全册教案（8上）_初中数学人教版_8上-初中数学人教版_旧版_04教案（多套）

三角形的边 一、教学目标 (一)知识与技能：1.进一步认识三角形的概念及其基本要素；2.掌握三角形三条边之间关 系. (二)过程与方法：经历度量三角形边长的实践活动中，理解三角形三边不等的关系. (三)情感态度与价值观：帮助学生树立几何知识源于客观实际，用客观实际的观念，激发 学生学习的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：了解三角形定义、三边关系. 难点：1.在具体的图形中不重复，且不遗漏地识别所有三角形；2.用三角形三边不等关系 判定三条线段可否组成三角形. 三、教学过程 图片欣赏 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 线段AB，BC，CA是三角形的边. 点A，B，C是三角形的顶点. ∠A，∠B，∠C是相邻 两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角. 顶点是A，B，C的三角形，记作△ABC，读作“三角形 ABC”. △ABC的三边，有时也用a，b，c来表示. 顶点A所对的边 BC用a表示，顶点B所对的边AC用b表示，顶点C所对的边AB 用c表示. 思考 回想一下，三角形按照三个内角的大小可以分成几类？按照边的关系呢？ 探究 两只蚂蚁在B点，同时发现在C点的位置上有一小 块糖，于是它们各自沿着不同的路线出发去抢那唯一的 一小块糖(假设它们的速度相同). 看完了这两只蚂蚁抢 糖吃的全过程，你有何体会？ 1对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点(例如B，C)看成定点，由“两点之间， 线段最短”可得 AB＋AC＞BC ① 同理有 AC＋BC＞AB ② AB＋BC＞AC ③ 一般地，我们有 三角形两边的和大于第三边. 由不等式②③移项可得BC＞AB－AC，BC＞AC－AB. 这就是说， 三角形两边的差小于第三边. 例 用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ (2)能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？ 解：(1)设底边长为x cm，则腰长为2x cm. x+2x+2x=18，解得 x=3.6 所以，三边长分别为3.6cm，7.2cm，7.2cm. (2)因为长为4cm的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论. ①如果4cm长的边为底边，设腰长为x cm，则 4+2x=18，解得 x=7 所以，三边长分别为4cm，7cm，7cm. ②如果4cm长的边为腰长，设底边长为x cm，则 2×4+x=18，解得 x=10 因为4+4<10，不符合三角形两边的和大于第三边，所以不能围成三角形. 由以上讨论可知，可以围成底边是4cm的等腰三角形. 练习 1.图中有几个三角形？用符号表示这些三角形. 解：图中共有5个三角形，分别如下： △ABC，△ABE，△BCE，△BCD，△CDE. 2.(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？ (1)3，4，8 (2)5，6，11 (3)5，6，10 解：(1)不能组成三角形，因为3+4<8； (2)不能组成三角形，因为5+6=11； (3)能组成三角形，因为5+6>10. 只要选取两条较短的线段，求出和再与最长的线段比较，和较大，则可以；否则不能组成 三角形. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课先让学生掌握三角形的有关概念及三角形的分类.重点研究“能围成三角形的三 条边之间到底有什么关系”. 通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大 于第三边这一结论. 这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了 学生的动手能力. 2三角形的高、中线与角平分线 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握三角形的高、中线、角平分线的定义中体现出来的性质；2.会画 三角形的高、中线、角平分线. (二)过程与方法：经历画图等实践过程认识三角形的高、中线与角平分线. (三)情感态度与价值观：培养学生乐于动手，肯于实践的精神. 二、教学重点、难点 重点：三角形的高、中线与角平分线. 难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高. 三、教学过程 创设情境 把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边 移动到点C. 观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你 认为有哪些特殊位置？ 预备知识 1.垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两 条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 2.线段中点的定义： 把一条线段分成两条相等的线段的点. 3.角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 高 你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何求△ABC的面积？ 如何求△ABC的面积？ 从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做 △ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高) 3几何语言 反之 ∵ AD是△ABC的高 ∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°) ∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∴ AD是△ABC的高 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？你有何发现？ 锐角三角形的三条高 直角三角形的三条高 钝角三角形的三条高 画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 直角边BC边上的高是____； 直角边AB边上的高是____； 斜边AC边上的高是____. 画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？ 归纳 三角形的三条高所在直线交于同一点. 思考(中线) 已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？ 连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线. 几何语言 反之 ∵ AD是△ABC的中线 ∵ BD=CD (或BD= BC) ∴ BD=CD= BC ∴ AD是△ABC的中线 用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？ 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结 论？ 4归纳 三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 取一块质地均匀的三角形木板，顶住三条中线的交点， 木板会保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重 心. 角平分线 任意画一个三角形，你能设法画出它 的一个内角的平分线吗？你能通过折 纸的方法得到它吗？ ∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的 边 BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的 的角平分线. 几何语言 反之 ∵ AD是△ABC的角平分线 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠1=∠2= ∠BAC ∴ AD是△ABC的角平分线 画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？ 探究 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察! 你可得到什 么结论？ 三角形的三条角平分线交于同一点. 练习 1.如图，(1)(2)和(3)中的三个∠B有什么不同？这三个△ABC的边BC上的高AD在各自三 角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？ 2.填空： 5(1)如图(1)，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2_________，BD=____，AE= ____. (2)如图(2)，AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=___，∠3= ____， ∠ACB=2________. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课由一个动画演示引入，让学生意识到三角形中有很多条特殊的线段. 然后从画 图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论 思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙 述它们的定义以及表示方法. 6三角形的稳定性 一、教学目标 (一)知识与技能：知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，了解三角形的稳定性在生 产、生活中的应用. (二)过程与方法：通过引导学生主动探究得出三角形具有稳定性的过程，加强学生的探究 与总结能力. (三)情感态度与价值观：通过了解三角形稳定性与四边形没有稳定性在生产、生活中广泛 应用，体会出三角形与实际生活的巨联系，激发学生对三角形的学习兴趣. 二、教学重点、难点 重点：了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用. 难点：灵活准确使用三角形稳定性于生产生活之中. 三、教学过程 提出问题 工程建筑中经常采用三角形的结构，如屋顶钢架，其中的道理是什么？盖房子时，在 窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条. 为什么要这样做呢？ 探究 如图(1)，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图(2)，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 如图(3)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时 木架的形状还会改变吗？ 稳定性 7用三根木棒钉一个三角形，你会发现再也无法改变这个三角形的形状和大小，也就是 说，如果一个三角形的三条边固定了，那么三角形的形状和大小就完全确定了.在数学上把 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性. 四边形不具有稳定性，人们往往通过改造，将其变成三角形从而增强其稳定性. 三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举出一些例子吗？ 四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用，你能举出一些例子吗？ 练习 下列图形中哪些具有稳定性？ 8课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学三角形的稳定性时，利用多媒体引导学生探寻三角形稳定性的数学含义，进而 用三角形的稳定性解释“为什么不易变形”，再回归生活，运用三角形的稳定性解释如何 解决生活中的问题. 学生清楚地认识到“不易变形”是三角形的稳定性的一个表现，一种 应用，而不是将三角形的稳定性与“不易变形”划等号. 这样的教学既使得学生对稳定性 有了正确清楚的认识，也为以后进一步学习三角形的稳定性和“全等三角形”的判定方法 奠定了认知的基础. 9三角形的内角 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解三角形的内角；2.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内 角和等于180度；3.学会解决与求角有关的实际问题. (二)过程与方法：经历实验活动的过程，掌握三角形的内角和定理，初步掌握添加辅助线 的方法. (三)情感态度与价值观：初步培养学生的说理能力. 二、教学重点、难点 重点：三角形的内角和定理及其运用. 难点：三角形内角和定理的推理过程. 三、教学过程 兄弟之争 在一个直角三角形里住着三兄弟，它们就是直角三角形的三个内角，平时，它们三兄 弟非常团结. 可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度 数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个 家就再也围不起来了……”. “为什么？” 老二很纳闷. 同学们，你们知道其中的道理吗？ 欣赏动画 动手剪拼 动态演示 10定理证明 已知：如图，△ABC. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证明：如图，过点A作直线l，使l∥BC. ∵ l∥BC ∴ ∠2=∠4 (两直线平行，内错角相等) 同理 ∠3=∠5 ∵ ∠1，∠4，∠5组成平角 ∴ ∠1+∠4+∠5=180°(平角定义) ∴ ∠1+∠2+∠3=180°(等量代换) 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°即 ∠A+∠B+∠C=180° 由下图，你能想出这个定理的其它证法吗？ 证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB. ∴ ∠1=∠A(两直线平行，内错角相等) ∠2=∠B(两直线平行，同位角相等) ∵ ∠1+∠2+∠ACB=180°(平角定义) ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换) 例1 如图，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线. 求∠ADB的度数. 解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分线，得 ∠BAD= ∠BAC=20° 在△ABD中，∠ADB=180°-∠B-∠BAD =180°-75°-20° =85° 例2 如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东 80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向. 从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C 岛看A、B两岛的视角∠ACB呢？ 解：∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30° 由AD∥BE，得∠BAD+∠ABE=180° 所以 ∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB 11=180°-60°-30°=90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是90°. 练习 1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C处观 测A、B两处的视角∠ACB是多少度？ 解：∵ ∠ABC+∠CBD=180° ∴ ∠ABC=180°-∠CBD=180°-45°=135° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC =180°-30°-135° =15° 2.如图，一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD，其中∠A=150°，∠B=∠D=40°， 求∠C的度数. 解：连接AC， ∵ 四边形ABCD左右对称 ∴ ∠CAB= ∠BAD=75° 在△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠B =180°-75°-40° =65° ∴ ∠BCD=2∠ACB=130° 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课通过一段对话设置疑问，巧设悬念，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动 学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率. 然后让学 生自主探究，在教学过程中充分发挥学生的主动性，让学生提出猜想. 在教学中，教师通 过必要的提示指明了学生思考问题的方向，在学生提出验证三角形内角和的不同方法时， 教师注意让学生上台演示自己的操作活动和说明自己的想法，这样更有助于学生接受三角 形的内角和是180°这一结论. 12直角三角形 一、教学目标 (一)知识与技能：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是 直角三角形. (二)过程与方法：经历推理证明得出直角三角形两内角互余定理的过程，巩固提高学生的 推理证明能力. (三)情感态度与价值观：通过对问题的解诀，体验成功的快乐，培养学生的合作精神，树 立学好数学的信心. 二、教学重点、难点 重点：探索并掌握直角三角形的两个锐角互余. 难点：用直角三角形的性质进行有关推理和计算. 三、教学过程 复习巩固 求出下列各图中x的值. 你能把下列推理补充完整吗？ 如图，在△ABC中， 13∠A +∠B +∠C =_____( ) ∵ ∠C = 90°( ) ∴ ∠A +∠B =_____ 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角ABC可以写成Rt△ABC. 定理应用格式：在Rt△ABC中，∵ ∠C=90°∴ ∠A+∠B=90° 探究 1.如图(1)，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？请说明理由. 2.如图(2)，∠B=∠D=90°，AD交BC于点O，∠A与∠C有什么关系？请说明理由. 1.解：∠A=∠D. 理由如下： 方法一：(利用平行的判定和性质) ∵ ∠B=∠C=90° ∴ AB∥CD ∴ ∠A=∠D 方法二：(利用直角三角形的性质) 在Rt△AOB和Rt△COD中， ∵ ∠B=∠C=90° ∴ ∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90° ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ∠A=∠D ①两个图形的相同点和不同点各是什么？ ②图(1)的两种解答方法能用于图(2)的解答吗？哪个更具一般性？ 2.解：∠A=∠C. 理由如下： 在Rt△AOB和Rt△COD中， ∵ ∠B=∠D=90° ∴ ∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90° ∵ ∠AOB=∠COD ∴ ∠A=∠C 例3 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC 相交于点E，∠CAE 与∠DBE有什么关系？为什么？ 解：∠CAE=∠DBE. 理由如下： 在Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC 在Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED ∵ ∠AEC=∠BED ∴ ∠CAE=∠DBE 思考 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．此命题的逆命 题是_______________________________________. 它成立吗？请你说说理由. 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形. 定理应用格式： ∵ ∠A+∠B=90° 14∴ △ABC是直角三角形 练习 1.如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，∠ACD与∠B有什么关系？为什么？ 解：∠ACD=∠B. 理由如下： ∵ ∠ACB=90° ∴ ∠ACD+∠BCD=90° ∵ CD⊥AB ∴ ∠BDC=90° ∴ ∠B+∠BCD=90° ∴ ∠ACD=∠B 2.如图，∠C=90°，∠1=∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？ 解：△ADE是直角三角形. 理由如下： ∵ ∠C=90° ∴ ∠2+∠A=90° ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠1+∠A=90° ∴ △ADE是直角三角形 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课的内容是直角三角形的性质与判定：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐 角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.上节课已经学过三角形的内角和是180°， 据此证明直角三角形两锐角互余这个定理并不难，教学中应该加强学生应用三角形内角和 定理、直角三角形两内角互余定理解诀一些简单的实际间题的能力. 15三角形的外角 一、教学目标 (一)知识与技能：理解三角形的外角的概念，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，能利用三角形的外角性质解决实际问题. (二)过程与方法：通过学生小组合作推理三角形的外角的性质的过程，加强学生的推理能 力，运用几何语言有条理的表达能力. (三)情感态度与价值观：通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合 作交流，主动参与的意识，在独立思考的同时能够认同他人，养成良好的学习习惯. 二、教学重点、难点 16重点：三角形的外角性质. 难点：能准确地表达推理的过程和方法. 三、教学过程 创设情境 在绿茵场上，某足球队员在O处受到阻挡需要传球.请帮助作出选择，应传给在A处的 球员还是B处的球员，其射门不易射偏，请说明理由.(不考虑其他因素) 三角形的内角是三角形内部的骄子. 那三角形的外部呢？ 什么都没有呀，让人感到很无奈! 只要你添上一笔就精彩了! 把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成 的角，叫做三角形的外角. 画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动 手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？ 归纳 1.每个外角是相邻内角的邻补角； 2.每一个顶点相对应的外角都有２个； 3.每一个三角形都有６个外角. 思考 如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°. ∠ACD是的一个外角. 能由∠A，∠B求出 ∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？ ∠ACD=∠A+∠B 任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都 有这种关系？ ∵ ∠A+∠B+∠ACB=180° ∠ACB+∠ACD=180° ∴ ∠A+∠B=180°-∠ACB ∠ACD=180°-∠ACB ∴ ∠ACD=∠A+∠B 推论1 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 定理应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的外角 ∴ ∠ACD=∠A+∠B 17推论2 如图，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它 不相邻的两个内角的和.(∠ACD=∠A+∠B)完成下列填空： ∠ACD ___ ∠A (填＜、＞) ∠ACD ___ ∠B (填＜、＞) 因此，我们还可以得出这样的结论： 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 定理应用格式： ∵ ∠ACD是△ABC的外角 ∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B ∵ ∠DBC是△ABC的外角 ∴ ∠DBC＞∠A 故，传给B处的球员. 例4 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？ 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得 ∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2 所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) 由∠1+∠2+∠3=180°， 得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360° 你还有其它解法吗？ 练习 说出下列图形中∠1和∠2的度数. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中， 应让学生自主探索，利用多种方法进行研究. 同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思 路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决 问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识 应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、 发现和创新能力. 18多边形 一、教学目标 (一)知识与技能：观察生活中大量的图片，认识一些简单的几何体（四边形、五边形）， 了解多边形及其内角、对角线等数学概念. (二)过程与方法：能由实物中辨别寻找出几何图形，由几何图形联想或设计一些实物形状， 丰富学生对几何图形的感性认识. 19(三)情感态度与价值观：了解类比这种重要的数学学习方法，体验生活中处处有数学的道 理. 二、教学重点、难点 重点：了解多边形、内角、外角、对角线等数学概念以及凸多边形的形状的辨别. 难点：正多边形的正确理解以及凸多边形的辨别. 三、教学过程 创设情境 从这些图形中，你能抽象出哪些平面图形？ 温故而知新 三角形 在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首 尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 多边形 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 多边形按组成它的线段条数分成三角形、四边形、五边形……三角形是最简单的多边 形. 如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形. 有关概念 多边形的内角： 多边形相邻两边组成的角叫做它的内角. 图中∠A，∠B，∠C，∠D，∠E是五边形 ABCDE的5个内角. 多边形的外角： 多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 图中∠1是五边形ABCDE 的一个外角. 多边形的对角线： 连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 图中，AC，AD是五边形 ABCDE的两条对角线. 五边形ABCDE共有几条对角线？请画出它的其他对角线. 20观察 下列两个多边形有何异同呢？ 凸多边形的判断方法： 画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这 个多边形就是凸多边形. 反之，则是凹多边形. 本节只讨论凸多边形. 观察下列多边形，它们的边、角各有什么特点？ 像正方形一样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 练习 1.画出下列多边形的全部对角线： 2.四边形的一条对角线将四边形分成几个三角形？从五边形的一个顶点出发，可以画出几 条对角线？它们将五边形分成几个三角形？ 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课采取的是合作探究的教学方式，在小组活动中，每个学生都能发挥自己的作用， 都有表达和倾听的机会，每个人的价值作用都能显现出来. 在这个过程中，学生得到了锻 炼，明白了和他人怎样合作，取长补短．在教学设计时要从学生的角度出发，设计出合理 的，具有可操作性的探究步骤，充分估计探究中的不确定因素和障碍点，并在教学过程中 加强组织引导和巡视力度. 21多边形的内角和 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的 问题. (二)过程与方法：通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力. (三)情感态度与价值观：通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望， 养成良好的数学思维品质. 二、教学重点、难点 重点：理解多边形内角和公式的推导过程，并掌握多边形的内角和与外角和公式. 22难点：灵活运用多边形的内角和与外角和定理解决有关问题. 三、教学过程 思考 三角形的内角和等于180°，正方形、长方形的内角和都等于_____，任意一个四边形 的内角和是否也等于360°呢？ 在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分为△ABC和△ACD两个三角形. 由此可得 ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D =(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D) ∵ ∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180° ∴ ∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=180°+180°=360° 即四边形的内角和等于360°. 探究 归纳 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为(n-2) 个三角形，n边形的内角和等于180°×(n-2). 这样就得出了多边形内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°. 把一个多边形分成几个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角 和公式吗？ 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180° ∵ ∠A+∠B+∠C+∠D=(4-2)×180°=360° ∴ ∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180° 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 例2 如图，在六边形的每一个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和. 六边形的外角和等于多少？ 23解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180°. 因此六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于 6×180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和. 所以外角和等于总 和减去内角和，即外角和等于 6×180°-(6-2)×180°=2×180°=360° 思考 如果将例2中的六边形换为n边形(n是不小于3的任意整数)，可以得到同样的结果吗？ n边形的外角和=n×180°-(n-2)×180° =n×180°-n×180°+2×180° =2×180° =360° 多边形的外角和等于360° 如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边 走过各顶点，再回到点A，然后转向出发时的方向. 在行 程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和. 由于走了 一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外 角和等于360°. 练习 1.求下列图形中x的值： 解：(1) x+x+140+90=360，解得 x=65 (2) 90+120+150+2x+x=(5-2)×180，解得 x=60 (3) 75+120+80+(180-x)=360，解得 x=95 2.一个多边形的各内角都等于120°，它是几边形？ 解法一：∵ 各内角都等于120° ∴ 每个外角都是60° ∴ 边数为：360°÷60°=6 即它是六边形. 解法二：设它是n边形. 120n=(n-2)×180 解得，n=6 即它是六边形. 3.一个多边形的各内角和与外角和相等，它是几边形？ 解：设它是n边形，依题意得， (n-2)×180=360 解得，n=4 即它是四边形. 课堂小结 241.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课先引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采 用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习， 教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发 展，在“合作”中增知，在“探究”中创新. 要充分体现学生学习的自主性：规律让学生 自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决. 第11章三角形小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解与三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)，理解三角形两 边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形，会画任意三角形的 高、中线、 角平分线，了解三角形的稳定性；2.了解与三角形有关的角(内角、外角)，会 用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于 180° ，探索并了解三角形的一个外 角等于与它不相邻的两个内角的和；3.了解多边形的有关概念(边、内角、对角线、正多边 形)，探索并了解多边形的内角和与外角和公式. (二)过程与方法：结合图形回顾本章知识点，复习几种基本的画图，复习简单的证明技巧， 25在此基础上进行典型题、热点题的较大量的训练，旨在提高同学们对三角形有关知识、多 边形内角和、外角和知识综合运用能力. (三)情感态度与价值观：通过初步的几何证明的学习培养学生的推理能力，通过由特殊到 一般的探究过程的训练培养学生的探索能力，创新能力，以达到培养学生良好学习习惯的 目的. 二、教学重点、难点 重点：三角形的三条重要线段、三角形的内角和、外角和、多边形的内角和、外角和等知 识的灵活运用. 难点：简单的几何证明及几何知识的简单应用. 三、教学过程 知识梳理 1.三角形的三边关系： 三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. 如：AB＋AC＞BC，BC－AC＜AB 2.三角形的分类 3.三角形的高、中线与角平分线 高：顶点与对边垂足间的线段，三条高或其延长线相交于一点，如图①. 中线：顶点与对边中点间的线段，三条中线相交于一点(重心)，如图②. 角平分线：三条角平分线相交于一点，如图③. 4.三角形的内角和与外角 (1)三角形的内角和等于180°； (2)直角三角形的两个锐角互余； (3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； (4)三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. ∠A＋∠B＋∠C＝180° ∠A＋∠B＝90°∠ACD＝∠A＋∠B，∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B 5.多边形及其内角和 在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形. 正多边形是各个角都相 等，各条边都相等的多边形. 26n边形内角和等于(n－2)×180°(n≥3的整数) n边形的外角和等于360° 正多边形的每个内角的度数是 或 正多边形的每个外角的度数是 考点讲练 考点一 三角形的三边关系 例1 已知两条线段的长分别是3cm、8cm，要想拼成一个三角形，且第三条线段a的长为 奇数，问第三条线段应取多长？ 解：由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边得 8-3＜a＜8+3，解得 5＜a＜ 11. 又∵ 第三边长为奇数， ∴ 第三条边长为7cm或9cm. 针对训练 1.以线段3、4、x－5为边组成三角形，那么x的取值范围是__________. 例2 等腰三角形的周长为16，其一边长为6，求另两边长. 解：(1)当6为底边长时，腰长为(16-6)÷2=5，这时另两边长分别为5，5； (2)当6为腰长时，底边长为16-6-6=4，这时另两边长分别为6，4. 综上所述，另两边长为5，5或6，4. 针对训练 2.已知等腰三角形的一边长为4，另一边长为8，则这个等腰三角形的周长为( ) A.16 B.20或16 C.20 D.12 3.若(a－2)2＋|b－3|＝0，则以a，b为边长的等腰三角形的周长为_______. 考点二 三角形中的重要线段 例3 如图，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm， 求边AC的长. 解：∵ CD为△ABC的AB边上的中线 ∴ AD=BD ∵ △BCD的周长比△ACD的周长大3cm ∴ (BC+BD+CD)-(AC+AD+CD)=3cm ∴ BC-AC=3cm ∵ BC=8cm ∴ AC=5cm 例4 如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是 线段 AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，求△BEF的面积. 解：∵ 点E是AD的中点 ∴ S = S ，S = S △ABE △ABD △ACE △ADC ∴ S +S = (S +S )= S = ×24=12 △ABE △ACE △ABD △ADC △ABC 27∴ S =S -(S +S )=12 △BCE △ABC △ABE △ACE ∵ 点F是CE的中点 ∴ S = S = ×12=6 △BEF △BCE 针对训练 4.下列四个图形中，线段BD是△ABC的高的是( ) 5.在△ABC中，AB＝AC，DB为△ABC的中线，且BD将△ABC周长分为12cm与15cm两部分， 求三角形各边长. 解：如图，∵ DB为△ABC的中线 ∴ AD=CD 设AD=CD=x，则AB=AC=2x 当x+2x=12，BC+x=15，解得x=4，BC=11 此时△ABC的三边长为AB=AC=8，BC=11； 当x+2x=15，BC+x=12，解得x=5，BC=7 此时△ABC的三边长为AB=AC=10，BC=7. 考点三 有关三角形内、外角的计算 例5 ∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，且分别满足下列条件，求∠A，∠B，∠C中未知 角的度数. (1)∠A－∠B＝16°，∠C＝54°； (2)∠A:∠B:∠C＝2:3:4. 解：(1)由∠C=54°知∠A+∠B=180°-54°=126°① 又∠A-∠B=16°②，由①②解得∠A=71°，∠B=55°； (2)设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x 则 2x+3x+4x=180°，解得x=20° ∴ ∠A=40°，∠B=60°，∠C=80°. 例6 如图，已知在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求 ∠DAC的度数. 解：设∠1=∠2=x，则∠4=∠3=2x ∵ ∠BAC=63° ∴ ∠2+∠4=117° 即 x+2x=117°，解得 x=39° ∴ ∠3=∠4=78° ∴ ∠DAC=180°-∠3-∠4=24° 针对训练 286.在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C，满足∠B－∠A＝∠C－∠B，则∠B＝_____. 7.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A＝70°，∠BCE＝30°，则∠EBF的度数是 _____，∠FBC的度数是_____. 8.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点O，若∠BOC＝132°，那么∠A的度 数是_____. 第7题图 第8题图 考点四 多边形的内角和与外角和 例7 已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的外角的度数为x，则相邻内角的度数为4x，则x+4x=180，解得x=36. ∴ 边数n=360°÷36°=10. 例8 如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠1＝∠2，∠3＝∠4. 求∠CAD的度数. 解：∵ 五边形ABCDE的内角都相等 ∴ ∠E=∠B=∠BAE=540°÷5=108° 又∵ ∠1=∠2，∠3=∠4 由三角形内角和定理可知 ∠1=∠2=∠3=∠4=(180°-108°)÷2=36° ∴ ∠CAD=∠BAE-∠1-∠3=108°-36°-36°=36° 针对训练 9.已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数. 解：设这个多边形的边数是n，依题意得 (n-2)×180°=3×360°-180° 解得 n=7 ∴ 这个多边形的边数是7. 10.如图，六边形ABCDEF的内角都相等，∠1＝∠2＝60°，AB与DE及AD与BC有怎样的位 置关系？为什么？ 解：AB∥DE，AD∥BC.理由如下： ∵ 六边形ABCDEF的内角都相等 ∴ ∠EDC=∠FAB=∠C=720°÷6=120° ∵ ∠1=∠2=60° ∴ ∠EDA=∠1=60° ∴ AB∥DE ∵ ∠2+∠C=180° ∴ AD∥BC 考点五 本章中的思想方法 分类讨论思想 例9 (1)已知等腰三角形的两边长分别为10和6，则三角形的周长是_______； (2)已知等腰三角形的两边长分别为16和8，则三角形的周长是_______. 29方程思想 例10 如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC，BE⊥AC，△BDE是等边三角形，求∠C的度数. 解：设∠C=x°，则∠ABC=x° ∵ △BDE是等边三角形 ∴ ∠ABE=60° ∴ ∠EBC=x°-60° ∵ BE⊥AC，∴ ∠BEC=90° 在△BCE中，根据三角形内角和定理 得 90+x+x-60=180，解得x=75 ∴ ∠C=75° 化归思想 如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像数 字“8”，我们不难发现有一重要结论：∠A＋∠C＝∠B＋∠D.这一 图形也是常见的基本图形模型，我们称它为“8字型”图. 例11 如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数. 解：连接CD，由“8字型”模型图可知 ∠F+∠G=∠FCD+∠GDC ∴ ∠A+∠B+∠BCF+∠EDG+∠E+∠F+∠G =∠A+∠B+∠BCF+∠EDG+∠E+∠FCD+∠GDC =∠A+∠B+∠BCD+∠CDE+∠E =(5-2)×180° =540° 30全等三角形 一、教学目标 (一)知识与技能：1.通过实例理解全等形的概念和特征，并能识别图形的全等；2.知道全 等三角形的有关概念，能正确地找出对应顶点、对应边、对应角，掌握全等三角形对应边 相等，对应角相等的性质；3.能运用性质进行简单的推理和计算，解决一些实际问题. (二)过程与方法：通过两个重合的三角形变换其中一个的位置，使它们呈现各种不同位置 的活动，让学生从中了解并体会图形变换的思想，逐步培养学生动态的研究几何图形的意 识. (三)情感态度与价值观：培养学生的观察能力、动手操作能力和自主学习能力，发展学生 的空间观念. 二、教学重点、难点 重点：掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质. 难点：理解全等三角形边、角之间的对应关系. 三、教学过程 全等形 观察下列图案，你有什么发现？ 能够完全重合的两个图形叫做全等形. 探究 把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺形状、大小完全 一样吗？把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗？ 全等三角形 31能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 记作：△ABC≌△ABC 1 1 1 读作：△ABC全等于△ABC 1 1 1 记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 重合的顶点叫对应顶点：点A和点A，点B和点B，点C和点C 1 1 1 重合的边叫对应边：AB和AB，AC和AC，BC和BC 1 1 1 1 1 1 重合的角叫对应角：∠A和∠A， ∠B和∠B， ∠C和∠C 1 1 1 思考 △ABC≌△ABC，对应边有什么关系？对应角呢？ 1 1 1 全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等. 定理应用格式： ∵ △ABC≌△ABC 1 1 1 ∴ AB=AB，AC=AC，BC=BC，∠A=∠A，∠B=∠B，∠C=∠C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 思考 在图(1)中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF； 在图(2)中，把△ABC沿直线BC翻折180°，得到△DBC； 在图(3)中，把△ABC绕点A旋转，得到△ADE. 各图中的两个三角形全等吗？ △ABC≌△DEF △ABC≌△DBC △ABC≌△ADE 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、 翻折、旋转前后的图形全等. 请说出图(1)中的对应顶点，对应边、对应角. 练习 1.说出图(2)，图(3)中两个全等三角形的对应边，对应角. 解：图(2) 对应边：AB和DB，AC和DC，BC和BC 对应角：∠A和∠D，∠ABC和∠DBC，∠ACB和∠DCB 图(3) 对应边：AB和AD，AC和AE，BC和DE 对应角：∠BAC和∠DAE，∠B和∠D，∠C和∠E 2.如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的 边和角. 解：相等的边：OC=OB，OA=OD，CA=BD； 相等的角：∠AOC=∠DOB，∠C=∠B，∠A=∠D. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 首先展示全等形的图片，激发学生兴趣，从图中总结全等形和全等三角形的概念. 最 后总结全等三角形的性质，通过练习来理解全等三角形的性质并渗透符号语言推理. 通过 实例熟悉运用全等三角形的性质解决一些简单的实际问题. 32三角形全等的判定(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握三角形全等的“边边边”条件. (二)过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的 过程. (三)情感态度与价值观：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神. 二、教学重点、难点 重点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件. 难点：三角形全等条件的探索过程. 三、教学过程 情境问题 (1)坐久了的椅子摇晃了怎么办？ (2)小明家的衣橱上镶有两块全等的三角形玻璃装饰物，其中一块被打碎了，妈妈让小明到 玻璃店配一块回来，聪明的同学，小明该测量哪些数据呢？数据能尽可能少吗？ 如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等. 反过来，如果△ABC与△A′B′C′ 满足三条边分别相等，三个角分别相等，即 AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′ 就能判定△ABC≌△A′B′C′. 能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？ 探究1 先任意画一个△ABC. 再画一个△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′满足上述六个条件中的一个 (一边或一角分别相等)或两个(两边、一边一角或两角分别相等). 你画出的△A′B′C′与 △ABC一定全等吗？ (1)三角形的两条边分别为4cm，6cm； (2)三角形的一个内角为30°，一条边为3cm； (3)三角形的两个内角分别为30°和50°. 33通过画图可以发现，满足上述六个条件中的一个或两个，△ABC与△A′B′C′不一定全等. 满足上述六个条件中的三个，有几种可能的情况呢？每种情况都能保证△ABC与△A′B′C′全 等吗？ (1) 三个角 (2) 三条边 (3) 两边一角 (4) 两角一边 显然，三个角分别相等的两个三角形不一定全等. 探究2 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA. 把画好的 △A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”) 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 我们曾经做过这样的实验：将三根木条钉成一个三角 形 木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了. 就是说， 三 角形的三边确定了，这个三角形的形状、大小也就确定了， 这 里就用到上面的结论. 例1 在如图所示的三角形钢架中，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架. 求证△ABD≌△ACD. 证明：∵ D是BC的中点 ∴ BD=CD 在△ABD和△ACD中， ∴ △ABD≌△ACD (SSS) 作角 已知：∠AOB 34求作：∠A′0′B′，使∠A′0′B′=∠AOB. 作法： 1、以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； 2、画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′； 3、以C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′； 4、过点D′画射线O′B′，则∠A′0′B′=∠AOB. 想一想，为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？ 练习 1.如图，C是AB的中点，AD=CE，CD=BE. 求证△ACD≌△CBE. 证明：∵ C是AB的中点 ∴ AC=CB 在△ACD和△CBE中， ∴ △ACD≌△CBE (SSS) 2.工人师傅经常用角尺平分一个任意角. 做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边 OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线OC便是∠AOB的平分线. 为什么？ 证明： 在△OMC和△ONC中， ∴ △OMC≌△ONC (SSS) ∴ ∠MOC=∠NOC 即 OC就是∠AOB的平分线 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课从操作探究活动入手，有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课 堂的教学效率，促进了学生对新知识的理解和掌握. 从课堂教学的情况来看，学生对“边 边边”掌握较好，达到了教学的预期目的．存在的问题是少数学生在辅助线的构造上感到 困难，不知道如何添加合理的辅助线，还需要在今后的教学中进一步加强巩固和训练. 35三角形全等的判定(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握三角形全等的“SAS”条件；2.能运用“SAS”证明简单的三角形 全等问题. (二)过程与方法：经历探索三角形全等条件的过程，培养学生观察分析图形能力、动手能 力. (三)情感态度与价值观：通过对问题的共同探讨，培养学生的协作精神. 二、教学重点、难点 重点：应用“边角边”证明两个三角形全等，进而得出线段或角相等. 难点：指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件. 三、教学过程 两边一角 如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？每种情况下的两边及 一角分别相等的两个三角形是否全等？ 1.边 角 边 2.边 边 角 探究3 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，A′C′=AC，∠A′=∠A(即两边和它 们的夹角分别相等). 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS) 例2 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经 过池塘可以直接到达点A和B. 连接AC并延长到点D，使CD=CA. 连接BC并延长到点E，使 CE=CB. 连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？ 36证明：在△ABC和△DEC中， ∴ △ABC≌△DEC (SAS) ∴ AB=DE 思考 如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出△ABC. 固定住长木棍，转动短 木棍，得到△ABD. 这个实验说明了什么？ △ABC与△ABD满足两边和其中一边的 对 角分别相等，即AB=AB，AC=AD，∠B=∠B， 但 △ABC与△ABD不全等. 这说明有两边和其 中 一边的对角分别相等的两个三角形不一定全 等. 练习 1.如图，两车从南北方向的路段AB的A端 出 发，分别向东、向西行进相同的距离，到达C，D两地. 此时 C，D到B的距离相等吗？为什么？ 解：BC=BD. 理由如下： 在△ABC和△ABD中， ∴ △ABC≌△ABD (SAS) ∴ BC=BD 2.如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证∠A=∠D. 证明：∵ BE=CF ∴ BE+EF=CF+EF 即 BF=CE 在△ABF和△DCE中， ∴ △ABF≌△DCE (SAS) ∴ ∠A=∠D 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课从操作探究入手，具有较强的操作性和直观性，有利于学生从直观上积累感性 认识，从而有效地激发了学生的学习积极性和探究热情，提高了课堂的教学效率，促进了 学生对新知识的理解和掌握. 37三角形全等的判定(3) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.掌握已知三角形两个内角和一条边的长度怎么画三角形；2.掌握三角 形全等的证明方法:“角边角”和“角角边”；3.能熟练运用其进行证明. (二)过程与方法：学生经历探索三角形全等条件的过程，体会如何探索研究问题，让学生 通过探究，体会分类讨论的思想. (三)情感态度与价值观：通过探究全等三角形的证明方法，体会分类讨论的思想，有助于 学生形成严谨的学习习惯以及形成较强的逻辑推理能力. 二、教学重点、难点 重点：探究三角形全等的条件：角边角、角角边. 难点：运用角边角或角角边判定两个三角形全等. 三、教学过程 创设情境 如图，小黑熊不慎将一块三角形模具打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到 商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？如果可以，带哪块去合适？你能说明其 中理由吗？ 探究4 先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B(即两角和 它们的夹边分别相等). 把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？ 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 定理应用格式： 38在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA) 例3 如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证AD=AE. 证明： 在△ACD和△ABE中， ∴ △ACD≌△ABE (ASA) ∴ AD=AE 例4 如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，求证△ABC≌△DEF. 证明：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠C=180°-∠A-∠B 同理∠F=180°-∠D-∠E 又∵ ∠A=∠D，∠B=∠E ∴ ∠C=∠F 在△ABC和△DEF中， ∴ △ABC≌△DEF (ASA) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 “AAS”). 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS) 归纳 三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”). 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 “AAS”). 练习 1.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.求证AB=AD. 证明：∵ AB⊥BC，AD⊥DC ∴ ∠B=∠D=90° 39在△ABC和△ADC中， ∴ △ABC≌△ADC (AAS) ∴ AB=AD 2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上两点 C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是 AB的长.为什么？ 解：∵ AB⊥BF，DE⊥BF ∴ ∠ABC=∠EDC=90° 在△ABC和△EDC中， ∴ △ABC≌△EDC (ASA) ∴ AB=ED 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课的教学借助于动手操作、分组讨论等探究出三角形全等的判定方法. 在寻找判 定方法证明两个三角形全等的条件时，可先把容易找到的条件列出来，然后再根据判定方 法去寻找所缺少的条件. 从课堂教学的情况来看，学生对“角边角”掌握较好，达到了教 学的预期目的. 存在的问题是少数学生在方法“AAS”和“ASA”的选择上混淆不清，还需 要在今后的教学中进一步加强巩固和训练. 40直角三角形全等的判定 一、教学目标 (一)知识与技能：1.已知斜边和直角边会作直角三角形；2.熟练掌握“斜边、直角边”， 利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等 (二)过程与方法：经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻 辑推理能力. (三)情感态度与价值观：通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进—步激发 探究的积极性. 二、教学重点、难点 重点：掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法HL. 难点：熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等. 三、教学过程 回顾与思考 1.判定两个三角形全等方法____________________. 2.如图，AB⊥BE于B，DE⊥BE于E. (1)若∠A=∠D，AB=DE. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用 简写法). (2)若∠A=∠D，BC=EF. 则△ABC与△DEF______(填“全等”或“不全等”)根据______(用 简写法). (3)若AB=DE，BC=EF. 则△ABC与△DEF_______(填“全等”或“不全等”)根据______(用 简写法). 若AB=DE，AC=DF，此时△ABC与△DEF还会全等吗？ 探究5 1.请同学们画出以4cm、6cm为任意两边的直角三角形，并用 剪刀把它剪下来与同伴进行对比观察，从中发现什么问题？ 2.任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′=90°，B′C′=BC， A′B′=AB. 把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，它们全等吗？ 41斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”). 注意： (1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可 以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”. (2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式为： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) 例5 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证BC=AD. 证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD ∴ ∠C与∠D都是直角 在Rt△ABC和Rt△BAD中， ∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL) ∴ BC=AD 练习 1.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并 同时到达D、E两地. DA⊥AB，EB⊥AB. D，E与路段AB的距离相等吗？为什么？ 解：AD=BE，理由如下： 依题意可得，AC=BC，CD=CE. ∵ DA⊥AB，EB⊥AB ∴ ∠A=∠B=90° 在Rt△ACD和Rt△BCE中， ∴ Rt△ACD≌Rt△BCE (HL) ∴ AD=BE 2.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF.求证AE=DF. 证明：∵ BF=CE 42∴ BF-EF=CE-EF 即 BE=CF ∵ AE⊥BC，DF⊥BC ∴ ∠AEB=∠DFC=90° 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ∴ Rt△ABE≌Rt△DCF (HL) ∴ AE=DF 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课的教学主要通过分组讨论、操作探究以及合作交流等方式来进行. 在探究直角 三角形全等的判定方法—“斜边、直角边”时，要让学生进行合作交流. 在寻找未知的等 边或等角时，常考虑将其转移到其他三角形中，利用三角形全等来进行证明. 此外，还要 注重通过适量的练习巩固所学的新知识. 角的平分线的性质(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会作已知角的平分线；2.了解角的平分线的性质,能利用三角形全等证 明角的平分线的性质；3.会利用角的平分线的性质进行证明与计算. (二)过程与方法：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，进一步发展 学生的推理证明意识和能力. (三)情感态度与价值观：在探究作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养 学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信 心，获得解决问题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的性质的证明及应用. 难点：角的平分线的性质的探究. 三、教学过程 知识回顾 1.角平分线的概念 从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等 的角，这条射线叫做这个角的角平分线. ∵ ∠1=∠2 ∴ BD是∠ABC的平分线 2.通过折纸的方法做一个角的平分线 思考 右边是利用角平分仪平分一个角的演示过程. 43你能说明它的道理吗？其中AB=AD，BC=DC. 则：AE为∠α的角平分线. 证明： 在△ABC与△ADC中， ∴ △ABC≌△ADC (SSS) ∴ ∠BAC=∠DAC 即 AE是∠α的角平分线 用尺规作角的平分线. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法： 1.以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB 于 点N. 2.分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧 在 ∠AOB内部相交于点C. 3.画射线OC. 则：射线OC即为所求. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线. 思考 通过观察，你发现了角的平分线的什么性质？ 点P在∠AOB的平分线OC上. 角平分线上的点到角的两边的距离相等. 你能利用三角形全等证明这个性质吗？ 已知:_________________________________ 求证:_________________________________ 如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证PD=PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 44在△PDO和△PEO中， ∴ △PDO≌△PEO (AAS) ∴ PD=PE 定理应用格式： ∵ 点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB. ∴ PD=PE 归纳 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 练习 如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等. 则：点P为所求. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课由于采用了动手操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生对角以 及角平分线的性质的感性认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效 果较好，学生对所学的新知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生在性质 的运用上还存在问题，需要在今后的教学与作业中进一步的加强巩固和训练. 45角的平分线的性质(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解角的平分线的判定定理；2.会利用角的平分线的判定进行证明与 计算. (二)过程与方法：在探究角的平分线的判定定理的过程中，进一步发展学生的推理证明意 识和能力. (三)情感态度与价值观：在探究作角的平分线的判定定理的过程中，培养学生探究问题的 兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神，增强解决问题的信心，获得解决问 题的成功体验. 二、教学重点、难点 重点：角的平分线的判定定理的证明及应用. 难点：角的平分线的判定. 三、教学过程 思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离 相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处 (在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ 我们知道，角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 反过来，到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 46动态演示 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵ PD⊥OA，PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ∴ ∠POD=∠POE 即点P在∠AOB的平分线上. 定理应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE ∴ 点P在∠AOB的平分线上 思考 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相 等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在 图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？ 则：这个集贸市场应建于点P处. 例 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相 等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D，E，F. ∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上 ∴ PD=PE 同理，PE=PF ∴ PD=PE=PF 即P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 47练习 如图，△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于点P. 求证： 点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 证明：过P点做PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别是F，G， H. ∵ BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的外角的平分线 ∴ PG=PH，PF=PG ∴ PF=PG=PH 即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课借助于直观的模型引导学生进行观察、猜想和验证，从而引导学生在自主探究 的基础上，通过与他人的合作交流探究出角平分线的性质定理和逆定理，这样有效地提高 了课堂的教学效果，促进了学生对新知识的理解和掌握. 不足之处是少数学生在应用角平 分线的性质定理和逆定理解题时，容易忽视“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一 条件，需要在今后的教学和作业中加强巩固和训练. 第12章全等三角形小结与复习 一、教学目标 1.全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素； 2.掌握全等三角形的判定条件，并能进行简单的证明和计算，掌握综合法证明的格式； 3.掌握角平分线的性质及判定，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平 分线的性质进行证明. 二、教学重点、难点 重点：全等三角形判定、性质及角平分线的性质和判定，建立本章知识结构. 难点：运用全等三角形的知识解诀问题. 三、教学过程 知识梳理 一、全等三角形的性质 能够完全重合的两个图形叫全等图形，能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 应用格式： ∵ △ABC≌△DEF ∴ AB=DE，BC=EF，AC=DF 48∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F 二、三角形全等的判定方法 三边分别相等的两个三角形全等.(“边边边”或“SSS”) 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS) 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”). 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(SAS) 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”). 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(ASA) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或 “AAS”). 定理应用格式： 在△ABC和△A′B′C′中， ∴ △ABC≌△A′B′C′(AAS) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或 “HL”). 注意： (1)“HL”定理是仅适用于Rt△的特殊方法. 因此，判定两个直角三角形全等的方法除了可 以使用“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”外还可以使用“HL”. (2)应用HL定理时，虽只有两个条件，但必须先有两个Rt△. 书写格式为： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∴ Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL) 三、角平分线的性质与判定 49考点讲练 考点一 全等三角形的性质 例1 如图，已知△ACE≌△DBF，AD＝8，BC＝2. (1)求AC的长度；(2)试说明CE∥BF. 解：(1)∵ △ACE≌△DBF，∴ AC=BD ∴ AC-BC=BD-BC，即 AB=CD ∵ AD=AB+BC+CD，AD=8，BC=2 ∴ 2AB+2=8，解得 AB=3 ∴ AC=AB+BC=3+2=5 (2)∵ △ACE≌△DBF ∴ ∠ECA=∠FBD，∴ CE∥BF 方法总结 两个全等三角形的长边与长边，短边与短边分别是对应边，大角与大角，小角与小角 分别是对应角.有对顶角的，对顶角一定为一对对应角.有公共边的，公共边一定是对应边. 有公共角的，公共角一定是对应角. 针对训练 1.如图所示，点B、D、C在一条直线上，△ABD≌△ACD，∠BAC＝90°.(1)求∠B；(2)判断 AD与BC的位置关系，并说明理由. 解：(1)∵ △ABD≌△ACD，∴ ∠B=∠C ∵ ∠BAC=90°，∴ ∠B=∠C=45° (2)AD⊥BC. 理由如下： ∵ △ABD≌△ACD，∴ ∠BDA=∠CDA ∵ ∠BDA+∠CDA=180° ∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∴ AD⊥BC 考点二 全等三角形的判定 例2 如图，已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC. 求证：△ABC≌△DCB. 证明：在△ABC和△DCB中 ∴ △ABC≌△DCB (ASA) 50针对训练 2.在下列条件中，不能保证△ABC≌△DEF的是( ) A.AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF B.∠A＝∠D，∠B＝∠E，AC＝DF C.AB＝DE，AC＝DF，∠A＝∠D D.AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠F 3.如图所示，AB与CD相交于点O，OA＝OB.添加条件___________ (一个即可)，所以△AOC≌△BOD 理由是_______. 考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用 例3 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点G，交AB于点E，EF∥BC交AC于点F. 求证：∠DEC＝∠FEC. 证明：∵ CE⊥AD，∴ ∠AGE=∠AGC=90° ∵ AD平分∠BAC，∴ ∠EAG=∠CAG 在△AGE和△AGC中 ∴ △AGE≌△AGC (ASA) ∴ GE=GC 在△DGE和△DGC中 ∴ △DGE≌△DGC (SAS) ∴ ∠DEG=∠DCG ∵ EF∥BC，∴ ∠FEC=∠DCE ∴ ∠DEC=∠FEC 方法总结 利用全等三角形证明角相等，首先要找到两个角所在的两个三角形，看它们全等的条 件够不够；有时会用到等角转换，等角转换的途径很多，如：余角，补角的性质、平行线 的性质等，必要时要想到添加辅助线. 针对训练 4.如图，OB⊥AB，OC⊥AC，垂足为B，C，OB＝OC，∠BAO＝∠CAO吗？为什么？ 解：∠BAO=∠CAO 理由：∵ OB⊥AB，OC⊥AC ∴ ∠B=∠C=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中 ∴ Rt△ABO≌Rt△ACO (HL) 51∴ ∠BAO=∠CAO 5.如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于E，DE＝FE，求证：AE＝CE. 证明：∵ AD∥CF ∴ ∠ADE=∠CFE 在△ADE和△CFE中 ∴ △ADE≌△CFE (ASA) ∴ AE=CE 考点四 利用全等三角形解决实际问题 例4 如图，两根长均为12米的绳子一端系在旗杆上，旗杆与地面垂直，另一端分别固定 在地面上的木桩上，两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ 解：相等，理由如下： ∵ AD⊥BC ∴ ∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△ADB和Rt△ADC中 ∴ Rt△ADB≌Rt△ADC (HL) ∴ BD=CD 方法总结 利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度，还可对某些因素作出判断，一 般采用以下步骤： (1)先明确实际问题； (2)根据实际抽象出几何图形； (3)经过分析，找出证明途径； (4)书写证明过程. 针对训练 6.如图，有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状，A、B间的距离不能直接测得.你能用已 学过的知识或方法设计测量方案，求出A、B间的距离吗？ 解：要测量A、B间的距离，可用如下方法： 过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C、D，使CD=BC， 再作出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上. ∵ ∠ACB=∠ECD，CB=CD，∠ABC=∠EDC=90° ∴ △ABC≌△EDC (ASA) ∴ AB=ED ∴ 测出ED的长就是A、B之间的距离. 考点五 角平分线的性质与判定 例5 如图，∠1＝∠2，点P为BN上的一点，∠PCB＋∠BAP＝180°，求证：PA＝PC. 52证明：过点P作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为E，F. ∵ ∠1=∠2，PE⊥BA，PF⊥BC ∴ PE=PF，∠PEA=∠PFC=90° ∵ ∠PCB+∠BAP=180° 又 ∠BAP+∠PAE=180° ∴ ∠PAE=∠PCB 在△APE和△CPF中 ∴ △APE≌△CPF (AAS) ∴ PA=PC 针对训练 7.如图，∠1＝∠2，点P为BN上的一点，PA＝PC，求证：∠PCB＋∠BAP＝180°. 证明：过点P作PE⊥BA，PF⊥BC，垂足分别为E，F. ∵ ∠1=∠2，PE⊥BA，PF⊥BC ∴ PE=PF，∠PEA=∠PFC=90° 在Rt△APE和Rt△CPF中 ∴ Rt△APE≌Rt△CPF (HL) ∴ ∠PAE=∠PCF ∵ ∠PAE+∠BAP=180° ∴ ∠PCB+∠BAP=180° 轴对称 一、教学目标 (一)知识与技能：1.在生活实例中认识轴对称图；2.分析轴对称图形，理解轴对称的概念. (二)过程与方法：1.通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对 53称轴；2.经历观察、分析的过程，训练学生观察、分析的能力. (三)情感态度与价值观：通过对丰富的轴对称现象的认识，进一步培养学生积极的情感、 态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美能力的提高. 二、教学重点、难点 重点：轴对称图形的概念. 难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴. 三、教学过程 图片欣赏 自远古以来，对称的形式被认为是和谐、美丽并且真实的.不论在自然界里还是在建筑 中，不论在艺术中还是在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随处可见. 在我们的生活中对称现象无处不在，让我们再来开开眼界吧! 舞蹈艺术、京剧脸谱、剪纸艺术、建筑物、国旗、汽车标志等. 轴对称图形 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做 轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴) 对称. 思考 下面的每对图形有什么共同特点？ 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫 做对称点. 思考 成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这 两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 54把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形，把一个轴对称图形沿 对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称. 思考 线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？ AP=A′P，∠MPA=∠MPA′=90°. 对于其它对应点，如点B与B′，点C与C′也有类似的情 况. 因此，对称轴所在的直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段. 垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线. 图形轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如右图中，l垂 直平分AA′，l垂直平分BB′. 练习 1.下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴. 2.如图所示的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，指出他们的对称轴，并找出 一对对称点. 55课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 这节课充分利用多媒体教学，给学生以直观指导，主动向学生质疑，促使学生思考与 发现，形成认识，独立获取知识和技能. 另外，借助多媒体教学给学生创设宽松的学习氛 围，使学生在学习中始终保持兴奋、愉悦、渴求思索的心理状态，有利于学生主体性的发 挥和创新能力的培养. 56线段的垂直平分线的性质(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：理解和掌握线段垂直平分线的性质和判定，并会运用其性质和判定解诀 有关问题. (二)过程与方法：经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会 转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力. (三)情感态度与价值观：通过对线段垂直平分线性质的探究，激发学生的好奇心和求知欲， 在运用数学知识解答问题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心. 二、教学重点、难点 重点：线段垂直平分线的性质和判定的探究和运用. 难点：线段垂直平分线性质和判定的理解和准确运用. 三、教学过程 观察演示，动手操作 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在l上.求证PA=PB. 证明：∵ l ⊥AB ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又∵ AC=BC，PC=PC ∴ △PCA≌△PCB (SAS) ∴ PA=PB 定理应用格式： ∵ PC⊥AB，PC平分AB ∴ PA=PB 如图，用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋，做一个简易的“弓”，“箭”通过木棒 中央的孔射出去，怎样才能保持射出去的箭的方向与木棒垂直呢？为什么？ 57如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？ 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 如图，线段AB，PA=PB. 求证：点P在AB的垂直平分线上. 证法1：过点P作线段AB的垂线PC. ∴ ∠PCA=∠PCB=90° 又∵ PA=PB，PC=PC ∴ Rt△PAC≌Rt△PBC (HL) ∴ AC=BC ∴ PC是线段AB的垂直平分线 ∴ 点P在AB的垂直平分线上 证法2：取AB的中点C，过P，C作直线. ∴ AC=BC 又∵ PA=PB，PC=PC ∴ △PAC≌△PBC (SSS) ∴ ∠PCA=∠PCB=180°÷2=90° 即 PC⊥AB ∴ PC是线段AB的垂直平分线 ∴ 点P在AB的垂直平分线上 定理应用格式： ∵ PA=PB ∴ 点P在AB的垂直平分线上 集合 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 从上面两个结论可以看出：在线段AB的垂直平分线 l 上的 58点与点A、B的距离都相等；反过来，与A、B的距离相等的点都在直线 l 上，所以直线 l 可以看成与两点A、B的距离相等的所有点的集合. 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线. 已知：如图，直线AB和AB外一点C. 求作：AB的垂线，使它经过点C. 作法：(1)任意取一点K，使点K和点C在AB两旁. (2)以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E. (3)分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧， 两弧相交于点F. (4)作直线CF. 则：直线CF就是所求作的垂线. 想一想，为什么直线CF就是所求作的垂线？ ∵ CD=CE，FD=FE ∴ C、F都在DE的垂直平分线上 ∴ CF垂直平分DE ∴ CF⊥AB 练习 1.如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？ AB+BD与DE有什么关系？ 解：AB=AC=CE，AB+BD=DE. ∵ AD⊥BC，BD=DC ∴ AB=AC ∵ 点C在AE的垂直平分线上 ∴ AC=CE ∴ AB=AC=CE ∴ AB+BD=CE+DC ∴ AB+BD=DE 2.如图，AB=AC，MB=MC，直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 解：直线AM是线段BC的垂直平分线. ∵ AB=AC，MB=MC ∴ 点A、M在线段BC的垂直平分线上 ∴ 直线AM是线段BC的垂直平分线 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 59四、教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性 认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因此本节课的教学效果较好，学生对所学的新 知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对线段垂直平分线性质定理的逆 定理理解不透彻，还需在今后的教学和作业中进一步进行巩固和提高. 线段的垂直平分线的性质(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解线段的垂直平分线的判定定理，会利用线段的垂直平分线的判定 解决简单问题；2.会用尺规作已知线段的垂直平分线. (二)过程与方法：探培养学生的观察、猜想、推理、归纳能力，进一步掌握学习几何知识 的一般方法. (三)情感态度与价值观：通过探究，激发学生的好奇心和求知欲，在运用数学知识解答问 题的活动中获得成功的体验，建立学习的自信心. 二、教学重点、难点 重点：理解线段的垂直平分线的判定定理，能运用其解决简单的问题. 难点：线段的垂直平分线的判定的应用，了解作图的道理. 三、教学过程 思考 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不 折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？ 如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所 连线段的垂直平分线. 因此，我们只要找到一对对应点，作出 60连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴. 例2 如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？ 分析：我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线， 就可以得到点A和点B的对称轴. 为此作出到点A，B距离相 等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段 AB的垂直平分线. 作法：1.分别以点A和B为圆心、以大于 AB的长为半径画 弧，两弧相交于C，D两点. 2.作直线CD. CD就是所求作的直线. 这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图. 我们也可以用这种方法确定线段的中点. 五角星 同样，对于轴对称图，只要找到任意一组对应点，作出 对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴. 例如，图中的五角星，我们可以找出一对对应点A和 A′，连接AA′，作出线段AA′的垂直平分线l，则l就是这个五 角星的一条对称轴. 类似地，你能作出这个五角星的其它对称轴吗？ 练习 1.作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 2.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴. 解：图形A与图形B成轴对称，对称轴如图所示直线l. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 61本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性 认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新 知识掌握较好，达到了教学的目的. 画轴对称图形 一、教学目标 (一)知识与技能：理解图形轴对称变换的性质，能按要求画出一个平面图形关于某直线对 称的图形. (二)过程与方法：经历画已知图形关于某直线的轴对称图形的过程，体会轴对称性质在作 图中的运用. (三)情感态度与价值观：学生体验到成功的喜悦，树立自信心，感受数学美. 二、教学重点、难点 重点：会画已知图形关于某直线的轴对称图形. 难点：理解轴对称性质在作图中的运用. 三、教学过程 动手操作 62归纳 由一个平面图形可以得到它关于一条直线 l对称的图形，这个图形与原图形的形状、 大小完全一样；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线 l的对称点；连接任意 一对对应点的线段被对称轴垂直平分. 画对称点 已知对称轴m和一点A，要画出点A关于m的对称点A′，如何画呢？ 1.过点A画对称轴m的垂线，垂足为B； 2.延长AB至A′使得BA′=AB，则点A′就是所求的点. 思考 如果有一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的图形呢？ 例1 如图，已知△ABC和直线l，画出与△ABC关于直线l对 称的图形. 画法：如右图， (1)过点 A 画直线 l 的垂线，垂足为 O，在垂线上截取 OA′=OA，A′就是点A关于直线 l 的对称点； (2)同理，分别画出点B、C关于直线 l 的对称点B′、C′； (3)连接A′B′、B′C′、C′A′，则△A′B′C′即为所求. 归纳 几何图形都可以看作由点组成，对于某些图形，只要画 出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这 些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 右图是一个图案的一半，其中的虚线是这个图案的对称 轴，画出这个图案的另一半. 美术作品 利用轴对称，可以设计出精美的图案. 在许多美术作品中，都能看到轴对称的例子. 练习 1.如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的图形. 2.用纸片剪一个三角形，分别沿它一边的中线、高、角平分线对折，看看哪些部分能够重 合，哪些部分不能重合？ 63课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，以生动活泼的形式呈现 有关内容. 重视动手操作，实践探究，但如果只有操作，而没有数学体验，数学课很容易 上成劳技课，所以本节课的设计在重视活动的同时，又重视知识的获取，因为动手操作的 目的本身就在于更直观地发现新知识. 练习的设计具有一定的层次性，使不同的学生在学 习数学的过程中得到不同的发展. 用坐标表示轴对称 一、教学目标 (一)知识与技能：1.能够作轴对称图形；2.能够经过探索利用坐标来表示轴对称；3.能够 用轴对称的知识解决相应的数学问题. (二)过程与方法：在探索问题的过程中体会知识间的关系，感受函数与生活的联系. (三)情感态度与价值观：培养学生的应用意识和探究精神. 二、教学重点、难点 重点：能够作轴对称图形，能够经过探索利用坐标来表示轴对称，能够用轴对称的知识解 决相应的数学问题. 难点：用轴对称知识解决相应的数学问题. 三、教学过程 思考 如图，是一幅老北京城的示意图，其中西直门和东直 门是关于中轴线对称的. 如果以天安门为原点，分别以长 安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，根据如 图所示的东直门的坐标，你能说出西直门的坐标吗？ 找规律 64在平面直角坐标系中，画出以上列表中已知点及其关于坐标轴的对称点，并把它们的 坐标填入表格中，看看每对对称点的坐标有怎样的规律. 再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律. 归纳 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴 对称的点横坐标___________，纵坐标_____. 点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___) 点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___) 例2 如图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5， 1)，B(-2，1)，C(-2，5)，D(-5，4)，分别画出与四边形 ABCD关于 y 轴和 x 轴对称的图形. 解：点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y)，因此 四边形ABCD的顶点A、B、C、D关于y轴对称点的坐标分 别为 A'(__，__)，B'(__，__) C'(__，__)，D'(__，__) 依次连接A'B'，B'C'，C'D'，D'A'，就可得到与四边形ABCD关于y轴对称的四边形A'B'C'D'.类似 地，我们可以得到与四边形ABCD关于x轴对称的四边形A″B″C″D″. 练习 1.分别写出下列各点关于 x 轴和 y 轴对称的点的坐标. 2.如图，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为(1，-2)，写出点B的坐标. 解：∵ △ABO关于x轴对称 ∴ 点A与点B关于x轴对称 ∵ 点A的坐标为(1，-2) ∴ 点B的坐标为(1，2) 653.如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△ABC关于x轴和y轴对称的 图形. 解：如图，△ABC 为△ABC关于x轴对称的图形；△ABC 为△ABC关于y轴对称的图形. 1 1 1 2 2 2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 等腰三角形(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：探索并证明等腰三角形的两个性质，能利用性质证明两个角相等或两条 线段相等. (二)过程与方法：结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中 的作用，了解作辅助线的技巧，发展“转化”及“分类讨论”的数学思想. (三)情感态度与价值观：引导学生对图形观察、发现，激发学生的求知欲望和学习兴趣， 帮助学生养成良好的学习习惯和勤于思考、勇于探索的的思想品质，建立学习的自信心. 二、教学重点、难点 重点：1.等腰三角形的概念及性质；2.等腰三角形性质的应用. 难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用. 三、教学过程 轴对称图形 三角形是轴对称图形吗？什么样的三角形是轴对称图形？ 66探究 把一张长方形的纸片沿虚线对折，并剪下红色部分，再把它展开，得到一个什么图形？ 上述过程中，剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC中AB=AC. 像这样有两条边相等的三角 形，叫做等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹 角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角. 探究 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕(AD所在的直线)对折，找出其中 重合的线段和角.由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的 性质吗？说一说你的猜想. 性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合 一”) 性质证明 性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”) 已知：如图，在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B=∠C 证明：作底边BC的中线AD. 67在△BAD与△CAD中， ∴ △BAD≌△CAD (SSS) ∴ ∠B=∠C 由△BAD≌△CAD，还可以得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而 AD⊥BC.这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠BAC 并垂直于底边BC. 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且 垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了性质 2. 从以上证明也可以得出，等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合，等 腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它的 对称轴. 性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合 一”) 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数. 解：∵ AB=AC，BD=BC=AD ∴ ∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD (等边对等角) 设∠A=x，则∠BDC=∠A+∠ABD=2x 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x 于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180° 解得 x=36° 所以，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72° 练习 1.如图，在下列等腰三角形中，分别求出它们的底角的度数. 解：(1)∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 又∵ ∠A=36° ∴ ∠B=∠C= =72° 解：(2)∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 又∵ ∠A=120° ∴ ∠B=∠C= =30° 2.如图，△ABC是等腰直角三角形(AB=AC，∠BAC=90°)，AD是底边BC上的高. 标出∠B、 ∠C、∠BAD、∠DAC的度数，并写出图中所有相等的线段. 解：AB=AC，BD=CD=AD 683.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数. 解：∵ AB=AD=DC ∴ ∠B=∠ADB，∠C=∠DAC 又∵ ∠BAD=26° ∴ ∠B=∠ADB=(180°-26°)÷2=77° ∴ ∠C=∠DAC=∠ADB÷2=77°÷2=38.5° 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课由于采用了直观操作以及讨论交流等教学方法，从而有效地增强了学生的感性 认识，提高了学生对新知识的理解与感悟，因而本节课的教学效果较好，学生对所学的新 知识掌握较好，达到了教学的目的. 不足之处是少数学生对等腰三角形的“三线合一”性 质理解不透彻，还需要在今后的教学和作业中进一步巩固和提高. 等腰三角形(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.探索等腰三角形判定定理；2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用 其进行简单的证明；3.了解等腰三角形的尺规作图. (二)过程与方法：通过独立思考，交流讨论，发展推理能力和运用数学知识解决实际问题 69的能力. (三)情感态度与价值观：学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学 习数学的兴趣. 二、教学重点、难点 重点：理解和运用等腰三角形的判定定理. 难点：利用尺规作等腰三角形：已知底边及底边上的高作等腰三角形. 三、教学过程 思考 我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等. 反过来，如果一 个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？ 如图，在△ABC中，∠B=∠C. 作△ABC的角平分线AD. 在△BAD与△CAD中， ∴ △BAD≌△CAD (AAS) ∴ AB=AC 等腰三角形判定定理： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 (简写成“等角对等边”). 定理应用格式： ∵ ∠B=∠C ∴ AB=AC 例2 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三 角形. 已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC. 求证：AB=AC. 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以可以设 法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 证明：∵ AD∥AC ∴ ∠1=∠B (_______________________) ∠2=∠C (_______________________) 又∵ ∠1=∠2 ∴ ∠B=∠C ∴ AB=AC (____________) 思考 (1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角形吗？如果能，能作几个？所作的 三角形都全等吗？ 已知：三角形的一条边a和这边上的高h. 求作：△ABC，使AB=a，AB边上的高为h. 70(2)如果已知是等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作出等腰三角形吗？能作几个？ 例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为h，求作这个等腰三角形. 作法： 1.作线段AB=a； 2.作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D； 3.在MN上取一点C，使DC=h； 4.连接AC，BC. 练习 1.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪 些等腰三角形. 解：∵ 在△BCD中，∠C=72°，∠DBC=36° ∴ ∠1=180°-36°-72°=72° 又∵ ∠1是△ABD的外角 ∴ ∠2=∠1-∠A=36° ∴ ∠ABC=∠2+∠DBC=72° 因 此 ， 由 ∠ ABC=∠ C=72° ， 得 △ ABC 是 等 腰 三 角 形 ； 由 ∠1=∠C=72°，得△BCD是等腰三角形；由∠2=∠A=36°，得△ABD 是等腰三角形. 2.如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 解：△BED是等腰三角形. 理由如下： ∵ △BC′D与△BCD关于直线BD对称 ∴ △BC′D≌△BCD ∴ ∠C′BD=∠CBD 又∵ AD∥BC ∴ ∠ADB=∠CBD ∴ ∠ADB=∠C′BD ∴ EB=ED 即△BED是等腰三角形. 3.求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角 形是直角三角形. 已知：如图，△ABC中，CD是AB边上的中线，且CD= AB. 求证：△ABC是直角三角形. 证明：∵ CD是AB边上的中线，且CD= AB 71∴ AD=CD=BD ∴ ∠A=∠ACD，∠B=∠BCD ∵ ∠A+∠B+∠ACD+∠BCD=180° ∴ ∠ACD+∠BCD=90° 即∠ACB=90° ∴ △ABC是直角三角形. 4.如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD. 证明：∵ AB∥DC ∴ ∠A=∠C，∠B=∠D 又∵ OA=OB ∴ ∠A=∠B ∴ ∠C=∠D ∴ OC=OD 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 学生通过回顾总结等腰三角形的性质为学习等腰三角形的判定做了知识铺垫. 之后将 本节课的教学目标展示给学生，让学生做到心中有数，让学生带着问题看书，加强自主探 索的能力. 通过学生观察、思考例题，自然地渗透分类讨论的数学解题思想. 通过课堂小 结，让学生归纳比较等腰三角形的性质和判定的区别，同时将等腰三角形的性质定理与判 定定理有机的结合起来，重在培养学生对两个知识点的综合运用，鼓励学生积极思考. 整 节课的目标基本实现，重点难点落实得比较到位，唯一欠缺的是时间有点紧，课堂小结比 较仓促. 72等边三角形(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.探索等边三角形的性质和判定；2.能运用等边三角形的性质和判定进 行计算和证明. (二)过程与方法：通过探索、猜想、证明、归纳等数学活动过程，发展逻辑推理能力. (三)情感态度与价值观：体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣. 二、教学重点、难点 重点：探索等边三角形的性质与判定. 难点：等边三角形性质和判定的应用. 三、教学过程 知识再现 等边三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形). 思考 把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？ 性质探索 1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？ 已知：如图，AB=AC=BC. ∵ AB=AC ∴ ∠B=∠C 同理 ∠A=∠C ∴ ∠A=∠B=∠C ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° 73等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？ 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 3.等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？ 等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 归纳 1.等边三角形的三边相等. 2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. 3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 判定探索 1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？ 已知：如图，∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A=∠B ∴ AC=BC 同理 AB=AC ∴ AB=AC=BC 即△ABC是等边三角形 三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.(1)一个等腰三角形满足什么条件时便成为等边三角形？ (2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？ 假若AB=AC，则∠B=∠C 当顶角∠A=60°时， ∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ △ABC是等边三角形. 74当底角∠B=60°时，∠C=60°，∠A=180°-∠B-∠C=60° ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ △ABC是等边三角形. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 归纳 1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个角都相等的三角形是等边三角形. 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 例4 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E. 求证：△ADE是等边 三角形. 证明：∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴ ∠A=∠ADE=∠AED ∴ △ADE是等边三角形 想一想，本题还有其它证法吗？ 证明：∵ △ABC是等边三角形 ∴ ∠A=∠B=∠C=60° ∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C ∴ ∠ADE=∠AED ∴ AD=AE，且∠A=60° ∴ △ADE是等边三角形 练习 如 图 ， 等 边 三 角 形 ABC 中 ， AD 是 BC 上 的 高 ， ∠BDE=∠CDF=60°，图中有哪些与BD相等的线段？ 解：与BD相等的线段有AE、AF、BE、CD、CF、DE、DF. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课让学生在认识等腰三角形的基础上，进一步认识等边三角形. 学习等边三角形 的定义、性质和判定. 让学生在探索图形特征以及相关结论的活动中，进一步发展空间观 念，锻炼思维能力. 让学生在学习活动中，进一步产生对数学的好奇心，增强动手能力和 创新意识. 在这节课中，要学生充分的自主探究，尝试提出问题和解决问题，发展学生的 自主探究能力. 75等边三角形(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：1.探索含30°角的直角三角形的性质；2.理解含30°角的直角三角形的 性质，并会应用它进行有关的证明和计算. (二)过程与方法：经历探索、发现、猜想、证明直角三角形中有一个角为 30°的性质的过 程，培养学生严谨的数学思维. (三)情感态度与价值观：体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性. 二、教学重点、难点 重点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质. 难点：含30°角的直角三角形的性质定理的应用. 三、教学过程 探究 用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？ 说说你的理由. 由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能 证明你的结论吗？ △ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个 等边三角形.再由AC⊥BD，可得BC=CD= AB. 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC= AB. 证明：延长BC至D，使CD=BC，连接AD. ∵ ∠ACB=90° ∴ ∠ACD=90° 76∵ AC=AC ∴ △ABC≌△ADC (SAS) ∴ AB=AD ∴ △ABD是等边三角形 ∴ BC= BD= AB 定理应用格式： ∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30° ∴ BC= AB 例5 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC， AB=7.4m，∠A=30°.立柱BC、DE要多长. 解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30° ∴ BC= AB，DE= AD ∴ BC= ×7.4=3.7(m) 又∵ AD= AB ∴ DE= AD= ×3.7=1.85(m) 答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m. 练习 Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？ 解：如图，∵ ∠C=90° ∴ ∠A+∠B=90° 又∵ ∠B=2∠A ∴ 3∠A=90° ∴ ∠A=30°，∠B=60° ∴ BC= AB或AB=2BC 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课借助于教学活动的开展，有效地激发了学生的探究热情和学习兴趣，从而引导 学生通过自主探究以及合作交流等活动探究并归纳出本节课所学的新知识，促进了学生思 维能力的提高. 不足之处是部分学生的综合运用知识解决问题的能力还有待于在今后的教 学和作业中进行进一步的训练和提高. 77最短路径问题 一、教学目标 (一)知识与技能：通过对最短路径的探素，进一步理解和掌握两点之间线段最短和垂线段 最短的性质. (二)过程与方法：让学生经历运用所学知识解决问题的过程，培养学生解决问题的能力， 掌握探索最短路径的思想方法. (三)情感态度与价值观：在数学学习活动中，获得成功的体验，树立自信心. 二、教学重点、难点 重点：应用所学知识解决最短路径问题. 难点：选择合理的方法解决问题. 三、教学过程 引言 以前我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线 上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题.现实生活中经 常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问 题”及“造桥选址问题”. 问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，一位 将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到B地. 牧马人到河边什 么地方饮马，可使所走的路径最短？ 如图，点A，B分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点C，使得点C到点 A、点B的距离的和最短？ 78连接AB，与直线 l 相交于一点，根据“两点之间，线段最短”可知这个交点即为所求. 现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线 l 同侧的两个点，如何在 l 上找到一个 点，使得这个点到点A、点B的距离的和最短？ 如图，作出点B关于 l 的对称点B'，利用轴对称的性质，可以得到CB'=CB. 这样，问 题就转化为：当点C在 l 的什么位置时，AC与CB'的和最小？ 在连接A，B'两点的线中，线段AB'最短. 因此，线段AB'与直线 l 的交点C的位置即为 所求. 你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？ 证明：如图，在直线 l 上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′. ∴ AC+BC=AC+B′C=AB′ AC′+BC′=AC′+B′C′ 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′ ∴ AC+BC＜AC′+BC′ 即AC+BC最短. 问题2 (造桥选址问题)如图，A和B两地在一条河的两岸，现要河上造一座桥MN. 桥造在 何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.) 我们可以把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线 b，交直线a于点M，这样，上面的问题可以转化为下面的问题：当点N在直线b的什么位 置时，AM+MN+NB最小？ 79由于河岸宽度是固定的，因此当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小. 这样问题就进一步转 化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？能否通过图形的变化(轴对称、平移等)， 把右图的情况转化为左图的情况？ 如图，将 AM 沿与河岸垂直的方向平移，点 M 移动到点 N，点 A 移动到点 A′，则 AA′=MN，AM+NB=A′N+NB. 这样问题就转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？ 在连接A′，B两点线中，线段A′B最短. 因此，线段A′B与直线b的交点N的位置即为 所求，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的. 你能用所学的知识证明AM+MN+NB最短吗？ 为了证明点N的位置即为所求，我们不妨在直线b上另外任意取一点N′，过N′作N′M′⊥a， 垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B，证明AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B. 证明：如图，由平移的性质可知： AM=A′N，AM′=A′N′，MN=M′N′ 在△A′BN′中，A′B＜A′N′+N′B ∴ A′N+NB＜AM′+N′B ∴ AM+NB＜AM′+N′B ∴ AM+MN+NB＜AM′+M′N′+N′B 归纳 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解 决的问题，从而作出最短路径的选择. 80课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 通过本节课进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值. 在互动 交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题. 体会 在解决问题中与他人合作的重要性. 体会运用数学的思维方式观察、分析现实社会，解决 日常生活中和其他学科中的问题，增强应用数学的意识. 第13章轴对称小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知 识；2.培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形 3.归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力. (二)过程与方法：使学生能较好地运用本章知识和技能解决有关问题. (三)情感态度与价值观：培养学生的分析解答能力. 二、教学重点、难点 重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用. 难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力. 三、教学过程 知识梳理 一、轴对称相关定义和性质 1.定义 (1)如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称 图形，这条直线就是它的对称轴. (2)如果一个图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这条直线(成轴)对称，这条直线就是它的对称轴. 2.性质 (1)关于某直线对称的两个图形是全等图形； (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； (3)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 二、线段垂直平分线的性质和判定 性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 三、平面直角坐标系中轴对称 点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)； 点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 四、等腰三角形的性质及判定 1.性质： 81(1)两腰相等； (2)轴对称图形，等腰三角形底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在的直线就是它 的对称轴； (3)两个底角相等，简称“等边对等角”； (4)顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简称“三线合一”). 2.判定 (1)有两边相等的三角形是等腰三角形； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”). 五、等边三角形的性质及判定 1.性质： (1)等边三角形的三边相等. (2)等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°. (3)等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合. (4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 2.判定 (1)三边相等的三角形是等边三角形. (2)三个角都相等的三角形是等边三角形. (3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 六、有关作图 1.作线段的垂直平分线. 2.过已知直线外的一点作该直线的垂线. 3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址问题. 考点讲练 考点一 轴对称及轴对称图形 例1 在下列“禁止行人通行、注意危险、禁止非机动车通行、限速20”四个交通标志图中， 为轴对称图形的是( ) 针对训练 1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定是轴对称图形的有( )个 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，∠3＝30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋 中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为_____. 考点二 关于坐标轴对称的点的坐标 例2 按要求完成作图： (1)作△ABC关于y轴对称的△ABC； 1 1 1 (2)在x轴上找出点P，使PA＋PC最小，并直接写出P点的坐标. 解：(1)如图，△ABC 为所求； 1 1 1 (2)如图，点P为所求，P点的坐标为(-3，0). 82针对训练 3.在直角坐标系中，点P(a，2)与点A(－3，m)关于x轴对称，则a，m的值分别为( ) A.3，－2 B.－3，－2 C.3，2 D.－3，2 考点三 线段垂直平分线的性质和判定 例3 在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使得BD＝DE，已知AB＋BD＝DC. 求证：点E在线段AC的垂直平分线上. 证明：∵ AD是高，且BD=DE ∴ AB=AE ∵ AB+BD=DC，DC=CE+DE ∴ AB+BD=CE+DE 又∵ BD=DE ∴ AB=CE ∴ AE=CE ∴ 点E在线段AC的垂直平分线上 针对训练 4.如图：△ABC中，MN是AC的垂直平分线，若CM＝5cm， △ABC的周长是22cm，则△ABN的周长是______. 方法总结 线段的垂直平分线一般会与中点、90°角、等腰三角形一同出现，在求角度、三角形 的周长，或证明线段之间的等量关系时，要注意角或线段之间的转化. 考点四 等腰三角形的性质和判定 例4 如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且 CE＝CD， DM⊥BC，垂足为M. 求证：M是BE的中点. 证明：连接BD ∵ △ABC是等边三角形，且D是AC的中点 ∴ ∠ACB=60°，∠DBC= ∠ABC= ×60°=30° ∵ CE=CD ∴ ∠E=∠CDE ∵ ∠ACB=∠E+∠CDE ∴ ∠E= ∠ACB=30° ∴ ∠DBC=∠E=30° ∴ DB=DE 又∵ DM⊥BC ∴ M是BE的中点 例5 等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，求该等 腰三角形的顶角的度数. 解：设该等腰三角形中，小角的度数为x，则大角的度数为 2x. (1)当x为底角时，x+x+2x=180，解得 x=45，则 2x=90 (2)当x为顶角时，x+2x+2x=180，解得 x=36 答：该等腰三角形顶角的度数为90°或36°. 方法总结 83在等腰三角形中，常用到分类讨论思想，一般有如下情况：(1)在求角度时，未指明底 角和顶角；(2)在求三角形周长时，未指明底边和腰；(3)未给定图形时，有时需分锐角三 角形和钝角三角形两种情况进行讨论. 针对训练 5.如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中的等腰三角形 共有____个. 6.如图，已知等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B 落在B 处，DB，EB 分别交边AC于M、H点，若∠ADM＝50°，则∠CEH的度数为_____. 1 1 1 7.如图，在△ABC中，AD是角平分线，AC＝AB＋BD.求证：∠B＝2∠C. 证明：在AC上截取AE=AB，连接DE. ∵ AD是角平分线，∴ ∠EAD=∠BAD 又∵ AD=AD，∴ △EAD≌△BAD (SAS) ∴ DE=DB，∠AED=∠B ∵ AC=AB+BD=AE+DE=AE+EC ∴ EC=ED，∴ ∠C=∠CDE ∴ ∠AED=∠C+∠CDE=2∠C ∴ ∠B=2∠C 8.在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE＝ AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE.设∠BAC＝α，∠DCE＝β. (1)如图①，点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是____________，请说明 理由； 解：(1)α+β=180° 理由：∵ ∠DAE=∠BAC ∴ ∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC，即 ∠CAE=∠BAD 又∵ AB=AC，AD=AE ∴ △ABD≌△ACE (SAS) ∴ ∠ABD=∠ACE ∵ ∠BAC+∠ABD+∠ACB=180° ∴ ∠BAC+∠ACE+∠ACB=180° ∴ ∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180° (2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，角α与β之间的数量关系是________， 请说明理由； 解：(2)α=β 理由：∵ ∠DAE=∠BAC ∴ ∠DAE+∠DAC=∠BAC+∠DAC，即 ∠CAE=∠BAD 又∵ AB=AC，AD=AE ∴ △ABD≌△ACE (SAS) ∴ ∠ABD=∠ACE 84∵ ∠ACD=∠ABC+∠BAC=∠ACE+∠DCE ∴ ∠BAC=∠DCE 即 α=β (3)当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图③中画出完整图形并猜想角α与β 之间的数量关系是______. 解：(3)如图所示. 猜想：α=β 同底数幂的乘法 一、教学目标 (一)知识与技能：理解同底数幂乘法法则，能够运用其进行简单的计算，并解诀简单的实 际问题. (二)过程与方法：经历计算、观察、猜想、验证、归纳概括等探索及应用同底数幂乘法法 则的过程，发展推理能力、语言表达能力及运算能力，体会由特殊到一般再到特殊及转化 的思想方法，逐步积累数学活动经验. (三)情感态度与价值观：过积极参与独立思考、合作交流等活动，感受成功的喜悦，进一 步增强学习数学的自信心及合作意识，逐步养成勤于动脑、善于动手、勇于动口的良好学 习习惯. 二、教学重点、难点 重点：正确理解同底数幂乘法法则及运用性质进行有关计算. 难点：同底数幂乘法法则的推导、理解及灵活运用. 三、教学过程 温故而知新 an表示的意义是什么？其中a、n、an分别叫做什么？ 问题1 一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算， 它 工作103s可进行多少次运算？ 解：1015×103 =(10×10×…×10)×(10×10×10) =(10×10×…×10) 在2010年全球超级计算机排行榜 中，中国首台千万亿次超级计算机系 统“天河一号”雄居第一，其实测运 算速度可以达到每秒2570万亿次. =1018 探究 请同学们根据乘方的意义理解，完成下列填空. (1) 25×22 = ( )×( ) = ______________________________ = 2( ) 85(2) a3×a2 = ( )×( ) = _____________________ = a( ) (3) 5m×5n = ( )×( ) = ____________________ = 5( ) 思考：观察上面各题左右两边，底数、指数有什么关系？ a m·a n =(a×a×…×a)×(a×a×…×a) =( a×a×…×a) = a m+n 同底数幂乘法法则： am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____. 条件：①乘法 ②同底数幂 结果：①底数不变 ②指数相加 例1 计算： (1) x2·x5 (2) a·a6 (3) (-2)×(-2)4×(-2)3 (4) xm·x3m+1 解：(1) x2·x5=x2+5=x7 (2) a·a6=a1+6=a7 (3) (-2)×(-2)4×(-2)3=(-2)1+4+3=(-2)8=256 (4) xm·x3m+1=xm+3m+1=x4m+1 练习 计算： (1) b5·b (2) (3) a2·a6 (4) y2n·yn+1 解：(1) b5·b=b5+1=b6 (2) = = = (3) a2·a6=a2+6=a8 (4) y2n·yn+1=y2n+n+1=y3n+1 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在同底数幂乘法公式的探究过程中，学生表现出观察角度的差异：有的学生只是侧重 观察某个单独的式子，把它孤立地看，而不知道将几个式子联系起来；有些学生则既观察 入微，又统揽全局，表现出了较强的观察力. 教师要善于抓住这个契机，适当对学生进行 指导，培养他们“既见树木，又见森林”的优良观察品质. 对于公式使用的条件既要把握 好“度”，又要把握好“方向”. 86幂的乘方 一、教学目标 (一)知识与技能：理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出 幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质. (二)过程与方法：经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力， 通过情境教学，培养学生应用能力. (三)情感态度与价值观：培养学生合作交流意义和探索精神，让学生体会数学的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：幂的乘方法则. 难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 三、教学过程 知识回顾 同底数幂乘法法则： am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____. 计算： (1) 93×95 =____ (2) a6·a2 =____ (3) x2·x3·x4 =____ (4) (-x)3·(-x)5 =____ (5) (-x)3·x3 =____ (6) a2·a4 + a·a5 =____ 幂的乘方 (1) (32)3表示什么？ 32×32×32 (2) (a2)3表示什么？ a2·a2·a2 (3) (am)3表示什么？ am·am·am 探究 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，观察计算结果，你能发现什么规律？ (1) (32) 3 = 32×32×32 = 3( ) (2) (a2) 3 = a2·a2·a2 = a( ) (3) (am)3 = am·am·am = a( ) (m是正整数) 对于任意底数 a 与任意正整数 m，n. 87(am)n =( am·am·…·am) = am + m +…+m =amn 幂的乘方法则： (am)n=______.(m，n都是正整数) 即：幂的乘方，底数_____，指数_____. 同底数幂乘法法则： am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____. 例2计算： (1) (103)5 (2) (a4)4 (3) (am)2 (4) -(x4)3 解：(1) (103)5=103×5=1015 (2) (a4)4=a4×4=a16 (3) (am)2=am×2=a2m (4) -(x4)3=-x4×3=-x12 练习 计算：(1) (103)3 (2) (x3)2 (3) -(xm)5 (4) (a2)3·a5 解：(1) (103)3=103×3=109 (2) (x3)2=x3×2=x6 (3) -(xm)5=-xm×5=-x5m (4) (a2)3·a5=a2×3·a5=a6·a5=a11 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 幂的乘方公式的探究方式和前节类似，因此在教学中可以利用该优势展开教学，在探 究过程中可以进一步发挥学生的主动性，尽可能地让学生在已有知识的基础上，通过自主 探究，获得幂的乘方运算的感性认识，进而理解运算法则. 88积的乘方 一、教学目标 (一)知识与技能：通过探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得 出积的乘方的运算性质的过程中，领会这个性质. (二)过程与方法：经历探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力， 培养学生的综合能力. (三)情感态度与价值观：通过小组合作与交流，培养学生团结协作的精神和探索精神，有 助于塑造他们挑战困难，挑战生活的勇气和信心. 二、教学重点、难点 重点：积的乘方的运算. 难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 三、教学过程 知识回顾 同底数幂乘法法则： am·an =______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____. 幂的乘方法则： (am)n=______.(m，n都是正整数) 即：幂的乘方，底数_____，指数_____. 计算： (1) 43×45 =____ (2) a4·a3 =____ (3) x4·x2·x =____ (4) (x5)3 =____ (5) -(x4)3 =____ (6) a2·(a4)2 =____ 计算：(1) (2×3)2与22×32；(2) (2×5)3与23×53. 填空： ∵ (2×3)2 =_____=_____ 22×32 =_____=_____，∴ (2×3)2___22×32 ∵ (2×5)3 =_____=_____ 23×53 =_____=_____，∴ (2×5)3___23×53 你发现了什么？ (2×3)2与22×32相等；(2×5)3与23×53相等. 探究 填空，运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？ (1) (ab)2 =(ab)·(ab)=(a·a)·(b·b)= a( )b( ) 89(2) (ab)3 =_____________=_______________= a( )b( ) 乘法交换律、结合律 积的乘方 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， (ab)n=( ab)·(ab)·…·(ab) =(a·a …·a)·(b·b·…·b)= anbn 积的乘方法则： (ab)n=______.(n为正整数) 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的 幂相乘. am·an =______ (am)n=______ 例3 计算： (1) (2a)3 (2) (-5b)3 (3) (xy2)2 (4) (-2x3)4 解：(1) (2a)3=23·a3=8a3 (2) (-5b)3=(-5)3·b3=-125b3 (3) (xy2)2=x2·(y2)2=x2y4 (4) (-2x3)4=(-2)4·(x3)4=16x12 练习 计算：(1) (ab)4 (2) (3) (-3×102)3 (4) (2ab2)3 解：(1) (ab)4=a4b4 (2) = ·x3·y3= (3) (-3×102)3=(-3)3×(102)3=-27×106=-2.7×107 (4) (2ab2)3=23·a3·(b2)3=8a3b6 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在本节的教学过程中教师可以采用与前面相同的方式展开教学. 教师在讲解积的乘方 公式的应用时，再补充讲解积的乘方公式的逆运算：an•bn＝(ab)n，同时教师为了提高学生 的运算速度和应用能力，也可以补充讲解：当n为奇数时，(－a)n＝－an(n为正整数)；当 n为偶数时，(－a)n＝an(n为正整数). 90单项式与单项式相乘 一、教学目标 (一)知识与技能：理解单项式乘法的法则，会用单项式乘法法则进行运算. (二)过程与方法：经历单项式乘法法则的形成过程，发展学生的运算能力，体会类比思想. (三)情感态度与价值观：通过探索发现数学法则，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的 信心. 二、教学重点、难点 重点：掌握单项式乘法法则，会用单项式乘法法则进行运算. 难点：多种运算法则的综合运用. 三、教学过程 预备知识 同底数幂乘法法则：am·an =______. 幂的乘方法则：(am)n=______. 积的乘方法则：(ab)n=______. 1.计算：(1) x2·x3·x4 =____ (2) (x3)6 =____ (3) (-2a4b2)3 =_______ (4) (a2)3·a4 =____ 2.下列整式中，单项式:__________，多项式:__________. ① ；② 2x-y；③ x2+y2-1；④ a；⑤ x5y3；⑥ 3x2-y+3；⑦ 10. 3.下单项式-2a3b的系数是____，次数是____. 问题2 光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102s，你知 道地球与太阳的距离约是多少吗？ 地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km. 思考 (1) 怎样计算(3×105)×(5×102)？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？ (2) 如果将上式中的数字改为字母，比如ac5·bc2，怎样计算这个式子？ 分析：(1) (3×105)×(5×102) =3×5×105×102 乘法交换律 =(3×5)×(105×102) 乘法结合律 91=15×107 同底数幂的运算性质 =1.5×108(km) (2) ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2) =abc5+2=abc7 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 例4 计算： (1) (-5a2b)(-3a) (2) (2x)3(-5xy2) 解：(1) (-5a2b)(-3a)= [(-5)×(-3)](a2·a)·b=15a3b (2) (2x)3(-5xy2) =8x3(-5xy2)= [8×(-5)](x3·x)·y2=-40x4y2 单项式乘以单项式的结果仍是单项式. 练习 1.计算： (1) 3x2·5x3 (2) 4y·(-2xy2) (3) (-3x)2·4x2 (4) (-2a)3(-3a)2 解：(1) 3x2·5x3=(3×5)(x2·x3)= 15x5 (2) 4y·(-2xy2)= [4×(-2)](y·y2)·x=-8xy3 (3) (-3x)2·4x2=9x2·4x2=(9×4)(x2·x2) =36x4 (4) (-2a)3(-3a)2=-8a3·9a2=[(-8)×9)](a3·a2) =-72a5 2.下面计算的对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) 3a3·2a2=6a6 ( )改正:____________. (2) 2x2·3x2=6x4 ( )改正:____________. (3) 3x2·4x2=12x2 ( )改正:____________. (4) 5y3·3y5=15y15 ( )改正:____________. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节知识的重点是让学生理解单项式与单项式相乘的法则，并能应用. 这就必须要求 学生对幂的运算法则有一定的基础，因此课前可以要求学生先复习该部分的知识，同时在 上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识．对于运算法则的得出，教师通过“试一试” 逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解运算法则. 92单项式与多项式相乘 一、教学目标 (一)知识与技能：理解单项式与多项式相乘的法则，能运用单项式与多项式相乘的法则进 行计算. (二)过程与方法：1.理解算理，发展学生的运算能力和“几何直观”观念，体会转化、数 形结合和程序化思想；2.通过练习，提高学生计算能力和综合运用知识的能力. (三)情感态度与价值观：学生从已有知识出发，通过适当的探究，获得一些直接的经验， 体会数学的实用价值，体验单项式与多项式的乘法运算的规律，享受体验成功的快乐. 二、教学重点、难点 重点：单项式与多项式乘法法的应用. 难点：单项式与多项式相乘时结果的符号的确定. 三、教学过程 复习巩固 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含 有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 4a2x5·(-3a3bx2) 解：原式=[4·(-3)]·(a2·a3)·(x5·x2)·b=-12a5x7b 章前引言 绿地面积，要把街心花园的一块长 p 米，宽 b 米的长方形绿地，向两边分别加宽 a 米和 c 米，你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积？不同的表示方法之间有什么关系？ 如何从数学的角度认识不同表示法之间的关系？ 方法一：p(a + b + c) ① 方法二：pa + pb + pc ② 由于①②表示同一个数量，所以p(a + b + c)= pa + pb + pc 93单项式乘多项式 p(a + b + c)= p a + p b + p c 上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例5计算： (1) (-4x2)(3x+1) (2) ( ab2-2ab)· ab 解：(1) (-4x2)(3x+1) =(-4x2)(3x)+(-4x2)×1=(-4×3)(x2 · x)+(-4x2) =-12x3-4x2 (2) ( ab2-2ab)· ab= ab2· ab+(-2ab)· ab= a2b3-a2b2 把单项式与多项式相乘的问题转化为单项式与单项式相乘的问题. 练习 1.计算： (1) 3a(5a-2b) (2) (x-3y)·(-6x) 解：(1) 3a(5a-2b) =3a·5a+3a·(-2b) =15a2-6ab (2) (x-3y)·(-6x) =x·(-6x)+(-3y)·(-6x) =-6x2+18xy 2.化简：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5) 解：x(x-1)+2x(x+1)-3x(2x-5) =x·x+x·(-1)+2x·x+2x·1+(-3x)·2x+(-3x)·(-5) =x2-x+2x2+2x-6x2+15x =-3x2+16x 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节知识的重点是让学生理解单项式与多项式相乘的法则，并能应用. 这就必须要求 学生对乘法的分配律以及单项式与单项式相乘的法则有一定的基础，因此课前可以要求学 生先复习该部分的知识，同时在上新课前也可以通过练习题让学生回忆知识. 对于运算法 则的得出，教师通过“试一试”逐步解题，通过计算演示法则的内容，更有利于学生理解 运算法则. 94多项式与多项式相乘 一、教学目标 (一)知识与技能：让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行 简单的乘法运算. (二)过程与方法：经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算 理. (三)情感态度与价值观：通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主 动探索的习惯. 二、教学重点、难点 重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 难点：多项式与多项式的乘法法则的应用. 三、教学过程 问题 3 如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长 a 米、宽 p 米的长方形绿地， 加长了 b 米，加宽了 q 米. 你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 方法一：(a + b)(p + q) ① 方法二：ap + aq + bp + bq ② (a + b)(p + q)= ap + aq + bp + bq 上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法. 多项式乘多项式 计算(a + b)(p + q)，可以先把其中的一个多项式，如p + q，看成一个整体，运用 单项式与多项式相乘的法则，得 (a + b)(p + q)= a(p + q)+b(p + q) 再利用单项式与多项式相乘的法则，得 95a(p + q)+b(p + q)= ap + aq + bp + bq 总体上看，(a + b)(p + q)的结果可以看作 a + b 的每一项乘 p + q 的每一项，再 把所得的积相加而得到的，即 (a + b)(p + q)= ap + aq + bp + bq 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得 的积相加. 例6 计算： (1) (3x+1)(x+2) (2) (x-8y)(x-y) (3) (x+y)(x2-xy+y2) 解：(1) (3x+1)(x+2) =(3x)·x+(3x)×2+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2 (2) (x-8y)(x-y) =x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2 (3) (x+y)(x2-xy+y2) =x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3 练习 1.计算： (1) (2x+1)(x+3) (2) (m+2n)(3n-m) (3) (a-1)2 (4) (a+3b)(a-3b) (5) (2x2-1)(x-4) (6) (x2+2x+3)(2x-5) 解：(1)原式=2x2+6x+x+3=2x2+7x+3 (2)原式=3mn-m2+6n2-2mn=mn-m2+6n2 (3)原式=(a-1)(a-1)=a2-a-a+1=a2-2a+1 (4)原式=a2-3ab+3ab-9b2=a2-9b2 (5)原式=2x2-8x2-x+4 (6)原式=2x3-5x2+4x2-10x+6x-15=2x3-x2-4x-15 2.计算： (1) (x+2)(x+3) (2) (x-4)(x+1) (3) (y+4)(y-2) (4) (y-5)(y-3) 解：(1)原式=x2+3x+2x+6=x2+5x+6 (2)原式=x2+x-4x-4=x2-3x-4 (3)原式=y2-2y+4y-8=y2+2y-8 (4)原式=y2-3y-5y+15=y2-8y+15 由上面计算的结果找规律，观察右图，填空： (x+p)(x+q)=( )2+( )x+( ) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节知识的综合性较强，要求学生熟练掌握前面所学的单项式与单项式相乘及单项式 与多项式相乘的知识，同时为了让学生理解并掌握多项式与多项式相乘的法则，教学中一 定要精讲精练，让学生从练习中再次体会法则的内容，为以后的学习奠定基础. 96整式的除法 一、教学目标 (一)知识与技能：掌握整式的除法的运算性质，并会用其解决实际问题. (二)过程与方法：经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推 理能力和有条件的表达能力. (三)情感态度与价值观：感受数学法则、公式的简洁美、和谐美. 二、教学重点、难点 重点：整式的除法法则. 难点：整式的除法法则的推导. 三、教学过程 同底数幂的除法 (1)根据同底数幂的乘法法则填空： ① ___·28=214；② ___·5=54；③ ___·b4=b12；④ ___·a4=a9. (2)根据第(1)题所填的结果填空： ① 214÷28=___=2(____) ； ② 54÷5=___=5(____) ； ③ b12÷b4=___=b(____) ； ④ a9÷a4=___=a(____)； ⑤由所填的结果猜想 am÷an=a(____). 同底数幂的除法法则： am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)即 同底数幂相除，底数_____，指数 _____. 同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如 am÷am，根据除法的意义可 知所得的商为1.另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有 am÷am = am-m = a0. 于是规定：a0=1(a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1. 例如：99990=1， =1. 例7 计算：(1) x8÷x2 (2) (ab)5÷(ab)2 97解：(1) x8÷x2=x8-2=x6 (2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5-2=(ab)3=a3b3 单项式除以单项式 例如，计算：12a3b2x3÷3ab2 (12a3b2x3÷3ab2是(12a3b2x3)÷(3ab2)的意思.) ∵ 4a2x3·3ab2 = 12a3b2x3 ∴ 12a3b2x3÷3ab2 = 4a2x3 上面的商式 4a2x3 的系数 4=12÷3，a 的指数 2=3-1，b的指数 0=2-2，而 b0=1，x 的指数 3=3-0. 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字 母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 例如，计算：(am＋bm)÷m ∵ (a＋b)m = am＋bm ∴ (am＋bm)÷m = a＋b 又 am÷m＋bm÷m = a＋b ∴ (am＋bm)÷m = am÷m＋bm÷m 把多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决. 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 例8 计算： (1) 28x4y2÷7x3y (2) -5a5b3c÷15a4b (3) (12a3-6a2+3a)÷3a 解：(1)原式=(28÷7)·x4-3·y2-1 = 4xy (2)原式=[(-5)÷15]·a5-4·b3-1·c= - ab2c (3)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a = 4a2-2a+1 练习 1.计算： (1) x7÷x5 (2) m8÷m8 (3) (-a)10÷(-a)7 (4) (xy)5÷(xy)3 解：(1) x7÷x5=x7-5=x2 (2) m8÷m8=m8-8=m0=1 (3) (-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3 (4) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2 2.计算： (1) 10ab3÷(-5ab) (2) -8a2b3÷6ab2 (3) -21x2y4÷(-3x2y3) (4) (6×108)÷(3×105) 解：(1)原式= [10÷(-5)]·a1-1·b3-1 =-2b2 (2)原式=(-8÷6)·a2-1·b3-2 =- ab (3)原式=[(-21)÷(-3)]·x2-2·y4-3 =7y (4)原式=(6÷3)×108-5 =2×103 3.计算： (1) (6ab+5a)÷a (2) (15x2y-10xy2)÷5xy 解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5 (2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 98四、教学反思 从计算具体的同底数幂的除法，逐步归纳出同底数幂除法的一般性质. 讲课时要多举 几个具体的例子，让学生计算出结果，最后，让学生自己归纳出同底数幂的除法法则. 性 质归纳出后，应注意：(1)要强调底数a不等于零，若a为零，则除数为零，除法就没有意 义了；(2)本节不讲零指数与负指数的概念，所以性质中必须规定指数m、n都是正整数， 并且，要让学生运用时予以注意. 平方差公式 一、教学目标 (一)知识与技能：会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算. (二)过程与方法：经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力， 使学生逐渐掌握平方差公式. (三)情感态度与价值观：通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重合性， 体验数学活动充满着探索性和创造性. 二、教学重点、难点 重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解. 难点：平方差公式的应用. 三、教学过程 创设情境 灰太狼开了一家租地公司，一天他把一边长为 a 米的正方形土地租给慢羊羊种植.有 一年他对慢羊羊说:“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，再继续租给你，租金 不变，这样你也没吃亏，你看如何？”慢羊羊一听觉得没有吃亏，就答应了. 慢羊羊回到 羊村，就把这件事对喜羊羊他们讲了，喜羊羊一听，马上说道:“村长，您吃亏了!”慢羊 羊村长很吃惊的问道:“啊! 那我吃亏了多少？”沸羊羊说道:“我来帮您算算.”喜羊羊还 没等沸羊羊开始算就说道:“不用算了，村长亏了25米2.”沸羊羊不解道:“你怎么这么 快啊!” 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ 99(1) (x+1)(x-1)=_______；(2) (m+2)(m-2)=______；(3) (2x+1)(2x-1)=_______. 计算：(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方 差. 思考 根据下面的演示，你能通过求阴影部分的面积说明平方差公式吗？ 分析：(1) 左图中阴影部分的面积为_______；(2) 将阴影部分拼成右图的一个长方形，这 个长方形的长是____，宽是____，面积___________. 例1 运用平方差公式— (a+b)(a-b)=a2-b2 计算： (1) (3x+2)(3x-2) (2) (-x+2y)(-x-2y) 分析：在(1)中，可以把 3x 看成 a ，2 看成 b ，即 (3x + 2)(3 x - 2)=(3x)2-22 (a + b)(a - b)= a2 - b2 解：(1) (3x+2)(3x-2) =(3x)2-22= 9x2-4 (2) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2= x2-4y2 观察 (1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点. (2)从上的过程中，你发现了什么规律？ 三个连续整数中，首尾两数的积，等于中间数的平方减1. (3)这一规律用字母可表示为___________________，它的正确性可用_____________说明. 例2 计算： (1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) (2) 102×98 解：(1) (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5=-4y+1 (2) 102×98=(100+2)×(100-2) =1002-22=10000-4=9996 (y-1)(y+5)= (y2-5)？ (只有符合公式条件的乘法，才能运用公式简化运算，其余的运算仍按乘法法则进行.) 练习 1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1) (x+2)(x-2)=x2-2 ( ) 改正：_____________________. (2) (-3a-2)(3a-2)=9a2-4 ( ) 改正：_____________________. 2.运用平方差公式计算： (1) (a+3b)(a-3b) (2) (3+2a)(-3+2a) (3) 51×49 (4) (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) 解：(1)原式=a2-(3b)2=a2-9b2 100(2)原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2-32=4a2-9 (3)原式=(50+1)×(50-1)=502-12=2500-1=2499 (4)原式=(3x)2-42-(6x2-4x+9x-6) =9x2-16-6x2+4x-9x+6=3x2-5x-10 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正 确性. 通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中 的练习可以让学生在课后完成. 完全平方公式 一、教学目标 (一)知识与技能：理解完全平方公式，能用公式进行计算. (二)过程与方法：经历探索完全平方公式的过程，进而感受特殊到一般、数形结合思想， 发展符号意识和几何直观观念. (三)情感态度与价值观：通过完全平方公式的应用，体会公式中字母的含义，渗透整体、 数形结合、类比的数学思想. 二、教学重点、难点 重点：完全平方公式的推导过程，结构特点与公式的应用. 难点：完全平方公式结构特点及其应用. 三、教学过程 创设情境 一块边长为a米的正方形实验田，因其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同 的新品种. 你能用不同的方法表示试验田的总面积吗？ ①总面积=(a+b) 2 ②总面积=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 你发现了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2 探究 计算下列各式，你能发现什么规律？ (1) (p+1)2=(p+1)(p+1)=_________；(2) (m+2)2=_________； (3) (p-1)2=(p-1)(p-1)=_________；(4) (m-2)2=_________. 计算：(a+b)2，(a-b)2. 101(a+b)2=(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2 (a-b)2=(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2 完全平方公式 (a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. 注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式. 思考 你能根据图(1)和图(2)中图形的面积说明完全平方公式吗？ 例3 运用完全平方公式计算： (1) (4m+n)2 (2) 解：(1) (4m+n)2=(4m)2+2·(4m)·n+n2=16m2+8mn+n2 (2) =y2-2·y· + = y2-y+ 例4 运用完全平方公式计算： (1) 1022 (2) 992 解：(1) 1022=(100+2)2=1002+2×100×2+22=10000+400+4=10404 (2) 992=(100-1)2=1002-2×100×1+12=10000-200+1=9801 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗？(a-b)2与(b-a)2相等吗？(a-b)2与a2-b2相等吗？为什么？ (-a-b)2=(-a)2-2·(-a) b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2与a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. 练习 1.运用完全平方公式计算： (1) (x+6)2 (2) (y-5)2 (3) (-2x+5)2 (4) 解：(1)原式= x2+2·x·6+62 = x2+12x+36 (2)原式= y2-2·y·5+52 = y2-10y+25 (3)原式=(5-2x)2 = 52-2·5·2x+(2x)2 = 25-20x+4x2 (4)原式= -2· · + = 2.下面各式的计算错在哪里？应当怎样改正？ (1) (a+b)2=a2+b2 改正：__________________； (2) (a-b)2=a2-b2 改正：__________________. 102课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节的探讨方式和上节类似，都是通过“做一做”和“试一试”让学生在代数和几何 两方面理解完全平方公式. 完全平方公式分为两数和的平方和两数差的平方两种形式，教 学中可以将两个公式写作一个公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，有助于学生的记忆. 在探究两 数差的平方公式时，因为学生通过前面的学习已经掌握了几何的说明方法，因此可以让学 生自己画图证明. 添括号法则 一、教学目标 (一)知识与技能：熟练掌握平方差公式、完全平方公式及其应用. (二)过程与方法：公式中添括号的方法在探索过程中，体会知识间的关系，感受数学与生 活的联系. (三)情感态度与价值观：在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学情感 价值观习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 二、教学重点、难点 重点：添括号法则及乘法公式的灵活应用. 难点：添括号法则及乘法公式的灵活应用. 三、教学过程 忆一忆 你还记得去括号的法则吗？ 如果括号前面是正号，去括号后原括号内各项的符号都不变； 如果括号前面是负号，去括号后原括号内各项的符号都改变. 做一做 (1) a+(b+c)=________ (2) a-(b+c)=________ 根据(1)，(2)填空： (1) a+b+c=a+(____) (2) a-b-c=a-(____) 添括号法则： 如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号； 如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 103能否用去括号法则检查添括号是否正确呢？ (1)添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的. 添括号是否正确可用去括号检验. (2)不论怎样添括号，原式的值都不能改变，添括号法则在利用乘法公式的计算中应用较多. 例5 运用乘法公式计算： (1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2) (a+b+c)2 解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3) =[(x+(2y-3)][(x-(2y-3)] =x2-(2y-3)2 =x2-(4y2-12y+9) =x2-4y2+12y-9 (2) (a+b+c)2 =[(a+b)+c]2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式. 练习 1.在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验. (1) a+b-c=a+( ) (2) a-b+c=a-( ) (3) a-b-c=a-( ) (4) a+b+c=a-( ) 2.运用乘法公式计算： (1) (a+2b-1)2 (2) (2x+y+z)(2x-y-z) 解：(1)原式=[a+(2b-1)]2 =a2+2a(2b-1)+(2b-1)2 =a2+4ab-2a+4b2-4b+1 =a2+4b2+4ab-2a-4b+1 (2)原式=[2x+(y+z)][(2x-(y+z)] =4x2-(y+z)2 =4x2-(y2+2yz+z2) =4x2-y2-z2-2yz 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 104提公因式法 一、教学目标 (一)知识与技能：能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法把多项式分解因式. (二)过程与方法：使学生经历探索多项式各项公因式的过程，依据数学化归思想方法进行 因式分解. (三)情感态度与价值观：培养学生分析、类比以及化归的思想，增进学生的合作交流意识， 主动积极地积累确定公因式的初步经验，体会其应用价值. 二、教学重点、难点 重点：掌握用提公因式法把多项式分解因式. 难点：正确地确定多项式的最大公因式. 三、教学过程 比一比，看谁算得快 你还记得去括号的法则吗？ (1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值；=3600 (2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值. =400 你能说说算得快的原因吗？ 解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600 (2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400 我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式. 探究 请把下列多项式写成整式的乘积的形式： 105(1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________. 因式分解 我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的 因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即x2-1 (x+1)( x-1) 公因式 观察下列多项式有何共同特点？ ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b. 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 如：pa+pb+pc的公因 式是p. 说出下列各多项式的公因式： (1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____ (3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____ 找公因式有什么方法呢？ 一看系数 二看字母 三看指数 最大公约数 相同字母 最低指数 提公因式法 ma+mb+mc=m(a+b+c) 公因式 提公因式法 如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一 个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式. 分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数 ___；公因式是_____. 解：8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc) 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公因式？2a2b+3b2c 可用整式乘法来检验因式分解是否正确. 例2 把下列名式分解因式. (1) 2a(b+c)-3(b+c) (2) 3x2-6xy+x 解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3) (2) 3x2-6xy+x=x(3x-6y+1) (注：1不能漏掉) 练习 1.把下列各式分解因式： (1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2 (5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2) 解：(1) ax+ay=a(x+y) (2) 3mx-6my=3m(x-2y) 106(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1) (4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy) (5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q) 2.先分解因式，再求值：4a2(x+7)-3(x+7)，其中a=-5，x=3. 解：4a2(x+7)-3(x+7)=(x+7)(4a2-3) 把 a=-5，x=3 代入 (x+7)(4a2-3) 得 (3+7)×[4×(-5)2-3] =10×97=970 3.计算 5×34+4×34+9×32 解：5×34+4×34+9×32=5×34+4×34+32×32=5×34+4×34+34=34×(5+4+1)=81×10=810 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节中要给学生留出自主的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式 分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误. 本节课在对例题的探究上， 提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果. 运用平方差公式因式分解 一、教学目标 (一)知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力. (二)过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维， 感受数学知识的完整性. (三)情感态度与价值观：培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用 价值. 二、教学重点、难点 重点：利用平方差公式分解因式. 难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性. 三、教学过程 课前练习 填空： ① 25x2＝(_____)2 ② 36a4＝(_____)2 ③ 0.49b2＝(_____)2 ④ 64x2y2＝(_____)2 ⑤ b2＝(_____)2 ⑥ a6＝(_____)2 ⑦ (x+5)(x-5)=__________ ⑧ (3x+y)(3x-y)=___________ ⑨ (1+3a)(1-3a)=___________ 平方差公式：_________________ 比一比，看谁算得快 (1) 982-22=_____ 107(2) 已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____ 你能说说算得快的原因吗？ 把整式乘法的平方差公式 (a+b)(a-b) = a2-b2 的等号两边互换位置，就得到 运用平方差公式因式分解 a2-b2=(a+b)(a-b)，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 例3 分解因式： (1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2 分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个 整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2. 解：(1) 4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) (2) (x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)] =(2x+p+q)(p-q) 例4 分解因式： (1) x4-y4 (2) a3b-ab 分析：对于(1)，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解 了；对于(2)，a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解. 解：(1) x4-y4=(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) (2) a3b-ab=ab(a2-1) =ab(a+1)(a-1) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止. 练习 1.下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？ (1) x2+y2 ( )______________________； (2) x2-y2 ( )______________________； (3) -x2+y2 ( )______________________； (4) -x2-y2 ( )______________________. 2.分解因式： (1) a2- b2 (2) 9a2-4b2 (3) x2y-4y (4) -a4+16 解：(1) a2- b2=(a+ b)(a- b) (2) 9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b) (3) x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2) (4) -a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a) 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征. 分析多项式的次数和项数， 然后再确定公式. 如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因 式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底. 最后应注意两点：一是每个因式要化 简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底. 108运用完全平方公式因式分解 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解完全平方式及公式法的概念，会用完全平方公式进行因式分解； 2.综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解. (二)过程与方法：在运用公式法进行因式分解的同时，培养学生的观察、比较和判断能力 以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力. (三)情感态度与价值观：感悟知识间的相互联系，体会知识的灵活运用，从中获得成功的 体验，进一步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识. 二、教学重点、难点 重点：运用完全平方公式分解因式. 难点：观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进 行分解. 三、教学过程 课前练习 计算下列各式： ① (x+2)2=____________； ② (x-2)2=____________； ③ (2x+3y)2=______________； ④ (2x-3y)2=______________. 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 思考 多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？ 完全平方式 这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的2倍，这恰是两个数的和 109或差的平方，我们把a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 这样的式子叫做完全平方式. 完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的) 2.有两个同号的平方项 3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍) 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 判断下列各式是不是完全平方式. (1) a2-2ab-b2 ( ) (2) a2+b2-2ab ( ) (3) -6xy+9x2+y2 ( ) (4) a2-6ab+b2 ( ) (5) x2+x+ ( ) (6) m2+4mn+2n2 ( ) 把整式乘法的完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置， 就得到运用完全平方公式因式分解：a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2，两个数的平方 和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 例5 分解因式： (1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2 分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式， 即 16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32 a2 + 2· a ·b + b2 解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32=(4x+3)2 (2)原式=-(x2-4xy+4y2) =-[(x2-2·x·2y+(2y)2] =-(x-2y)2 例6 分解因式： (1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36 分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体， 设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36. 解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2) =3a(x+y)2 (2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2 公式法 把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a- b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：a2-b2=(a+b)(a-b)， a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分 解因式的方法叫做公式法. 练习 1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？ (1) a2-4a+4 ( )____________________； (2) 1+4a2 ( )____________________； (3) 4b2+4b-1 ( )____________________； (4) a2+ab+b2 ( )____________________. 2.分解因式： (1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1 (5) ax2+2a2x+a3 (6) -3x2+6xy-3y2 解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2 (2)原式= -(x2+2xy+y2)= -(x+y)2 110(3)原式=(a+1)2 (4)原式=(2x)2-2·2x·1+1 =(2x-1)2 (5)原式= a(x2+2ax+a2)= a(x+a)2 (6)原式= -3(x2-2xy+y2)= -3(x-y)2 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课学生的探究活动比较多，教师既要全局把握，又要顺其自然，千万不可拔苗助 长，为了后面多做几道练习而主观裁断时间安排. 其实公式的探究活动本身既是对学生能 力的培养，又是对公式的识记过程，而且还可以提高他们应用公式的本领. 第14章整式的乘法与因式分解小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：记住整式乘除的计算法则，平方差公式和完全平方公式，掌握因式分解 的方法和则. (二)过程与方法：会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式. (三)情感态度与价值观：培养学生的独立思考能力和合作交流意识. 二、教学重点、难点 重点：记住公式及法则. 难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解. 三、教学过程 知识梳理 一、幂的乘法运算 1.同底数幂的乘法：底数_____，指数_____. am·an =______. 2.幂的乘方：底数_____，指数_____.(am)n=______. 3.积的乘方：积的每一个因式分别_____，再把所得的幂_____.(ab)n=______. 二、整式的乘法 1.单项式乘单项式： (1)将______________相乘作为积的系数； (2)相同字母的因式，利用__________的乘法，作为积的一个因式； (3)单独出现的字母，连同它的______，作为积的一个因式. 注：单项式乘单项式，积为________. 2.单项式乘多项式： 111(1)单项式分别______多项式的每一项； (2)将所得的积______. 注：单项式乘多项式，积为多项式，项数与原多项式的项数______. 3.多项式乘多项式： 先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的______，再把所得的积______. 三、整式的除法 1.同底数幂的除法： 同底数幂相除：底数_____，指数_____. am÷an=______. 任何不等于0的数的0次幂都等于1. a0=am÷am=1. 三、整式的除法 2.单项式除以单项式： 单项式相除，把______、____________分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含 有的字母，则连它的_______一起作为商的一个因式. 3.多项式除以单项式： 多项式除以单项式，就是用多项式的________除以这个________，再把所得的商______. 四、乘法公式 1.平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. (a＋b)(a－b)＝a2－b2 2.完全平方公式： 两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a±b)2＝a2±2ab＋b2 五、因式分解 1.因式分解的定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这 个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 2.因式分解的方法： (1)提公因式法(2)公式法：①平方差公式：_____________②完全平方公式： _____________ 步骤： 1.提公因式；2.套用公式；3.检查分解是否彻底. 考点讲练 考点一 幂的运算 例1 下列计算正确的是( ) A.(a2)3＝a5 B.2a－a＝2 C.(2a)2＝4a D.a·a3＝a4 例2 计算：(2a)3(b3)2÷4a3b4 解：原式=8a3b6÷4a3b4=2a3-3b6-4=2b2 针对训练 1.下列计算不正确的是( ) A.2a3÷a＝2a2 B.(－a3)2＝a6 C.a4·a3＝a7 D.a2·a4＝a8 2.计算：0.252025×(－4)2025－8100×0.5301 解：原式=[0.25×(-4)]2025－(23)100×0.5300×0.5 =(-1)2025－(2×0.5)300×0.5 =-1－0.5 =-1.5 1123.(1)已知3m＝6，9n＝2，求3m+2n，32m-4n的值.(2)比较大小：420与1510. 解：(1)∵ 3m=6，9n=2 ∴ 3m+2n=3m·32n=3m·(32)n=3m·9n=6×2=12 32m-4n=32m÷34n=(3m)2÷(32n)2=(3m)2÷(9n)2=62÷22=9 (2)∵ 420=(42)10=1610 又∵ 1610＞1510 ∴ 420＞1510 考点二 整式的运算 例3 计算[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷3x2y，其中x＝1，y＝3. 解：原式=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷3x2y =(2x3y2-2x2y)÷3x2y = xy- 当x=1，y=3时，原式= ×1×3- =2- = 针对训练 4.一个长方形的面积是a2－2ab＋a，宽为a，则长方形的长为__________. 5.已知多项式2x3－4x2－1除以一个多项式A，得商为2x，余式为2x－1，则这个多项式是 __________. 6.计算： (1)(－2xy2)2·3x2y·(－x3y4) 答案：-12x7y9 (2)x(x2＋3)＋x2(x－3)－3x(x2－x－1) 答案：-x3+6x (3)－2a2(3ab2－5ab3)＋8a3b2 答案：2a3b2+10a3b3 (4)(2x＋5y)(3x－2y)－2x(x－3y) 答案：4x2+17xy-10y2 (5)[x(x2y2－xy)－y(x2－x3y)]÷x2y 答案：2xy-2 考点三 乘法公式的运用 例4 先化简再求值：[(x－y)2－(x＋y)(x－y)]÷2y，其中x＝－3，y＝2. 解：原式=[(x2-2xy+y2)-(x2-y2)]÷2y =(x2-2xy+y2-x2+y2)÷2y =(-2xy+2y2)÷2y =-x+y 当x=-3，y=2时，原式=-(-3)+2=5 针对训练 7.下列计算中，正确的是( ) A.(a＋b)2＝a2－2ab＋b2 B.(a－b)2＝a2－b2 C.(a＋b)(－a＋b)＝b2－a2 D.(a＋b)(－a－b)＝a2－b2 8.已知(x＋m)2＝x2＋nx＋36，则n的值为( ) A.±6 B.±12 C.±18 D.±72 9.若a＋b＝5，ab＝3，则2a2＋2b2＝_____. 11310.计算： (1)(x＋2y)(x2－4y2)(x－2y)； (2)(a＋b－3)(a－b＋3)； (3)(3x－2y)2(3x＋2y)2 解：(1)原式=(x+2y)(x-2y)(x2-4y2)=(x2-4y2)2=x4-8x2y2+16y4 (2)原式=[a+(b-3)][a-(b-3)]=a2-(b-3)2=a2-(b2-6b+9)=a2-b2+6b-9 (3)原式=[(3x-2y)(3x+2y)]2=(9x2-4y2)2=81x4-72x2y2+16y4 11.用简便方法计算： (1)2002－400×199＋1992 (2)9996×10004 解：(1)原式＝2002－2×200×199＋1992＝(200－199)2＝1 (2)原式＝(10000－4)(10000＋4)＝100002－42＝100000000－16＝99999984 考点四 因式分解及应用 例5下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( ) A.a(x－y)＝ax－ay B.x2－1＝(x＋1)(x－1) C.(x＋1)(x＋3)＝x2＋4x＋3 D.x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 例6 把多项式2x2－8分解因式，结果正确的是( ) A.2(x2－8) B.2(x－2)2 C.2(x＋2)(x－2) D. 针对训练 12.分解因式：x2y2－2xy＋1的结果是________. 13.已知x－2y＝－5，xy＝－2，则2x2y－4xy2＝______. 14.已知a－b＝3，则a(a－2b)＋b2的值为______. 15.已知x2－2(m＋3)x＋9是一个完全平方式，则m＝______. 16.如图所示，在边长为a的正方形中剪去边长为b的小正方形，把剩下的部分拼成梯形， 分别计算这两个图形的阴影部分的面积，验证公式是___________________. 17.把下列各式因式分解： (1)2m(a－b)－3n(b－a) (2)16x2－64 (3)－4a2＋24a－36 解：(1)原式=2m(a-b)+3n(a-b)=(a-b)(2m+3n) (2)原式=16(x2-4)=16(x+2)(x-2) (3)原式=-4(a2-6a+9)=-4(a-3)2 114从分数到分式 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解分式的概念，能判断一个代数式是否为分式，会求分式的值；2. 理解当分母不为零时分式才有意义，在分式有意义的条件下，会求分式的分母中所含字母 的取值范围，会确定分式的值为零的条件. (二)过程与方法：经历与分数类比学习分式的过程，养成缜密的思维习惯，形成类比思想， 体验数学的价值. (三)情感态度与价值观：通过类比思考，揭示分式有意义的条件，在实际操练中掌握分式 有意义的条件，体验解题成功带来的愉悦感. 二、教学重点、难点 重点：了解分式的概念，确定分式有意义的条件. 难点：确定分式有意义的条件，分式的值为零的条件. 三、教学过程 回顾与思考 1.下列两个整数相除如何表示成分数的形式： 3÷4= 10÷3= 12÷11= -7÷2= 2.在代数式中，整式的除法是否也能类似地表示？试用类似分数的形式表示下列整式的除 法： (1) 90÷x 可以用式子( )来表示；60÷(x-6)可以用式子( )来表示. (2) n 公顷麦田共收小麦 m 吨，平均每公顷产量可以用式子 ( )吨来表示. 章前引言 115一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大船速沿江顺流航行90km所用时间， 与以最大航速逆流航行60km所用的时间相等，江水的流速是多少？ 如果设江水的流速为 v km/h，则轮船顺流航行90km所用时间为_________h，逆流航 行60km所用时间为_________h，由方程_________________可以解出 v 的值. 思考 填空： (1)长方形的面积为10cm2，长为7cm，则宽为____cm；长方形的面积为S，长为a， 宽应为______. (2)把体积为 200cm3的水倒入底面积为 33cm2的圆柱形容器中，则水面高度为 ______cm；把体积为V的水倒入底面积为S的圆柱形容器中，则水面高度为_____. 分式 式子 ， ， ， ， ， ， ，有什么共同点？它们与分数有什 么相同点和不同点？ 可以发现，这些式子与分数一样都是 (即A÷B)的形式. 分数的分子 A 与分母 B 都 是整数，而这些式子中的 A， B 都是整式，并且 B 中都含有字母. 一般地，如果 A，B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式. 分 式 中，A 叫做分子，B 叫做分母. (1)分式是不同于整式的另一类式子. (2)分母中含有字母是分式的一大特点. (3)分式比分数更具有一般性. 例如，分数 仅表示2÷3的商，而分式 既可以表示 2÷3，又可以表示(-5)÷2，8÷(-9)等. 下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ 5x-7，3x2-1， ， ，-5， ， ， 整式 整式 分式 整式 整式 分式 整式 分式 整式与分式的区别：整式的分母中不含字母，而分式的分母中含有字母. 有理式 整式和分式统称为有理式. 有理式 思考 我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为 0.要使分式有意义，分式中的分母 应满足什么条件？ 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当 B≠0时， 分式 才有意义. 例1 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ 116(1) (2) (3) (4) 解：(1)要使分式 有意义，则分母3x≠0，即x≠0； (2)要使分式 有意义，则分母x-1≠0，即x≠1； (3)要使分式 有意义，则分母5-3b≠0，即b≠ ； (4)要使分式 有意义，则分母x-y≠0，即x≠y. 如无特别声明，本章出现的分式都有意义. 练习 1.列式表示下列各量： (1)某村有 n 个人，耕地 40 hm2，人均耕地面积为___hm2. (2)△ABC的面积为 S ，BC边长为 a ，则高AD为____. (3)一辆汽车 b h行驶 a km，则它的平均车速为____km/h.一列火车行驶 a km比这辆汽 车少用 1 h，则它的平均车速为______km/h. 2.下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？ ， ， ， ， ， ， ， . 分式整式 分式 整式 分式 分式 分式 分式 3.下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？ (1) (2) (3) (4) (3) (4) 解：(1)当分母a≠0时，分式 有意义； (2)当分母x-1≠0，即x≠1时，分式 有意义； (3)当分母3m+2≠0，即m≠- 时，分式 有意义； (4)当分母x-y≠0，即x≠y时，分式 有意义； (5)当分母3a-b≠0，即b≠3a时，分式 有意义； (6)当分母x2-1≠0，即x≠±1时，分式 有意义. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节采取的教学方法是引导学生独立思考、小组合作，完成对分式概念及意义的自主 探索；通过“课后练习应用拓展”这一环节发展了学生思维，巩固了课堂知识，增强了学 生实践应用能力. 提出问题让学生解决，问题由易到难，层层深入，既复习了旧知识又在 类比过程中获得了解决新知识的途径. 在这一环节提问应注意循序性，先易后难、由简到 117繁、层层递进，台阶式的提问使问题解决水到渠成. 分式的基本性质 一、教学目标 (一)知识与技能：1.了解分式的基本性质，体会类比的思想方法；2.掌握分式的约分，了 解最简分式的概念. (二)过程与方法：经历对分式基本性质及符号法则的探究过程，通过分式的恒等变形提高 学生的运算能力，渗透类比转化的数学思想方法. (三)情感态度与价值观：在探究中获得一些探索性质的初步经验，感受成功的快乐，体验 解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心. 二、教学重点、难点 重点：使学生理解并掌握分式的基本性质，这是学好本章的关键. 难点：灵活运用分式的基本性质和变号法则进行分式的恒等变形. 三、教学过程 复习提问 1.下列各式中，属于分式的是( ) A. B. C. D. 2.当x____时，分式 有意义. 3.当x____时，分式 的值为零. 118温故而知新 (1) 的依据是什么？ 分数的基本性质： 一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变. (2)由分数的基本性质可知，如果数c≠0，那么 ， . 一般地，对于任意一个分数 ，有 ， (c≠0)，其中a，b，c是数. 思考 类比分数的基本性质，你能猜想分式有什么性质吗？ 分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. ， (C≠0)其中A，B，C是整式. 例2 填空： (1) ， ； (2) ， (b≠0). 看分母如何变化，想分子如何变化. 看分子如何变化，想分母如何变化. 解：(1) ， (2) ， 思考 联想分数的约分，由例2你能想出如何对分式进行约分吗？ 与分数的约分类似，在例2(1)中，我们利用分式的基本性质，约去 的分子 和分母的公因式3x，不改变分式的值，把 化为 .像这样，根据分式的基本 性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式. 像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使得结果成为最简分式或者整式. 例3 约分： (1) (2) (3) 分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式. 解：(1) (2) (如果分子或分母是多项式，先分解因式对约分有什么作用？) (3) 119思考 联想分数的通分，由例2你能想出如何对分式进行通分吗？ 与分数的通分类似，在例2(2)中，我们利用分式的基本性质，将分子和分母同乘适当 的整式，不改变分式的值，把 和 化成分母相同的分式. 像这样，根据分式的基本 性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 例4 通分： (1) 与 (2) 与 分析：为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公 分母，它叫做最简公分母. 解：(1) 最简公分母是_______. ， (2) 最简公分母是__________. ， 思考 分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？ 它们的共同点： 1.分子和分母同乘(或除以)的都是同一个数或整式； 2.并且同乘(或除以)不能是0. 根据： 分数的通分和约分根据的是分数的基本性质； 分式的通分和约分根据的是分式的基本性质. 练习 1.约分： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3) 原式= (4) 原式= 2.通分： (1) 与 (2) 与 (3) 与 (4) 与 解：(1)最简公分母是abc. ， . (2)最简公分母是4b2d. ， . (3)最简公分母是ab(x+2). ， . (4)最简公分母是(x+y)2(x-y). 120， . 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节课的流程比较顺畅，先探究分式的基本性质，然后顺势探究分式变号法则. 在每 个活动中，都设计了具有启发性的问题，对各个知识点进行分析、归纳总结、例题示范、 方法指导和变式练习，一步一步的来完成既定目标，整个学习过程轻松、愉快、和谐、高 效. 分式的乘除 一、教学目标 (一)知识与技能：1.会通过类比的方法来理解和掌握分式的乘除法法则；2.熟练运用分式 乘除法法则，将分式乘除法全部化归为分式乘法进行计算. (二)过程与方法：经历探索分式的乘除法运算法则，通过类比分数的乘除法法则，提高联 想能力和推理能力. (三)情感态度与价值观：通过化除为乘，体会化归的思想方法，尝试在数学活动中获得成 功的喜悦，树立自信心. 二、教学重点、难点 重点：分式的乘除法法则的运用. 难点：进行分式的乘除运算. 三、教学过程 两个问题 问题1 一个水平放置的长方体容器，其容积为V，底面的长为a，宽为b，当容器内的水占 容积的 时，水面的高度为多少？ 长方体容器的高为： 121水面的高度为： (分式乘法) 问题2 大拖拉机 m 天耕地 a hm2，小拖拉机 n 天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小 拖拉机的工作效率的多少倍？ 大拖拉机的工作效率是____hm2/天，小拖拉机的工作效率是____hm2/天，大拖拉机的 工作效率是小拖拉机的工作效率的( )倍.(分式除法) 根据分数的乘除法的法则计算： (1) (2) 【分数的乘除法法则 】 两个分数相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 两个分数相除，把除式的分子分母颠倒位置后，再与被除式相乘. 想一想 ？， ？. 【分式的乘除法法则 】 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. ， . 例1 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 运算结果应化为最简分式. 例2 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 例3 如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m(a＞1)的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形，两 块试验田的小麦都收获了500 kg. (1)哪种小麦的单位面积产量高？ (2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 122解：(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a2-1)m2，单位面积产量是 kg/m2；“丰 收 2 号”小麦的试验田面积是(a-1)2m2，单位面积产量是 kg/m2. ∵ a ＞ 1 ∴ (a-1)2 ＞ 0，a2-1 ＞ 0 由上图可得(a-1)2 ＜ a2-1 ∴ ＜ ，即丰收2号小麦的单位面积产量高. (∵ a ＞ 1，∴ (a-1)2-(a2-1)=(a2-2a+1)-(a2-1)=-2(a-1) ＜ 0，即(a-1)2 ＜(a2-1)) 解：(2) 所以，“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍. 练习 1.写出本节中问题1和问题2的计算结果. 解：问题1： ，问题2： 2.计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式=-1 3.计算： (1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 本节是从分数的乘除法则的角度引导学生通过观察、探究、归纳总结出分式的乘除法 则.这种温故而知新的做法不仅有利于学生接受新知识，而且能体现由数到式的发展过程. 在学生得出分式的乘除法则时，要求他们分别用文字和式子两种形式进行表述，这样不仅 加深了学生对法则的理解，而且锻炼了他们的数学表达能力. 为了进一步加深学生对基本 法则的理解和运用，又由浅到深设计了一些练习题，这样学生就会把所学的知识融会贯通. 123分式的乘方 一、教学目标 (一)知识与技能：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算. (二)过程与方法：通过类比的思想来学习分式乘方的运算. (三)情感态度与价值观：在合作探究的过程中，培养学生的类比，归纳能力. 二、教学重点、难点 重点：熟练地进行分式乘方的运算. 难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算. 三、教学过程 复习巩固 1.下面的计算对吗？如果不对，应该怎样改正？ (1) ╳ (2) ╳ 解：原式= 解：原式= 2.计算： 解：原式= 124判断下列解答的正误：计算：a2÷b· 解：原式=a2÷1=a2，此解法是否正确？错误 错因分析：上述解法是先算乘法后算除法，属于运算顺序错误，事实上，对不含括号乘除 混合运算应该从左到右的顺序计算. 正确解答是：解：原式=a2· · = 例4 计算 解： 乘除混合运算可以统一为乘法运算. 回顾与思考 an表示的意义是什么？其中a表示什么？n表示什么？ an是指n个a相乘，读作a的n次方或(a的n次幂)； a表示底数，n表示指数. am·an=_____ (am)n=_____ (ab)n=_____ 计算：(-3)2=____ (a-2b)2=_____________ an中的a可以是数，也可以是整式，那a可不可以是一个分式呢？即两个整式的商的n次 方？ 思考 根据乘方的意义和分式乘法的法则，可得： ， ， . 一般地，当n是正整数时， ，即 . 这就是说，分式的乘方要把分子、分母分别乘方. 例5 计算： (1) (2) 解：(1) (2) 式与数有相同的混合运算顺序，先乘方，再乘除. 125练习 1.计算： (1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 2.计算： (1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在分式乘方的教学中，通过回忆乘方的定义，让学生利用乘方的定义和分式的乘除法 则进行一些具体的计算，进而归纳出分式的乘方法则，再通过一组练习加深对乘方法则的 理解和应用. 本节课知识点较多，对运算法则的推理过程占了相当多的时间，因此，对基 本法则的理解和熟练程度还有待在后续的练习中予以加强. 分式的加减 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解掌握异分母分式加减法法则，类比分数加减法计算；2.能正确熟 练地进行同分母分式加减和异分母分式的加减运算. (二)过程与方法：在课堂活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，渗透类比、化归数 学思想方法. (三)情感态度与价值观：在合作探究的过程中，激发学生学习数学的兴趣，重视在学习过 程中对学生的数学能力培养. 二、教学重点、难点 重点：运用分式的加减法则进行运算. 难点：异分母分式加减的运算(异分母转化为同分母). 三、教学过程 从分数所想到的…… 你认为 【同分母分数加减法的法则】同分母分数相加减，分母不变，把分子相加减. 126同分母加减 【同分母分式加减法的法则】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减. 计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 解：(1) (2) (3) (4) (1)注意分数线有括号的作用，分子相加减时，要注意添括号. (2)把分子相加减后，如果所得结果不是最简分式，要约分. 异分母转化 异分母的分式 同分母的分式 小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母分式的加减问题就变成了 同分母的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同. 你对这两种做法有何评论？ 异分母加减 【异分母分式加减法的法则】异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 异分母的分式 同分母的分式 异分母分式通分时，通常取最简公分母作为它们的共同分母. 计算下列各题： (1) (2) 解：(1) 结果也可以写成 (2) 127对于式子中出现的整式，可以把它看成分母是“1”的分式. 综合运用 问题3 甲工程队完成一项工程需 n 天，乙工程队要比甲队多用 3 天才能完成这项工程， 两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？ 解：甲工程队一天完成这项工程的 ，乙工程队一天完成这项工程的 ，两队共同工作 一天完成这项工程的 . 问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位：km2)分别是S ，S ，S ，2011年 1 2 3 与2010年相比，森林面积增长率提高了多少？ 解：2011年的森林面积增长率 ，2010年的森林面积增长率是 ，2011年与 2010年相比，森林面积增长率提高了 练习 计算： (1) (2) (3) (4) 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式= (4)原式= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从分数加减法引入，类比得出分式的加减法，最关键的是法则的探究，重点是法则的 运用，易错点是分母互为相反数，要化成同分母分式，在这个过程中要注意变号. 学生在 教师的指导下，先独立进行自学，自己解决不了的问题在小组内讨论交流进行解决. 128分式的混合运算 一、教学目标 (一)知识与技能：能准确、熟综地进行分式的加减、乖除运算. (二)过程与方法：通过对分式混合运算的学习，提高学生的计算能力和分式的应用能力. (三)情感态度与价值观：在分式运算过程中培养学生具有一定代数化归的能力，培养学生 乐于探究、合作交流的习惯，进一步培养学生“用数学的意识”. 二、教学重点、难点 重点：掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算. 难点：能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题. 三、教学过程 复习巩固 1.计算： 的结果是_______. 2.计算： 的结果是_______. 1293.计算： 的结果是_______. 4.分式 ， ， 的最简公分母是( ) A.x B.x3 C.12x D.12x3 计算：(1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 例7 计算： 解：原式= = 式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减. 例8 计算：(1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 练习 计算：(1) (2) 解：(1)原式= (2)原式= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练 掌握分式的运算法则并提高运算能力. 但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多， 符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的 130因式分解上增加难度. 关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降 低计算的错误率. 整数指数幂 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解和掌握负整数指数幕的意义；2.能熟练运用整数指数幕运算性质 进行运算. (二)过程与方法：1.通过观察、思考，推理、总结得出负整数指数幕的意义；2.体验利用 负整数指数幂进行乘除法的转化. (三)情感态度与价值观：启发学生通过独立思考、小组交流、自主发现问题来分析和解决 问题，从而提高学生学习主动性、积极性和学习数学的兴趣，鼓励学生在小组交流中敢于 积极的发表自己的看法，积极的参与到与同学的讨论和学习中去. 二、教学重点、难点 重点：理解负整数指数幕的意义，掌握运算性质. 难点：理解负整数指数幕的产生过程和意义. 三、教学过程 情境导入 从前，有一个“聪明的乞丐”，有一次他讨了一块大面包. 他想，如果我第一天吃这 131块面包的一半，第二天再吃剩下的一半，……依次每天都吃前一天剩余面包的一半，这样 下去，我就永远不用再去讨饭了. 你能知道第十天，他将吃到多少面包吗？他的想法对吗？ 算一算： 第1天： ；第2天： ，即 ；第3天： ，即 ；…… 第10天： ；即 ；第30天： ；即 ；…… 复习巩固 当n是正整数时，an=a·a·…·a 正整数指数幂有以下运算性质： (1) am·an=am+n (m，n是正整数)； (2) (am)n=amn (m，n是正整数)； (3) (ab)n=anbn (n是正整数)； (4) am÷an=am-n (a≠0，m，n是正整数且m＞n)； (5) (n是正整数). 此外，当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算). 思考 am 中指数 m 可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂 am 表示什么？ 做一做，你发现了什么？a3÷a5=？ 一般地，当 n 是正整数时， (a≠0).这就是说，a-n (a≠0)是 an 的倒数. 例如： ， . 引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩大到全体整数. 你现在能说出当 m 分别为正整数、0、负整数时，am 各表示什么意思吗？ 思考 引入负整数指数和0指数后，am·an = am+n(m，n是正整数)这条性质能否推广到m，n 任意整数的情形？ ，即 . ，即 . 132，即 . 归纳 am·an = am+n 这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用. 整数指数幂有以下运算性质： (1) am·an=am+n (m，n是整数)； (2) (am)n=amn (m，n是整数)； (3) (ab)n=anbn (n是整数)； (4) am÷an=am-n (a≠0，m，n是整数)； (5) (n是整数). (6) 当a≠0时，a0=1 (0指数幂的运算). 例9 计算： (1) a-2÷a5 (2) (3) (a-1b2)3 (4) a-2b2·(a2b-2)-3 解：(1) a-2÷a5=a-2-5=a-7= (2) (3) (a-1b2)3=a-3b6= (4) a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8= 当m，n为整数时，am÷an=am-n，am·a-n=am+(-n)=am-n，因此am÷an=am·a-n，即同底数幂的除 法 am÷an 可转化为同底数幂的乘法 am·a-n.特别地， =a÷b=a·b-1，所以 =(a·b-1)n，即商的乘方 可以转化为积的乘方(a·b-1)n. 这样，整数指数幂的运算性质 可以归结为： (1) am·an=am+n (m，n是整数)；(2) (am)n=amn (m，n是整数)；(3) (ab)n=anbn (n是整 数). 练习 1.计算： (1) 30 =___，3-2 =___；(2) (-3)0 =___，(-3)-2 =___；(3) b0 =___，b-2 =___(b≠0). 2.计算： (1) x2y-3(x-1y)3 (2) (2ab2c-3)-2÷(a-2b)3 解：(1)原式=x2y-3·x-3y3=x-1y0= 133(2)原式=( a-2b-4c6)÷(a-6b3)= a4b-7c6= 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 整数指数幂是在学生学习了分式的基本性质及乘除法之后的教学，在复习幂的有关运 算性质后提出问题“幂的这些运算性质中指数都要求是正整数，如果是负整数又表示什么 意义呢？”通过提问让学生寻找规律，猜想出零指数幂和负整数幂的意义，不但调动了学 生学习的积极性，而且印象更深，当然也达到了课堂的预期效果. 用科学记数法表示绝对值小于1的数 一、教学目标 (一)知识与技能：理解和掌握绝对值小于1的数用科学记数法表示的方法. (二)过程与方法：经历绝对值小于1的数用科学记数法表示的探究过程，体会负整数指数 幂的应用. (三)情感态度与价值观：培养观察、迁移、交流的意识，形成良好的学习态度，感悟数学 的演绎推理的价值. 二、教学重点、难点 重点：掌握用科学记数法表示绝对值小于1的数的方法. 难点：学会正整数指数与负整数指数用于科学记数法的区别. 三、教学过程 复习 1.用科学记数法表示下列各数： (1)光速约为300000000米/秒；_________ 134(2)太阳半径约为696000千米；_________ (3)目前世界人口约为7600000000. _________ 2.如何用科学记数法表示一个数？ 像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)， 使用的是科学记数法. 3.用科学记数法表示下列各数： 300000=_______； -5230000=__________；12600=_________. 预备知识 a0=1(a≠0)， (a≠0，n是正整数) 100=____，10-1=____，10-2=_____，10-3=______，10-4=_______. 一般地, (n是正整数) 因此，0.000…01=____.(n等于第一个非0数前面所有0的个数) 尝试：我们已经知道一些较大的数适合用科学记数法表示，例如：65300000=6.53×107. 你能利用10的负整数指数幂，将以下较小的数表示成类似形式吗？ 0.01=_____；0.000001=_____； 0.0000257=2.57×________=__________； 0.000000125=1.25×__________=__________. 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10-n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数. 这种形式更便于比较数的大小，例如2.57×10-5显然大于2.57×10-8，前者是后者的103倍. 类似的：-0.0000000135=-1.35×10-8. 学以致用 用科学记数法表示下列各数： (1) 0.00016；_________ (2) -0.00000562；___________ (3) 0.0000000102；__________ (4) 某种细胞的直径约为百万分之一米；_________ (5) 某种新型高速计算机的存储器完成一次存储时间大约为十亿分之一秒. _________ 思考 对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法 表示这个数时，10的指数是____；如果有m个0时，10的指数是_______. 例10 纳米(nm)是非常小的长度单位，1nm=10-9m.把1nm3的物休放到乒乓球上，就如同把 乒乓球放到地球上.1mm3的空间可以放多少个1nm3的物休(物体之间的间隙忽略不计)？ 解：1mm=10-3m，1nm=10-9m. (10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018. 1mm3的空间可以放1018个1nm3的物休. 1018是一个非常巨大的数字，它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍. 纳米技术是一种高新技术，它可以在微观世界里直接探索0.1～500nm范围内物质的 特性，从而创造新材料. 这项技术有重要应用. 练习 1.用科学记数法表示下列数： 0.000000001=________， 0.0012=_________， 1350.000000345=___________， 0.0000000108=___________. 2.计算： (1) (2×10-6)×(3.2×103) (2) (2×10-6)2÷(10-4)3 解：(1)原式=2×3.2×(10-6×103)=6.4×10-3 (2)原式=4×10-12÷10-12=4 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 从本节课的授课过程来看，灵活运用了多种教学方法，既有教师的讲解，又有讨论， 在教师指导下的自学，组织学生活动等. 调动了学生学习的积极性，充分发挥了学生的主 体作用. 课堂拓展了学生的学习空间，给学生充分发表意见的自由度. 分式方程及其解法(1) 一、教学目标 (一)知识与技能：理解分式方程的概念，会判断分式方程，会解简单的方式方程. (二)过程与方法：经历探索分式方程概念的过程，探索“实际问题”建立模型的方法. (三)情感态度与价值观：培养从实际问题抽象、概括分式方程的数学化思想，体会数学的 应用价值. 二、教学重点、难点 重点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解. 难点：会解可化为-元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的解. 三、教学过程 一元一次方程 只含有一个未知数(元)，并且未知数的最高次数为1(次)的整式方程叫做一元一次方程. 1.下列方程哪些是一元一次方程？ 136(1) 3x-5=3；_____ (2) x+2y=5；_____ (3) x2-x=5；_____ (4) = -1. _____ 2.请解上述方程(4). = -1 解：去分母(方程两边乘12)，得 4(2x-1)=3(x+2)-12 去括号，得 8x-4=3x+6-12 移项，得 8x-3x=6-12+4 合并同类项，得 5x=-2 化系数为1，得 x= 列方程 有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小 麦9000kg和15000kg，已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块 试验田每公顷的产量. 解：设第一块试验田每公顷的产量为 x kg，那么第二块试验田每公顷的产量是 _________kg. 根据题意，可得方程： 观察 ， 方程有什么共同特点？ 分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 注：(1)分式方程的主要特征：含分母且分母里含有未知数. (2)分式方程和整式方程的区 别就在于分母中是否含有未知数. 思考 如何解分式方程： 上述分式方程中各分母的最简公分母是(30+v)(30-v) 解：方程两边乘(30+v)(30-v)，得 90(30-v)=60(30+v) 解得 v=6 检验：将v=6代入原方程中，左边= =右边，因此v=6是原分式方程的解. 由此可知，江水的流速为6km/h. 将分式方程化成整式方程的关键步骤是什么？ 归纳 解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程 两边乘最简公分母. 解：方程两边乘x(x+3000)，得 9000(x+3000)=15000x 解得 x=4500 检验：将x=4500代入原方程中，左边=2=右边，因此x=4500是原分式方程的解. 两块试验田每公顷的产量分别是4500kg、7500kg. 练习 137(1) (2) 解：(1)方程两边乘x(x-2)，得 5(x-2)=7x 解得 x=-5 检验：将x=-5代入原方程中，左边=-1=右边，因此x=-5是原分式方程的解. (2)方程两边乘(x+3)(x-1)，得 2(x-1)=x+3 解得 x=5 检验：将x=5代入原方程中，左边= =右边，因此x=5是原分式方程的解. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 这节课主要是通过对比有分数系数的整式方程的解法来学习分式方程的解法，从而归 纳出分式方程的基本解题步骤. 在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让学生在出错 中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错. 分式方程及其解法(2) 一、教学目标 (一)知识与技能：能熟练解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根. (二)过程与方法：经历“分式方程→整式方程”的过程，发展学生分析问题、解决问题的 能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识. (三)情感态度与价值观：培养学生自主探充的意识，提高学生的观察能力和分析能力. 二、教学重点、难点 重点：能熟练解可化为一元一次方程的分式方程，并会验根. 难点：了解增根的概念，会检验一个数是不是分式方程的增根，会根据增根求方程中字母 的值. 三、教学过程 讨论 138再讨论一个分式方程 为去分母，在方程两边乘最简公分母(x-5)(x+5)，得整式方程 x+5=10，解得 x=5 x=5是原分式方程的解吗？ 将x=5代入原分式方程检验，得分母x-5和x2-25的值都为0，相应的分式无意义.因此， x=5虽是整式方程x+5=10的解，但不是原分式方程 的解.实际上，这个分式 方程无解. 思考 为什么 ①去分母后所得整式方程的解 v=6 就是①的解，而 ②去分母后所得整式方程的解x=5却不是②的解呢？ 方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解v=6. 当v=6时，(30+v)(30-v) 0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的 解相同. 方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解x=5. 当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这 就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分 母为0的现象，因此这样的解不是②的解. 在这里，我们把x=5称它为方程②的增根. 验根 增根：在去分母时，将分式方程转化为整式方程的过程中出现的使分母值为零的根. 产生的原因：分式方程两边同乘以一个零因式后，所得的根是整式方程的根，而不是 分式方程的根. 一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为 0，因 此应如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原 分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解. 例1 解方程 解：方程两边乘x(x-3)，得 2x=3x-9 解得 x=9 检验：当x=9时，x(x-3)≠0 所以，原分式方程的解为x=9. 例2 解方程 解：方程两边乘(x-1)(x+2)，得 x(x+2)-(x-1)(x+2)=3 解得 x=1 检验：当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 归纳 解分式方程的一般步骤如下： 139练习 解方程： (1) (2) (3) (4) 解：(1)方程两边乘2x(x+3)，得 x+3=4x 解得 x=1 检验：当x=1时，2x(x+3)≠0 所以，原分式方程的解为x=1. 解：(2)方程两边乘3(x+1)，得 3x=2x+3(x+1) 解得 x=-1.5 检验：当x=-1.5时，3(x+1)≠0 所以，原分式方程的解为x=-1.5. 解：(3)方程两边乘(x+1)(x-1)，得 2(x+1)=4 解得 x=1 检验：当x=1时，(x+1)(x-1)=0，因此x=1不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 解：(4)方程两边乘x(x+1)(x-1)，得 5(x-1)-(x+1)=0 解得 x=1.5 检验：当x=1.5时，x(x+1)(x-1)≠0 所以，原分式方程的解为x=1.5. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 这节课主要是讲解分式方程为什么要检验，要让学生理解增根的由来，从而牢记分式 方程在解题后要进行检验，避免解题出错. 在完成解题步骤归纳之后，通过例题与练习让 学生在出错中找到正确的解法，让学生自己归纳理解解题时容易出错的地方，防止犯错. 列分式方程解决实际问题 一、教学目标 (一)知识与技能：能将实际问题中的相等关系用分式方程表示，并进行方法总结. (二)过程与方法：通过日常生活中的情境创设，经历探索分式方程应用的过程，提高学生 运用方程思想解决问题的能力和思维水平. (三)情感态度与价值观：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，引导学生努力寻 找解决问题的方法，体会数学的应用价值. 二、教学重点、难点 重点：实际生活中分式方程应用题数量关系的分析. 140难点：将复杂实际问题中的等量关系用分式方程表示，并进行归纳总结. 三、教学过程 例3 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工 1个月完成总工程的 ，这时增加 了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成. 哪个队的施工速度快？ 分析：甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总工程的 ，那么甲队 半个月完成总工程的____，乙队半个月完成总工程的____，两队半个月完成总工程的 _______. 问题中的哪个等量关系可以用来列方程？ 解：设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的 .记总工程量为1，根据工程的实际进度， 得 方程两边同乘6x，得 2x+x+3=6x，解得 x=1 检验：当x=1时，6x≠0.所以，原分式方程的解为x=1. 由上可知，若乙队单独工作1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月完在任务的 ，可 知乙队施工速度快. 例4 某次列车平均提速 v km/h. 用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前 多行驶 50 km，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的字母 v，s表示已知数据，设提速前列车的平均速度为 x km/h，那么提速前 列车行驶 s km所用时间为_____h，提速后列车运行(s+50)km所用时间为________h. 表达问题时，用字母不仅可以表示未知数(量)，也可以表示已知数(量) 根据行驶时间的等量关系可以列出方程. 解：设提速前列车的平均速度为 x km/h，根据行驶时间的等量关系，得 方程两边乘x(x+v)，得 s(x+v)=x(s+50) 解得 x= 检验：由于 v，s 都是正数，得x= 时x(x+v)≠0. 所以，原分式方程的解为x= . 答：提速前列车的平均速度为 km/h. 练习 1.八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20min后， 其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车 学生的速度. 解：设骑车学生的速度为 x km/h，则汽车的速度为2x km/h，根据题意，得 141方程两边同乘6x，得 60-30=2x 解得 x=15 检验：x=15时6x≠0，所以，原分式方程的解为x=15. 答：骑车学生的速度为15km/h. 2.甲、乙二人做某种机械零件.已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做 60个所用的时间相等.求甲、乙每小时各做零件多少个. 解：设乙每小时做零件 x 个，则甲每小时做零件(x +6)个，根据题意，得 方程两边同乘x(x+6)，得 90x=60(x+6) 解得 x=12 检验：x=12时x(x+6)≠0， 所以，原分式方程的解为x=12. 答：甲、乙每小时分别做零件18个、12个. 课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 四、教学反思 在教学方法上，为了充分调动学生学习的积极性，使学生主动愉快地学习，采用启发 讲授、合作探究、讲练相结合的教学方式. 在课堂教学过程中努力贯彻“教师为主导、学 生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生列表分析、找重点语句 探寻等量关系等，使学生充分地动口、动脑，参与教学全过程. 第15章分式小结与复习 一、教学目标 (一)知识与技能：1.理解分式定义，掌握分式有意义的条件；2.掌握分式的加减乘除运算 及混合运算；3.掌握分式方程的解法，会列分式方程解决实际间题. (二)过程与方法：经历“实际问题→分式方程→整式方程”的过程，发展学生分析问题、 解决问题的能力，渗透数学的转化思想培养学生的应用意识. (三)情感态度与价值观：经历建立分式方程模型解决实际问题的过程，体会数学模型的， 应用价值，从而提高学习数学的兴趣. 142二、教学重点、难点 重点：分式加减乘除混合运算及分式方程. 难点：列分式方程解决实际问题. 三、教学过程 知识梳理 一、分式 1.分式的概念： 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 叫做分式.分式 中，A叫做分子，B叫做分母. 2.分式 有意义的条件： 当______时分式有意义；当______时分式无意义. 3.分式值为零的条件： 当____________时，分式 的值为零. 4.分式的基本性质： 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. ， (C≠0)其中A，B，C是整式. 5.分式的约分： 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分. 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式. 注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得的结果成为最简分式或 整式. 约分的基本步骤 (1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式. 6.分式的通分： 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整式(即最简公分母)，把分母不相同 的分式变成分母相同的分式，这种变形叫分式的通分. 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母， 叫做最简公分母. 二、分式的运算 1.分式的乘除法则： ， . 2.分式的乘方法则： . 3.分式的加减法则： (1)同分母： (2)异分母： 1434.分式的混合运算： 先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 计算结果要化为最简 分式或整式. 三、分式方程 1.分式方程的定义 分母中含未知数的方程叫做分式方程. 2.分式方程的解法 (1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. (2)解这个整式方程. (3)把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分 式方程的解，否则必须舍去(增根). 3.分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤： (1)审:清题意，并设未知数； (2)找:相等关系； (3)列:出方程； (4)解:这个分式方程； (5)验:根(包括两方面:①是否是分式方程的根；②是否符合题意)； (6)写:答案. 考点讲练 考点一 分式的有关概念 例1 如果分式 的值为0，那么x的值为____. 针对训练 1.若分式 无意义，则a的值为____. 2.如果分式 的值为零，则x的值为_____. 考点二 分式的性质及有关计算 例2 如果把分式 中的x和y的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( ) A.扩大为原来的3倍 B.不变 C.缩小为原来的 D.缩小为原来的 针对训练 3.下列变形正确的是( ) A. B. C. D. 例3 已知 ， ，求 的值. 解：原式= 144当 ， 时，原式= . 针对训练 4.有一道题：“先化简，再求值： ，其中 ”. 小玲做题时 把 错抄成 ，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？ 解：原式= ∵ ∴ 结果与x的符号无关 例4 已知 ，求 的值. ∵ ∴ ，即 ∴ ∵ ∴ 针对训练 5.已知x2－4x＋1＝0，求出 的值 解：由x2－4x＋1＝0得 ∴ ∴ ，即 ∴ ∴ ，即 ∴ 考点三 分式方程的解法 145例5 解下列分式方程： (1) (2) 解：(1)去分母得 x+1+x-1=0 解得 x=0 经检验x=0是分式方程的解 (2)去分母得 x-4=2x+2-3 解得 x=-3 经检验x=-3是分式方程的解 针对训练 6.解分式方程： 解：最简公分母为(x+2)(x-2) 去分母得 (x-2)2-(x+2)(x-2)=16 整理得 -4x+8=16 解得 x=-2 经检验x=-2是增根 故原分式方程无解 考点四 分式方程的应用 例6 从广州到某市，可乘坐普通列车或高铁，已知高铁的行驶路程是 400千米，普通列车 的行驶路程是高铁的行驶路程的1.3倍. (1)求普通列车的行驶路程； (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的2.5倍，且乘坐高铁所需 时间比乘坐普通列车所需时间缩短3小时，求高铁的平均速度. 解：(1)根据题意得400×1.3＝520(千米) 答：普通列车的行驶路程是520千米； (2)设普通列车的平均速度是x千米/时，则高铁的平均速度是2.5x千米/时，根据题意得 解得x=120，经检验x=120是原方程的解. 则高铁的平均速度是120×2.5=300(千米/时) 答：高铁的平均速度是300千米/时. 针对训练 7.某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每天比原计划多挖1米，结果提前3天完成任 务，原计划每天挖多少米？若设原计划每天挖x米，则根据题意列出正确的方程为( ) A. B. C. D. 8.某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每 支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支.求第一次每支铅笔的进价是 多少元？ 解：设第一次每支铅笔进价为x元，根据题意得 146解得x=4，经检验x=4原分式方程的解. 答：第一次每支铅笔的进价为4元. 考点五 本章数学思想和解题方法 例7 已知： ，求 的值. 解：∵ ∴ 14(2a-b)=3(a+2b)，整理可得 把 代入 得 方法总结 已知字母之间的关系式，求分式的值时，可以先用含有一个字母的代数式来表示另一 个字母，然后把这个关系式代入到分式中即可求出分式的值. 这种方法即是主元法，此方 法是在众多未知元之中选取某一元为主元，其余视为辅元. 那么这些辅元可以用含有主元 的代数式表示，这样起到了减元的目的. 针对训练 9.已知xyz≠0，且3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求 的值. 解：将z看作已知数，把3x-4y-z=0与2x+y-8z=0联立得 解得 把 代入原式= 147