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第21 章 一元二次方程（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【知识点1】一元二次方程的一般形式：
【知识点2】一元二次方程的解法
1．基本思想
降次
一元二次方程 一元一次方程
2．基本解法
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
【知识点3】一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的根与系数的关系
b c
x x x x
如果一元二次方程 ax2 bxc 0(a 0) 的两个实数根是 x 1 ，x 2，那么 1 2 a ， 1 2 a .
注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.
【知识点3】列一元二次方程解应用题
1.列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.
一、单选题
1．在一元二次方程 中，常数项为（ ）
A．2 B． C．5 D．-5
2．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．2 D．4
3．用配方法解方程 ，配方后的方程是（ ）A． B． C． D．
4．方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定是否有实数根
5．已知关于x的方程 有两个实数解，求k的取值范围（ ）
A． B． 且 C． D． 且
6．对于多项式 ，由于 ，所以 有最小值3．已知关于x
的多项式 的最大值为10，则m的值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．将一个关于x的一元二次方程配方为 ，若 是该方程的两个根，则p的值是
（ ）
A．2 B．4 C． D．3
8．如图是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误
的步骤是（ ）
A．② B．③ C．④ D．⑤
9．某超市一月份的营业额200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为
x，由题意列方程应为( )A． B．
C． D．
10．伊斯兰数学家塔比·伊本·库拉（Thabit ibn Qurra，830-890）在其著作《以几何方法证明代数问
题》中讨论了二次方程的几何解法．例如：可以用如图来解关于 的方程 ，其中 为
长方形， 为正方形，且 ， ，则方程 的其中一个正根为（ ）
A． 的长 B． 的长 C． 的长 D． 的长
二、填空题
11．方程 的解是 ．
12．若a是方程 的解，则式子 的值为 ．
13．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的最大整数值为 ．
14．已知 、 是方程 的两根，则代数式 的值为 ．
15．已知点P在线段 上，且 ．若 ，则 cm．（保留根号）
16．点 ， 两点间的距离等于4，则
17．三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，其中一
种方法通过构造图形解一元二次方程，这体现的数学思想是 ．
18．点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是 ，点B对应的数是 ， ，且 ，
是方程 的两根，则k的值为 ．
三、解答题19．解方程：
(1) ； (2)
20．已知方程 是关于x的一元二次方程．
(1) 当 时，求该一元二次方程的根；
(2) 若该一元二次方程无实数根，请计算后写出一个满足条件的k值．
21．如图，老李想用长为 的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 ，
并在边 上留一个 宽的门（建在 处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到 吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．22．（1）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点C在x轴的正半轴上．若点A的坐标是
，求点B的坐标．
（2）关于x的方程 有实数根，求实数a满足的条件．
23．根据你的观察，探究下面的问题：
(1) 已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；
(2) 已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边
c的值；
(3) 已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．
24．瑞安市文化创意实践学校是一所负责全市中小学生素质教育综合实践活动的公益类事业单位，学校目前可开出：创意手工创意表演、科技制作（创客）、文化传承、户外拓展等5个类别20多个项目
课程．
（1）学校3月份接待学生1000人，5月份增长到2560人，求该学校接待学生人数的平均月增长率是
多少？
（2）在参加“创意手工”体验课程后，小明发动本校同学将制作的作品义卖募捐．当作品卖出的单
价是2元时，每天义卖的数量是150件；当作品的单价每涨高1元时，每天义卖的数量将减少10件．
问：在作品单价尽可能便宜的前提下，当单价定为多少元时，义卖所得的金额为600元？
参考答案
1．B
【分析】直接根据一元二次方程 （ ， ， 是常数且a≠0）的 、 、 分别是二次项
系数、一次项系数、常数项进行求解．
解：一元二次方程 的常数项为： ．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的基本定义，掌握常数项的定义是解题的关键．
2．B
【分析】把 当作一个整体，利用平方差公式即可求解
解： ，
，
，
故答案选：B．
【点拨】本题考查的是解一元二次方程-直接开平方法，掌握平方差公式及把 看成一个整体是解题关键．
3．A
【分析】先把1移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的
形式．
解：
故选：A．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；
②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．A
【分析】根据根的判别式进行判断即可．
解：∵方程 中 ， ， ，
∴ ，
∴方程 有两个不相等的实数根，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题考查了根的判别式，一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．
5．D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式 以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元
一次不等式组，然后求解即可解答．
解：∵关于x的方程 有两个实数解，
∴ 且 ，解得： 且 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据
二次项系数非零及根的判别式 ，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
6．B
【分析】原式配方后，利用非负数的性质确定出m的值即可．
解：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最大值为 ，
∴ ，
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，正确将原式配方是解题的关键．
7．D
【分析】继续解一元二次方程即可求解．
解：将一个关于x的一元二次方程配方为 ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．【点拨】本题考查了解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
8．A
【分析】根据配方法的步骤，逐步进行判断即可．
解： ①
②
∴嘉淇在第②步的时候，开始出现错误；
故选A．
【点拨】本题考查配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的解题步骤是解题的关键．
9．C
【分析】先得到二月份的营业额，三月份的营业额，利用等量关系：一月份的营业额+二月份的营业
额+三月份的营业额=1000万元，把相关数值代入即可．
解：∵该超市一月份的营业额为200万元，且平均每月增长率为x，
∴该超市二月份的营业额为 万元，三月份的营业额为 万元，
又∵第一季度的总营业额共1000万元，
∴ ，
即 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，
变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 ．得到第一季度的营业额
的等量关系是解决本题的关键．
10．B
【分析】设正方形 的边长为 ，则 ，根据 ，可得
，所以 ，进而可得 是方程 的其中一个正根．
解：设正方形 的边长为 ，
则 ，
，
，
，则方程 的其中一个正根为 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程，数学常识，正方形的性质，解决本题的关键是理解一元二次方程
定义．
11． ，
【分析】先移项得到 ，再利用因式分解法把方程转化为 或 ，然后解一次方程
即可．
解： ，
，
，
或 ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程—因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方
法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
12．2023
【分析】把 代入已知方程，求得 的值，然后将其代入所求的代数式求值即可．
解：把 代入方程 ，
得 ，即 ，
则 ．
故答案是：2023．
【点拨】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，方程的根即方程的解，就是能使方程左
右两边相等的未知数的值．
13．0
【分析】根据方程 有两个不相等的实数根得到 且 ，即且 ，求出 的取值范围即可求出 的最大整数值．
解： 关于 的方程 有两个不相等的实数根，
且 ，即 且 ，
且 ，
的最大整数值为0．
故答案为：0．
【点拨】本题主要考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟记一元二次方程有两个不相等的实数
根， 是解决问题的关键．
14．
【分析】根据 、 是一元二次方程 的两个根，则有 ，求解即可．
解：由题意得
，
原式 ．
故答案： ．
【点拨】本题考查了韦达定理，掌握定理是解题的关键．
15．
【分析】根据题意画出图形，设 ，则 ，根据列方程求解 然后列方程求
解即可．
解：如图所示，设 ，则
∵点P在线段 上，且 ，
∴ ，即
解得 或 （舍去）
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及解一元二次方程，熟记解一元二次方程的方法是解题的
关键．
16． 或
【分析】直接利用勾股定理建立方程求解即可．
解：∵点 ， 两点间的距离等于4，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查的是勾股定理的应用，一元二次方程的解法，熟练的利用勾股定理建立方程求解是
解本题的关键．
17．数形结合思想
【分析】根据将代数问题转化为几何图形问题的解法即可得出结论．
解：体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为：数形结合思想．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用、数学常识以及数形结合思想，掌握数形结合思想是解题的
关键．
18． / /3.75
【分析】根据 可知 ，根据一元二次方程跟与系数的关系，可得到 的值，联立两式，求出两根之积即可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∵ ， 是方程 的两根，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程跟与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根之
和为 ，两根之积为 ．
19．(1) ；(2) ，
【分析】（1）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可
得．
解：（1）∵ ，
∴ ，
则 ，
∴ 或 ，
解得 ；
（2）∵ ，∴ ，
则 ，即 ，
∴ ，
∴ ， ．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式
分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
20．(1) ；(2)5（答案不唯一）
【分析】（1）把 代入原方程，利用因式分解法解方程即可；
（2）根据方程没有实数根，列出不等式，根据不等式的解集写出k值即可．
解：把 代入原方程得，
，
，
，
．
（2）解：∵该一元二次方程无实数根，
∴ ，
解得 ，
满足条件的k值为5（答案不唯一）．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题关键是熟练运用因式分解法解方程，熟
记根的判别式．
21．(1)当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈；
(2)不能，理由见分析．
【分析】（1）设矩形 的边 ，则边 ，根据题意列出一元二
次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
解：设矩形 的边 ，则边 ．根据题意，得 ．
化简，得 ．
解得 ， ．
当 时， ；
当 时， ．
答：当羊圈的长为 ，宽为 或长为 ，宽为 时，能围成一个面积为 的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得 ．
化简，得 ．
∵ ，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关
键．
22．（1） ；（2）
【分析】（1）过点A作 轴于点E，然后可得 ，进而问题可求解；
（2）由题意可分当 时和当 时进行分类求解即可．
解：（1）过点A作 轴于点E，如图所示：
∵点A的坐标是 ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形OABC为菱形，∴ ，
∴点B的坐标为 ．
（2）由题意可分：①当 ，即 时，
关于x的方程 有实数根，
∴ ，
解得： ，
②当 时，即 ，即方程为 ，有解；
综上所述：a的取值范围为 ．
【点拨】本题主要考查菱形的性质、图形与坐标及一元二次根的判别式，熟练掌握菱形的性质、图形
与坐标及一元二次根的判别式是解题的关键．
23．(1)9；(2)6、7、8、9、10；(3)8
【分析】（1）将已知的等式化为 ，再根据平方式的非负性即可求解；
（2）将已知的等式化为 ，再根据平方式的非负性即可求出a、b，再根据三角形三边
的关系即可就出c的取值范围，即可求解；
（3）将已知的等式化为 ，再根据平方式的非负性即可求解；
解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
即xy的值是9；
（2）∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴a=5，b=6，
∵ ， ，
∴ ，
∴△ABC的最大边c的值可能是6、7、8、9、10；
（3）∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴a=4，c=8，
即 ，
∴ ，
即 的值是8．
【点拨】本题主要考查了完全平方公式的应用以及平方数的非负性等知识，灵活运用完全平方公式是
解答本题的关键．
24．（1）该学校接待学生人数的增长率为60%；（2）单价定为5元．
【分析】（1）设平均月增长率为 ，根据题意得到一元二次方程即可求解；
（2）设定价为 元，求出可卖出的件数，根据义卖所得的金额为600元得到一元二次方程即可求解．
解：（1）设平均月增长率为 ，则根据题意得 ，
解得 ， （舍），
∴该学校接待学生人数的增长率为60%．
（2）设定价为 元，此时可卖出 件，
∴可列方程 ，解得 ， ．∵作品单价要尽可能便宜，
∴单价定为5元．
答：当单价定为5元时，义卖所得的金额为600元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，关键在于明确数量与每件利润的表示方法．
