°).
正东(北偏东90°或南偏东90°)
正南(南偏东0°或南偏西0°)
正西(北偏西90°或南偏西90°)
正北(北偏东0°或北偏西0°)
方位角2
射线OA表示的方向是：___________；
射线OB表示的方向是：___________；
射线OC表示的方向是：___________；
射线OD表示的方向是：___________.
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东
40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法，
画出表示货轮C和海岛D方向的射线.
解：
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
四、教学反思
本节的教学从学生熟悉的内容出发，引导学生明确方位角的概念. 课中给学生提供了
主动探索的时间、空间、能让学生表述的要让学生自己去表述，能让学生总结的要让学生自
己推导出结论，能让学生思考的要让学生自己去思考，能让学生观察的要让学生自己去观察.
有针对性的设计例题、习题，从而完成教学目标.
125第4章几何图形初步小结与复习
一、教学目标
(一)知识与技能：1.直观认识立体图形，掌握平面图形的基本知识；2.画出简单立体图形的
三视图及平面展开图，根据三视图画出一些简单的实物图；3.进行线段的简单计算，正确区
分线段、射线、直线；4.掌握角的基本概念，进行相关运算；5.巩固对角得度量及运算知识的
掌握，能解决一些实际问题.
(二)过程与方法：1.经历相关内容的归纳、总结，巩固对图形的直观认识，了解图形的分割和
组合，探索学习空间与图形的方法；2.通过实验、操作，提高对图形的认识和动手能力.
(三)情感态度与价值观：在探索知识之间的相互联系及应用的过程中，体验推理的意义，获
取学习的经验.
二、教学重点、难点
重点：立体图形与平面图形的互相转化，及一些重要的概念、性质等.
难点：建立和发展空间观念，对图形的表示方法，对几何语言的认识与运用.
三、教学过程
知识梳理
一、几何图形
1.立体图形与平面图形
(1)立体图形的各部分不都在同一平面内，如：
126(2)平面图形的各部分都在同一平面内，如：
2.从不同方向看立体图形
3.立体图形的展开图
4.点、线、面、体之间的联系
(1)体是由面围成，面与面相交成线，线与线相交成点；
(2)点动成线、线动成面、面动成体.
二、直线、射线、线段
1.有关直线的基本事实
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简单说成：两点确定一条直线.
2.直线、射线、线段的联系与区别
3.基本作图
(1)作一线段等于已知线段；
(2)利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差.
4.线段的中点
应用格式：
127因为C是线段AB的中点，所以AC=BC= AB或AB=2AC=2BC.
5.有关线段的基本事实：两点之间，线段最短.
6.连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离.
三、角
1.角的定义
(1)有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；
(2)角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
2.角的度量
度、分、秒的互化1°=60′，1′=60″
3.角的平分线
应用格式：
因为OC是∠AOB的角平分线，
所以∠AOC=∠BOC= ∠AOB或∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
4.余角和补角
(1)定义
①如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角(简称为两个角互余).
②如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角(简称为两个角互补).
(2)性质
①同角(等角)的余角相等.②同角(等角)的补角相等.
(3)方位角
①定义
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方
位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度
表示方向.
②书写
通常要先写南或北，再写偏东或偏西.
考点讲练
考点一 从不同方向看立体图形
例1 如右图是由几个小立方体搭成的几何体的从上面看到的平面图，小正方形中的数字表
示在该位置小正方体的个数，画出从正面和左面方向看到的平面图形.
解：
针对训练
1.如图，从正面看A，B，C，D四个立体图形，分别得到(1)，(2)，(3)，(3)四个平面图形，把上
下两行相对应立体图形与平面图形用线连接起来.
128考点二 立体图形的展开图
例2 根据下列多面体的平面展开图，填写多面体的名称.(1)________，(2)________，
(3)________.
针对训练
2.在下列图形中(每个小四边形皆为相同的正方形)，可以是一个正方体展开图的是( )
考点三 线段长度的计算
例3 如图，已知点C为AB上一点，AC＝15cm，CB＝ AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的
长.
解：因为 AC=15cm，CB= AC
所以 CB= ×15=9cm
所以 AB=15+9=24cm
所以 D，E分别为AC，AB的中点
所以 AE= AB=12cm，AD= AC=7.5cm
所以 DE=AE-AD=12-7.5=4.5(cm)
例4 如图，B，C两点把线段AD分成2:5:3三部分，M为AD的中点，MC＝6cm，求线段BM和AD
的长.
解：设AB=2x cm，BC=5x cm，CD=3x cm
则AD=AB+BC+CD=10x cm
因为 M是AD的中点
所以 AM=MD= AD=5x cm
129由MC+CD=MD得，3x+6=5x. 解得 x=3
所以 BM=AM-AB=5x-2x=3x=9(cm)，AD=10x=30(cm)
例5 点C在线段AB所在的直线上，点M，N分别是AC，BC的中点.
(1)如图，AC＝8cm，CB＝6cm，求线段MN的长；
(2)若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并
说明理由.
(3)若C在线段AB的延长线上，且满足AC－BC＝b cm，其它条件不变，请画出图形，猜想MN
的长度，并说明理由.
解：(1)因为 点M，N分别是AC，BC的中点
所以 CM= AC=4cm，CN= BC=3cm
所以 MN=CM+CN=4+3=7(cm)
(2)猜想：MN= a cm.理由如下：
因为 点M，N分别是AC，BC的中点
所以 CM= AC，CN= BC
所以 MN=CM+CN= AC+ BC= (AC+BC)= a(cm)
(3)根据题意画出图形(右图)
猜想：MN= b cm.理由如下：
因为 点M，N分别是AC，BC的中点
所以 CM= AC，CN= BC
所以 MN=CM-CN= AC- BC= (AC-BC)= b(cm)
针对训练
3.如图，线段AB＝100cm，点C，D在线段AB上. 点M是线段AD的中点，MD＝21cm，BC＝
34cm. 则线段MC的长度为____cm.
4.如图，AB＝120cm，点C，D在线段AB上，BD＝3BC，点D是线段AC的中点. 则线段BD的长
度为____cm.
5.已知：点A，B，C在一直线上，AB＝12cm，BC＝4cm.点M，N分别是线段AB，BC的中点.求线
段MN的长度.
解：如图①，当C在AB间时
因为 M，N分别是AB，BC的中点
所以 BM= AB= ×12=6cm，BN= BC= ×4=2cm
所以 MN=BM-BN=6-2=4(cm)
130如图②，当C在AB外时
因为 M，N分别是AB，BC的中点
所以 BM= AB= ×12=6cm，BN= BC= ×4=2cm
所以 MN=BM+BN=6+2=8(cm)
考点四 关于线段的基本事实
例6 如图，是一个三级台阶，A和B是这个台阶的两个相对
的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.若
这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B
点，你能画出蚂蚁爬行的最短路线吗？
解：如图，将台阶面展开成平面图形.
连接AB两点，因为两点之间线段最短，
所以线段AB为蚂蚁爬行的最短路线.
针对训练
6.如图，在A点有一只壁虎，要沿着圆柱体的表面爬到B点去吃蚊子.请画出壁虎在圆柱体表
面爬行的最短路线.
解：如图，将圆柱体侧面展开成平面图形.连接
AB两点，因为两点之间线段最短，所以线段AB
为壁虎在圆柱体表面爬行的最短路线.
考点五 角的度量及角度的计算
例7 如图，BD平分∠ABC，BE把∠ABC分成2︰5两部分，∠DBE＝21°，求∠ABC的度数.
解：设∠ABE=2x°，∠CBE=5x°
则∠ABC=∠ABE+∠CBE=7x°
因为 BD平分∠ABC
所以 ∠ABD= ∠ABC=3.5x°
因为 ∠ABE+∠DBE =∠ABD
即 2x+21=3.5x，解得 x=14
所以 ∠ABC=7x°=98°
例8 如图，∠AOB是直角，ON是∠AOC的平分线，OM是∠BOC的平分线.
(1)当∠AOC＝50°时，求∠MON的大小；
(2)当∠AOC＝α时，∠MON等于多少度？
(3)当锐角∠AOC的大小发生改变时，∠MON的大小也会发生改变吗？为什么？
解：(1)因为 ∠AOB是直角，∠AOC=50°
所以 ∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+50°=140°
因为 ON、OM分别是∠AOC和∠BOC的平分线
所以 ∠COM= ∠BOC= ×140°=70°
131∠CON= ∠AOC= ×50°=25°
所以 ∠MON=∠COM-∠CON=70°-25°=45°
(2)因为 ∠AOB是直角，∠AOC=α
所以 ∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+α
因为 ON、OM分别是∠AOC和∠BOC的平分线
所以 ∠COM= ∠BOC= (90°+α)
∠CON= ∠AOC= α
所以 ∠MON=∠COM-∠CON= (90°+α)- α=45°
(3)不会发生变化. 由(2)可知∠MON的大小与∠AOC无关，总是等于∠AOB的一半.
针对训练
7.∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则( )
A.∠A＞∠B＞∠C B.∠B＞∠A＞∠C C.∠A＞∠C＞∠B D.∠C＞∠A＞∠B
8.19点整时，时钟上时针与分钟之间的夹角是( )
A.210° B.30° C.150° D.60°
9.已知一条射线OA，若从点O再引两条射线OB和OC，使∠AOB＝50°，∠BOC＝10°，求∠AOC的
度数.
解：有两种情况：
(1)如图①所示：∠AOC=∠AOB+∠BOC=50°+10°=60°
(2)如图②所示：∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-10°=40°
综上所述，∠AOC的度数为60°或40°
考点六 余角和补角
例9 已知∠α和∠β互为补角，并且∠β的一半比 ∠α小30°，求∠α，∠β.
解：设∠α=x°，则∠β=180°-x°. 根据题意，得
(180-x)=x-30
解得 x=80
所以，∠α=80°，∠β=100°.
例10 如图，直线AB，CD相交于点O，∠FOD＝90°，OF平分∠AOE．
(1)写出图中所有与∠AOD互补的角；
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOD的度数.
解：(1)因为 直线AB，CD相交于点O
所以 ∠AOC和∠BOD与∠AOD互补
因为 OF平分∠AOE，所以 ∠AOF=∠EOF
因为 ∠FOD=90°，所以 ∠COF=180°-∠FOD=90°
因为 ∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-∠EOF，∠DOE=∠FOD-∠EOF=90°-∠EOF
所以 ∠AOC=∠DOE
所以 与∠AOD互补的角有∠AOC，∠BOD，∠DOE.
(2)因为 OF平分∠AOE
132所以 ∠AOF= ∠AOE= ×120°=60°
由(1)知，∠COF=90°
所以 ∠AOC=∠COF-∠AOF=90°-60°=30°
由(1)知，∠AOC和∠BOD与∠AOD互补
所以 ∠BOD=∠AOC=30°(同角的补角相等)
针对训练
10.如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC.
(1)若∠EOC＝70°，求∠BOD的度数；
(2)若∠EOC:∠EOD＝2:3，求∠BOD的度数.
解：(1)因为 直线AB，CD相交于点O
所以 ∠AOC=∠BOD=180°-∠AOD
因为 OA平分∠EOC
所以 ∠AOC= ∠EOC= ×70°=35°
所以 ∠BOD=∠AOC=35°
(2)设∠EOC=2x°，∠EOD=3x°
由∠EOC+∠EOD=180°
得 2x+3x=180°，解得 x=36°
所以 ∠EOC=2x°=72°
所以 ∠AOC= ∠EOC= ×72°=36°
所以 ∠BOD=∠AOC=36°
11.已知∠AOB＝90°，∠COD＝90°，请画出示意图并探究∠AOC与∠BOD的关系.
解：
如图①，因为 ∠AOB=90°，∠COD=90°
所以 ∠AOC=90°-∠BOC∠BOD=90°-∠BOC
所以 ∠AOC=∠BOD；
如图②，∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°-∠BOC
所以 ∠AOC+∠BOD=180°；
如图③，∠AOC=90°+∠BOC，∠BOD=90°+∠BOC
所以 ∠AOC=∠BOD；
如图④，∠AOC+∠BOD=360°-90°×2=180°
所以 ∠AOC+∠BOD=180°.
综上所述，∠AOC=∠BOD或∠AOC+∠BOD=180°.
12.一只蚂蚁从O点出发，沿东北方向爬行2.5cm，碰到障碍物B后，折向北偏西60°方向爬
行3cm到C点.
(1)画出蚂蚁的爬行路线；
133(2)求出∠OBC的度数.
解：(1)如图所示；
(2)∠OBC=75°.
134
