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专题21.28 一元二次方程（中考常考考点分类专题）（提升练 ）
一、单选题
【考点1】一元二次方程定义★★一元二次方程的解★★整体（降次）思想
1．（2022·内蒙古呼和浩特·校考一模）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1
的值为（ ）
A．62 B．63 C．64 D．65
2．（2019·广东中山·中山市坦洲中学校考一模）如果关于x的一元二次方程 ，
有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3 B． C． D．0或
【考点2】解一元二次方程★★配方法及其运用
3．（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程 配方成 的形式，下列配方结
果正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2010·江苏泰州·中考真题）已知 （m为任意实数），则P、Q的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【考点3】解一元二次方程★★公式法与因式分解解一元二次方程
5．（2020·辽宁营口·中考真题）一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）
A．x＝2，x＝﹣3 B．x＝﹣2，x＝3
1 2 1 2
C．x＝﹣2，x＝﹣3 D．x＝2，x＝3
1 2 1 2
6．（2023·全国·九年级假期作业）若关于 的一元二次方程 有一个解为 ，则 的
值是（ ）
A．1 B．3 C． D．4【考点4】一元二次方程定义★★根的判别式
7．（2023春·广东深圳·八年级深圳外国语学校校考期末）若关于 的一元二次方程 有实
数 根，则 可取的最大整数值为（ ）
A．1 B．0 C． D．
8．（2023春·浙江金华·八年级校联考阶段练习）已知关于x的方程 有两个实数
解，求k的取值范围（ ）
A． B． 且 C． D． 且
【考点5】一元二次方程的解★★根与系数关系★★整体思想
9．（2023·内蒙古包头·二模）已知 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则代数式
的值等于（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
10．（2023·山东泰安·统考一模）已知 、 是一元二次方程 的两个实数根，则代数
式 的值为（ ）．
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【考点6】根与系数关系★★分式的化简★★二次根式★★整体思想
11．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知 ， 是一元二次方程 的两根，则 的
值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·湖北武汉·统考二模）已知a，b是一元二次方程 的两根，则的值是( )
A． B． C． D．
【考点7】根的判断式★★根与系数关系★★整体思想
13．（2023·全国·九年级假期作业）关于 的方程 有实数根，方程的两根分别是 、 ，
且 ，则 值是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023·上海·八年级假期作业）已知 ， 是关于 的一元二次方程 的两实
数 根，且满足 ，则 的值是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【考点8】一元二次方程的解★★几何问题
15．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）如图，矩形 中，
，将矩形沿对角线 翻折，点B的对应点为点 ， 交 于点E，若 ，则
（ ）
A．2 B．3 C． D．
16．（2020秋·福建厦门·九年级校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB
＝EC＝a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3＝0的根，则平行四边形ABCD的周长为（ ）A．12-6 B．6 +12 C．4+2 D．4-2
【考点9】一元二次方程的解★★函数问题
17．（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级校联考阶段练习）函数 的图象如图所示，则关于
的一元二次方程 的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
18．（2020春·浙江温州·九年级校联考阶段练习）若函数y＝ 的自变量x的取值范围为一切
实数，则m的取值范围是( )
A．m≤1 B．m＝1 C．m＞1 D．m＜1
【考点10】一元二次方程的解➽➼增长率★★图形问题
19．（2023·四川成都·成都实外校考一模）随着疫情影响消退和消费回暖，2023年电影市场向好．某
电影上映的第一天票房约为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房6.62亿元，
若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为 ，则根据题意，下
列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023·广西贺州·校考一模）如图，在宽为 、长为 的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要 ，则修建的路宽应为（ ）
A． B． C． D．
【考点11】一元二次方程的解➽➼利润问题
21．（2023·河北唐山·统考一模）某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元．当每瓶售价为10元时，日
均销售量为160瓶，经市场调查表明，每瓶售价每增加1元，日均销售量减少20瓶．若超市计划该
饮料日均总利润为700元，且尽快减少库存，则每瓶该饮料售价为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．14
22．（2021·辽宁沈阳·统考二模）某种服装，平均每天可销售50件，每件利润40元．若每件降价5元，
则每天多售10件．如果要在扩大销量的同时，使每天的总利润达到2100元，每件应降价多少元？
若设每件应降价 元，则可列方程得（ ）
A． B．
C． D．
【考点12】一元二次方程的解➽➼其他问题
23．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考二模）已知日升租车公司有甲、乙两个营业点，
顾客租车后于当日营业结束前必须在任意一个营业点还车．某日营业结束清点车辆时，发现在甲归
还的车辆比从甲出租的多4辆．若当日从甲出租且在甲归还的车辆为13辆，从乙出租且在乙归还的
车辆为11辆，则关于当日从甲、乙出租车的数量下列比较正确的是（ ）
A．从甲出租的比从乙出租的多2辆 B．从甲出租的比从乙出租的少2辆
C．从甲出租的比从乙出租的多6辆 D．从甲出租的比从乙出租的少6辆
24．（2023·黑龙江鸡西·校考一模）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目
的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，则每个支干长出小分支的个数是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．5二、填空题
【考点1】一元二次方程定义★★一元二次方程的解★★整体（降次）思想
25．（2023·福建泉州·统考二模）若m是一元二次方程 的根，则 的值为
26．（2023·广东广州·统考一模）若关于 的一元二次方程 的一个根为 ．则
．
【考点2】解一元二次方程★★配方法及其运用
27．（2011·广西崇左·中考真题）若 为正实数，且 ，则 = ．
28．（2023·江苏连云港·统考中考真题）若 （ 为实数），则 的最
小值为 ．
【考点3】解一元二次方程★★公式法与因式分解解一元二次方程
29．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）方程 的解是 ．
30．（2020·贵州毕节·统考中考真题）关于 的一元二次方程 有一个根是 ，
则 的值是 ．
【考点4】一元二次方程定义★★根的判别式
31．（2023·辽宁大连·校联考二模）若关于x的一元二次方程 恰有一个根小于
0，则k的取值范围是 ．
32．（2023·辽宁辽阳·统考三模）若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
m的取值范围是 ．
【考点5】一元二次方程的解★★根与系数关系★★整体思想
33．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）已知 ， 是一元二次方程 的两
个根，则 的值等于 ．34．（2023·四川成都·成都七中校考三模）若 ， 是方程 的两根，则
．
【考点6】根与系数关系★★分式的化简★★二次根式★★整体思想
35．（2023·全国·九年级假期作业）已知a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，则
的值是 ．
36．（2023·上海·八年级假期作业）已知a，b是方程 的两个根，则 的值
．
【考点7】根的判断式★★根与系数关系★★整体思想
37．（2023·黑龙江绥化·统考二模）若 是方程 的两个实数根，且
，则m的值为 ．
38．（2023·山东烟台·统考一模）关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， ，满
足 ，则 的取值范围是 ．
【考点8】一元二次方程的解★★几何问题
39．（2023·四川泸州·统考一模）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程
的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
40．（2022秋·四川攀枝花·九年级校考期末）菱形 的两边 ， 的长是关于x的方程
的两个实数根，则菱形的边长为 ．
【考点9】一元二次方程的解★★函数问题
41．（2023·江苏镇江·镇江市外国语学校校考一模）函数 的部分图象如图所示，当 时，
x的取值范围是 ．42．（2020秋·四川成都·九年级成都外国语学校校考期中）从3，0， ， ， 这五个数中，随机
抽取一个数作为m的值，则使函数 的图象经过一、三象限，且使关于x的方程
有实数根的概率是 ．
【考点10】一元二次方程的解➽➼增长率★★图形问题
43．（2017·上海·中考真题）某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%，
如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是 微
克/立方米．
44．（2023·山东烟台·统考一模）如图，王师傅要建一个矩形羊圈，羊圈的一边利用长为 的住房墙，
另外三边用 长的彩钢围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边要留出 安装木门．若要使
羊圈的面积为 ，则所围矩形与墙垂直的一边长为 ．
【考点11】一元二次方程的解➽➼利润问题
45．（2023·内蒙古·二模）端午节又称端阳节，是中华民族重要的传统节日，我国各地都有吃粽子的
习俗，某超市以9元每袋的价格购进一批棕子，根据市场调查，售价定为每袋15元，每天可售出200
袋；若售价每降低1元，则可多售出70袋，问此种粽子售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的
利润可达到1360元？若设每袋棕子售价降低x元，则可列方程为 ．
46．（2022·吉林长春·校考模拟预测）某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 元，平均
每天可售出 千克，经市场调查发现，若每千克每涨价一元，平均日销量将减少 千克，要使商场
每天获利最多，那么每千克应涨价 元．【考点12】一元二次方程的解➽➼其他问题
47．（2023·广东汕头·校考一模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形
中一共有4个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22
个圆．……按此规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则 ．
48．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不
去，
横着比城门宽 ，竖着比城门高 ，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一
试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为 ．参考答案
1．B
【分析】把方程的解代入方程得到关于a的等式，然后利用等式对代数式进行化简求值．
解：∵ 是一元二次方程 的一个根，
∴
∴
∴
故选：
【点拨】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的等式，利用等式对代
数式进行化简并求出代数式的值．
2．B
【分析】把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，解关于m的一元二次方程，注意m的取值不能使原
方程对二次项系数为0．
解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得
m2-9=0，
解得m=-3或3，
当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去，
∴m=-3
故选：B．
【点拨】本题考查的是一元二次方程解的定义，一元二次方程的概念，掌握方程的解的含义是解题的
关键.
3．D
【分析】先二次项化系数为1，将常数项移到方程的右边，然后方程两边同时加上一次项系数的一半，
即可求解．
解：
二次项化系数为1得：
移项得：
配方得：整理得：
故选：D．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
4．C
解：Q-P= ＞0，即 ，故选C.
5．D
【分析】利用因式分解法解方程．
解：（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
∴x ＝2，x ＝3．
1 2
故选：D．
【点拨】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，
这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
6．C
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把 代入一元二次方程可得到关于 的一元一次方程，
然后解一元一次方程即可．
解：把 代入 得 ，
解得 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元
二次方程的根．
7．C
【分析】根据一元二次方程具有实数根，得到 ，求出k的取值范围，再结合二次项系数不
等于0，即可求出k的最大整数值．
解：根据题意得： ，且 ，
解得： ，则k可取的最大整数值为 ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了一元二次方程，熟练有实数根是 以及二次项系数不等于0是解题
的关键．
8．D
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式 以及二次根式有意义的条件，即可得出关于k的一元
一次不等式组，然后求解即可解答．
解：∵关于x的方程 有两个实数解，
∴ 且 ，解得： 且 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件等知识点，根据
二次项系数非零及根的判别式 ，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
9．B
【分析】由一元二次方程根与系数的关系，可得 ，根据一元二次方程根的定义得 ，
由 ，整体代入求解即可．
解： ， 是一元二次方程 的两个实数根，
， ，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系．
10．D
【分析】由根与系数的关系得 ，根据一元二次方程根的定义得到 ，则
，整体代入求解即可．
解： 、 是一元二次方程 的两个实数根，，
是一元二次方程 的实数根，
即 ，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值等知识．解题的关键在于熟练
掌握一元二次方程根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两根时，
， ．
11．B
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，进而可得 ，
，根据二次根式的性质化简即可求解．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两根，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质以及
一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
12．C
【分析】根据a，b是一元二次方程 的两根可得 ，分式化简得 ，将
代入求解即可．解：∵a，b是一元二次方程 的两根，
∴ ．
∴
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握相关公式和法则是解题的关
键．
13．B
【分析】根据韦达定理可知 ， ，利用完全平方公式可得
，整体代入解方程即可．
解： 关于 的方程 有实数根，方程的两根分别是 、 ，， ，
，
，
，
，
整理得： ，
解得 ，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了根与系数的关系、解一元二次方程，掌握根与系数的关系并利用完全平方公式变
形是解题关键．
14．C
【分析】根据根与系数的关系，得 ， ，代入已知等式可得到关于 的方程，
可求得 的值，再根据方程根的判别式进行取舍．
解： ， 是关于 的一元二次方程 的两实数根，
， ，
，
，
解得： ，，
， 均符合题意，
故选： C．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系，利用 表示出两根之和是解题的关键．
15．D
【分析】设 ，求出 ，得到 ，由 得到
，由折叠的性质得到进一步得到 ，在 中得到 ，
解方程即可得到答案．
解：设 ，
在矩形 中， ， ， ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵矩形沿对角线 翻折，点B的对应点为点 ， 交 于点E，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
∴ ．
故选：D
【点拨】此题考查了矩形的折叠问题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、一元二次方程的应用，熟练掌握折叠的性质和利用勾股定理得到一元二次方程是解题的关键．
16．C
【分析】先解方程求得a的值，再根据勾股定理求得AB的长度，从而计算出 的周长即可．
解：x2+2x－3=0，
（x－1）（x+3）=0，
即x=1或－3，
a=1，
AE=EB=EC=1，
在Rt 中，AB= ，BC=2，
的周长=2（AB+BC）=4+ ．
故选：C．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，掌握一元二次方程的解法以及勾股
定理的应用是解题关键．
17．C
【分析】根据一次函数图象经过的象限找出 、 的正负，再结合根的判别式即可得出 ，由此即
可得出结论．
解：由图象可得 ，
，
，
，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【点拨】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及根的判别式，根据一次函数图象经过的象限找出
、 的正负是解题的关键．
18．C
【分析】根据函数y＝ 的自变量x取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解，即△=4-4m＜0，即可解得m的取值．
解：∵函数y＝ 的自变量x的取值范围为一切实数，
∴ 无解，
即： ，
化简为： ，
解得： ，
故选C．
【点拨】考查了根的判别式，本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．
19．D
【分析】设平均每天票房的增长率为 ，根据平均增长率的意义列式求和计算即可．
解：设平均每天票房的增长率为 ，则根据题意，得
．
故选D．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握平均增长率的意义是解题的关键．
20．C
【分析】要求修建的路宽，就要设修建的路宽应为x米，根据题意可知：(矩形的宽-路宽)×(矩形的长-
路宽) =耕地面积，依此列出等量关系解方程即可．
解：设修建的路宽应为x米
根据等量关系列方程得：(20-x)(30-x) =504，
解得： （不合题意，舍去），
故选：C．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出
合适的等量关系，列出方程．
21．A
【分析】根据“总利润=每瓶利润 日均销售量”列方程求解可得．
解：设每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元，根据题意的，
，
解得x=11， x=13，
1 2当x=11时， ，当x=13时，
1 2
，且 ，
尽快减少库存，
每瓶该饮料售价为11元．
故选：A．
【点拨】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系，并据
此列出方程．
22．A
【分析】关系式为：每件服装的盈利×（原来的销售量+增加的销售量）＝2100，设每件服装应降价x
元，根据题意，即可列出方程．
解：设每件服装应降价x元，根据题意，得：
故选：A．
【点拨】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决本题的难点；根据每天盈利
得到相应的等量关系是解决本题的关键．
23．B
【分析】设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意列方程解答即可．
解：设当日从甲、乙出租的车数量分别为x辆，y辆，根据题意得：
，
所以 ，
即从甲出租的比从乙出租的少2辆．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了二元一次方程在实际生活中的应用，关键是找出题目中的等量关系，列出方
程．
24．B
【分析】设每个支干长出小分支的个数是 ，根据主干、支干和小分支的总数是21，列出一元二次方
程，进行求解即可．
解：设每个支干长出小分支的个数是 ，由题意，得：，
解得： （舍去）；
∴每个支干长出小分支的个数是4；
故选B．
【点拨】本题考查一元二次方程的应用．找准等量关系，列出一元二次方程，是解题的关键．
25．6
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得出 ，从而可求出 ， ，再
将 整理变形，最后整体代入求值即可．
解：∵m是一元二次方程 的根，
∴ ，
∴ ， ，
∴
．
【点拨】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程成立的未知数的
值是解题关键．
26．
【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到 ，根据题意求解即可．
解：将 代入 得
，整理得 ，
解得 或
当 时，原方程二次项系数为零，不满足题意，
，故答案为：
【点拨】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键．
27．
【分析】由m- =3，得m2-3m-1=0，即(m- ，因为m为正实数，可得出m的值，代入m2-
，解答出即可；
解：由m- =3得，
得m2-3m-1=0，即(m- ，
∴m= ，
1
因为m为正实数，∴m=
；
故答案为：3 ．
28．
【分析】运用配方法将 变形为 ，然后根据
非负数的性质求出 的最小值即可．
解：
=
=
=
∵ 为实数，∴
∴ 的最小值为 ,
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，解题时注意配方的步骤，注意在变形的过程
中不要改变式子的值．
29． ，
【分析】先把两边同时乘以 ，去分母后整理为 ，进而即可求得方程的解．
解： ，
两边同时乘以 ，得
，
整理得：
解得： ， ，
经检验， ， 是原方程的解，
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查了分式方程和一元二次方程的解法，熟练掌握分式方程和一元二次方程的解法是解
决本题的关键．
30．1
【分析】把方程的根代入原方程得到 ，解得k的值，再根据一元二次方程成立满足的条
件进行取舍即可．
解：∵方程 是一元二次方程，
∴k+2 0，即k ；
又 是≠该方程的≠-一2个根，
∴0 ，解得， ， ，
由于k ，
所以，≠-2 ．
故答案k为=：11．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解．解此类题时，要擅于观察已知的是哪些条件，从而有针对性
的选择解题方法．同时要注意一元二次方程成立必须满足的条件，这是容易忽略的地方．
31．
【分析】先求出 的解，再根据恰有一个根小于0，得 ，即可得答案．
解：
解得： ，
恰有一个根小于0，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解法，一元一次不等式的解法，解题的关键是求出方程
的解．
32． 且
【分析】根据一元二次方程根的判别式，建立关于m的不等式，结合二次项系数不为0，求出m的取
值范围即可．
解： 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
且 ，
解得 且 ，
故答案为： 且 ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
33．
【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出 , ，代入
求值即可．
解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
则 ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求
值．
34．
【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得 ，
，则 ， ，代入代数式即可求解．
解：∵ ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∴ ， ，
即 ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
35．1
【分析】先将分式化简，再根据一元二次方程根与系数的关系得出 ，即可求解．
解： ，
∵a、b为一元二次方程 的两个不等实数根，
∴ ，
∴原式 ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了分式的化简，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方
程 ，两根之和为 ，两根之积为 ．
36．
【分析】由根与系数关系知 ， ，即知a＜0，b＜0，化简原式
，所以原式
故答案为：﹣14．
解：∵a，b是方程 的两个根，
∴ ， ，
∴a＜0，b＜0，
∴∴原式
故答案为：﹣14．
【点拨】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够根据a,b的
关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键．
37．
【分析】将 变形为 ，然后根据根与系数的关系代入求解即可．
解： ，
故无论m为何值，该方程都有两个不等的实数根．
∵ 是方程 的两个实数根，
∴ ， ，
∵
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题
的关键．
38．
【分析】根据题意可得出 ， ，整体代入 ，即可求出
．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式 ，可求出 ，最后取其公共解即可．
解：∵关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， ，
∴ ， ，
∴ ，∴ ．
∵ ，
∴ ，
解得： ．
∵该方程有两个实数根，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程的解
的情况求参数．掌握一元二次方程 的根的判别式为 ，且当 时，该方
程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两个相等的实数根；当 时，该方程没有实数根．熟
记一元二次方程根与系数的关系： 和 是解题关键．
39．
【分析】根据直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程 的两个实数根，可直接设
出 ，根据韦达定理和勾股定理求解即可．
解：设两条直角边的长分别是 ，
∴ ，
∴ ，
∴直角三角形斜边的长是 ．
故答案为：
【点拨】此题考查一元二次方程的根与系数的关系和勾股定理，解题关键是一元二次方程的根与系数
的关系为 ．40． /0.5
【分析】根据菱形的边 ， 的长是关于x的方程 的两个实数根，得到 ，
求得 ，原方程的两个实数根为 ，得到菱形 的边长是 ．
解：∵四边形 是菱形，
∴ ．
又∵ ， 的长是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，
∴ ，
当 时，原方程为 ，即 ，
解得： ，
∴菱形 的边长是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了菱形，一元二次方程等，解决问题的关键是熟练掌握菱形的性质，一元二次
方程的根的判别式，解一元二次方程．
41． 或
【分析】令 求出函数与 轴的交点坐标，结合图象， 轴下方的图象对应的 的范围即为所求．
解：令 得： ，
，
，
或 或 ，
解得： ， ， ，
函数图像与 轴的交点坐标为： ， ， ，结合图象，当 时， 的取值范围是： 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了函数的图象，考查数形结合思想，令 求出函数与 轴的交点坐标是解题的关
键．
42．
【分析】由正比例函数的图象及其性质可判断3，0， ， ， 五个数均符合，由一元二次方程根
的判别式可判断出只有 ， ， 三个数符合题意，故概率为 ．
解：∵ 的图象经过一、三象限
∴
即
3，0， ， ， 这五个数均符合
关于x的方程 其中
则
令
解得 时关于x的方程 有实数根
故 ， ， 三个数符合题意
则P= ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了正比例函数图象及其性质和一元二次方程根的判别式．当 时正比例函数图象
过第一、三象限， 时正比例函数图象过第二、四象限；使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整
理成一般形式，再确定a，b，c的值．注意利用判别式可以判断方程的根的情况，反之，当方程有两个不
相等的实数根时， ；有两个相等的实数根时， ；没有实数根时， ．当 时，方
程有两个相等的实数根，不能说方程只有一个根．
43．40.5
解：依题意有
50×（1﹣10%）2=50×0.92=50×0.81=40.5（微克/立方米）．答：今年PM2.5的年均浓度将是40.5微克/立方米．
考点：有理数的混合运算.
44． /8米
【分析】设所围矩形与墙垂直的一边长为 时，羊圈面积为 ，此时所围矩形与墙平行的一边长
为 米，利用矩形的面积计算公式，即可得出关于 的一元二次方程，解之即可得出 的值，再
结合住房墙的长度为 ，即可确定所围矩形与墙垂直的一边长的长度．
解：设所围矩形与墙垂直的一边长为 时，羊圈面积为 ，此时所围矩形与墙平行的一边长为
米，
由题意得： ，
整理得： ，
解得： 或 ，
当 时， ，不符合题意，舍去；
当 时， ，符合题意，
当所围矩形与墙垂直的一边长为 时，羊圈面积为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
45．
【分析】由售价及销售间的关系，可得出降价后每袋粽子的销售利润为 ，每天可售出
袋，利用超市每天售出此种粽子的利润 每袋的销售利润 日销售量，即可得出关于 的一元二
次方程，此题得解．
解：根据题意得：每袋粽子的销售利润为 ，每天可售出 袋，
∴超市每天售出此种粽子的利润 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题
的关键．46．7.5
【分析】设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，再根据利润=每千克盈利×日销售量，列出y
与x的函数关系式，然后配方求最值即可．
解：设每千克应涨价x元，商场每天的利润为y元，
根据题意得：
当 时，y取得最大值，最大值为6 125．
所以要使商场每天获利最多，每千克应涨价7.5元．
故答案为：7.5．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的
关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二
次函数的最值结合，求出结论．
47．11
【分析】根据前几个图形圆的个数，找出一般求出规律，得出第n个图形中圆的个数 ，然
后列出方程，解方程即可．
解：因为第1个图形中一共有 个圆，
第2个图形中一共有 个圆，
第3个图形中一共有 个圆，
第4个图形中一共有 个圆；
可得第n个图形中圆的个数是 ；
，
解得 （舍）， ，
故答案为：11．
【点拨】本题主要考查了图形规律探索，一元二次方程的应用，解题的关键是找出一般规律，列出方程．
48．
【分析】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程
即可．
解：设竹竿的长为x米，
由题意得： ，
解得： ， （舍去），
故答案为： ．
【点拨】考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．
