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第21章 一元二次方程单元提升卷
【人教版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（23-24九年级·广东汕头·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
1
A．x+2y=1 B．x2−2xy=0 C．x2+ =3 D．x2−2x+3=0
2x
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最
高次数是2的整式方程是一元二次方程，即可判断求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：A、方程x+2y=1，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，不合题意；
B、方程x2−2xy=0，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意；
1
C、方程x2+ =3，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意；
2x
D、方程x2−2x+3=0，是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
2．（3分）（23-24·河南平顶山·一模）若关于x的一元二次方程(m+2)x2+x+m2−4=0的一个根为0，则
m的值为（ ）
A．−2 B．0 C．2 D．−2或2
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把x=0代入一元二次方程可得m=±2，又
根据m+2≠0可得m≠−2，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m+2)x2+x+m2−4=0的一个根为0，
∴m2−4=0，
∴m=±2，
又∵m+2≠0，
∴m≠−2，
∴m=2，
故选：C．
3．（3分）（23-24九年级·辽宁铁岭·期中）用配方法解一元二次方程x2−6x+2=0时，下列变形正确的
是（ ）A．(x−3) 2=7 B．(x−3) 2=11 C．(x+3) 2=7 D．(x−3) 2=1
【答案】A
【分析】本题主要考查用配方法解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半
的平方配成完全平方式后即可得．
【详解】解：∵x2−6x+2=0，
∴x2−6x=−2，
∴x2−6x+9=−2+9，即(x−3) 2=7，
故选：A．
4．（3分）（23-24九年级·广西梧州·期中）关于x的一元二次方程x2+mx−2(m+3)=0的根情况是
（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、
b、c的值，计算Δ=b2−4ac的值进行判断即可求解．
【详解】由题意可知：a=1，b=m，c=−2(m+3)=−2m−6，
∴Δ=b2−4ac=m2−4×1×(−2m−6)=(m+4) 2+8≥8
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
5．（3分）（23-24九年级·安徽合肥·期中）关于x的方程(x2+x) 2 +2x2+2x−3=0，则x2+x的值是（
）
A．−3 B．1 C．−3或1 D．3或−1
【答案】B
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．
设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t−3=0，然后用因式分解法求解即可．
【详解】解：设x2+x=t，则此方程可化为t2+2t−3=0，
∴(t−1)(t+3)=0，∴t−1=0或t+3=0，
解得t =1，t =−3，
1 2
∴x2+x的值是1或−3．
∵x2+x=−3，即x2+x+3=0，
Δ=12−4×1×3=−11<0
方程无解，故x2+x=−3舍去，
∴x2+x的值是1，
故选：B．
6．（3分）（23-24九年级·广西梧州·期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是
x ，x ，且x =2x ，则m的值是（ ）
1 2 1 2
A．0 B．2 C．−1 D．1
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先利用根与系数的关系得到x +x =−3，x ·x =m+2，再根据x =2x ，求出x =−2，x =−1，即可求
1 2 1 2 1 2 1 2
解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m+2=0的两个实数根是x ，x ，
1 2
∴ x +x =−3，x ·x =m+2，
1 2 1 2
∵ x =2x ，
1 2
∴ 2x +x =−3，
2 2
解得：x =−1，
2
∴ x =2x =−2，
1 2
∴ (−2)×(−1)=m+2，
解得：m=0，
故选：A．
7．（3分）（23-24九年级·浙江温州·期中）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借
阅图书．据统计该阅览室2021年图书借阅总量是7500本，2023年图书借阅总量是10800本．设该社区阅
览室的图书借阅总量从2021年至2023年的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
7500(1+x)=10800 7500(1+x) 2=10800
C． D．
7500[1+(1+x) 2)=10800 7500[1+(1+x)+(1+x) 2)=10800
【答案】B【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据增长率问题的数量关系列出表示经过
两次增长以后图书馆有书的本数的代数式是关键．
经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增长率
为x，则经过两次增长以后图书馆有书 本，即可列方程求解
7500(1+x) 2
【详解】解：根据题意，得 ，
7500(1+x) 2=10800
故选：B．
8．（3分）（23-24九年级·浙江温州·期中）已知m是方程ax2+c=0和方程cx2+a=0的一个实数根，则方
程ax2+2ax+c=0一定有实数根（ ）
A．−1 B．❑√2−1 C．−m D．m
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解
一元二次方程是解题的关键．
由题意知， ， ，则 ，即 ，可求 ，则
am2+c=0 cm2+a=0 am2+c+cm2+a=0 (a+c)(m2+1)=0 c=−a
ax2+2ax−a=0，即x2+2x−1=0，公式法解方程，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，am2+c=0，cm2+a=0，
∴ ，即 ，
am2+c+cm2+a=0 (a+c)(m2+1)=0
解得，a+c=0，即c=−a，
∴ax2+2ax−a=0，即x2+2x−1=0，
解得， ， ，
x =❑√2−1 x =−❑√2−1
1 2
∴方程ax2+2ax+c=0一定有实数根❑√2−1，
故选：B．
9．（3分）（23-24九年级·贵州贵阳·期中）定义：关于x的一元二次方程： 与
a (x−m) 2+n=0
1
，称为“同族二次方程”．如 与 是“同族二次方程”．若
a (x−m) 2+n=0 2(x−3) 2+4=0 3(x−3) 2+4=0
2
关于x的一元二次方程： 与 是“同族二次方程”．则代数式
2(x−1) 2+1=0 (a+2)x2+(b−4)x+8=0−ax2+bx+2019的最大值是（ ）
A．2024 B．2023 C．2022 D．2021
【答案】A
【分析】本题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，先将(a+2)x2+(b−4)x+8=0变形为
，再利用“同族二次方程”定义列出关系式，得到a与b的值，进而利
(a+2)(x−1) 2+(2a+b)x+6−a=0
用非负数的性质确定代数式的最小值．理解“同族二次方程”的定义是解题的关键．
【详解】解：∵ (a+2)x2+(b−4)x+8=0，
∴ ，
(a+2)(x2−2x+1)+2(a+2)x−(a+2)+(b−4)x+8=0
即 ，
(a+2)(x−1) 2+(2a+b)x+6−a=0
∵ 与 是“同族二次方程”，
2(x−1) 2+1=0 (a+2)x2+(b−4)x+8=0
∴ 与 是“同族二次方程”，
2(x−1) 2+1=0 (a+2)(x−1) 2+(2a+b)x+6−a=0
∴2a+b=0，6−a=1，
解得：a=5，b=−10，
则−ax2+bx+2019
=−5x2−10x+2019
=−5(x2−2x+1)+5+2019
，
=−5(x−1) 2+2024≤2024
当x=1时，−ax2+bx+2019取最大值2024，
故选A．
10．（3分）（23-24九年级·河北石家庄·期中）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘
积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两
个方程的根都负根；② ；③ ，其中正确结论的个数是（ ）
(m−1) 2+(n−1) 2≥2 −1≤2m−2n≤1
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x 、x ，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y 、y ．①根据方程
1 2 1 2解的情况可得出x •x =2n＞0、y •y =2m＞0，结合根与系数的关系可得出x +x =-2m、y +y =-2n，进而得出
1 2 1 2 1 2 1 2
这两个方程的根都是负根，①正确；②由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出m2-2n≥0、n2-2m≥0，
将（m-1）2+（n-1）2展开代入即可得出②正确；③根据根与系数的关系可得出2m-2n=（y +1）（y +1）-
1 2
1、2n-2m=（x +1）（x +1）-1，结合x 、x 、y 、y 均为负整数即可得出-1≤2m-2n≤1，③成立．综上即可得
1 2 1 2 1 2
出结论．
【详解】设方程x2+2mx+2n=0的两根为x 、x ，方程y2+2ny+2m=0同的两根为y 、y ．
1 2 1 2
①∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴x •x =2n＞0，y •y =2m＞0，
1 2 1 2
∵x +x =-2m，y +y =-2n，
1 2 1 2
∴这两个方程的根都是负根，①正确；
②∵关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0
同样也有两个整数根且乘积为正，
∴4m2-8n≥0，4n2-8m≥0，
∴m2-2n≥0，n2-2m≥0，
∴（m-1）2+（n-1）2=m2-2n+1+n2-2m+1≥2，②正确；
③∵y •y =2m，y +y =-2n，
1 2 1 2
∴2m-2n=y •y +y +y =（y +1）（y +1）-1，
1 2 1 2 1 2
∵y 、y 均为负整数，
1 2
∴（y +1）（y +1）≥0，
1 2
∴2m-2n≥-1．
∵x •x =2n，x +x =-2m，
1 2 1 2
∴2n-2m=x •x2+x +x =（x +1）（x +1）-1，
1 1 2 1 2
∵x 、x 均为负整数，
1 2
∴（x +1）（x +1）≥0，
1 2
∴2 n -2 m≥-1，即2m-2n≤1．
∴-1≤2m-2n≤1，③成立．
综上所述：成立的结论有①②③．
故选D．
【点睛】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的根的判别式，根据不同结论灵活运用根与系数
的关系是解决本题的关键,也是解决问题的难点．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（23-24九年级·天津西青·期中）将一元二次方程x(x−1)=−1化成ax2+bx+c=0(a>0)的形
式则a+b+c= ．
【答案】1
【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【详解】解：将一元二次方程 化成一般形式 之后，变为 ，
x(x−1)=−1 ax2+bx+c=0(a>0) x2−x+1=0
故a=1,b=−1,c=1，
∴a+b+c=1−1+1=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．
12．（3分）（23-24九年级·山东淄博·期中）已知α、β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，则
a2−4a−2β−2的值是 ．
【答案】2018
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，由题意得出α2−2α=2024，
α+β=2，将a2−4a−2β−2变形为α2−2α−2(α+β)−2，整体代数计算即可得出答案，熟练掌握一元
二次方程根与系数的关系是解此题的关键．
【详解】解：∵α、β是方程x2−2x−2024=0的两个实数根，
∴α2−2α−2024=0，α+β=2，
∴α2−2α=2024，
∴a2−4a−2β−2=α2−2α−2(α+β)−2=2024−2×2−2=2018，
故答案为：2018．
13．（3分）（23-24九年级·北京·期中）方程x2−8x+15=0的两个根分别是一个直角三角形的两条边长，
则直角三角形的第三条边长是 ．
【答案】❑√34或4
【分析】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
先求出方程的解，再分为两种情况，根据勾股定理求出第三边即可．
【详解】解:解方程x2−8x+15=0得：x=3或5，
即直角三角形的两边为3或5，
当5为直角边时，第三边为： ；
❑√32+52=❑√34当5为斜边时，第三边为： ；
❑√52−32=4
故答案为：❑√34或4．
14．（3分）（23-24九年级·浙江温州·期中）在解方程x2+mx−n=0时，小王看错了m，解得方程的根为
6与−1；小李看错了n，解得方程的根为2与−7，则原方程的解为 ．
【答案】x =1，x =−6
1 2
【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，能够根据根与系数的关系求得没有看错的未知字母的值是
解题的关键．
首先根据根与系数的关系求得m，n的值，再进一步解方程即可．
【详解】解：根据根与系数关系得
−n=6×(−1)，−m=2−7，
解得：n=6，m=5，
∴原方程为x2+5x−6=0，
(x−1)(x+6)=0，
x−1=0或x+6=0，
∴x =1，x =−6，
1 2
故答案为：x =1，x =−6．
1 2
15．（3分）（23-24九年级·吉林·期中）嘉琪准备完成题目：解一元二次方程x2−6x+□=0．若“□”表
示一个字母，且一元二次方程x2−6x+□=0有实数根，则“□”的最大值为 ．
【答案】9
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定范围，设□中为m，根据判别式的意义得到
Δ=b2−4ac，然后解不等式求出m后找出最大整数即可，解题的关键是熟练掌握一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac，当方程有两个不相等的实数根时，Δ>0；当方程有两个相
等的实数根时，Δ=0；当方程没有实数根时，Δ<0．
【详解】解：设□中为m，
∵一元二次方程x2−6x+□=0有实数根，
∴ ，
Δ=(−6) 2−4×1×m=36−4m≥0
解得：m≤9，
∴“□”的最大值为9，
故答案为：9．
16．（3分）（23-24九年级·江苏宿迁·期中）对于实数a、b，定义运算“*”； a∗b=¿，关于x的方程(2x)∗(x−1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【答案】−3t>−3
【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于x的一元二次方程，再由关于x的方程
(2x)∗(x−1)=t+3恰好有三个实数根，得到关于x的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确
定t的取值范围．
【详解】解：由新定义的运算可得关于x的方程为：
当 时，即 时，有 ，
2x≤x−1 x≤−1 (2x) 2−2x(x−1)=t+3
−1±❑√2t+7
即：2x2+2x−t−3=0(x≤−1)，其根为：x= 是负数，
2
当 时，即 ，时，有 ，
2x>x−1 x>−1 (x−1) 2−2x(x−1)=t+3
即：x2=−t−2(x>−1)，
要使关于x的方程(2x)∗(x−1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=−t−2(x>−1)和
2x2+2x−t−3=0(x≤−1)都必须有解，
{−t−2≥0)
∴ ，
2t+7≥0
7
∴− ≤t≤−2，
2
（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2(x>−1)只有一个根x=0，
∵当t=−2时，❑√2t+7=❑√3，
−1+❑√3 −1−❑√3
∴ >0， <−1，
2 2
∴此时方程2x2+2x−t−3=0(x≤−1)只有一个根符合题意，
∴t=−2不符合题意；
（2）当−3−1)的两个根−10， <−1，
2 2
∴方程2x2+2x−t−3=0(x≤−1)只有一个根符合题意，
∴当−3−1)的一个根≥1，另外一个根≤−1，
t
∴此时方程x2=−t−2(x>−1)只有一个根符合题意，1 −1+❑√2t+7 −1−❑√2t+7 1
∵− ≤ ≤0，−1≤ <− ，
2 2 2 2
7
∴当− ≤t≤−3时，方程2x2+2x−t−3=0(x≤−1)最多有一个根符合题意，
t
7
∴当− ≤t≤−3时(2x)∗(x−1)=t+3不可能有三个不相等的实根；
t
综上分析可知，t的取值范围是−301±❑√13 1±❑√13
∴x= = ，
2×1 2
1+❑√13 1−❑√13
∴x = ，x = ．
1 2 2 2
18．（6分）（23-24九年级·四川乐山·期中）已知关于x的方程x2+(2k−3)x+k2+1=0．
(1)当k是为何值时，此方程有实数根；
(2)若此方程的两个实数根x 、x 满足：|x |+|x |=4，求k的值．
1 2 2 1
5
【答案】(1)当k≤ 时，方程有实数根
12
1
(2)k=−
2
【分析】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元一次方程 不等式 ，解题的关键是：牢记“当 时，
( Δ≥0
方程有实数根”；根据根与系数的关系结合 找出关于k的一元一次方程．
|x )+|x )=4
2 1
（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值
范围；
（2）根据根与系数的关系可得出 、 ，结合k的取值范围可得出 、 均为正数，
x +x =3−2k x x =k2+1 x x
1 2 1 2 1 2
根据|x |+|x |=4可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．
2 1
【详解】（1）解：∵关于x的方程x2+(2k−3)x+k2+1=0有实数根，
，
∴Δ=(2k−3) 2−4(k2+1)=−12k+5≥0
5
解得：k≤ ，
12
5
当k≤ 时，方程有实数根．
12
（2）解：方程x2+(2k−3)x+k2+1=0的两个实数根为x 、x ，
1 2
，
∴x +x =3−2k x x =k2+1.
1 2 1 2
5
∵k≤ ，
12∴x 、x 均为正数，
1 2
∴|x |+|x |=4，即3−2k=4，
2 1
1
解得：k=− ．
2
19．（8分）（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个
图形，a、b、c是Rt△ABC和Rt△BED的边长，易知AE=❑√2c，这时我们把关于x的形如
ax2+❑√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：
(1)试判断方程x2+2x+1=0是否为“勾系一元二次方程”．
(2)若x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求
△ABC的面积．
【答案】(1)是勾系一元二次方程；
(2)2．
【分析】（1）根据定义，把方程x2+2x+1=0变形为x2+❑√2×❑√2x+1=0，得到a=1,b=1,c=❑√2，满
足a2+b2=c2，判断即可．
（2）根据方程根的定义，新定义，完全平方公式，变形计算即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，方程根，完全平方公式，熟练掌握定义，定理，公式是解题的关键．
【详解】（1）根据定义，方程x2+2x+1=0变形为x2+❑√2×❑√2x+1=0，
得到a=1,b=1,c=❑√2，
且a2+b2=c2，
故方程x2+2x+1=0是否为“勾系一元二次方程”．
（2）∵x=−1是“勾系一元二次方程”ax2+❑√2cx+b=0的一个根，
∴a−❑√2c+b=0，
∴a+b=❑√2c，
∵四边形ACDE的周长是12，
∴2a+2b+❑√2c=12，
∴a+b=4，∴4=❑√2c，
∴c=2❑√2，
∴a2+b2=8，
∵ ，
(a+b) 2=a2+b2+2ab
∴(a+b) 2−(a2+b2)
=ab=4
2
1
∴ ab=2
2
故△ABC的面积为2．
20．（8分）（23-24九年级·重庆忠县·期末）阅读下面材料，解决后面的问题：
我们知道，如果实数a，b满足a2+b2=0，那么a=b=0．利用这种思路，对于m2−2mn+2n2−6n+9=0，
我们可以求出m，n的值．
解法是：∵ ，∴ ，
m2−2mn+2n2−6n+9=0 (m2−2mn+n2)+(n2−6n+9)=0
即 ，∴ ， ，∴ ．
(m−n) 2+(n−3) 2=0 m−n=0 n−3=0 m=n=3
根据这样的解法，完成：
(1)若x2+ y2+8x−2y+17=0，求x+3 y的值；
(2)若等腰△ABC的两边长a，b满足a2+b2=6a+8b−25，求该△ABC的周长；
(3)若正整数a，b，c满足不等式a2+b2+c2+11<3a+ab+6c，求a+b+c的值．
【答案】(1)x+3 y=−1；
(2)△ABC的周长为10或11；
(3)a+b+c=6．
【分析】本题考查的是配方法的应用、等腰三角形的概念、三角形的三边关系，灵活运用配方法是解题的
关键．
（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出x、y，进而求出x+3 y；
（2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性分别求出a、b，根据等腰三角形的概念解答即可；
（3）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性以及有理数的平方、分情况讨论求出a、b、c，计算即
可．
【详解】（1）解：∵x2+ y2+8x−2y+17=0，∴ ，
(x+4) 2+(y−1) 2=0
∴x=−4，y=1，
∴x+3 y=−1；
（2）解：∵a2+b2=6a+86−25，
∴ ，
(a−3) 2+(b−4) 2=0
∴a=3，b=4．
∵a，b是等腰△ABC的两边长，
∴当a是腰，b是底时，△ABC的周长为3+3+4=10；
当b是腰，a是底时，△ABC的周长为4+4+3=11．
综上所述：△ABC的周长为10或11；
（3）解：∵a2+b2+c2+11<3a+ab+6c，
∴4a2+4b2+4c2+44<12a+4ab+24c，
∴ ，
3(a−2) 2+(a−2b) 2+4(c−3) 2<4
∵a，b，c为正整数，
∴c−3=0，即c=3，
而a−2=0或±1，即a=2或1或3，
当a=1时，必有a−2b=0，则b=0.5，与题意不符，舍去，
当a=3时，必有a−2b=0，则b=1.5，与题意不符，舍去，
∴a=2，b=1，c=3，
∴a+b+c=6．
21．（8分）（23-24九年级·重庆·期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧
启发，让人滋养浩然之气”．某社区图书室积极推广全社区阅读活动，决定下半年逐月加大图书购置经费
的投入．其中七月计划购买甲与乙两种书籍共100本．已知书籍甲的单价是68元，书籍乙的单价是50元，
共花费5720元．
(1)请问七月计划购买甲、乙书籍各多少本？
(2)经过比较，图书室工作人员最终决定在新星书城购买书籍甲和乙．书籍甲的单价减少了m元，购买数量
5
增加了 m本．书籍乙的单价不变，购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了10m元，请
2
求出m的值．【答案】(1)甲40本，乙60本
(2)6
【分析】本题主要考查了一元一次方程及一元二次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系列方程是解
题的关键．
（1）设计划购买书籍甲x本，书籍乙(100−x)本，根据甲乙两种书籍共花费5720元列一元一次方程求解
即可；
（2）根据购买甲、乙书籍的总数量也不变，总费用比原计划减少了10m元，列一元二次方程求解即可得
解．
【详解】（1）解：设计划购买书籍甲x本，书籍乙(100−x)本．由题得：
68x+50(100−x)=5720
解得：x=40
100−x=100−40=60
答：计划购买书籍甲40本，书籍乙60本；
（2）解：由题得： ( 5 ) [ ( 5 ))
(68−m) 40+ m +50 100− 40+ m =5720−10m
2 2
∴m2−6m=0
∴m =0（舍），m =6
1 2
答：m的值为6．
22．（8分）（23-24九年级·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P
从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度
移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．
(1)填空：BQ=______cm，PB=______cm；（用含t的代数式表示）；
(2)当t为几秒时，PQ的长度等于4❑√2cm；2
(3)是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ？如果存在，求出t的值，如果不存
3
在，请说明理由．
【答案】(1)2t，(6−t)
2
(2)2s或 s
5
(3)存在，t=2s
【分析】（1）根据路程=速度×时间，BQ=2tcm，AP=tcm，结合已知解答即可．
（2）根据勾股定理PQ2=PB2+BQ2，列式计算即可．
2
（3）根据S =S −S = S 列式计算即可．
四边形APQC △ABC △PBQ 3 △ABC
【详解】（1）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点
Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．
∴BQ=2tcm，AP=tcm，
∴PB=AB−AP=(6−t)cm，
故答案为：2t，(6−t)．
（2）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tcm ，PB=(6−t)cm，
PQ2=PB2+BQ2，
∴ ，
(4❑√2) 2=(6−t) 2+(2t) 2
整理，得5t2−12t+4=0，
2
解得t =2,t = ，
1 2 5
2
当运动时间为2s或运动时间为 s时，PQ的长度等于4❑√2cm．
5
（3）∵∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，BQ=2tcm PB=(6−t)cm，
2
S =S −S = S ，
四边形APQC △ABC △PBQ 3 △ABC
1 1 1
∴ PB·BQ= × AB·BC，
2 3 2
1 1 1
∴ ×2t×(6−t)= × ×6×8，
2 3 2
整理，得t2−6t+8=0，解得t =2,t =4（舍去），
1 2
2
故当运动时间为2秒时，四边形APQC的面积等于△ABC面积的 ．
3
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解
方程是解题的关键．
23．（8分）（23-24九年级·福建泉州·期中）阅读材料，解答问题：
已知实数m，n满足m2−m−1=0，n2−n−1=0，且m≠n，则m，n是方程x2−x−1=0的两个不相等的
实数根，由根与系数的关系可知m+n=1，mn=−1．
根据上述材料，解决以下问题：
（1）直接应用：
已知实数a，b满足：a2−5a+1=0，b2−5b+1=0且a≠b，则a+b=______，ab=______；
（2）间接应用：
2mn+2
已知实数m，n满足：2m2−7m+1=0，n2−7n+2=0，且mn≠1，求 的值．
mn+3n+1
（3）拓展应用：
1 1
已知实数p，q满足：p2−2p=3−t， q2−q= (3−t)且p≠q，求(q2+1)(2p+4−t)的取值范围．
2 2
2mn+2 14
【答案】（1）5，1；（2） = ；（3）(q2+1)(2p+4−t)>4．
mn+3n+1 13
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系的应用
（1）根据根与系数的关系即可求解；
1
（2）先验证m≠0，再在2m2−7m+1=0两边同时除以m2，得 ,n是一元二次方程x2−7x+2=0的两个
m
1 1
不等实数根，求出 +n=7, ⋅n=2，变形代入即可；
m m
（3）先根据题意得到p,q是一元二次方程x2−2x=3−t的两个不等实数根，求出p+q=2,pq=t−3代入
化简，又因为 是方程 的两个不等实数根，利用根与系数的关系即可求
(q2+1)(2p+4−t) p,q x2−2x=3−t
解．
【详解】解：（1）由题意得：a，b是方程x2−5x+1=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知
a+b=5，ab=1；
解：（2）∵把m=0代入2m2−7m+1得1≠0不合题意，∴m≠0
( 1) 2 1
∴2m2−7m+1=0两边同时除以m2得 −7 +2=0,
m m
又∵n2−7n+2=0，且mn≠1，
1
∴可将 ,n看作一元二次方程x2−7x+2=0的两个不等实数根，
m
1 1
∴利用根与系数的关系可得出 +n=7, ⋅n=2，
m m
∴mn+1=7m,n=2m，
2mn+2 2(mn+1) 2⋅7m 14
∴ = = = ．
mn+3n+1 (mn+1)+3n 7m+3⋅2m 13
1 1
解：（3）将方程 q2−q= (3−t)两边同时乘以2得q2−2q=3−t，
2 2
又∵p2−2p=3−t，且p≠q，
∴可将p,q看作一元二次方程x2−2x=3−t的两个不等实数根，
∴利用根与系数的关系可得出p+q=2,pq=t−3,q2=2q+3−t,
∴(q2+1)(2p+4−t)
=(2q+3−t+1)(2p+4−t)
=(2q+4−t)(2p+4−t)
=4 pq+8q−2qt+8p+16−4t−2pt−4t+t2
=4 pq+8(p+q)−2t(p+q)+16−8t+t2
=4(t−3)+8×2−2t⋅2+16−8t+t2
=4t−12+16−4t+16−8t+t2
=t2−8t+20
=(t−4) 2+4
∵p,q是方程x2−2x=3−t的两个不等实数根，
∴Δ=(−2) 2−4(t−3)=4−4t+12=16−4t>0,
∴t<4．
