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期中复习与测试（2）（第21-24 章）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项
符号题目要求）
1．一元二次方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，2，5 B．3，2， C．3，0， D．3，0，5
2．下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程 配方后的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．将抛物线 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为
（ ）
A． B．
C． D．
5．已知点 都在二次函数 的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
6．由于换季，某童装专柜决定降价销售减少库存．已知某款童装平均每天可售出 件，每件盈利
元．如果每件每降价 元，那么平均每天可多售出 件．若要使该款童装每天的销售利润为 元，设每
件降价 元，则 应满足（ ）
A． B．C． D．
7．如图，在平行四边形 中， ，将平行四边形 绕顶点B顺时针旋转到平行四边
形 ，当 首次经过顶点C时，旋转角为（ ）度．
A．30 B．40 C．45 D．50
8．如表中列出了二次函数 的一些对应值，则一元二次方程
的一个近似解 的范围是（ ）
… …
… …
A． B． C． D．
9．如图，在 中， ，过 两点的 交 于点 ，交 于点 ，连接 并延
长交 于点 ．连接 ，若 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
10．已知二次函数 的图象如图所示，有下列4个结论：① ；② ；
③ ；④关于 的方程 有四个根，且这四个根的和为4，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．方程 的解是 ．
12．若关于x的一元二次方程 有实数根，则m的取值范围是 ．
13．如图，将点 绕原点顺时针旋转90°得到点 ，则点 的坐标为 ．
14．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
，则他将铅球推出的距离是 米．
15．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点 作 的切线交 的延长线于点 ，
若 ，则 和 的度数分别为 ．16．如图，在 中， ， ，点 是 的中点，将 绕点A按逆时针方向旋
转 得 ．那么图中阴影部分的面积为 ．
17．如图，已知抛物线 ．
（1）抛物线与y轴的交点B的坐标为 ；
（2）P是抛物线 在第四象限上的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为点
A、C，则四边形 周长的最大值为 ．
18．如图，抛物线 与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，已
知点C关于抛物线对称轴的对称点为P，连接 ， ．（1）点P的坐标为 ．
（2）若点M在PC的垂直平分线上，且在第一象限内，当 是等腰直角三角形时，点M的坐标
为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，每小题4分，共58分）
19.（本小题满分8分）解方程：
（1） ； （2） =4．
20.（本小题满分8分）已知关于x的方程 （m为常数）．
（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根是 ，求 的值．
21.（本小题满分10分）某商店以一定的价格购进甲、乙两种商品若干千克，销售统计发现，甲商品
从开始销售至销售的第 天总销量 （千克）与 的关系如图 所示，且 是 的二次函数．乙商品从开始销售至销售第 天的总销量 ， ，其中 是关于 的一次函数，其图象如图 ．
（1）分别求出 ， 与 的函数关系；
（2）甲、乙两种商品购进量相差多少；
（3）分别求出甲、乙两种商品哪天销量最大，并求出最大销售量是多少．
22.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ，
两点，与 轴交于点 ，点 在原点的左侧，点 的坐标为 ．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点 是抛物线上一个动点，且在直线 的上方．连接 ， ，并把 沿 翻折，得
到四边形 ' ，是否存在点 ，使四边形 ' 为菱形？若存在，请求出此时点 的坐标；若不存
在，请说明理由．23.（本小题满分10分）如图， 和 为等边三角形， 和 重合， ．
（1）求证： ；
（2）若 绕点C顺时针旋转 ，连 交 于点G，取 的中点F，连 ，求证： ；
（3）在（2）的条件下若 ，则 ___________（直接写出结果）
24.（本小题满分12分）如图1，扇形 中， ， ，点P在半径 上，连接 ．
（1）把 沿 翻折，点O的对称点为点Q．
① 当点Q刚好落在弧 上，求弧 的长；
② 如图2，点Q落在扇形 外， 与弧 交于点C，过点Q作 ，垂足为 H， 、求 的长；
（2）如图3，记扇形 在直线 上方的部分为图形W，把图形W沿着 翻折，点B的对称点为
点E，弧 与 交于点F，若 ，求 的长．
参考答案
1．B【分析】根据一元二次方程的定义及一般形式求解．
解：根据定义，二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，2， ；
故选：B
【点拨】本题考查一元二次方程的定义，理解定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 ，
如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，
进行逐一判断即可．
解：A、D，是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A、D不符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故C不符合题意．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中
心对称图形的定义．
3．A
【分析】根据完全平方公式的性质，进行配方即可求解．
解：
等式两边同时加 得，
根据完全平方公式的形式得， ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查完全平方公式的变形，掌握配方法是解题的关键．
4．A
【分析】利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
解：将抛物线 向右平移1个单位长度，得到的解析式为 ，
再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ．
故选A．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．5．C
【分析】根据二次函数方程求出其对称轴 ，再根据各点离对称轴的距离，利用
二次函数的性质判断对应函数值的大小．
解：∵二次函数 ，
∴其对称轴 ，
又∵
∴在 时， 随 的增大而增大，
又∵ 关于 的对称点为 ，且
∴
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像上的点的坐标性质，熟练掌握点关于轴对称的知识，利用对称
轴及其增减性可求得横坐标对应纵坐标值的大小．
6．A
【分析】设每件降价 元，可得每件盈利 元，每天可售出 件，根据利润的计算方法列
式即可求解．
解：若每件降价 元，则每件盈利 元，平均每天可售出 件，
根据题意得： ，
故选： ．
【点拨】本题主要考查一元二次方程与销售问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程
的运用是解题的关键．
7．B
【分析】由旋转的性质可知：平行四边形 全等于平行四边形 ，得出 ，由等腰三角形的性质得出 ，根据三角形内角和计算旋转角 即可．
解：∵平行四边形 绕顶点B顺时针旋转到平行四边形 ，
∴ ，
∴ ，
∵在平行四边形 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和
定理，解题的关键是证明三角形 是等腰三角形．
8．C
【分析】根据表格中的数据，可得出“当 时， ；当 时， ”，由此即可得出结论．
解：当 时， ；当 时， ，
∴方程的一个近似根 的范围是 ，
故选： ．
【点拨】此题考查了求一元二次方程的近似根，熟练掌握求一元二次方程的近似根的方法是解题的关
键．
9．A
【分析】由四边形 内接于 知 ，据此得 ，由 是 的直径
知 及 ，再根据四边形 是 的内接四边形知
，从而证 得 ，根据 是等腰直角三角形知 ，继而
可得答案．
解：∵四边形 内接于 ，且 ，
，∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
又∵ 是 的直径，
，
，
∵四边形 是 的内接四边形，
，
，
∴ ，
中， ，
中， ，
∴ ，
，
，
∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的性质、圆周角定理、全等三角
形的判定与性质及勾股定理．
10．B
【分析】根据抛物线的开口向下，对称轴的位置以及图象与 轴的交点得到 的取值，即可判
断①；根据抛物线与 轴的交点个数即可判断②；当 时， 的值最大，从而得到当
时， ，即可判断③；程 有2个根，方程 有
2个根，由根与系数的关系即可判断④，从而得到答案．
解： 抛物线开口方向向下，
，
抛物线与 轴交于正半轴，
，
对称轴在 轴右侧，即a、b异号，，
，故①错误，不符合题意；
抛物线与 轴有两个交点，
，
，故②正确，符合题意；
由图象可知，当 时， 的值最大，
当 时， ，
，
，故③正确，符合题意；
关于 的方程 有四个根，
方程 有2个根，方程 有2个根，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
所有根之和为 ，故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有②③④，
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与 轴的交点，一元二次方程根与系数的
关系等知识点，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想解题，是解此题的关键．
11． 或
【分析】先把方程化为一般式，再把方程左边因式分解得 ，方程就可转化为一元一次方程
或 ，然后解一元一次方程即可．
解：方程 整理可得： ，
因式分解可得： ，
解得： 或 ．
【点拨】本题考查解一元二次方程，关键是掌握因式分解法．
12． 且【分析】由一元二次方程的定义， ，有实数根，则 ，建立不等式求解．
解：由题意得， 且 ，
解得 且 ．
故答案为： 且
【点拨】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式；由判别式定理建立关于参数的不等式是解题的
关键．
13．
【分析】过点 、 分别作 轴的垂线，垂足为 、 ，则 ，由旋转的性质和角
之间的关系可证 ， ， ，即可得到点 的坐标．
解：如图，过点 、 两点分别作 轴的垂线，垂足为 、 ，则 ，
点 ，
， ，
线段 绕点 顺时针旋转 ，
， ，
，
，
，
在 与 中，
，
∴ ，， ，
点 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了点的坐标与旋转变换的关系．关键是根据旋转的性质和角之间的关系确定全等三
角形．
14．
【分析】铅球落地时， ，故由题意可得关于x的方程，解得x的值并根据问题的实际意义作出取
舍即可．
解：当 时， ，
解之得： ， （负值不合题意，舍去），
所以推铅球的水平距离是 米．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关
键．
15．
【分析】连接 ，根据切线的性质求出 ，然后说明圆心 在 上，再由圆内接四边形
对角互补求出 的度数，再由等腰三角形的性质求出 的度数，再由直角三角形的两个锐角互余
求出 的度数．
解：如图，连接 ，是 的切线，
，
，
是 的直径，
点 在 上，
四边形 内接于 ，且 ，
，
，
，
，
，
，
故 和 的度数分别为 ．
故答案为： ．
【点拨】此题考查圆的切线的性质、圆周角定理及其推论、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等
知识，解题的关键是连接过切点的半径构造直角三角形．
16．
【分析】先根据直角三角形的性质求出 的长，再由扇形的面积公式即可得出结论．
解：∵在 中， ， ，点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
17．
【分析】（1） 时， ，于是得到 ．
（2）设 ，则 ，于是四边形 周长，根据二次函数性质求解．
解：（1） ，
当 时， ，
∴ ．
故答案为：
（2）设 ，则 ，
∴令四边形 周长为 ， ，
∵ ，
∴ 时， 取最大值，为 ．
故答案为：
【点拨】本题考查二次函数解析式，二次函数性质；由题意构建二次函数是解题的关键．
18．
【分析】（1）由题意可得点A、B、C的坐标，然后根据二次函数的对称性可进行求解；
（2）设抛物线的对称轴与 ，x轴分别交于点E，D，由题意易得点M的横坐标为1，然后可证
，进而问题可求解．
解：（1）∵抛物线的函数解析式为 ，
令 ，解得 ， ；令 ， ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．
∵抛物线 的对称轴为直线 ，点C的坐标为 ，
∴点P的坐标为 ，
故答案为 ；
（2）∵ 的垂直平分线为抛物线的对称轴，∴点M的横坐标为1．
如图，设抛物线的对称轴与 ，x轴分别交于点E，D，
∴ ．
当 是等腰直角三角形时，且只有以点M为直角顶点时，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点M的坐标为 ，
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质
是解题的关键．
19．（1） ， ；（2）
【分析】（1）结合一元二次方程的求法即可求解；
（2）利用去分母去，去括号后进行化简，然后结合一次方程求解即可．
解：（1）∵ ，
即解得： ；
（2） ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当 时， ，
∴原分式方程的解为： ．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程及分式方程的求法，属于基础题．
20．（1）见分析；（2） ．
【分析】（1）根据 ，一元二次方程有两个不相等的实数根直接进行求解；
（2）将方程的根代入方程中，再进行移项即可求解．
解：（1）证明：∵关于x的方程 （m为常数）．
∴ ，即 ，
∴不论 为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有一个根是 ，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的运用，以及一元二次方程的解的定义，熟练掌握
一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解的概念是解答此题的关键．
21．（1） ， ；（2）甲、乙两种商品购进量相差 ；（3）甲乙
均在第 天销量最大，分别是 、 ．
【分析】（1）依据题意，设 ，结合图象上的点代入计算可以得解；又 是关于 的一次函数，过 ， ，从而先求出 与 的关系，再代入可以的 的关系式；
（2）依据题意，分别依据顶点式求出两种商品的最大值，然后作差可以得解；
（3）依据题意，设第 天，甲、乙商品销量最大，表示出来后，求出最大值即可得解．
（1）解：由题意，设 ，
∴ ，
∴ ，
又 是关于 的一次函数，过 ， ，
设 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意得， ，
∵ ，
∴当 时，甲商品的最大值为 ；
又 ，
∵ ，
∴当 时，乙商品的最大值为300．
∴ ，即乙商品比甲商品多购进 ．
即甲、乙两种商品购进量相差 ；
（3）解：第 天，乙商品销量：
，∴当 时， ．
此时甲商品销量：
，
∴当 时， ．
答：甲乙均在第 天销量最大，分别是 、 ．
【点拨】本题考查二次函数、一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
22．（1） ；（2）存在，
【分析】（1）将 两点的坐标代入 中，待定系数法求二次函数解析式，即可求解；
（2）设 ，连接 交 于点 ，若四边形 是菱形，则 ，
得出 ，解方程，即可求解．
（1）解：将 两点的坐标代入 中，
得 ，解得 ，
∴二次函数的表达式为 ；
（2）存在点 ，使四边形 为菱形．
设 ，连接 交 于点 ，若四边形 是菱形，则 ，
解得 （不合题意，舍去），∴点 的坐标为 ．
【点拨】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，菱形的性质，熟练掌握以上
知识是解题的关键．
23．（1）见分析；（2）见分析；（3）
【分析】（1）根据条件证明 即可得到结论；
（2）过点B作 ，连接 ，根据旋转的性质可得 ，进而得到 ，
证明 ，从而得到 ， ，可证明 即可得
到结论；
（3）根据题中条件和 可得 即可求解．
解：（1）证明：∵ 和 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：过点B作 ，连接 ，如图，∵ 绕点C顺时针旋转 ， 和 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 的中点为F，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ ，
由（2）得： ， ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角，也考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质以及三角形
中位线的性质．
24．（1）①AQ弧长为 ；② ；（2）
【分析】（1）①连接 ，根据折叠的性质可得 是等边三角形，可得 ，再根据弧
长公式即可求解；
②过点O作 ，垂足为点G，则 ，根据 可得 ，由此即可求解；
（2）将 沿着 翻折得 AQP，过点Q作 ，垂足为点H，过点P作 ，垂足
△
为点D，则四边形 是矩形， 中，可求出 ，在 中，再根据勾股定理即可求
解．
解：（1）连接 ，由翻折得
∵ ，
∴ 为等边三角形
∴
∴ 弧长为：
②过O作
∴∵翻折
∴
在 与 中
∴
∴
∴
∵
∴
（2）如图所示，将 沿着 翻折得
过点Q作 ，垂足为点H，过点P作 ，垂足为点D
∵
∴四边形 是矩形
由折叠和 （1） 可知，
∵ ，
∴
∴ ，
中，∴ 的长为 ．
【点拨】本题考查圆的几何图形的综合，掌握折叠的性质，圆的基础知识，等边三角形的性质，勾股
定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
