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专题21.29 一元二次方程（挑战综合压轴题分类专题）
【挑战综合题】
【考点1】一元二次方程➽➼➻可化为一元二次方程的分式方程
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）解方程： ．
2．（2012·山东德州·中考真题）解方程：
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解分式方程：
【考点2】一元二次方程的解★★分式的化简（整体思想）
4．（2023·山东德州·二模）先化简，再求值： ，其中x满足 ．5．（2012·甘肃兰州·中考真题）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式
的值．
6．（2023·江苏连云港·校考二模）先化简，再求值： ，其中a是方程
的根．
【考点3】解一元二次方程★★配方法的应用（应用）
7．（2023·浙江·一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当 ， 时， ， ， ．
②当 ， 时， ， ， ．
③当 ， 时， ， ， ．
④当 ， 时， ， ， ________2xy．
(2)归纳： 与 有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式 的最小值．8．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程
叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
②选取二次项和常数项配方： ，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出 的两种不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值．
【考点4】一元二次方程根的判别式★★根与系数关系
9．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
11．（2021·北京·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【考点5】一元二次方程➽➼➻几何问题
12．（2019·辽宁沈阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，
0），交y轴于点B，（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标．
13．（2013·黑龙江黑河·中考真题）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点
（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程 的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，
点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若
存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2011·山东淄博·中考真题）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程
的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
【考点6】一元二次方程的应用➽➼➻增长率图形问题★★销售利润问题
15．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，
由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到
4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价
措施，经调查发现，A产品每套每降 万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70
万元，则每套A产品需降价多少？16．（2023·湖北孝感·统考三模）随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公
司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产 型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产 型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架 型无人机的成本是
300元．若生产 两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产 型无
人机多少架？
17．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，
某品牌共享自行车在宁波的投放量自 年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车 月份投放了 辆，
月份投放了 辆．
(1)若该品牌共享自行车前 个月的投放量的月平均增长率相同，则 月份投放了多少辆？
(2)考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入 万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较
高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产 型车的成本价为 元 辆，售
价为 元 辆，生产 型车的成本价为 元 辆，售价为 元 辆．根据定制要求， 型车的数量超过
辆，且 型车的数量不少于 型车的 倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最
大利润是多少？【挑战压轴题】
【考点1】解一元二次方程➽➼➻分式方程★★无理方程★★高次方程
18．（2023·浙江温州·校考一模）解方程：
(1) ； (2) ； (3)
19．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程： ．
20．（2023·江苏·九年级假期作业）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二
次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方
程是______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
【考点2】一元二次方程★★➽➼➻分式方程★★不等式解集★★勾股定理
21．（2023·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程 ，若满足 ， ．
(1)求参数a的取值范围；(2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程
的一个根，试求该直角三角形的周长．
22．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的方程
有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
23．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC= ，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有 ，
解这个方程，得 (不符合题意，舍去)， ；
当AC为斜边时，有 ，
解这个方程，得 ．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点拨】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，
熟练运用勾股定理进行分类讨论．
24．(1)A（－3， ），B（－6，0），C（0，3）；(2)y＝x＋3；(3)点Q的坐标为（ ， ）或（
， ）或（－3，3）．【分析】（1）在 中，分别令x＝0，y＝0可求出点C、B的坐标，联立两函数解析式可求出
点A的坐标；
（2）由 COD的面积为3，列出式子求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CD的函数
解析式； △
（3）分情况讨论：①当OC是对角线时，可得点P、Q在OC的垂直平分线上，求出P点坐标可得Q
点坐标；②当OC是边，OP是对角线时，根据CP＝CO列式求出P点坐标，进而可得Q点坐标；③当OC
是边，OP也是边时，此时菱形OPQC是正方形，进而可得Q点坐标．
解：在 中，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝－6，
∴B（－6，0），C（0，3），
联立 ，解得： ，
∴A（－3， ）；
（2）设D（x， ），
∵△COD的面积为3，
∴ ，
解得：x＝－2，
∴D（－2，1），
设直线CD的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0），
把C（0，3），D（－2，1）代入得： ，
解得： ，
∴直线CD的函数表达式为：y＝x＋3；（3）分情况讨论：
①当OC是对角线时，如图，点P、Q在OC的垂直平分线上，
则点P、Q的纵坐标为 ，
把 代入y＝x＋3得： ，
∴P（ ， ），
∴Q（ ， ）；
②当OC是边，OP是对角线时，如图，
设P（a，a＋3），
由CP＝CO得： ，
解得： 或 （舍去），
∴P（ ， ），
设Q（x，y），
则 ，解得： ，
∴Q（ ， ）；③当OC是边，OP也是边时，如图，
∵∠POC＝90°，
∴此时菱形OPQC是正方形，
∵OP＝OC＝3，
∴Q（－3，3），
综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（－3，3）．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，线段垂
直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握数形结合思想与
分类讨论思想的应用是解题的关键．
25．(1)b=7；点F（2，6）不是“状元点”；(2)点B的坐标为（-3，4）；(3)-7≤n≤1．
【分析】（1）由m+mn=n变式为 =1-m，可知P（m，1-m），所以在直线y=1-x上，点A（0，7）在
直线y=x+b上，求得b的值，点F（2，6）代入y=1-x即可得到点F（2，6）是否为“状元点”；
（2）由（1）求得直线AM：y=x+7，进而求得点B的坐标；
（3）设设C（n，1-n），利用两点之间的距离公式列不等式，求解即可．
(1)解：∵m+mn=n且m，n是正实数，∴ +m=1，即 =1-m，
∴P（m，1-m），
∴点P在直线y=1-x上，
当x=2时，1-x=-1，
∴点F（2，6）不是“状元点”；
∵点A（0，7）在直线y=x+b上，
∴7=0+b，
∴b=7；
(2)解：由（1）求得直线AM：y=x+7，
∵“状元点”B在直线AM上，且满足y=1-x，
∴ ，
解得： ，
∴点B的坐标为（-3，4）；
(3)解：∵点C是“状元点”，
∴设C（n，1-n），
∴AC= ≤5 ，
整理得 ≤0，
解得：-7≤n≤1．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，解不等式，勾股定理的应用等，确定“状元
点”在直线y=1-x上是解本题的关键．
26．（1） ；（2）y= ；（3）见分析
【分析】（1）解一元二次方程求出 、 的长度，过点 作 于点 ，根据正方形的性质可
得 ， ，然后求出 ，然后利用“角角边”证明 和 全等，根
据全等三角形对应边相等可得 ， ，再求出 ，然后写出点 的坐标即可；（2）过点 作 轴于点 ，同理求出点 的坐标，设直线 的解析式为 ， 、
为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点 与点 重合时， 为等腰三角形；点 为点 关于点 的对称点时，
为等腰三角形，然后求解即可．
解：（1）解方程 得 ， ，
，
， ，
过 作 于点 ，
正方形 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，
；
（2）过点 作 轴于点 ，
同上可证得 ，， ，
，
，
设直线 的解析式为 ， 、 为常数），
代入 ， 得， ，
解得 ，
；
（3）在直线 上存在点 ，使 为等腰直角三角形，理由如下：如图，
当点 与点 重合时， ，
当点 与点 关于点 对称时， ．
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定
与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角
形是解题的关键，也是本题的难点．
