第21章一元二次方程（单元测试·基础卷）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_专题突破练习-V4_2025版

第21章 一元二次方程（单元测试·基础卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程 的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ） A． B． C． D． 4．利用公式解可得一元二次方程式 的两解为 、 ，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．若分式 的值为零，则 （ ） A．1 B． C．1和 D．1或 6．方程 的两根的符号是（ ） A．都为正 B．都为负 C．一正一负 D．无法确定 7．若 的一个解为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 8．关于方程 的描述，下列说法错误的是（ ） A．它是一元二次方程 B．解方程时，方程两边先同时除以 C．它有两个不相等的实数根 D．用因式分解法解此方程最适宜9．将方程 化为 后， 的值是（ ） A． ，1， B． ，1， C． ， ， D． ，1， 10．电影《飞驰人生2》讲述了传奇车手张驰重回巴音布鲁克赛场为自己证明的故事，一上映就获得全国 人民的追捧，影片第一天票房约4亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达7亿 元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．一元二次方程 的根是 ． 12．用公式法解方程 ，计算 ． 13．若关于 的一元二次方程 没有实数根，则 的取值范围为 ． 14．某一元二次方程的两个实数根为 ，则该一元二次方程可以是 ． 15．点 ， 两点间的距离等于4，则 16．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为 ，如 果飞机起 飞前滑行距离 ，其中 ，则飞机起飞的时间 ． 17．如图，在一块矩形的荒地上修建两条互相垂直且宽度相同的小路，使剩余面积是原矩形面积的一半， 具体尺寸如图所示 求小路的宽是多少？设小路的宽是 ，根据题意可列方程为 ． 18．点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是 ，点B对应的数是 ， ，且 ， 是方程 的两根，则k的值为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）用适当的方法解下列方程： (1) ； (2) ． 20.（8分）关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，求此方程的解． 21．（10分）阅读下面的例题，回答问题： 例：解方程： 令 ，原方程化成 解得 （不合题意，舍去） 原方程的解是 ． 请模仿上面的方法解方程： 22．（10分）已知关于x的一元二次方程 ． （1）求证：方程一定有两个实数根； （2）如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值．23．（10分）某商店以 元 千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量 千克 与销售 单价 元 千克 之间的函数关系如图中线段 所示． （1）求 与 的函数表达式； （2）要使每天的销售利润达到 元，销售单价应定为每千克多少元？ 24．（12分）（1）如下表，方程1，方程2，方程3，…，是按照一定规律排列的一列方程，将方程1， 2，3的解填在表格中的空格处． 序号 方程 方程的解 1 __________ __________ 2 __________ __________ 3 __________ __________ … … … … （2）若方程 的解是 ，则 _____； _____． （3）利用上面的规律，直接写出方程 的解：_______．参考答案： 1．D 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，且含未知数的项的最高次数为2的整式方程， 是一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意； B、当 时， 不是一元二次方程，不符合题意； C、是分式方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式是解题的关键．根的判别式 ， 根据 的值可以判断方程的根的情况：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相 等的实数根；当 时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式来判断即可． 【详解】解：∵ 为关于x的一元二次方程， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选A． 3．C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤变形 即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选C．4．A 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求出一元二次方程的解，再根据 即可求解， 熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， ， ， ， 、 是原方程的两个解，且 ， ， 故选A． 5．B 【分析】本题考查分式值为零的条件，分式值为零的条件：分子为 且分母不为 时，分式值为零，据此 列方程求解即可． 【详解】解：∵分式 的值为零， ∴ ，解得 ， 故选B． 6．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：根据 代入数值化简，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则方程 的两根的符号是一正一负， 故选：C 7．A 【分析】把 代入 ，得 ，对 进行化简，即可． 【详解】∵ 是 的一个解， ∴ ，∵ ， ∴ ， 故选：A． 【点拨】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解． 8．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、解法及根的判别式，根据一元二次方程的定义、解法及根的判 别式逐一判断即可求解，掌握一元二次方程的定义、解法及根的判别式是解题的关键． 【详解】解： 、方程 整理得为 ， 故方程是一元二次方程，该说法正确，不合题意； 、解方程时，方程两边先同时除以 ，会漏解， 故该说法错误，符合题意； 、由 得： ， 故方程有两个不相等的实数根，该说法正确，不合题意； 、用因式分解法解此方程最适宜，该说法正确，不合题意； 故选： ． 9．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，先去括号，然后移项合并同类项把原方程化为 的形式即可得到答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故选；C． 10．D【分析】本题考查了一元二次方程的应用中平均增长率问题，根据题意，把增长率记作x，则第二天票房 约为 亿元，第三天票房约为 亿元，列出方程即可． 【详解】解：若把增长率记作x，则第二天票房约为 亿元，第三天票房约为 亿元， 依题意得： ． 故选：D． 11． ， 【分析】先移项，再提公因式，使每一个因式为0，从而得出答案．本题考查了一元二次方程的解法：解 一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合 适的方法． 【详解】解：移项，得 ， 提公因式得， ， 或 ， ， ． 故答案为： ， ． 12．13 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据一般式 ，直接把数值代入 ， 进行计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 故答案为：13 13． 【分析】本题考查了一元二次方程 根的判别式 与根的关系，熟练掌握根的 判别式与根的关系式解为本题的关䋖． 当 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．根据 求解即可． 【详解】解：∵ 没有实数根， ， ， 故为案为： ． 14． （答案不唯一） 【分析】先计算出 ， ，然后利用根与系数的关系写出二次项系数为 的一元二次方程即 可． 【详解】解： ， ， ， 以 、 为根的一元二次方程可以为 ． 故答案为： （答案不唯一）． 【点拨】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时， ， ． 15． 或 【分析】直接利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵点 ， 两点间的距离等于4， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ， 故答案为： 或 ． 【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用勾股定理建立方程求解是解本 题的关键． 16．【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入 进行求解即可． 【详解】解：将 ， 代入 得： ， 解得： ， （舍去）， 故答案为： ． 17． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设道路的宽应为 米，由题意有 ，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关 键． 【详解】解：设道路的宽应为 米，由题意有 ． 故答案为： ． 18． / /3.75 【分析】根据 可知 ，根据一元二次方程跟与系数的关系，可得到 的值，联立两式， 求出两根之积即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， 是方程 的两根， ∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点拨】本题主要考查了一元二次方程跟与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根之和为 ，两根之积为 ． 19．(1) ， ； (2) ， ； 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程： （1）移项，二次项系数化为1，配方，直接开平方求解即可得到答案； （2）移项，因式分解求解即可得到答案； 【详解】（1）解：移项得， ， 系数化为1得， ， 配方得， ，即 ， 两边开平方得， ∴ ， ∴ ， ； （2）解：移项得， ，因式分解得， ， ∴ 或 ， ∴ ， ． 20．(1) 且 (2) 或 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与系数的关系，解一元二次方程， （1）一元二次方程有两个实数根，则二次项系数不为 ，且 ； （2）由（1）可得 的取值，解方程即可． 【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ， 解得： 且 ． （2）解： 为正整数， 且 ， ． 原方程 为 ， 解得 ， ． 当 为正整数时，该方程的根为 或 ． 21． 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令 ，则原方程化为 ，解方程得到 ，则 ，据此求解即可．【详解】解：令 ，则原方程化为 ， ∴ ， 解得 或 （不合题意，舍去）， ∴ ， ∴ ， 解得 ． 22．(1)见解析 (2) 或0 【分析】本题主要考查根的判别式，公式法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别 式的关系是解题的关键． （1）计算方程根的判别式，判断其符号即可； （2）求方程两根，结合条件则可求得a的值． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程 ． ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解： ， ， 解得： 或 ， 方程的两个根均为整数， 为整数， ，即 ， a为整数， ，或0． 23．(1) (2) 元或 元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． 观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出 与 的函数表达式； 根据总利润 每千克利润 销售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 【详解】（1）解：设 与 的函数表达式为 ， 将 代入 ， 得： ， 解得： 与 的函数表达式为 （2）根据题意得： ， 整理得： ， 解得： 答：销售单价应定为每千克 元或 元． 24．（1）填表见解析；（2）10，110；（3） 【分析】（1）利用因式分解法解这三个一元二次方程； （2）观察表格中的三个方程和它们的解，找到m，n与解之间的关系； （3）设 ，则原方程可化为 ，根据上面的规律求出y的值，再转换成x 的值． 【详解】（1）解： ，， ， 解得： ， ， 解： ， ， 解得 ， 解： ， ， ， 解得： ， 填表如下： 序号 方程 方程的解 1 1 2 2 2 3 3 3 4 … … … … （2）通过观察表格中的方程中的各项系数与方程的解之间的关系，得到 ， 方程 的解是 ， ； 故答案为： ．（3） 设 ，则原方程可化为 ， 根据规律可知 ， ∴ 【点拨】本题考查解一元二次方程，解题的关键是掌握十字相乘法解一元二次方程和换元法解一元二次方 程．