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第21 章 一元二次方程（单元测试·综合卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022秋·全国·九年级专题练习）若方程 是一元二次方程，则m的值为
（ ）
A．0 B． C． D．
2．（2022秋·全国·九年级专题练习）用配方法解方程 ，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）已知方程 的两根是 ，
则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．2.5
4．（2023春·八年级课时练习）用换元法解分式方程 时，如果设 ，则原方
程可化为关于 的整式方程是（ ）．
A． B．
C． D．
5．（2023春·山东泰安·八年级校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程 有两个
不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． 且 B． C． 且 D． 且
6．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三
月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为 ，则由题意得方程为（ ）
A． B．
C． D．7．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数 满足 ，设 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，四边形 是边长为5的菱形，对角线 的长度
分别是一元二次方程 的两实数根， 是 边上的高，则 值为（ ）
A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8
9．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥
少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限
与有限的转化的思想，比如将 化成分数，设 ，则有 ， ，解得 ，类比上
述方法及思想则 （ ）
A．3 B． C． D．
10．（2021·河南·统考中考真题）如图1，矩形 中，点 为 的中点，点 沿 从点 运动
到点 ，设 ， 两点间的距离为 ， ，图2是点 运动时 随 变化的关系图象，则
的长为（ ）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2023春·上海宝山·八年级校考期中）方程 的根是 ．
12．（2023秋·九年级课时练习）若n是方程 的一个根，则 的值为
．
13．（2023秋·湖北武汉·九年级校考开学考试）一元二次方程 的根的判别式的值为
．
14．（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）已知m，n是方程 的两个实数根，则
的值为 ．
15．（2023·山东潍坊·统考中考真题）用与教材中相同型号的计算器，依次按键
，显示结果为 ．借助显示结果，可以将一元二次方程
的正数解近似表示为 ．（精确到 ）
16．（2023秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，在宽为 ，长为 的矩形地面上修筑同样
宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 ，则道路的宽为
m ．
17．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求
值问题：
已知实数 同时满足 ，求代数式 的值．结合他们的对话，请解答下列问题：
（1）当 时，a的值是 ．
（2）当 时，代数式 的值是 ．
18．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，将长宽比为 的矩形 沿着 折叠，使点C落到
宽 上点 处，点B落到点 处，且满足 ，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·广东深圳·九年级校联考开学考试）解方程：
（1） （2）
20．（8分）（2022秋·八年级单元测试）已知 ，求 的值．21．（10分）（2023秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）关于 的一元二次方程
有两个不相等的实数根 ， ．
（1）求实数 的取值范围；
（2）若方程的两实数根 ， 满足 ，求 的值．
22．（10分）（2023·江西上饶·统考一模）小刚按照某种规律写出4个方程：
第1个方程： ．
第2个方程： ．
第3个方程： ．
第4个方程： ．
（1）按照此规律，请你写出第99个方程：_________．
（2）按此规律写出第n个方程：_________．这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解；若没有，
请说明理由．23．（10分）（2023·广西南宁·校考二模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销
手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与
销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x
20 25 30
（元）
销售量y（件） 200 150 100
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
24．（12分）（2023春·四川达州·七年级校联考期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式
变形为 的形式，然后由 就可求出多项式 的最小值．
例题：求多项式 的最小值．
解： ．因为 所以
当 时， 因此 有最小值，最小值为1，即 的最小值为1．
通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题：（1）【理解探究】
已知代数式 ，则A的最小值为__________；
（2）【类比应用】
张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是 米、 米，乙菜地的两
边长分别是 米、 米，试比较这两块菜地的面积 和 的大小，并说明理由；
（3）【拓展升华】
如图， 中， ， ， ，点 、 分别是线段 和 上的动点，
点 从A点出发以 的速度向 点运动；同时点 从 点出发以 的速度向 点运动，当其中
一点到达终点时，两点同时停止运动．设运动的时间为 ，则当 的值为多少时， 的面积最大，值
为多少？
参考答案
1．B
【分析】通过化简后，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，
叫做一元二次方程．解：根据题意，得 且 ，
解得 ．
故选：B
【点拨】本题考查一元二次方程的定义．掌握相关定义即可．
2．A
【分析】把常数项 移项后，在方程左右两边同时加上一次项系数 的一半的平方，然后配方即可．
解： ，
移项得： ，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到 ，
配方得 ，
故选：A ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程----配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解．
解：由题意， ，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系；掌握根与系数关系定理是解题的关键．
4．C
【分析】根据换元法，可得答案．
解：设x2﹣x＝y，原方程等价于y﹣1＋ ＝0，
两边都乘以y，得
y2﹣y＋2＝0，
故选：C．
【点拨】本题考查了解分式方程，解题的关键是利用换元法．
5．C【分析】根据一元二次方程的根的判别式解答即可，注意二次项系数不为0．
解：根据题意可得： ，且 ，
解得： 且 ；
故选：C．
【点拨】本题考查了根的判别式：一元二次方程 的根与 有如下关系：
当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程无实数
根．
6．B
【分析】根据平均每月增长率为 ，可求二月、三月的营业额，利用一月、二月、三月的营业额共
1000万元，可建立方程．
解：由题意知，二月的营业额为 ，三月的营业额为 ，
一月、二月、三月的营业额共1000万元，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，考查了学生分析问题，解决问题的能力，属于
基础题．
7．C
【分析】由原式得， ．将 看成关于 的一元二次方程，根据方程有实数解，
所以 ，可得 ，进而得出结论．
解：将两个等式相加得： ，则 ．
要求 的最大值，只需求出 的最大值．
将 看成关于 的一元二次方程，整理得： ．
根据方程有实数解，所以 ．
可得 ，即 的最大值为4．
所以当 时， 的最大值为5．故选：C
【点拨】本题考查等式性质，一元二次方程根的判别式，将含有多个参数的等式理解为含参数的一元
二次方程，从而运用方程的知识解决问题是解题的关键．
8．B
【分析】根据对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，得到 ，
根据菱形的面积公式得到 ，再根据 得到 ．
解：∵对角线 的长度分别是一二次方程 的两实数根，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，掌握菱形面积的计算方法是
解题的关键．
9．A
【分析】设 ，等式两边平方得 ，然后解一元二次方程即可．
解：设 ，
两边平方得 ，
整理得 ，
解得 ， （舍去），
即则 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了二次根式的化简求值：方程的思想的运用是解决问题的关键．也考查了规律性问
题的解决方法．10．C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以
及 ，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
解：由图2可知，当P点位于B点时， ，即 ，
当P点位于E点时， ，即 ，则 ，
∵ ,
∴ ,
即 ,
∵
∴ ,
∵点 为 的中点，
∴ ,
故选：C．
【点拨】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定
义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，
本题蕴含了数形结合的思想方法．
11． ， ，
【分析】利用因式分解法求方程的解即可．
解：
因式分解得： ，
∴ ， ， ，
∴原方程的解为 ， ， ．
【点拨】本题主要考查因式分解的解高次方程，进行因式分解是解方程的关键．
12．
【分析】根据一元二次方程根的定义得到 ，则 ，整体代入 即
可得到答案．
解：∵n是方程 的一个根，∴ ，
∴ ，
则 ，
故答案为：
【点拨】此题考查了一元二次方程根的定义、代数式的值，根据一元二次方程根的定义得到
是解题的关键．
13．
【分析】直接计算 的值即可．
解：
∵ ， ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式，正确计算．
14．
【分析】由方程的解以及根与系数的关系可得 ， ，再整体代入计算即可．
解：∵m，n是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，熟记根与系数的关
系是解本题的关键．
15．
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根据精确度的概念即可得．
解：一元二次方程 中的 ，
则 ，
所以这个方程的正数解近似表示为 ，
故答案为： ．【点拨】本题考查了近似数、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题关键．
16．1
【分析】设道路的宽度为 ，根据草坪的面积为 ，列出方程，解方程即可．
解：设道路的宽度为 ，根据题意得：
，
解得： ， （舍去），
∴道路的宽为 ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据图形中草地面积，列出方程．
17． 或1 7
【分析】（1）将 代入 解方程求出 ， 的值，再代入 进行验证即可；
（2）当 时，求出 ，再把 通分变形，最后进行整体代入求值即可．
解：已知 ，实数 ， 同时满足①，②，
①-②得，
∴
∴ 或
①+②得，
（1）当 时，将 代入 得，
解得， ，
∴ ，
把 代入 得，3=3，成立；
把 代入 得，0=0，成立；∴当 时，a的值是1或-2
故答案为：1或-2；
（2）当 时，则 ，即
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：7．
【点拨】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运
算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．
18．
【分析】设矩形 的长为 ，宽为 ，则 ，设 ，由题意可知，
，根据勾股定理得到 ，则 ，解得 ，即可得
到 ．
解：设矩形 的长为 ，宽为 ，则 ，设 ，
由题意可知，点C落到宽 上点 处，
∴ ，
由折叠可知， ，
则 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得到 ，
即 ，
则 ，解得 （不合题意，舍去）， ，
即 ，
∴ ．
故答案为：
【点拨】此题考查了矩形性质、勾股定理、解一元二次方程、折叠的性质等知识，熟练掌握矩形性质
和折叠的性质是解题的关键．
19．（1） ， ；（2）
【分析】（1）用因式分解的方法作答即可；
（2）先确定最简公分母，再去分母，然后求解即可．
（1）解：因为 ，
所以 ，
即 或 ，
所以 ， ；
（2）解：因为 ，
所以 ，
则 ，
那么 ，
经检验： 是原分式方程的解，
所以原分式方程的解是 ．
【点拨】本题考查了解一元二次方程和解分式方程，注意解分式方程要验根．
20．3
【分析】先用换元法令 ，再解关于 的一元二次方程即可．解：令 ，则原等式可化为：
，
解得： ，
，
，即 ．
的值为3．
【点拨】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意 为非负数是本题的关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）利用判别式的意义得到 ，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得到 ， ，根据 ，所以
，然后解关于 的方程即可得到满足条件的 的值．
（1）解：根据题意得 ，
解得 ；
（2） ， ，
，
，
而 ，
， ，
，即 ，
解得 ， ，而 ，
．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．也考查了判别式的值．
22．（1） ；（2） ，有实数解， 或
【分析】（1）根据小刚写出的4个方程，易发现其规律是：第n个方程是 ，所以第
99方程是 .
（2）由（1）可知第n个方程是 ，利用因式分解法可得： 进而
即可解答．
（1）解：第1个方程： ．
第2个方程： ．
第3个方程： ．
第4个方程： ．
……
第n个方程： ．
∴当 时， ，
故答案为 ．
（2）解：第n个方程为 ，且这个方程有实数解，理由如下：
∵ ，
∴ ，∴ 或 ．
【点拨】本题主要考查因式分解法解一元二次方程、数字规律等知识点，将方程右边化为0，左边化
为积的形式，由利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程
的解即可得到原方程的解．
23．（1）y与x之间的函数关系式为： ；（2）应将销售单价定为22元
【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，将 值代入函数
关系式，即可求出答案．
（2）由题意将利润用含 的式子表示出来，求出 的值，再从中选取最小值即可．
（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系 ，
根据题意可得： ，
解得： ，
故y与x之间的函数关系式为： ；
（2）解：根据题意可得： ，
整理得： ，
，
解得： （不合题意，舍去）， ，
答：应将销售单价定为22元．
【点拨】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确列出等量关系是解题的关键．
24．（1） ；（2） ，见分析；（3）当 时， 的面积最大，且最大面积为
【分析】（1）根据阅读材料提供的方法解答即可；
（2）先列出甲乙两块菜地的面积的代数式，然后作差比较即可；
（3）先用t表示出 ，然后表示出 的面积，然后用配方法求得面积的最大值即可．
（1）解：∵
∴
当 时， ，因此 有最小值，最小值为 ，
∴ A的最小值为 ．
（2）解： ，理由如下：
∵ ， ，
．
（3）解：由题意得： ，
当 时， 的面积最大，且最大面积为 ．
【点拨】本题主要考查了配方法求最值、非负数的性质等知识点，根据阅读材料、理解配方法是解答
本题的关键．
