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专题 21.6 配方法的四种常见应用
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对配方法的四种常见应用的理解！
【类型1 利用配方法确定未知数的取值】
1．（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）对于多项式x2+2x+4，由于
，所以 有最小值3．已知关于x的多项式 的最大值为
x2+2x+4=(x+1) 2+3≥3 x2+2x+4 -x2+6x-m
10，则m的值为（ ）
A．1 B．-1 C．-10 D．-19
2．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）若关于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方
程 ，则 的值为（ ）
(x+3) 2=2c c
A．-3 B．0 C．1 D．3
3．（2023春·浙江杭州·九年级期末）若 ，则m，n的值为（ ）
-2x2+4x-7=-2(x+m) 2+n
A．m=1,n=-5 B．m=-1,n=-5 C．m=1,n=9 D．m=-1,n=-9
4．（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）已知关于x的多项式-x2+mx+4的最大值为5，则m的值可能
为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（2023春·山东青岛·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+3＝0通过配方可以化成(x+a)2
＝b(b＞0)的形式，则k的值可能是( )
9
A．0 B．2 C．3 D．
2
6．（2023春·天津和平·九年级校考期中）若方程 的左边可以写成一个完全平方式，
4x2-(m-2)x+1=0
则m的值为（ ）
A．-2 B．-2或6 C．-2或-6 D．2或-6
7．（2023春·河北保定·九年级统考期末）将一元二次方程 配方成 的形式，则
x2-8x+5=0 (x+a) 2=b a+b的值为 ．
8．（2023春·山东威海·九年级统考期中）对于二次三项式x2+6x+3，若x取值为m，则二次三项式的最
小值为n，那么m+n的值为 ．
9．（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）关于x的二次三项式x2+4x+9进行配方得
x2+4x+9=(x+m) 2+n
（1）则m= ， n= ；
（2）求x为何值时，此二次三项式的值为7 ?
10．（2023春·广西贺州·九年级统考期中）请阅读下列材料：
我们可以通过以下方法求代数式的x2+2x-3最小值．
x2+2x-3=x2+2x⋅1+12-12-3=(x+1) 2-4
∵(x+1) 2≥0
∴当x=－1时，x2+2x-3有最小值－4
请根据上述方法，解答下列问题：
(1) ，则a＝__________，b＝__________；
x2+2√3x+5=x2+2×√3x+(√3) 2+2=(x+a) 2+b
(2)若代数式x2-2kx+7的最小值为3，求k的值．
【类型2 利用配方法构造“非负数之和”解决问题】
1．（2023春·九年级课时练习）已知a，b，c满足a2+6b=7，b2-2c=-1，c2-2a=-17，则a-b+c的
值为（ ）
A．-1 B．5 C．6 D．-7
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知a－b＝2，ab＋2b－c2＋2c＝0，当b≥0，－2≤c＜1时，整数a的值
是 ．
3．（2023春·江苏·九年级期末）若a，b满足2a2+b2+2ab-4a+4=0，则a+3b的值为 ．
4．（2023春·九年级课时练习）根据你的观察，探究下面的问题：
(1)已知x2﹣2xy＋2y2＋6y＋9＝0，求xy的值；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2＋b2﹣10a﹣12b＋61＝0，求△ABC的最大边c的值；
(3)已知a﹣b＝8，ab＋c2﹣16c＋80＝0，求a＋b＋c的值．
1
5．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知a+b-2√a-1-4√b-2=3√c-3- c-5，求a+b+c的值．
26．（2023春·广东佛山·九年级校考期中）（1）若m2-2mn+2n2-8n+16=0，求m、n的值．
解：因为 ，所以
m2-2mn+2n2-8n+16=0 (m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0
由此，可求出m=______；n=______；
根据上面的观察，探究下面问题：
（2）x2+4xy+5 y2+2-2√2y=0，求2x+ y的值；
7．（2023春·全国·九年级专题练习）已知a、b是等腰△ABC的两边长，且满足a2+b2-8a-4b+20=0，求a、
b的值．
8．（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同
时为零．
例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．
②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．
解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，
∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）
∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，
∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，
∴ n=2，m=-3．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= ．b= ．
（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．
（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长．
9．（2023春·江苏·九年级专题练习）阅读与思考
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙
的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：
x2+4x-5=x2+4x+22-22-5=(x+2) 2-9=(x+2+3)(x+2-3)=(x+5)(x-1)
（1）解决问题：运用配方法将下列多项式进行因式分解
①x2+3x-4；
②x2-8x-9
（2）深入研究：说明多项式x2-6x+12的值总是一个正数?
（3）拓展运用：已知a、b、c分别是△ABC的三边，且a2-2ab+2b2-2bc+c2=0，试判断△ABC的形
状，并说明理由．10．（2023春·内蒙古赤峰·九年级统考期末）阅读材料：若x2-2xy+2y2-8 y+16=0，求x，y的值．
解：∵x2-2xy+2y2-8 y+16=0
∴
(x2-2xy+ y2)+(y2-8 y+16)=0
∴
(x- y) 2+(y-4) 2=0
∴ ，
(x- y) 2=0 (y-4) 2=0
∴y=4,x=4
根据上述材料，解答下列问题：
（1）m2-2mn+2n2-2n+1=0，求2m+n的值；
（2）a-b=6，ab+c2-4c+13=0，求a+b+c的值．
11
11．（2023春·湖南岳阳·九年级统考期末）设b为正整数，a为实数，记M=a2-4ab+5b2+2a-2b+ ，
4
在a，b变动的情况下，求M可能取得的最小整数值，并求出M取得最小整数值时a，b的值．
12．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式ax2+bx+c(a≠0)中的两项，配成完全平方式的过程叫
配方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
x2-4x+2=(x-2) 2-2
②选取二次项和常数项配方： ，
x2-4x+2=(x-√2) 2+(2√2-4)x
或
x2-4x+2=(x+√2) 2-(4+2√2)x
③选取一次项和常数项配方：
x2-4x+2=(√2x-√2) 2-x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2-8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+ y2+xy-3 y+3=0，求xy的值．
13．（2023春·广东揭阳·九年级统考期末）把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关
运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1=(a+2)(a+4)
②M=a2-2ab+2b2-2b+2，利用配方法求M的最小值，解：
a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b) 2+(b-1) 2+1
∵ ，
(a-b) 2≥0 (b-1) 2≥0
∴当a=b=1时，M有最小值1．
请根据上述材料解决下列问题：
2
(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：x2- x+______．
3
(2)用配方法因式分解：x2-4xy+3 y2．
(3)若M=x2+8x-4，求M的最小值．
(4)已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，则x+ y+z的值为______．
【类型3 利用配方法求最值】
1．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）代数式x2-4x+5的最小值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2023春·山东威海·九年级统考期中）已知A=x2+6x+n2，B=2x2+4x+n2，下列结论正确的是
（ ）
A．B-A的最大值是0 B．B-A的最小值是-1
C．当B=2A时，x为正数 D．当B=2A时，x为负数
3．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）平面直角坐标系 中，P点坐标为 ，且实数m，
xOy (m,2n2-10)
n满足2m-3n2+9=0，则点P到原点O的距离的最小值为（ ）
3 12 6 4
A． √10 B． C． √3 D． √5
5 5 5 5
4．（2023春·浙江·九年级期末）新定义，若关于x的一元二次方程： 与 ，
a (x-m) 2+n=0 a (x-m) 2+n=0
1 2
称为“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．现有关于x的一元二
2(x-3) 2+4=0 3(x-3) 2+4=0
次方程： 与 是“同族二次方程”．那么代数式 能
2(x-1) 2+1=0 (a+2)x2+(b-4)x+8=0 ax2+bx+2018
取的最小值是（ ）
A．2011 B．2013 C．2018 D．2023
5．（2023春·福建福州·九年级福建省罗源第一中学校考期中）已知实数m、n满足m-n2=8，则代数式m2-3n2+m-14的最小值是 ．
6．（2023春·广东韶关·九年级校考期末）阅读下面的解答过程：
求y2+4 y+8的最小值
解：y2+4 y+8
= y2+4 y+4+4
=(y+2) 2+4
，即 的最小值为0，
=(y+2) 2≥0 (y+2) 2
的最小值为4．
∴(y+2) 2+4
即y2+4 y+8的最小值是4．
根据上面的解答过程，回答下列问题：
(1)式子x2+2x+2有最______值（填“大”或“小”），此最值为______（填具体数值）．
1
(2)求 x2+x的最小值．
2
(3)求-x2+2x+4的最大值．
7．（2023春·四川达州·九年级统考期末）根据学过的数学知识我们知道：任何数的平方都是一个非负数，
即：对于任何数a，a2≥0都成立，据此请回答下列问题．
应用：代数式m2-1有 值(填“最大”或“最小”)这个值是 ．
探究：求代数式n2+4n+5的最小值，小明是这样做的：
n2+4n+5=n2+4n+4+1=(n+2) 2+1∴当n=-2时，代数式有最小值，最小值为1
请你按照小明的方法，求代数式4x2+12x-1的最小值，并求此时x的值，
拓展：求多项式x2-4xy+5 y2-12y+15的最小值及此时x，y的值
8．（2023春·广东惠州·九年级期末）阅读理解：求代数式x2+6x+10的最小值.
解：因为 ，
x2+6x+10=(x2+6x+9)+1=(x+3) 2+1
所以当x=-3时，代数式x2+6x+10有最小值，最小值是1.
仿照应用求值：
(1)求代数式x2+2x+10的最小值；
(2)求代数式-m2+8m+3的最大值.
9．（2023春·江苏扬州·九年级统考期末）【提出问题】某数学活动小组在学习完反比例函数后，类比学到1
的方法尝试研究函数y=x+ 时，提出了如下问题：
x
（1）初步思考：自变量x的取值范围是_______________
（2）探索发现：当x>0时，y>0；当x<0时，y<0．由此我们可猜想，该函数图像在第_________象限；
（3）深入思考：当 x>0 时， y=x+ 1 =(√x) 2+ ( 1 ) 2 = ( √x- 1 ) 2 +2≥2 ，于是，当 √x- 1 =0 时，即
x √x √x √x
x=1时，y的最小值是2．
请仿照上述过程，求当x<0时，y的最大值；
【实际应用】（4）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别为
4和9，求四边形ABCD面积的最小值．
【类型4 利用配方法比较大小】
1．（2023·全国·九年级假期作业）若代数式M=10a2+b2-7a+8,N=a2+b2+5a+1，请比较M、N的
大小．
3
2．（2023春·浙江杭州·九年级期末）已知M＝x2﹣3，N＝4（x﹣ ）．
2
（1）当x＝﹣1时，求M﹣N的值；
（2）当1＜x＜2时，试比较M，N的大小．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方
式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再
减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：
求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：
a2+6a+8=a2+6a+32-32+8=(a+3) 2-1
因为 ，所以 ，
(a+3) 2≥0 a2+6a+8≥-1因此，当a=-3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是-1．
【问题解决】
利用配方法解决下列问题：
(1)当x=___________时，代数式x2-2x-1有最小值，最小值为 ___________．
(2)当x取何值时，代数式2x2+8x+12有最小值？最小值是多少？
【拓展提高】
(3)当x，y何值时，代数式5x2-4xy+ y2+6x+25取得最小值，最小值为多少？
(4)如图所示的第一个长方形边长分别是2a+5、3a+2，面积为S ；如图所示的第二个长方形边长分别是
1
5a、a+5，面积为S ，试比较S 与S 的大小，并说明理由．
2 1 2
4．（2023春·江苏宿迁·九年级校考期中）问题：对于形如x2+2xa+a2这样的二次三项式，可以用公式法
将它分解成 的形式．但对于二次三项式 ，就不能直接运用公式了．此时，我们可以
(x+a) 2 x2+2xa-3a2
在二次三项式x2+2xa-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个
式子的值不变，于是有：
x2+2xa-3a2=(a2+2ax+a2 )-a2-3a2
=(x+a) 2-4a2
=(x+a) 2-(2a) 2
=(x+3a)(x-a)
像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方
法”，利用“配方法"，解决下列问题：
(1)分解因式：a2-6a+8.
(2)比较代数式x2-1与2x-3的大小.
5．（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配
成完全平方式．例如：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1，
∴x2+4x+5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x2﹣4x+5＝（x ）2+ ；
（2）已知x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x+y的值；
（3）比较代数式：x2﹣1与2x﹣3的大小．
6．（2023春·江苏苏州·九年级校联考期中）先阅读后解题：
若m2+2m+n2-6n+10=0，求m和n的值．
解：等式可变形为：m2+2m+1+n2-6n+9=0
即
(m+1) 2+(n-3) 2=0
因为 ， ，
(m+1) 2≥0 (n-3) 2≥0
所以m+1=0，n-3=0
即m=-1，n=3．
像这样将代数式进行恒等变形，使代数式中出现完全平方式的方法叫做“配方法”．请利用配方法，解决
下列问题：
（1）已知x2+ y2+4x-10 y+29=0，求yx的值；
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2-4a-6b+11=0，则△ABC的周长是
________；
（3）在实数范围内，请比较多项式2x2+2x-3与x2+3x-4的大小，并说明理由．
7．（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）阅读下列材料
利用完全平方公式，将多项式x2＋bx＋c变形为（x＋m）2＋n的形式．
例如：x2﹣8x＋17＝x2﹣2•x•4＋42﹣42＋17＝（x﹣4）2＋1
（1）填空：将多项式x2﹣2x＋3变形为（x＋m）2＋n的形式，并判断x2﹣2x＋3与0的大小关系．
∵x2﹣2x＋3＝（x﹣ ）2＋ ．
∴x2﹣2x＋3 0（填“＞”、“＜”、“＝”）
（2）如图①所示的长方形边长分别是2a＋5、3a＋2，求长方形的面积S（用含a的式子表示）；如图②
1
所示的长方形边长分别是5a、a＋5，求长方形的面积S（用含a的式子表示）
2
（3）比较（2）中S 与S 的大小，并说明理由．
1 28．（2023春·广东肇庆·九年级德庆县德城中学校考期中）材料阅读
小明同学在学习过程中非常重视归纳总结，学习了完全平方公式之后，他发现并总结出了三个很有价值的
结论：
①形如 的式子，当 有最小值，最小值是c；
(a±b) 2+c a±b=0
②形如 的式子，当 有最大值，最大值是c；
-(a±b) 2+c a±b=0
③а2+b2≥2ab．
这三个结论有着广泛的运用．比如：求x取何值时，代数式x2-4x+3有最小值，最小值是多少？小明同
学用结论①求出了答案，他是这样解答的：
∵
x2-4x+3=x2-4x+(4-4)+3=(x2-4x+4)-4+3=(x-2) 2-1
∴当x-2=0，即x=2时x2-4x+3的值最小，最小值为-1．
理解运用
请恰当地选用上面的结论解答下面的问题
(1)求x取何值时，代数式-x2-6x+5有最大值，最大值是多少？
(2)某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有两种方案：
方案一：第一次提价p%，第二次提价q%：
p+q
方案二：第一次，第二次提价均为 %．
2
其中p，q是不相等的正数，请比较两种方案，哪种方案提价较多？
