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专题21.29 一元二次方程（挑战综合压轴题分类专题）
【挑战综合题】
【考点1】一元二次方程➽➼➻可化为一元二次方程的分式方程
1．（2023·四川凉山·统考中考真题）解方程： ．
2．（2012·山东德州·中考真题）解方程：
3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）解分式方程：
【考点2】一元二次方程的解★★分式的化简（整体思想）
4．（2023·山东德州·二模）先化简，再求值： ，其中x满足 ．5．（2012·甘肃兰州·中考真题）已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式
的值．
6．（2023·江苏连云港·校考二模）先化简，再求值： ，其中a是方程
的根．
【考点3】解一元二次方程★★配方法的应用（应用）
7．（2023·浙江·一模）设x，y都是实数，请探究下列问题，
(1)尝试：①当 ， 时， ， ， ．
②当 ， 时， ， ， ．
③当 ， 时， ， ， ．
④当 ， 时， ， ， ________2xy．
(2)归纳： 与 有怎样的大小关系？试说明理由．
(3)运用：求代数式 的最小值．8．（2013·四川达州·中考真题）选取二次三项式 中的两项，配成完全平方式的过程
叫配方．例如
①选取二次项和一次项配方： ；
②选取二次项和常数项配方： ，
或
③选取一次项和常数项配方：
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出 的两种不同形式的配方；
（2）已知 ，求 的值．
【考点4】一元二次方程根的判别式★★根与系数关系
9．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若 ，求m的值．10．（2022·湖北十堰·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值．
11．（2021·北京·统考中考真题）已知关于 的一元二次方程 ．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若 ，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值．
【考点5】一元二次方程➽➼➻几何问题
12．（2019·辽宁沈阳·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线y＝kx+4（k≠0）交x轴于点A（8，
0），交y轴于点B，（1）k的值是 ；
（2）点C是直线AB上的一个动点，点D和点E分别在x轴和y轴上．
①如图，点E为线段OB的中点，且四边形OCED是平行四边形时，求▱OCED的周长；
②当CE平行于x轴，CD平行于y轴时，连接DE，若△CDE的面积为 ，请直接写出点C的坐标．
13．（2013·黑龙江黑河·中考真题）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点
（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程 的两个根，点C在x轴负半轴上，
且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，
点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若
存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2011·山东淄博·中考真题）已知： ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程
的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？
（2）若AB的长为2，那么 ABCD的周长是多少？
【考点6】一元二次方程的应用➽➼➻增长率图形问题★★销售利润问题
15．（2023·山东东营·东营市胜利第一初级中学校考三模）某公司2月份销售新上市的A产品20套，
由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到
4月两次的增长率相同．
(1)求该公司销售A产品每次的增长率；
(2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价
措施，经调查发现，A产品每套每降 万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70
万元，则每套A产品需降价多少？16．（2023·湖北孝感·统考三模）随着疫情防控全面放开，“复工复产”成为主旋律．中航无人机公
司统计发现：公司今年2月份生产A型无人机2000架，4月份生产A型无人机达到12500架．
(1)求该公司生产 型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产 型无人机，已知生产1架A型无人机的成本200元，生产1架 型无人机的成本是
300元．若生产 两种型号无人机共100架，预算投入生产的成本不高于22500元，问最多能生产 型无
人机多少架？
17．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）“低碳生活，绿色出行”，自行车成为人们喜爱的交通工具，
某品牌共享自行车在宁波的投放量自 年起逐月增加，据统计，该品牌共享自行车 月份投放了 辆，
月份投放了 辆．
(1)若该品牌共享自行车前 个月的投放量的月平均增长率相同，则 月份投放了多少辆？
(2)考虑到增强客户体验，该品牌共享自行车准备投入 万元向自行车生产厂商定制一批两种规格比较
高档的自行车，之后投放到某高端写字楼区域，已知自行车生产厂商生产 型车的成本价为 元 辆，售
价为 元 辆，生产 型车的成本价为 元 辆，售价为 元 辆．根据定制要求， 型车的数量超过
辆，且 型车的数量不少于 型车的 倍．自行车生产厂商应如何设计生产方案才能获得最大利润？最
大利润是多少？【挑战压轴题】
【考点1】解一元二次方程➽➼➻分式方程★★无理方程★★高次方程
18．（2023·浙江温州·校考一模）解方程：
(1) ； (2) ； (3)
19．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程： ．
20．（2023·江苏·九年级假期作业）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程： ．解： ，
方程即为： ，
设 ，原方程转化为：
解得， ， ，
当 时，即 ， ， ；
当 时，即 ，不成立．
综上所述，原方程的解是 ， ．
以上解方程的过程中，将其中 作为一个整体设成一个新未知数 ，从而将原方程化为关于 的一元二
次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程： ，若设 ，则利用“换元法”可将原方程化为关于 的方
程是______；
(2)仿照上述方法，解方程： ．
【考点2】一元二次方程★★➽➼➻分式方程★★不等式解集★★勾股定理
21．（2023·广东·模拟预测）若关于x，y的二元一次方程 ，若满足 ， ．
(1)求参数a的取值范围；(2)若y为一个直角三角形的一条直角边长，x为该直角三角形的斜边长，另一条直角边长为方程
的一个根，试求该直角三角形的周长．
22．（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若关于x的方程
有且只有一个实数根，求实数k的所有可能值．
23．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程
(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；
(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（AB<AC）的边长，当BC= 时，△ABC是直角
三角形，求此时m的值．
【考点3】一元二次方程★★函数问题（应用）
24．（2023·湖南益阳·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与x轴、y轴交于
点B、C，且与直线 交于A．
(1)分别求出A、B、C的坐标；
(2)若D是线段 上的点，且 的面积为3，求直线 的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，设P是射线 上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四
边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2022春·广东广州·八年级统考期末）当m，n为实数，且满足 时，就称点 为
“状元点”．已知点A（0，7）和点M都在直线 上，点B，C是“状元点”，且B在直线AM上．
(1)求b的值及判断点F（2，6）是否为“状元点”；
(2)请求出点B的坐标；
(3)若 ，求点C的横坐标的取值范围．
26．（2014·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴
上，顶点B在x轴正半轴上，OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣7x+12=0的两个根（OA＞OB）．
（1）求点D的坐标．
（2）求直线BC的解析式．
（3）在直线BC上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存
在，说明理由．参考答案
1．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 的值，经检验即可得到分式方程
的解．
解：
方程两边同乘 ，
得 ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，
检验：当 时， ， 是增根，
当 时， ，
原方程的解为 ．
【点拨】本题考查了分式方程的解法，属于基本题型，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．2．x=2
解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：，
2+（x﹣1）=（x+1）（x﹣1），解得：x=2或﹣1．
经检验：x=－1是增根．
∴原方程的解为x=2．
首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x＋1）（x－1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程
转化为整式方程求解，然后解一元二次方程，最后检验即可求解．
3．
【分析】根据分式方程的解法步骤求解即可．
解：去分母，得 ，
去括号，得
移项、合并同类项，得 ，
解得 ， ，
经检验， 是方程的解．
【点拨】本题考查解分式方程、解一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法步骤是解答的关键．
4． ，4
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后解出一元二次方程 ，根据分式有意义的条
件可得 ，再代入化简后的结果，即可求解．
解：
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，且 ，
∴取 ，∴原式 ．
【点拨】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5．
解：∵x2－2x＋1＝0，
∴x ＝x ＝1，
1 2
原式＝ ．
∴当x＝1时，原式＝ ．
6． ；
【分析】先根据分式混合运算的顺序把原式进行化简，再根据a是方程 的根求出a的值，
代入原式进行计算即可．
解：
，
∵a是方程 的根，
∴ ，∴原式 ；
【点拨】本题综合考查了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入”思
想是解题的关键，避免了求a的值的繁琐过程，而是直接将 整体代入化简后的代数式．
7．(1) ；(2) ，理由见分析；(3)代数式 的最小值为8．
【分析】（1）求得 ， ，得到 ；
（2）结合完全平方的非负性即可解答；
（3）利用归纳的结论即可求解．
解：当 ， 时， ， ，
，
故答案为： ；
（2）解： ，理由如下，
∵ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∴代数式 的最小值为8．
【点拨】本题考查了配方法的应用，利用完全平方非负数的性质是解题关键．
8．（1）答案解析；（2）1．
【分析】（1）根据配方法的步骤根据二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方进行配方和
二次项和常数项在一起进行配方即可．
（2）根据配方法的步骤把 变形为 ，再根据偶次幂的非负性质得到 ，求出x，y的值，即可得出答案．
解：（1） ，
或 ．
（2）∵ ，
∴ ，即 ．
∴ ，解得 ．
∴ ．
9．(1)证明见分析；(2) 的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
解：（1）证明：∵ ，
∴无论 取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵ 的两个实数根为 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ．
∴ ．
即 ．
解得 或 ．∴ 的值为1或 ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别
式及根与系数的关系是解题的关键．
10．(1)见分析；(2)
【分析】（1）根据根的判别式 ，即可判断；
（2）利用根与系数关系求出 ，由 即可解出 ， ，再根据 ，即可得
到 的值．
解：（1） ，
∵ ，
∴ ，
该方程总有两个不相等的实数根；
（2） 方程的两个实数根 ， ，
由根与系数关系可知， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ， ，
∴ ，即 ．
【点拨】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及根与系数的
关系．
11．（1）见详解；（2）
【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；
（2）设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，然后根据一元二次方程根与系数
的关系可得 ，进而可得 ，最后利用完全平方公式代入求解即可．
解：（1）证明：由题意得： ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该方程总有两个实数根；
（2）解：设关于 的一元二次方程 的两实数根为 ，则有：
，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别
式及根与系数的关系是解题的关键．
12．（1） ；（2）①▱OCED的周长8+4 ；②C的坐标为（﹣3， ）或（11， ）．
【分析】（1）根据点A的坐标，利用待定系数法可求出k值；
（2）①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标，由平行四边形的性质结合点E为OB的
中点可得出CE是△ABO的中位线，结合点A的坐标可得出CE的长，在Rt△DOE中，利用勾股定理可求出
DE的长，再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长；
②设点C的坐标为（x， ），则CE＝|x|，CD＝ ，利用三角形的面积公式结合△CDE
的面积为 可得出关于x的方程，解之即可得出结论．
解：（1）将A（8，0）代入y＝kx+4，得：0＝8k+4，
解得：k＝ ．
故答案为 ．（2）①由（1）可知直线AB的解析式为y＝ x+4．
当x＝0时，y＝ x+4＝4，
∴点B的坐标为（0，4），
∴OB＝4．
∵点E为OB的中点，
∴BE＝OE＝ OB＝2．
∵点A的坐标为（8，0），
∴OA＝8．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴CE∥DA，
∴ ，
∴BC＝AC，
∴CE是△ABO的中位线，
∴CE＝ OA＝4．
∵四边形OCED是平行四边形，
∴OD＝CE＝4，OC＝DE．
在Rt△DOE中，∠DOE＝90°，OD＝4，OE＝2，
∴DE＝ ，
∴C ＝2（OD+DE）＝2（4+2 ）＝8+4 ．
平行四边形OCED
②设点C的坐标为（x， +4），则CE＝|x|，CD＝| x+4|，
∴S ＝ CD•CE＝|﹣ x2+2x|＝ ，
CDE
△
∴x2+8x+33＝0或x2+8x﹣33＝0．
方程x2+8x+33＝0无解；
解方程x2+8x﹣33＝0，得：x ＝﹣3，x ＝11，
1 2∴点C的坐标为（﹣3， ）或（11， ）．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性
质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线，解题的关键是：
（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出k值；（2）①利用勾股定理及三角形中位线的性质，求出CE，
DE的长；②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为 ，找出关于x的方程．
13．（1）A（1，0），C（﹣3，0）；（2）S=2 ﹣t（0≤t＜2 ）；②S=t﹣2 （t＞2 ）；
（3）存在，Q （﹣1，0），Q （1，﹣2），Q （1，2），Q （1， ）．
1 2 3 1
【分析】（1）通过解一元二次方程 ，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的
坐标，再根据勾股定理可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标．
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数
关系式．
（3）分AB是边和对角线两种情况讨论可求Q点的坐标
解：（1）
（x﹣ ）（x﹣1）=0，
解得x = ，x =1．
1 2∵OA＜OB，∴OA=1，OB= ．
∴A（1，0），B（0， ）．
∴AB=2．
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4．
∴C（﹣3，0）；
（2）由题意得：CM=t，CB=2 ．
∴
∴
①当点M在CB边上时，S= =2 ﹣t（0≤t＜2 ）；
②当点M在CB边的延长线上时，S= =t﹣2 （t＞2 ）．
（3）存在，Q （﹣1，0），Q （1，﹣2），Q （1，2），Q （1， ）．
1 2 3 114．（1）当m为1时，四边形ABCD是菱形；（2）□ABCD的周长是5.
【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB=AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之
即可得出m的值；
（2）将x=2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平
行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ＝0的两个实数根，
∴ ＝（﹣m）2﹣4（ ）＝m2﹣2m+1＝0，
△
解得：m＝1．
∴当m为1时，四边形ABCD是菱形．
（2）将x＝2代入x2﹣mx+ ＝0中，得：4﹣2m+ ＝0，
解得：m＝ ，
∵AB、AD的长是关于x的一元二次方程x2﹣mx+ ＝0的两个实数根，
∴AB+AD＝m＝ ，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（AB+AD）＝2× ＝5．
【点拨】本题考查了根的判别式、菱形的性质、平行四边形的性质以及根与系数的关系，得出m的值
是解题关键15．(1) ；(2)1万元
【分析】（1）设该公司销售 产品每次的增长率为 ，根据2月份及4月份该公司 产品的销售量，
即可得出关于 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套 产品需降价 万元，则平均每月可售出 套，根据总利润 每套的利润 销
售数量，即可得出关于 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
解：设该公司销售 产品每次的增长率为 ，
依题意，得： ，
解得： ， （不合题意，舍去）．
答：该公司销售 产品每次的增长率为 ．
（2）设每套 产品需降价 万元，则平均每月可售出 套，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ．
答 尽量减少库存，
．
答：每套 产品需降价1万元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
16．(1)150%；(2)25架
【分析】（1）设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为 ，根据“2月份生产数量
4月份生产数量”，列出方程求解即可；
（2）设 型 架，则A型 架，根据“预算投入生产的成本不高于22500元”列出不等式求
解即可．
解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为 ，（不合题意，舍去）
该公司生产 型无人机每月产量的平均增长率为150%．
（2）解：设 型 架，则A型 架，
，
最多能生产 型无人机25架．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确
理解题意，找出题中等量关系和不等关系，列出方程和不等式求解．
17．(1) 月份投放了 辆；(2)生产 型车 辆， 型车 辆，生产商有最大利润为 元
【分析】（1）设月平均增长率为 ，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设生产 型车 辆，则生产 型车 辆，根据题列出不等式，求得 ， 或 ，
设自行车生产厂商获得的利润为 ，由题意得： ，根据一次函数的
性质求得最大利润，即可求解．
解：设月平均增长率为 ，由题意得：
，
解得： (舍去)，
月份投放了 = (辆)，
月份投放了 辆；
（2）设生产 型车 辆，则生产 型车 辆，由题意得：
，
解得： ，
为正整数，， 或 ，
设自行车生产厂商获得的利润为 ，由题意得：
，
，
随 的增大而减小，
当 时， ，
(辆)．
生产 型车 辆， 型车 辆，生产商有最大利润为 元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据题意列
出方程、不等式以及函数关系式是解题的关键．
18．(1) ；(2) ， ；(3) ， ， ， ．
【分析】（1）移项后两边平方得出 ，求出 ，再方程两边平方得出
，求出 ，再进行检验即可；
（2）观察可得最简公分母是 ，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程
求解；
（3）令 ，则 ，代入原方程，得 ，所以 ， ，
然后分两种情况分别解方程即可．
解：（1）
解：移项得， ，
两边平方得， ，
合并同类项得， ，
∴ ，两边平方得， ，
整理得， ，
∴ ，
解得： ， ，
经检验， ，不是原方程的解，
∴原方程的解为： ．
（2）
解：方程两边同时乘以 得，
整理得， ，
解得， ，
∴ ， ，
经检验， ， 时， ，
∴原方程的根为： ， ．
（3）
解：
令 ，代入原方程得， ，
∴ ，
解得： ， ，
当 时， ，即： ，∴ ，解得： ， ，
当 时， ，即： ，
∴ ，解得： ， ，
经检验 都为原方程的解
∴原方程的解为： ， ， ， ．
【点拨】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键；还考查了解分式方
程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一
定注意要验根．
19．
【分析】移项得出 ＝1+ ，两边平方得出3x﹣5＝1+x+2+2 ，整理后得出2 ＝
2x﹣8，再两边平方得出4（x+2）＝（2x﹣8）2，求出方程的解，再进行检验即可．
解： ，
∴ ＝1+ ，
两边平方得：3x﹣5＝1+x+2+2 ，
整理得：2 ＝2x﹣8，
两边平方，得4（x+2）＝（2x﹣8）2，
整理，得x2﹣9x+14＝0，
解得：x＝2或7，
经检验x＝2不是原方程的解，x＝7是原方程的解，
所以原方程的解是x＝7．
【点拨】本题考查了解无理方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
20．(1) ；(2)【分析】（1）根据完全平方公式由 ，得 ，再变形原方程便可；
（2）设 ，则 ，得 ，再解一元二次方程，最后代入所设代数式解方程
便可．
解：（1）设 ，
则 ，
可化为： ，
即 ，
故答案为： ；
（2）设 ，则 ，
原方程可化为： ，
整理得 ，
，
或 ，
或 ，
当 时， ，
解得 ，
当 时， 无解 ，
检验，当 时，左边 右边，
是原方程的解，故原方程的解为： ．
【点拨】本题主要考查了换元法，无理方程，关键掌握换元法的思想方法．
21．(1) ；(2)
【分析】（1）由 ， ， ，解得 ，解不等式组即可；
（2）由题意知， ，求出满足要求的 值，然后代入 ，
求解满足要求的 值，进而可得 的值，进而可求周长．
解： ，
① ②可得 ，解得 ，
② ①可得 ，解得 ，
，
，
∴不等式组的解集为 ，
∴a的取值范围为 ；
（2）解： ，
即 或 ，
解得 （舍去）或 ，
∵ ，
∴ ，整理得 ，即 ，
解得 ， （不合题意，舍去）
， ，∵ ，
∴该直角三角形周长为 ．
【点拨】本题考查了解二元一次方程组，解一元二次方程，解一元一次不等式组，勾股定理等知识．
解题的关键在于理解题意并正确的列等式、不等式并正确运算．
22． 或 或 或
【分析】先去分母，将该分式方程化为整式方程，再分为方程是一次方程、方程为有两个相等的实数
根的二次方程、方程有两个不相等的实数根但其中一个为增根三种情况进行讨论即可．
解：左右两边同时乘以 得： ，
整理得： ，
①当 ，即 时，
原方程为： ，解得： ，
∴ 时，方程有且只有一个实数根；
②当 且 时，
，
解得： ，
当 时， ，
检验：当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
∴ ，方程有且只有一个实数根；
③当 且 时，∵ ，
∴ 或 ；
把 代入 得 ，
解得： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
∴ 时，方程有且只有一个实数根；
把 代入 得 ，
解得： ，
把 代入 得 ，
解得： ，
检验：当 时， ，当 时， ，
∴ 是原分式方程的解，
∴ 时，方程有且只有一个实数根；
综上：k的值为 或 或 或 ．
【点拨】本题主要考查了解一元一次方程，一元二次方程，分式方程，解题的关键是掌握根的一元二
次方程判别式和分式方程有增根的情况．
23．(1)m=0或m=1；(2)m=0或m=1
【分析】（1）把x=2代入方程 得到关于m的一元二次方程，然后解关于m的方程即可；
（2）先计算出判别式，再利用求根公式得到 ， ，则AC=m+2，AB=m+1．因为
△ABC是直角三角形，所以当BC或AC为斜边时根据勾股定理分别解关于m的一元二次方程即可．
解：∵x=2是方程的一个根，
∴ ，
∴m=0或m=1；
（2）解：∵△= ，
∴x=
∴ ， ，
∴AB、AC（AB＜AC）的长是这个方程的两个实数根，
∴AC=m+2>0，AB=m+1>0．
∴m>-1．
∵BC= ，△ABC是直角三角形，
∴当BC为斜边时，有 ，
解这个方程，得 (不符合题意，舍去)， ；
当AC为斜边时，有 ，
解这个方程，得 ．
综上所述，当m=0或m=1时，△ABC是直角三角形．
【点拨】此题考查了解一元二次方程和直角三角形的判定，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程，
熟练运用勾股定理进行分类讨论．
24．(1)A（－3， ），B（－6，0），C（0，3）；(2)y＝x＋3；(3)点Q的坐标为（ ， ）或（
， ）或（－3，3）．【分析】（1）在 中，分别令x＝0，y＝0可求出点C、B的坐标，联立两函数解析式可求出
点A的坐标；
（2）由 COD的面积为3，列出式子求得点D的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线CD的函数
解析式； △
（3）分情况讨论：①当OC是对角线时，可得点P、Q在OC的垂直平分线上，求出P点坐标可得Q
点坐标；②当OC是边，OP是对角线时，根据CP＝CO列式求出P点坐标，进而可得Q点坐标；③当OC
是边，OP也是边时，此时菱形OPQC是正方形，进而可得Q点坐标．
解：在 中，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝－6，
∴B（－6，0），C（0，3），
联立 ，解得： ，
∴A（－3， ）；
（2）设D（x， ），
∵△COD的面积为3，
∴ ，
解得：x＝－2，
∴D（－2，1），
设直线CD的函数表达式为：y＝kx＋b（k≠0），
把C（0，3），D（－2，1）代入得： ，
解得： ，
∴直线CD的函数表达式为：y＝x＋3；（3）分情况讨论：
①当OC是对角线时，如图，点P、Q在OC的垂直平分线上，
则点P、Q的纵坐标为 ，
把 代入y＝x＋3得： ，
∴P（ ， ），
∴Q（ ， ）；
②当OC是边，OP是对角线时，如图，
设P（a，a＋3），
由CP＝CO得： ，
解得： 或 （舍去），
∴P（ ， ），
设Q（x，y），
则 ，解得： ，
∴Q（ ， ）；③当OC是边，OP也是边时，如图，
∵∠POC＝90°，
∴此时菱形OPQC是正方形，
∵OP＝OC＝3，
∴Q（－3，3），
综上所述，点Q的坐标为（ ， ）或（ ， ）或（－3，3）．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，线段垂
直平分线的性质，勾股定理，解一元二次方程，正方形的判定和性质等知识点，熟练掌握数形结合思想与
分类讨论思想的应用是解题的关键．
25．(1)b=7；点F（2，6）不是“状元点”；(2)点B的坐标为（-3，4）；(3)-7≤n≤1．
【分析】（1）由m+mn=n变式为 =1-m，可知P（m，1-m），所以在直线y=1-x上，点A（0，7）在
直线y=x+b上，求得b的值，点F（2，6）代入y=1-x即可得到点F（2，6）是否为“状元点”；
（2）由（1）求得直线AM：y=x+7，进而求得点B的坐标；
（3）设设C（n，1-n），利用两点之间的距离公式列不等式，求解即可．
(1)解：∵m+mn=n且m，n是正实数，∴ +m=1，即 =1-m，
∴P（m，1-m），
∴点P在直线y=1-x上，
当x=2时，1-x=-1，
∴点F（2，6）不是“状元点”；
∵点A（0，7）在直线y=x+b上，
∴7=0+b，
∴b=7；
(2)解：由（1）求得直线AM：y=x+7，
∵“状元点”B在直线AM上，且满足y=1-x，
∴ ，
解得： ，
∴点B的坐标为（-3，4）；
(3)解：∵点C是“状元点”，
∴设C（n，1-n），
∴AC= ≤5 ，
整理得 ≤0，
解得：-7≤n≤1．
【点拨】本题考查了一次函数的性质，解一元二次方程，解不等式，勾股定理的应用等，确定“状元
点”在直线y=1-x上是解本题的关键．
26．（1） ；（2）y= ；（3）见分析
【分析】（1）解一元二次方程求出 、 的长度，过点 作 于点 ，根据正方形的性质可
得 ， ，然后求出 ，然后利用“角角边”证明 和 全等，根
据全等三角形对应边相等可得 ， ，再求出 ，然后写出点 的坐标即可；（2）过点 作 轴于点 ，同理求出点 的坐标，设直线 的解析式为 ， 、
为常数），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点 与点 重合时， 为等腰三角形；点 为点 关于点 的对称点时，
为等腰三角形，然后求解即可．
解：（1）解方程 得 ， ，
，
， ，
过 作 于点 ，
正方形 ，
， ，
，
，
，
，
，
在 和 中， ，
，
， ，
，
；
（2）过点 作 轴于点 ，
同上可证得 ，， ，
，
，
设直线 的解析式为 ， 、 为常数），
代入 ， 得， ，
解得 ，
；
（3）在直线 上存在点 ，使 为等腰直角三角形，理由如下：如图，
当点 与点 重合时， ，
当点 与点 关于点 对称时， ．
综上所述：点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题是一次函数综合题型，主要利用了解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定
与性质，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的判定与性质，（1）作辅助线构造出全等三角
形是解题的关键，也是本题的难点．
