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专题 17 全等三角形
模块一：基础知识....................................................................................................................................................2
考点一：全等三角形及其性质........................................................................................................................2
考点二：全等三角形的判定............................................................................................................................2
考点三：全等变换............................................................................................................................................2
考点四：角平分线............................................................................................................................................4
模块二：题型分类....................................................................................................................................................4
考点一：全等三角形及其性质........................................................................................................................4
题型一：利用全等三角形的性质求角度................................................4
题型二：利用全等三角形的性质求长度................................................5
题型三：根据全等的性质判断正误....................................................6
题型四：利用全等三角形的性质求解..................................................7
题型五：利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系.................................8
考点二：全等三角形的判定............................................................................................................................9
题型一：添加一个条件使两个三角形全等..............................................9
题型二：添加一个条件仍不能证明全等...............................................11
题型三：灵活选用判定方法证明全等.................................................12
题型四：结合尺规作图的全等问题...................................................14
题型五：全等三角形模型-平移模型..................................................16
题型六：全等三角形模型-对称模型..................................................18
题型七：全等三角形模型-一线三等角模型............................................19
题型八：全等三角形模型-旋转模型..................................................25
题型九：全等三角形模型-手拉手模型................................................28
题型十：构造辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法..................................30
题型十一：构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法................................32
题型十二：构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线..................................36
题型十三：构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线....................................39
题型十四：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题...............................41
考点三：角平分线的性质..............................................................................................................................43
题型一：利用角平分线的性质求长度.................................................43
题型二：利用角平分线的性质求面积.................................................45
题型三：角平分线的判定定理.......................................................46
题型四：利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题.............................48
题型五：三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法.................................50
考点四：全等三角形的应用..........................................................................................................................51
题型一：利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题...............................51
题型二：利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题...............................53
题型三：利用全等三角形的性质与判定解决动点问题...................................55专题 17 全等三角形
模块一：基础知识
考点一： 全等三角形及其性质
1.全等三角形的概念
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做
对应角。
2.全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
考点二：全等三角形的判定
1.边边边(SSS)：三边分别相等的两个三角形全等。
2.边角边(SAS)：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
3.角边角(ASA)：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等。
4.角角边(AAS)：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等。
5.斜边.直角边(HL)：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
考点三：全等变换
1.只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。
2.全等变换包括一下三种：
（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。
（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。
（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。
3.全等变换模型
模型一：平移型
模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）
公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等.
模型示例模型二：轴对称模型
模型分析:所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应
顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等.
模型三：旋转型
模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋
转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况：
①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角
②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角.
模型四：一线三垂直型
模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利
用“同角的余角相等”转化找等角考点四：角平分线
角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
模块二：题型分类
考点一：全等三角形及其性质
题型一：利用全等三角形的性质求角度
1.已知下图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．72° B．58° C．60° D．50°
2.已知△AEC≌△ADB，若∠A=50°,∠ABD=40°，则∠1的度数为（ ）
A．40° B．25° C．15° D．无法确定
3.如图△AOB≌△ADC，∠O=∠D=90°，记∠OAD=α，∠ABO=β，当AO∥BC时，α与β
之间的数量关系为（ ）．
A．α+β=90° B．α+2β=180° C．α=β D．α=2β
4.如图，已知△ABC≌△AED，∠A=75°，∠B=30°，则∠ADE的度数为（ ）A．105° B．80° C．75° D．45°
5.如图，△ADE≌△ABC，点D在边AC上，延长ED交边BC于点F，若∠EAC=35°，则∠BFD=
．
题型二：利用全等三角形的性质求长度
1.如图，△ABC≅△BAD，A的对应顶点是B，C的对应顶点是D，若AB=8，AC=3，BC=7，则
AD的长为（ ）
A．3 B．7 C．8 D．以上都不对
2.如图，△ABC≌△≝¿，DE=5，AE=2，则BE的长是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3.如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，如果AB＝8cm，BD＝7cm，AD＝6cm，那么
BC的长是（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
4.如图，已知Rt△ABC≌Rt△≝¿，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△≝¿绕着斜
边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP
的长为 ．题型三：根据全等的性质判断正误
1.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE，点A的对应点为D，AC交DE于点P，连结EC，
AD，则下列结论一定正确的是（ ）
A．ED=CB B．∠EBA=60°
C．∠EPC=∠CAD D．△ABD是等边三角形
1
2.如图，M在BC上，MB= MC，如果△ABC绕点M按顺时针方向旋转180°后与△FED重合，则以下结论
2
中不正确的是（ ）
A．△ABC和△FED的面积相等 B．△ABC和△FED的周长相等
C．∠A+∠ABC=∠F+∠FDE D．AC∥DF，且AC=DF
3.如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是( )
A．∠BCB′＝∠ACA′ B．∠ACB＝2∠B
C．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′
4.如图，△ABC≌△≝¿，点E在AC上，B，F，C，D四点在同一条直线上．若
∠A=40°,∠CED=35°，则下列结论正确的是（ ）
A．EF=EC,AB=FC B．EF≠EC,AE=FC
C．EF=EC,AE≠FC D．EF≠EC,AE≠FC题型四：利用全等三角形的性质求解
1.图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的 ．
k
2.如图，A，B是反比例函数y= (x>0)图象上两点，C(−2,0)，D(4,0)，△ACO≌△ODB，则k=
x
．
3.图中的小正方形边长都相等，若△MNP≌△MFQ，则点Q可能是图中的 ．
4.三个能够重合的正六边形的位置如图，已知A点的坐标是(√3,−3)，则B点的坐标是 ．
5.如图，直线y=−2x+2与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线AP⊥AB于点A，若点C是射线AP上的
一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与△AOB全等，则AD的长为
．
6.如图，Rt△ABC≌Rt△≝¿，∠C=∠F=90°，AC=2，BC=4，点D为AB的中点，点E在AB
的延长线上，将△≝¿绕点D顺时针旋转α度(0<α<180)得到△DE'F，当△BDE'是直角三角形时，
AE'的长为 ．7.如图，已知Rt△ABC≌Rt△≝¿，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△≝¿绕着斜
边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P、Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长
为 ．
题型五：利用全等的性质证明线段之间的数量/位置关系
1.如图，AB、EF相交于点G，且△AFG≌△BEG，D在AF上，C在EB延长上，连接DC，若
AD=BC，证明：CD=2AG．
2.如图，已知△ABE≌△CDF，且B，E，F，D四点在同一直线上，线段AE和线段CF在位置和数量
上存在什么关系?并说明理由．
3.如图，已知△ABF≌△DEC，A，F，C，D四点在同一条直线上．
(1)求证：AC=DF；
(2)判断BF与EC的位置关系，并证明．考点二：全等三角形的判定
题型一：添加一个条件使两个三角形全等
1.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：①BD=CE；②
∠B=∠C；③∠BAD=∠CAE中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD=AE．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明AD=AE．
2.如图，已知BE＝DC，请添加一个条件，使得 ABE≌△ACD： ．
△
3.如图，AC，BD相交于点O，OB=OD，要使△AOB≌△COD，添加一个条件是 ．（只写一
个）
4.如图，给出下列四组条件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE， ∠B=∠E，BC=EF；
③∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F；④AB=DE，AC=DF，∠B=∠E．其中，能使
△ABC≌△≝¿的条件共有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组5.如图，RtΔABC和RtΔEDF中，∠B=∠D，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件
，使RtΔABC和RtΔEDF全等．
6.如图，AE//DF，AE=DF．添加下列条件中的一个：①AB=CD；②EC=BF；③∠E=∠F；
④EC//BF．其中能证明△ACE≌△DBF的是 （只填序号）．
7.人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法：
已知：△ABC．
求作：△A'B'C'，使得△A'B'C'≌△ABC．
作法：如图．
（1）画B'C'=BC；
（2）分别以点B'，C'为圆心，线段AB，AC长为半径画弧，两弧相交于点
A'；
（3）连接线段A'B'，A'C'，则△A'B'C'即为所求作的三角形．
请你根据以上材料完成下列问题：
（1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）：
证明：由作图可知，在△A'B'C'和△ABC中，
¿
∴△A'B'C'≌______．
（2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号）①AAS；②ASA；③SAS；④SSS
8.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC
＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需
选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或
“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
题型二：添加一个条件仍不能证明全等
1.如图，在△ABC和△≝¿中，∠B=∠≝¿，AB=DE，添加一个条件后，仍然不能证明
△ABC≅△≝¿，这个条件可能是（ ）
A．∠A=∠D B．AC∥DF C．BE=CF D．AC=DF
2.如图，点B、F、C、E在同一条直线上，AC∥DF，AC=DF，添加以下条件，仍不能使 ABC≌ DEF
的是（ ） △ △
A．∠A=∠D B．AB=DE C．AB∥DE D．BF=EC3.如图，四边形ABCD是菱形，E、F分别是BC、CD两边上的点，不能保证△ABE和△ADF一定全等
的条件是（ ）
A．∠BAF=∠DAE B．EC=FC C．AE=AF D．BE=DF
题型三：灵活选用判定方法证明全等
1.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC＝
∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）______（只需选
一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或
“AAS”）；
(2)利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．
2.如图，在ΔABC中，∠B=∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠BDE=50°，求∠BAC的度数．
3.如图，在△ACB和△DCE中，AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE、BD交于
点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．试判断AE、BD之间的关系，并说明理由．4.如图，在▱ABCD中，点E、F分别是边AD、BC的中点．
(1)求证：△ABF≌△CDE；
(2)若∠AFC=2∠D，求证：四边形AFCE是菱形．
5.如图，在△ABE中，C，D是边BE上的两点，有下面四个关系式：（1）AB=AE，（2）BC=DE，
（3）AC=AD，（4）∠BAC=∠EAD请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出
你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明．
已知：___________________________________
求证： ___________________________________
证明：___________________________________
6.如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，CE⊥AD延长线于E，且BC=2AE．
(1)求证：AD=CD；
(2)求证：AB2=AD⋅BC．题型四：结合尺规作图的全等问题
1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，AD=4，BC=3．分别以点A，C为圆心，大于
1
AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O．若点O是AC的中点，则
2
CD的长为（ ）
A．2√2 B．4 C．3 D．√10
2.已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作P´Q， 交射线OB于点D，连接CD；（2）分
别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，交P´Q于点M，N；
（3）连接OM，MN．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．MC＝DN B． COM≌△COD
C．若OM＝MN．则∠AOB＝20° D．MN＝3CD
△
3.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，D为边BC上一点，CD＝AC，连接AD．
(1)用尺规作∠ADE＝∠B，射线DE交线段AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若AB＝5，BD＝3，求AE的长．
4.如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E
1
为圆心，大于 DE长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG.
2
添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（ ）
A．AB=AC B．AG⊥BC C．∠DGB=∠EGCD．AG=AC5.如图，四边形ABCD是矩形，以点B为圆心，BA长为半径的半圆，交BC于点M．
(1)作线段BC的垂直平分线交BC于点O；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)以点O为圆心，以OB为半径作⊙O，交弧AM于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），
证明：BE⊥CE；
(3)在（2）的条件下，延长线段CE交AD于点F，从条件①或者条件②这两个条件中选择一个作为已知条
件，求cos∠EBC的值．
条件①：AF:DF=1:3；
条件②：S =3S ；
△CDF △ABF
注明：如果选择条件①与条件②分别作答，按第一个解答计分．
6.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，小雅按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为
半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点
M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点
E．
(1)根据小雅的作图方法，得到∠COE=∠OAB．证明过程如下：
M'ON'
由作图可知，在 MAN和 中， ，
∴△MAN≌△M△'ON'（△_____________）（此处填理论依据），
∴∠COE=∠OAB．
(2)若AB=6，求线段OE的长．7.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，∠BAC为锐角．
1
(1)将线段AD绕点A顺时针旋转（旋转角小于90°），在图中求作点D的对应点E，使得BE= BC；
2
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
5 EF
(2)在（1）的条件下，过点C作CF⊥AB于点F，连接EF，BE，若sin∠EBA= ，求 的值．
7 CF
题型五：全等三角形模型-平移模型
1.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠≝¿．给出下列三个条件：①
AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定
△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌△DEF；
(3)△≝¿可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，
△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长．
2.如图，将△ABC沿射线AB平移4cm后能与△BDE完全重合，连接CE、CD交BE于点O，OB＝OC．
(1)求证：四边形CBDE为矩形；
4√3
(2)若S BOC＝ cm2，求∠ACD的度数．
△ 33.如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，∠ABC=∠≝¿．给出下列三个条件：①
AC=DF，②BC=EF，③∠BAC=∠EDF．
(1)请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件序号为______，你判定
△ABC≌△DEF的依据是______（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；
(2)请用（1）中所选条件证明△ABC≌△DEF；
(3)△≝¿可看作是由△ABC沿AC方向平移得到的，过B作BM⊥AC于M，当AB=10，BM=8，
△ABD是以BD为腰的等腰三角形时，直接写出平移距离AD的长．
4.如图，将Rt△ABC沿BC所在直线平移得到△DEF．
(1)如图①，当点E移动到点C处时，连接AD，求证：△CDA≌△ABC；
(2)如图②，当点E移动到BC中点时，连接AD、AE、CD，请你判断四边形AECD的形状，并说明理由．
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D在BC延长线上，且DC=AC，将△ABC延BC方向平移，
使点C移动到点D，点A移动到点E，点B移动到点F，得到△EFD，连接CE，过点F作FG⊥CE于G．
(1)依题意补全图形；
(2)求证：CG=FG；
(3)连接BG，用等式表示线段BG，EF的数量关系，并证明．6.如图1，△ABC与△DBC全等，且∠ACB=∠DBC=90°，AB=6，AC=4.如图2，将△DBC沿
射线BC方向平移得到△D B C ，连接AC ∥AC .
1 1 1 1 1
（1）求证：BD =AC 且BD ∥AC ；
1 1 1 1
（2）△DBC沿射线BC方向平移的距离等于__________时，点A与点D 之间的距离最小.
1
图1 图2
题型六：全等三角形模型-对称模型
1.如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B、D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；
(2)若AB=4，CD=3，求BD的长．
2.如图，已知∠C=∠F=90°，AC=DF，AE=DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△≝¿；
（2）若∠A=50°，求∠BOF的度数．
3.如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若AB=4，CD=3，求四边形ABCD的面积．4.如图，△ABC是等边三角形，D,E 在直线BC上，DB=EC．求证：∠D=∠E ．
5.如图，点A、E、B、D在一条直线上，∠A=∠D，AC=DF，AE=DB．求证：∠C=∠F．
6.如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC．AD，BC交于点O．求证：OC＝OD．
题型七：全等三角形模型-一线三等角模型
1.如图，在△ABC中，∠B＝90°，作CD⊥AC，且使CD＝AC，作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．求证：
CE＝AB．
2.如图，∠BAC＝90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．求证：
AF＝BE．3.如图，在平面直角坐标系xOy，四边形OABC为正方形，若点B（1，4），则点A的坐标为（ ）
(5 3) ( 3 5)
A．（3，1） B． , C． − , D．（4，1）
2 2 2 2
4.如图所示，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°．直线l经过点A，过点B作BE⊥l于点E，过点C作
CF⊥l于点F．若BE=2,CF=5，则EF= ．
5.通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：（模型呈现）
（1）如图1，∠BAD=90°,AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由
∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D．又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到
△ABC≌△DAE．进而得到AC=_____________，BC=AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型
或“一线三等角”模型；
（模型应用）
（2）如图2，∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE，连接BC,DE，且BC⊥AF于点F,DE与
直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；（深入探究）
（3）如图，已知四边形ABCD和DEGF为正方形，△AFD的面积为S ,△DCE的面积为S ，则有S
1 2 1
_____________S （填“>、=、<”）
26.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），
连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= °，∠DEC= °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变
（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若
不可以，请说明理由．
7.如图，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，请按照图中所标注的数据计算FH的长为
．
8.通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．
求证：BC=AE．
[模型应用]如图2，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中
实线所围成的图形的面积为________________．
[深入探究]如图3，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．若BC=21，AF=12，则△ADG的面积为_____________．9.已知：CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F是直线CD上两点，∠BEC＝∠CFA＝
∠α．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，∠BCD＞∠ACD．
①如图1，∠BCA＝90°，∠α＝90°，写出BE，EF，AF间的等量关系： ．
②如图2，∠α与∠BCA具有怎样的数量关系，能使①中的结论仍然成立？写出∠α与∠BCA的数量关系
．
（2）如图3．若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，①中的结论是否成立？若成立，进行证明；
若不成立，写出新结论并进行证明．
10.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
(1)当直线MN绕点C旋转到图1位置时，求证：DE=AD+BE；
(2)当直线MN绕点C旋转到图2位置时，试问：DE、AD、BE有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，
并加以证明；
(3)当直线MN绕点C旋转到图3位置时，DE、AD、BE之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证
明）．11.阅读材料：
我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三
垂直模型”如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂
足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC≌△CEB．
（1）探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC∽△CEB．请你说明
理由．
1
（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y= x与直线CD交于点M(2,1)，且两直线夹角为
2
3
α，且tanα= ，请你求出直线CD的解析式．
2
（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线
段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC
为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．12.综合与实践
数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．
(1)操作发现：如图甲，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=AC，直线l经过点A．小华分别过B、
C两点作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．易证△ABD≌△CAE，此时，线段DE、BD、CE的数
量关系为： ；
(2)拓展应用：
如图乙，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，已知点C的坐标为(−2,0)，点B的坐标为(1,2)．
请利用小华的发现直接写出点A的坐标： ；
(3)迁移探究：
①如图丙，小华又作了一个等腰△ABC，AB=AC，且∠BAC≠90°，她在直线l上取两点D、E，使
得∠BAC=∠BDA=∠AEC，请你帮助小华判断（1）中线段DE、BD、CE的数量关系是否变化，
若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；
②如图丁，△ABC中，AB=2AC，∠BAC≠90°，点D、E在直线l上，且
∠BAC=∠BDA=∠AEC，请直接写出线段DE、BD、CE的数量关系．题型八：全等三角形模型-旋转模型
1.已知，四边形ABCD是正方形，△≝¿绕点D旋转（DEBC，点D在边AC上，将线段DA绕点D按顺时针方向
旋转90°得到DA'，线段DA'交AB于点E，作A'F⊥AB于点F，与线段AC交于点G，连接FC,GB．
(1)求证：△ADE≌△A'DG；
(2)求证：AF⋅GB=AG⋅FC；
1
(3)若AC=8，tan A= ，当A'G平分四边形DCBE的面积时，求AD的长．
2
4.已知在△ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将△AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），
得到△EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若
不成立，请说明理由；
（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
5.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，过点B、C分别作l的垂线，垂足分别为点
D、E．
(1)特例体验：如图①，若直线l∥BC，AB=AC=√2，分别求出线段BD、CE和DE的长；
(2)规律探究：
①如图②，若直线l从图①状态开始绕点A旋转α(0<α<45°)，请探究线段BD、CE和DE的数量关系并
说明理由；
②如图③，若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α(45°<α<90°)，与线段BC相交于点H，请再探
线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；
(3)尝试应用：
在图③中，延长线段BD交线段AC于点F，若CE=3，DE=1，求S ．
△BFC
6.如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°．点E，F分别为AB，AC的中点，H为线段EF上
一动点（不与点E，F重合），将线段AH绕点A逆时针方向旋转90°得到AG，连接GC，HB．
（1）证明：△AHB≌△AGC；
（2）如图2，连接GF，HC，AF交AF于点Q．
①证明：在点H的运动过程中，总有∠HFG=90°；
②若AB=AC=4，当EH的长度为多少时，△AQG为等腰三角形？
(√2 )
7.已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形 OA2AD；
（2）如图2，在△ABC中，D，E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；
（3）如图3，在△ABC中，D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AB+AC>AD+AE．8.【问题提出】
如图①，在△ABC中，若AB=6，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围.
（1）【问题解决】
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BC（或将△ACD绕着点D逆时针旋
转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断，由此
得出中线AD的取值范围.
（2）【应用】
如图②，在△ABC中，D为BC的中点，已知AB=5，AC=3，AD=2，求BC的长.
（3）【拓展】
如图③，在△ABC中，∠A=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上，过点D作DF⊥DE交边AC
于点F，连接EF．已知BE=4，CF=5，求EF的长.
题型十一：构造辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
1
1.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD= ∠BAE．
2
(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
2.如图，在平面直角坐标系中，A(−2,0)，C(6,0)，B为y轴正半轴上一点，D在第四象限，且
BC⊥CD，CA平分∠BCD，∠ABC+∠ADC=180°．
(1)直接写出B点坐标；
(2)求证：AB=AD；
(3)求四边形ABCD的面积．1
3.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE，CA平分∠BCD，∠CAD= ∠BAE．
2
(1)求证：CD=BC+DE；
(2)若∠B=75°，求∠E的度数．
4.如图，在四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AC平分∠DAB，BD平分∠CBA，
∠ADC+∠BCD=240°．
(1)求∠AOB的度数；
(2)求证：OD=OC．
5.在四边形ABDE中，点C是BD边的中点．
(1)如图①，AC平分∠BAE，∠ACE=90°，写出线段AE，AB，DE间的数量关系及理由；
(2)如图②，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE=120°，写出线段AB，BD，DE，AE间的
数量关系及理由．
6.（1）问题背景：如图①：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．
E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF=60°．探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学
探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明
△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是___________；（2）探索延伸：如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E,F分别是BC、CD
1
上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由；
2
（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在
指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以
60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进2小时后，甲、乙两舰艇
分别到达E,F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
7.(1)阅读理解：
问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．求证：DA=DC．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在BC上截取BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA到点N，使得BN=BC，连接DN，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
(2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当∠DAC=60°时，探究线段AB，BC，BD之间的数
量关系，并说明理由；
(3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC，过点D作DE⊥BC，垂足
为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系并说明理由．8.问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．CD上的点，且
∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明 ABE≌△ADG，再证明
AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写结论，不需证明） △
△探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
1
∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
2
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
1
∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请直接写出它们之间的数
2
量关系．题型十二：构造辅助线证明两个三角形全等-作平行线
1.△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交BC于点M．
求让：MD=ME
2.如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED=EC．
(1)当点E为AB的中点时（如图1），则有AE______DB（填“>”“<”或“=”）；
(2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想．
3.如图， ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使
CQ＝PA，△连接PQ交AC于点D，则DE的长为（ ）
A．1 B．1.8 C．2 D．2.5
4.如图所示：△ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交
BC于点M．求让：MD=ME5.读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
∠BAE=∠CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明
的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须
添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两
种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF∥AB交DE的延长线于F.
6.△ABC中，AC=BC，∠C=90∘，CD⊥AB于D，点E在线段BD上，点F在射线CA上，连接CE，
DF，满足∠ADF=∠ECB．
(1)如图1，若DF=2√3，AC=4，求AF的长；
(2)如图2，若AF=BE，求证：BC=2DE；
(3)如图3，将△CDE绕点D逆时针旋转α(0∘<α≤360∘)得到△C'DE'，连接CE'，点P为CE'的中点，
连接BP，若EB=4√3−4，∠DCE=30∘．当BP最小时，直接写出△BCP的面积．7.在△ABC中，AB=AC，点E在BC上，点H在AC上，连接AE和BH交于点F，∠ABH=∠CAE．
(1)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB；
(2)如图2，连接FC，若FC平分∠EFH，求证：AH=CH；
(3)如图3，在（2）的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD，∠ACD+3∠EFC=180°时，若
AE+DF=14，BH+AF=16，求HF的长．
8.如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取
BE的中点F，连接DF．
(1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；
(2)将图1中的 CDE绕点C按逆时针旋转，
①如图2，（1△）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S ADF的取值范围．
△题型十三：构造辅助线证明两个三角形全等-作垂线
1.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，点D为AC中点，点P为AB上的动点，将点P
绕点D逆时针旋转90°得到点Q，连接CQ，当线段CQ的最小时，则DP= ．
2.如图，已知AD为△ABC的中线，点E为AC上一点，连接BE交AD于点F，且AE＝FE.
求证：BF＝AC．
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点E在AC上，且AE＝1，连接BE，∠BEF＝90°，且BE
＝FE，连接CF，则CF的长为
4.如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,A(0,3),C(1,0)，则点B的坐标为 ．5.如图，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD=∠CAE=90∘，AH⊥BC于H，HA的延长线交DE于G，下列结论：
①DG＝EG；②BC＝2AG；③AH＝AG；④S =S ，其中正确的结论为（ ）
ΔABC ΔADE
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6.如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，∠ABD=∠CBE=90°，BA=BD，BC=BE，延长CB交DE
于F.求证：EF=DF.
1
7.如图，直线l :y= x+2和直线l 与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l 与y轴相
1 2 2 2
交于点D(0,−4)，OA=2OB．
(1)求点A的坐标及直线l 的函数表达式；
2
(2)求△ABC的面积；
(3)试探究在x轴上是否存在点P，使得∠BDP=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请
说明理由．8.定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三
角形第三个内角的遥望角．
(1)如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与∠A的数量关系__________；
(2)如图1所示，连接AE，猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由；
(3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE，若己知
DE=DC=AD，求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
题型十四：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
1.如图，在等边△ABC内有一点D，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
若B、D、E三点在同一直线上，且与AC交于点F．现给出以下结论：①△AED是等边三角形；②
∠EAC=∠EBC；③△ADB∽△AFE；④AD∥CE，其中正确的是 ．（写出所有正确
结论的序号）
2.如图，正方形ABCD的边长为2，点E为对角线AC上一动点(点E不与A、C重合)，过点E作EF⊥BE
交直线CD于F，将线段EF绕点F逆时针旋转90°得到线段GF，连接GA，GB，GC，下列结论：
①EB=EF；②AC⊥GC；③CE+CG=√2CB；④GA+GB的最小值为2√5，其中正确的是
.(填写所有正确结论的序号)3.题目：“如图，AE与BD相交于点C，且△ACB≌△ECD，AB=8cm，点P从点A出发，沿
A→B→A方向以2cm/s的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以1cm/s的速度运动，P、Q两点
同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t(s)．连接PQ，当线段
8
PQ经过点C时，求t的值．”对于其答案，甲答： s，乙答：8s，则正确的是（ ）
3
A．只有甲答的对 B．只有乙答的对
C．甲、乙答案合在一起才完整 D．甲、乙答案合在一起也不完整
4.如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，点M在AD上，连接ME并延长交BC于点N，连接
DN交MC于点F．则下列四个结论：①AM=CN；②若MD=AM，∠A=90°，则BM=CM；③若
MD=2AM，则S =S ；④若AB=MN，则△MFN与△DFC全等．其中正确结论的个数为
△MNC △BNE
（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，在正方形纸片ABCD中，点E为正方形CD边上的一点（不与点C，点D重合），将正方形纸片
折叠，使点A落在点E处，点B落在点F处，EF交BC于点H，折痕为GM，连接AE、AH，AH交GM
于点K下列结论：①△AME是等腰三角形；②AE=MG；③AE平分∠DEF；④AE=AH；⑤
∠EAH=45°，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6.已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作
EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③
AD=EF=EC；④AE=EC，其中所有正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②④考点三：角平分线的性质
题型一：利用角平分线的性质求长度
1.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8．连接AC，在AC和AD上分别截取AE，AF，使
1
AE=AF．分别以点E和点F为圆心，以大于 EF的长为半径作弧，两弧交于点G．作射线AG交CD于
2
点H，则线段DH的长是 ．
2.如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，AE=12，DF=5，
则点E到直线AD的距离为 ．
3.如图，以∠AOB的顶点O为圆心作弧与∠AOB的两边交于C，D两点，分别以C，D两点为圆心，大
1
于 CD的长度为半径画弧，两弧交于点E，点P为射线OE上一点，PF⊥OA，且PF=2，则点P到OB
2
的距离为（ ）
A．1 B．√3 C．2 D．2√3
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=30°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线
2
AP交边BC于点D，点E为线段AB上一动点．若CD=6，当DE最小时，BE的长度是（ ）A．√3 B．2 C．3 D．2√3
5.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，若CD=2，则AD的长度为
（ ）
A．√2 B．√3 C．2√2 D．1+√2
6.如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC=3,∠ABC的平分线交AC于点D，CD=1，则⊙O的
直径为（ ）
A．√3 B．2√3 C．1 D．2
7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接
1
AB，BC，若tan∠ABC= ，则点C的坐标为 ．
3
8.已知：射线OP平分∠MON,A为OP上一点，⊙A交射线OM于点B,C，交射线ON于点D,E，连接
AB,AC,AD．(1)如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
(2)如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG=AF．题型二：利用角平分线的性质求面积
1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，DF=DC，△ADE和△ADF的面积分别
为a和b，则△DEC的面积为（ ）
a+b a−b
A．a+b B．a−b C． D．
2 2
2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，AE的延长线
交BC于点F，若AB=AC=5，BC=6，△BEF与△ABE的面积比为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 3 4 5
3.如图，在等腰直角△ABC中，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB，AC于点M，N；再
1
分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧交于点D，作射线AD交BC于点E．设
2
S
△ABE，△ACE的面积分别为S ，S ，则 1 的值为（ ）
1 2 S
2
1 1 √2
A． B． C． D．1
2 3 2题型三：角平分线的判定定理
1.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC=110°，则∠MAB=（ ）
A．30° B．35° C．45° D．60°
2.在△ABC中，∠ABC=60°，AB=4，BC=6，P为AB上一点，Q为△ABC内部一点，且
S :S =2:3，当AQ+PQ的值最小时，则BP的长是（ ）
△ABQ △QBC
A．4 B．3√3 C．2 D．2√3
3
3.（1）如图1，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D为BC边上一点，CD= ．求证：
2
AD平分∠CAB．
（2）如图2，矩形ABCD中，AB=5，BC=4，点E是CD边上一点，DE=2，连接AE，请用无刻度的
直尺和圆规在AB边上找一点F，使得∠AFD=2∠DAE．（保留作图痕迹，不要求写出作法）4.如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好
和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA于点M，联结OP．若∠BOP
＝28°，则∠AMP的大小为（ ）
A．62° B．56° C．52° D．46°
5.如图，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点D在∠MAN内部，连接BD，CD，BD=CD，作
DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，BE=CF，求证：AD是∠MAN的平分线．
6.如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．
(1)求证：AC平分∠DAB；
(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．
7.在图1，2，3中，已知▱ABCD，∠ABC=120°，点E为线段BC上的动点，连接AE，以AE为边向
上作菱形AEFG，且∠EAG=120°．
（1）如图1，当点E与点B重合时，∠CEF=________°；
（2）如图2，连接AF．
①填空：∠FAD_________∠EAB（填“>”，“<”，“=”）；
②求证：点F在∠ABC的平分线上；
（3）如图3，连接EG，DG，并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求
BC
的值．
AB8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+4x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，点M(m,n)
是抛物线上一动点．
（1）如图1，当m>0，n>0，且n=3m时，
①求点M的坐标：
(15 )
②若点B ,y 在该抛物线上，连接OM，BM，C是线段BM上一动点（点C与点M，B不重合），过
4
点C作CD//MO，交x轴于点D，线段OD与MC是否相等？请说明理由；
( 7)
（2）如图2，该抛物线的对称轴交x轴于点K，点E x, 在对称轴上，当m>2，n>0，且直线EM交x
3
轴的负半轴于点F时，过点A作x轴的垂线，交直线EM于点N，G为y轴上一点，点G的坐标为
( 18)
0, ，连接GF．若EF+NF=2MF，求证：射线FE平分∠AFG．
5
题型四：利用角平分线性质定理和判定定理解决多结论问题
1.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点M，N分别在AD，BC上，将矩形纸片ABCD
沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，点D落在点F处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
②F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）2.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于点E，BF交AC于
点F，过点O作OD⊥BC于点D，连接OC．现给出以下结论：
①∠ACO=∠BCO；
②若OD=a，AB+BC+CA=b，则S =ab；
△ABC
③∠COD=∠BOE；
④当∠ACB=60°时，AF+BE=AB．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
3.如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，点H在边AD上，CE=DH，CH交BE于点F，交BD于点
G，连接GE．下列结论：①CH=BE；②CH⊥BE；③S =S ；④当E是CD的中点时，
△GCE △GDH
GF 4
= ；⑤当EC=2DE时，S =6S ．其中正确结论的序号是（ ）
GE 5 正方形ABCD 正方形DEGH
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②①⑤
4.如图，△ABC的两条角平分线相交于O点，∠C=56°，ACAB，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径画弧，两
2
弧交于点M，N，直线MN分别交BC，AD于点E，F．下列结论：
①四边形AECF是菱形；②∠CFD=2∠ACF；③AC⋅EF=CE⋅AB；④若AE平分∠BAC，则
CE=2BE．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
题型五：三角形的三条角平分线的性质定理的应用方法
1.如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路
相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且BC>AC>AB．已知厂房O到每条公路的距
离相等．
（1）则点O为△ABC三条_______的交点（填写：角平分线或中线或高线）；
（2）如图，设BC=a，AC=b，AB=c，OA=x，OB= y，OC=z，现要用汽车每天接送职工上下班
后，返回厂房停放，那么最短路线长是____．
2.某地为了促进旅游业的发展，要在如图所示的三条公路a，b，c围成的一块地上修建一个度假村，要使
这个度假村到a，b两条公路的距离相等，且到B，C两地的距离相等，下列选址方法绘图描述正确的是（
）
A．画∠CAB的平分线，再画线段BC的垂直平分线，两线的交点符合选址条件
B．先画∠CAB和∠BCA的平分线，再画线段BC的垂直平分线，三线的交点符合选址条件
C．画三个角∠CAB，∠BCA和∠ABC三个角的平分线，交点即为所求D．画AB，BC，CA三条线段的垂直平分线，交点即为所求考点四：全等三角形的应用
题型一：利用全等三角形的性质与判定解决高度测量问题
1.如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们
在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F
到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF=1米，BE=CD=20米，BD=58米，试求单元楼
AB的高．
2.如图是重型卡车的立体图，右图是一个装有货物的长方体形状的木箱沿着坡面从重型卡车车上卸载的平
面示意图．已知重型卡车车身高度AC=3.6m，卡车卸货时后面支架AB弯折落在地面A'，经过测量
A'C=1.8m．现有木箱长ED=4.5m，高EF=2.25m，宽小于卡车车身的宽度，当木箱底部顶点G与坡
面底部点A'重合时，则木箱上部顶点E到地面A'C的距离为 m．
3.陈宁男为了测量建筑物墙壁AB的高度，采用了如图所示的方法：
①把一根足够长的竹竿AC的顶端对齐建筑物顶端A，末端落在地面C处；
②把竹竿顶端沿AB下滑至点D，使DB＝ ，此时竹竿末端落在地面E处；
③测得EB的长度，就是AB的高度．
以上测量方法直接利用了全等三角形的判定方法 （用字母表示）．4.综合与实践
【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用三角尺测量物体的数学探究”实践活动．
【实践发现】某小组的同学用若干个高度都是1cm的相同长方体小木块垒两堵与地面垂直的木墙，木墙之
间刚好可以放进一个直角三角尺(∠MCN=90°)，点C在线段AB上，点M和N分别与木墙的顶端重合，
如图所示．
探究1：如图1，当放置的是等腰直角三角尺（含45°的三角尺）时，同学们发现：两堵木墙高度之和等
于两堵墙之间的距离，即AC、BC、AM、BN的数量关系为AC+BC=AM+BN，请你判断同学们的
结论是否正确，并说明理由：
探究2：如图2，当放置的不是等腰直角三角尺时，∠MCN=90°，试探究AC、BC、AM、BN的数量
关系，并证明你的结论．
5.学校有两栋教学楼AB、CD，小强想了解这两栋教学楼的高度，他发现教学楼CD的高度容易测量，且
CD＝18米，而教学楼AB的高度不易测量，于是小强利用所学知识设计了如下测量方案：如图，小强在两
栋教学楼中间空地上的点E处固定一个测角仪EF，且AE＝CE，先测得教学楼AB顶部B的仰角，然后将测
角仪向后转动180°，并调节测角仪的高度到点G时，测角仪刚好能以同样的仰角观测到教学楼CD的顶端
D．已知EF＝2米，GF＝0.8米，求教学楼AB的高度．题型二：利用全等三角形的性质与判定解决河宽测量问题
1.如图，数学实践小组想要测量某公园的人工湖两端A、B之间的距离，由于条件限制无法直接测得，请
你用学过的数学知识帮他们按以下要求设计一种测量方案．
(1)画出测量示意图；
(2)写出测量的数据，线段长度用a、b、c…表示，角度用α、β、γ…表示；(不要求写出测量过程)
(3)根据你测量的数据，计算A、B之间的距离．(用含a、b、c…或α、β、γ…的式子表示)
2.（1）如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想要测量A、B间的距离，一位同学帮他想了一
个办法：先在地上取一个可以直接到达A、B的点O，分别延长AO、BO至点M、N，使得
MO=AO,NO=BO，再连接MN，则MN的长度即为池塘A、B间的距离．请说明理由．
（2）在下面的网格图中有三个点A、B、D，其中点A和点D在网格线的交点处，点B在网格线上，请找
出点C，使得四边形ABCD是平行四边形．（仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，不需说明理由）
3.校园内有一块四边形的草坪造型，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画如图的四边形
ABCD，其中 AB＝CD＝2米，AD＝BC＝3米，∠B＝30°
(1)求证：△ABC≌△CDA ；
(2)求草坪造型的面积．4.（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请
你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系 ；
（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与
CD有什么数量关系？说明理由；
（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，
AC=AE，求BE的长．
5.思维启迪：（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳
子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点
P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，
那么A，B间的距离是 米．
思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕
点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），
设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．
①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是 ；
②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；
③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝l，请直接写出PC2的值．题型三：利用全等三角形的性质与判定解决动点问题
1.如图，等边三角形ABC的边长为6cm，动点P从点A出发以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点
P作PQ⊥AB，交边AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧，当点D落在
BC边上时，点P需移动 s．
2.如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运
动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定
其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，△ABP与△PCQ全等．
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=9cm，AC=12cm，AB=15cm；在△≝¿中，∠E=90°，
DE=4cm，DF=5cm，∠A=∠D．现有两个动点P和Q．同时从点A出发，P沿着三角形的边
AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s；Q沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．
在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ与△≝¿全等，则点Q的运动速度为 ．
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3，AB=4，BC=5，CD平分∠ACB，如果点P，
点Q分别为CD，AC上的动点，那么AP+PQ的最小值是 ．5.已知△ABC是等边三角形，点D是射线AB上的一个动点，延长BC至点E，使CE=AD，连接DE交
射线AC于点F．
(1)如图1，当点D在线段AB上时，猜测线段CF与BD的数量关系并说明理由；
(2)如图2，当点D在线段AB的延长线上时，
①线段CF与BD的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接AE．设AB=4，若∠AEB=∠DEB，求四边形BDFC的面积．
3
6.如图，在△ABC中，AB=AC，tanB= ，点D为BC上一动点，连接AD，将△ABD沿AD翻折得
4
S
到△ADE，DE交AC于点G，¿
