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专题21.6 配方法（直通中考）
【要点回顾】
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）化：方程两边同时除以二次项的系数，把二次项系数化为1；
（2）移：把一元二次方程常数项移到方程的另一边；
（3）配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程化为
（4）解：开方，解得：
一、单选题
1．（2021·海南·统考中考真题）用配方法解方程 ，配方后所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东德州·统考中考真题）已知 ， 为任意实数，则 的值( )
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．无法确定
3．（2019·山西·统考中考真题）用配方法解一元二次方程 时，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山东聊城·统考中考真题）用配方法解一元二次方程 时，将它化为 的形
式，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．（2012·江苏南通·中考真题）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于（ ）
A．64 B．48 C．32 D．16
6．（2020·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．C． D．
7．（2023·江苏扬州·统考一模）已知 ，则 的最小值是（ ）
A．8 B． C． D．9
8．（2010·江苏泰州·中考真题）已知 （m为任意实数），则P、Q的大小关
系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．（2021·江苏无锡·统考中考真题）在 中， ， ， ，点P是 所在平
面内一点，则 取得最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．点P是 三边垂直平分线的交点 B．点P是 三条内角平分线的交点
C．点P是 三条高的交点 D．点P是 三条中线的交点
10．（2020·浙江杭州·模拟预测）对代数式 ，老师要求任意取一个x的值后求出代数式的值．圆圆
发现，大家所求得的代数式的值都大于等于0，即x＝－3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试
着写出另外一些结论：①在x＝－3时，代数式(x＋3)2＋2的最小值为2；②在a＝－b时，代数式(a＋b)2＋
m的最小值为m；③在c＝－d时，代数式－(c＋d)2＋n的最大值为n；④在 时，代数式
的最大值为29．其中正确的为（ ）
A．①②③ B．①③ C．①④ D．①②③④
二、填空题
11．（2013·广东佛山·中考真题）方程 的解是_______．
12．（2022·湖北荆州·统考中考真题）一元二次方程 配方为 ，则k的值是______．
13．（2022·四川凉山·统考中考真题）已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是
________．
14．（2010·河北·中考真题）已知实数 的最大值为______.15．（2018·江苏泰州·统考中考真题）已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为
_____．
16．（2016·湖北荆州·中考真题）将二次三项式x2＋4x＋5化成(x＋p)2＋q的形式应为____.
17．（2013·吉林·中考真题）若将方程x2+6x=7化为(x+m)2=16，则m=______．
18．（2011·广西崇左·中考真题）若 为正实数，且 ，则 =_______．
三、解答题
19．（2019·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）用配方法求一元二次方程 的实数根．
20．（2021·湖北荆州·统考中考真题）已知： 是不等式 的最小整数解，请用配方
法解关于 的方程 ．
21．（2013·四川自贡·中考真题） 用配方法解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．
22．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程叫配
方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
②选取二次项和常数项配方： ，或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出 的两种不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值．
23．（2017·山东滨州·中考真题）根据要求，解答下列问题．
（1）根据要求，解答下列问题．
①方程x2－2x＋1＝0的解为________________________；
②方程x2－3x＋2＝0的解为________________________；
③方程x2－4x＋3＝0的解为________________________；
…… ……
（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为________________________；
②关于x的方程________________________的解为x＝1，x＝n．
1 2
（3）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
24．（2015·湖南湘潭·统考中考真题）阅读材料：用配方法求最值．
已知 ， 为非负实数， ， ，当且仅
当“ ”时，等号成立．示例：当 时，求 的最小值．
解： ，当 ，即 时， 的最小值为6．
（1）尝试：当 时，求 的最小值．
（2）问题解决：随着人们生活水平的快速提高，小轿车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种小轿
车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元， 年的保养、维护费用总和为
万元．问这种小轿车使用多少年报废最合算（即：使用多少年的年平均费用最少，年平均费用=
）？最少年平均费用为多少万元？
参考答案
1．D
【分析】直接利用配方法进行配方即可．
【详解】解：
故选：D．
【点拨】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识
的掌握与基本功等．
2．A
【分析】根据整式的加减化简，然后根据配方法得出 ，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ 的值大于0，故选：A．
【点拨】本题考查了整式的加减，配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法是解题的关键．
3．D
【分析】先移项，再在等式两边加上4，即可得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法的步骤是关．
4．B
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
则 ，即 ，
∴ ， ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5．A
【详解】解：∵x2＋16x＋k是完全平方式，
∴对应的一元二次方程x2＋16x＋k=0根的判别式△=0．
∴△=162－4×1×k=0，解得k=64．
故选A．
也可配方求解：x2＋16x＋k=（x2＋16x＋64）－64＋k= （x＋8）2－64＋k，
要使x2＋16x＋k为完全平方式，即要－64＋k=0，即k=64．
故选A．
6．A【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．
【详解】解： ，
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得 ，
即 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）
把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
7．A
【分析】由已知得 ，注意x的取值范围，代入 再配方，利用非负数的性质即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，且 即 ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 的最小值是 ，
故选：A．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，代数式求值，掌握完全平方公式及确定x的取值范
围是解决问题的关键．
8．C【详解】Q-P= ＞0，即 ，故选C.
9．D
【分析】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则 =
，可得P(2， )时， 最小，进而即可得到答案．
【详解】以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图，
则A(0，0)，B(6，0)，C(0，8)，
设P(x，y)，则 =
= = ，
∴当x=2，y= 时，即：P(2， )时， 最小，
∵由待定系数法可知：AB边上中线所在直线表达式为： ，
AC边上中线所在直线表达式为： ，
又∵P(2， )满足AB边上中线所在直线表达式和AC边上中线所在直线表达式，
∴点P是 三条中线的交点，
故选D．【点拨】本题主要考查三角形中线的交点，两点间的距离公式，建立合适的坐标系，把几何问题化为代数
问题，是解题的关键．
10．D
【分析】根据一个数的平方大于或等于0，依此对各项逐一分析即可得出答案.
【详解】①∵ (x＋3)2＋2，
∴ 当x=-3时，代数式(x＋3)2＋2最小值是为2，
故①正确；
②∵ (a＋b)2＋m，
当a=-b时，代数式(a＋b)2＋m最小值是为m，
故②正确；
③∵ -(c＋d)2＋n，
当c=-d时，代数式-(c＋d)2＋n最大值是为n，
故③正确；
④∵ -x2-6x+20=-(x＋3)2＋29，
当x=-3时，代数式-x2-6x+20最大值是为29，
故④正确；
综上所述：正确的有 ①②③④ .
故答案为D.
【点拨】本题考查的是配方法及根据平方的非负性求代数式的最大值或最小值，掌握配方的方法和步骤是
关键.|
11．【分析】用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项
的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方：
【详解】由 ，移项得： ，配方得： ，
两边直接开平方得： ，则 ．
故填：
12．１
【分析】将原方程 变形成与 相同的形式，即可求解．
【详解】解：
∴
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键．
13．6
【分析】根据a－b2＝4得出 ，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案．
【详解】∵a－b2＝4
∴
将 代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵
∴
当a=4时， 取得最小值为6∴ 的最小值为6
∵
∴ 的最小值6
故答案为：6．
【点拨】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解．
14．4
【详解】变形的配方试题，
+1
所以当 时 的最大值为4
15．3
【分析】根据题意列出关于x、y的方程组，然后求得x、y的值，结合已知条件x≤y来求a的取值．
【详解】解：依题意得： ，
解得
∵x≤y，
∴a2≤6a﹣9，
整理，得（a﹣3）2≤0，
故a﹣3=0，
解得a=3．
故答案是：3．
点拨：考查了配方法的应用，非负数的性质以及解二元一次方程组．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=
（a±b）2．
16．(x＋2)2＋1
【详解】原式= +4x+4+1=故答案为：
17．3
【详解】解：在方程x2+6x=7的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得
x2+6x+32=7+32，
∴（x+3）2=16
∴m=3．
故答案为：3
18．
【分析】由m- =3，得m2-3m-1=0，即(m- ，因为m为正实数，可得出m的值，代入m2- ，
解答出即可；
【详解】解：由m- =3得，
得m2-3m-1=0，即(m- ，
∴m= ，
1
因为m为正实数，∴m=
；
故答案为：3 ．
19． ．
【分析】首先把方程化为一般形式为2x2-9x-34=0，然后变形为 ，然后利用配方法解方程．
【详解】原方程化为一般形式为 ，
，，
，
，
所以 ，．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，
因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
20． ，
【分析】先解不等式，结合已知得出a的值，然后利用配方法解方程即可
【详解】解：∵ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∵ 是不等式 的最小整数解，
∴ ；
∴关于 的方程 ；
∴ ；
∴ ；
∴ ；
∴ ， ．
【点拨】本题考查了解不等式以及解一元二次方程，熟练掌握相关的运算方法是解题的关键．
21．详见解析
【分析】应用配方法解一元二次方程，要把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【详解】解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．
∴由原方程，得 ，等式的两边都加上一次项系数一半的平方 ，得 ，
即 ，
开方，得 ，即 ，
移项，得 ，
∴原方程的解为 （其中b2﹣4ac≥0）．
【点拨】配方法解一元二次方程．
22．（1）答案解析；（2）1．
【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和二次
项和常数项在一起进行配方即可．
（2）根据配方法的步骤把 变形为 ，再根据偶次幂的非负性
质得到 ，求出x，y的值，即可得出答案．
【详解】解：（1） ，
或 ．
（2）∵ ，
∴ ，即 ．∴ ，解得 ．
∴ ．
23．（1）① ；② ；③ ．（2）① ， ② ；
（3） ．
【分析】（1）观察这些方程可得，方程的共同特征为二次项系数均为1，一次性系数分别为－2、－3、－
4，常数项分别为1，2，3．解的特征：一个解为1，另一个解分别是1、2、3、4、…，由此写出答案即可；
（2）根据（1）的方法直接写出答案即可；（3）用配方法解方程即可.
【详解】（1）① ；
② ；
③ ．
（2）① ；
② ．
（3）
x2－9x＋ ＝－8＋
(x－ )2＝
∴x－ ＝± ．
∴ ．
【点拨】本题考查解一元二次方程.根据系数和解的特征找出规律是解题的关键.
24．（1）3；（2）10，2.5．【分析】（1）首先根据 ，可得 ，然后应用配方法，即可求出答案．
（2）首先根据题意，求出年平均费用，然后应用配方法，求出这种小轿车使用多少年报废最合算，以及
最少年平均费用为多少万元即可．
【详解】解：（1）∵ = ≥ =3，
∴当 ，即x=1时，y的最小值为3；
（2）年平均费用= = ≥ =2+0.5=2.5，∴当 ，即n=10时，
最少年平均费用为2.5万元．
【点拨】本题考查了配方法的应用，最值问题，是一道综合体，解答此题的关键是读懂题意，按照要求做
题．
