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第22 章 二次函数（单元测试·基础卷）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．图象的对称轴为 B．图象的顶点坐标为
C．函数的最大值是 D．函数的最小值是
2．已知关于 的一元二次方程 无实数根，则抛物线 的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知二次函数 的 与 的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（ ）
… …
… …
A．直线 B．直线 C．直线 D． 轴
4．在同一直角坐标系中，函数 和 的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线 与抛物线 相交于点 ，过点P作x轴的平行线，与两条抛物
线分别交于点M，N，若点M是 的中点，则 的值是（ ）A． B．2 C． D．3
6．如图，已知直线 为常数）与抛物线 ， 为常数）相交于点 ， ，与坐
标轴相交于点 ， ，且 ， ， ， 四点的横坐标分别为 ，0，2，3，则不等式
的解为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，二次函数 ，当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，若 有两个相等的值，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知二次函数 ，把图象向右平移 个单位长度后，使两个函数图象与 轴的交点中，相
邻的两个交点之间的距离都相等，则 的值为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．如图（1），金桥公园是省城太原一座综合性城市公园，该公园最大的亮点是中心湖配备的功能强大
的音乐喷泉，喷泉呈拁物线型，最高可喷60米高．如图（2），是两个连续喷泉，建立平面直角坐标系后，它们关于 轴对称， 轴左侧喷泉可用 表示，则两个喷泉最高点之间的距离是
（ ）
A．104米 B．52米 C．26米 D．120米
10．已知二次函数 的图象如图所示，有下列5个结论：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ，（m为任意实数）．
其中正确的结论有________个
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．二次函数 的图象的对称轴是直线 ．
12．抛物线 ，当 时，函数y的取值范围是
13．已知二次函数 ，当 时，y的最大值为4，则k的值为 ．
14．已知 ， ， 三点都在二次函数 的图象上，则 ， ，
的大小关系为 ．15．如图是某抛物线型的拱桥示意图，已知该抛物线的函数表达式为 ，为了给行人提供生
命保障，在该拱桥上距水面 高为8米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离
为 米．
16．抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，其部分图象如图
所示，则一元二次方程 的解为 ．
17．能使分式方程 有非负实数解，且使二次函数 的图象与 轴交点在原点的上
方的 的取值范围是 ．
18．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点；将 绕点 旋转 得到抛物线 ，
交 轴于 ；将 绕点 旋转 得到抛物线 ，交 轴于 ， ，如此进行下去，则抛物线 的解析
式是
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，已知经过原点的抛物线y=2x2+mx与 轴交于另一点A(2，0)．
（1）求 的值和抛物线顶点 的坐标；
（2）求直线 的解析式．20．（8分）如图，抛物线 （a、c为常数， ）经过点 、 ，顶点
为P，连接 ．
(1)求 的长；
(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线 ，点A的对应点为 ，点P的对应点为
，当四边形 是面积为12的平行四边形，且点 在y轴的左侧时，求平移后得到的抛物线 的
表达式．
21．（10分）如图，抛物线 的顶点坐标为 ，对称轴与x轴交于点E，与x轴交于
点A，B两点，请回答下列问题．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在y轴上，且 ，求线段 的长．22．（10分）为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销一种成本价为
每千克40元的农产品，下图是该种农产品的日销售量y（千克）与销售单价x（元）之间的函数图象，请
结合图象回答下列问题：
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当销售单价定为多少元时，日销售利润最大?最大利润是多少?
23．（10分）如图，已知二次函数 的图象经过点 和点 ．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标；
(3)点 （其中 ）与点 均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求 的值及点 的坐标．
24．（12分）阅读与思考
下面是小牛同学的部分日记，请仔细阅读并完成相应的任务：
二次函数的应用
×年×月×日
今天在数学活动学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是
2，个位上的数的和等于10）， ， ， ，…， ， ， ．
请你先猜想，积最大的是______ ______，并说明理由．
猜想：积最大的是 ．
理由如下：
设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为 ．
根据题意得 ，…
任务：
(1)上面日记中的分析过程中主要运用的数学思想是______．
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．函数思想
(2)请补全小牛的日记中的解题过程．
(3)下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是8，十位上的数与个位上的数组成的数的和
等于100）， ， ， ，…， ， ， ．用以上方法猜想其
中哪个积最大，并说明理由．参考答案：
1．B
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质进行判断即可．熟练掌握二次函数
图象和性质是解题的关键．
【详解】解： ， ，
函数图象的开口向下，其图象的对称轴为直线 ，
函数图象的顶点坐标为 ，二次函数有最大值，最大值为1，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了将二次函数化为顶点式及一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数图像的性质是
解题的关键．根据二次函数的性质得出顶点坐标，再根据一元二次方程无实根得出 的取值范围，即可求
解．
【详解】解： ，
抛物线顶点坐标为 ，
又关于 的一元二次方程 无实数根，
，
解得： ，
，
抛物线 的顶点所在象限是第二象限．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
根据当 、 时的函数值都是 ，结合二次函数的对称性求解即可，
【详解】解：∵当 、 时的函数值都是 ，
∴这个二次函数图象的对称轴是直线 ，即 ，
故选 ．
4．D【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵
活解题．
根据直线 求得m的符号，然后根据二次函数的性质即可判断．
【详解】解： A．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝上，与图象不
符，故A选项不符合题意；
B ．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝上，称轴为
，则对称轴应在y轴左侧与图象不符，故B选项不符合题意；
C．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝下，故 C 选项不符合题意；
D．由函数 的图象可知 ，即函数 开口方向朝上，对称轴为
则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确．
故选：D．
5．D
【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数上点的坐标特征，由抛物线的对称性可知 ，
，从而可得 ， ，再由点M是 的中点，即可得到 ，即： ，
再根据 ， 即可得到 ，进而可得 ，即可求解．解题的关键在于能够求出
， ．
【详解】解：抛物线 的对称轴为 ，抛物线 的对称轴为 ，
∵抛物线 与抛物线 相交于点 ，∴由抛物线的对称性可知 ， ，
∴ ， ，
∵点M是 的中点，
∴ ，即： ，
将 ，代入 ， 可知： ， ，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了二次函数与不等式（组 ：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变
量的取值范围，把解不等式问题转化为比较两函数值的大小．几何函数图象，写出抛物线在直线上方所对
应的自变量的范围即可．
【详解】解： 直线 为常数）与抛物线 ， 为常数）交点 、 的横坐标分
别为 ，3，当 时， ，
即 的解集为 ．
故选：B
7．C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式
是解题的关键，由二次函数 ，当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，
得 ，进而根据一元二次方程根的判别式列方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数 ，当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 有两个相等的值，
∴ ，
解得 ，
故选∶C．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的平移，二次函数图象与 轴交点问题，先求得平移前的交点坐标，进而根
据平移的性质求得平移后的坐标，进而分两个函数图象与 轴的交点个数为 个和 个时，分类讨论，即可
求解．
【详解】解：二次函数 中，
当 时，
解得： ，则 与 轴的交点坐标为：
∵把图象向右平移 个单位长度后，则两个函数图象与 轴的交点为 ，即
∵相邻的两个交点之间的距离都相等，当 和 重合时，
时，解得： ，
当两个图象与 轴有四个交点时，依题意，
解得：
∴ 或
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，根据两条抛物线的对称性，可知轴左面抛物线的顶点到y轴
的距离即为两个最高点的距离．
【详解】解：y轴左侧抛物线对称轴为： ，
∴左面抛物线的顶点到y轴的距离为 米，
∵两条抛物线关于y轴对称，
∴两个最高点之间的距离为： 米，
故选：B．
10．B
【分析】本题考查二次函数的图像及性质，由抛物线的开口方向判断 与 的关系，由抛物线与 轴的交
点判断 与 的关系，然后根据抛物线对称性进行推理，进而对所得结论进行判断，熟练掌握二次函数的
图像及性质，能从图像中获取信息是解题的关键．
【详解】解：① 抛物线的开口方向向下，
，
对称轴在 轴右侧，
对称轴 ，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，
，
，
故①错误；
②当 时， ，
，故②错误；
③当 时， ，故③正确；
④由图像可知对称轴为直线 ，
则 ，
，
，
，故④正确；
⑤ 图像开口向下；
当 时， 有最大值 ，
当 时， ，
当 时， ，
即当 时， ，不符合题意，
故⑤错误；
正确的结论有两个；
故选：B
11．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质．掌握二次函数 的对称轴公式为 是
解题关键．根据二次函数 的对称轴为直线 求解即可．
【详解】解：二次函数 图象的对称轴为直线 ．故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了抛物线图像与性质，根据抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为 ，处于
取值范围内，将对称轴代入抛物线解析式即可得到y的最小值，再根据距离对称轴 越远的函数值越大，
即可得到y的最大值，并注意根据 取值范围，y的取值能否等于最小值和最大值，即可解题．
【详解】解：由题可知：抛物线 开口向上，对称轴为 ，
，
的最小值为 ，
，
的最大值为 ，
当 时，函数y的取值范围是 ，
故答案为： ．
13． 或
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的
性质，在指定的范围内准确求出函数的最大值是解题的关键．
由题意可知 的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，分两种情况讨论：当 时；
当 时，结合题意利用二次函数的性质求解即可．
【详解】解： 的对称轴为直线 ，
顶点坐标为 ，
当 时，当 时，y的最大值为4，
∵y的最大值为4， 距离对称轴最远，
∴ ，
∴ ；
当 时，在 ，当 时，函数有最大值，∴ ，
解得 ；
综上所述：k的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
14． /
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当
时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当 时，距离对称轴越远的点，函数值越小．先确定抛
物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的
大小．
【详解】解：∵二次函数 的图像开口方向向上，对称轴是直线 ，
∴ 距对称轴的距离是 ， 距对称轴的距离是3， 距对称轴的距离是2，
∵ ，
∴
故答案为： ．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题可知， 、 两点纵坐标为8，代入解析式后，可求
出二者的横坐标， 的横坐标减去 的横坐标即为 的长．
【详解】解：由题意得 、 两点纵坐标为8，
把 代入 得： ，
解得 ，
∴
∴ 米．
故答案为： ．16．
【分析】本题主要考查了二次函数图象和一元二次方程的解．根据对称性可求出与 轴的另一个交点坐标
为 ，即可求解．
【详解】解：∵抛物线 与 轴的一个交点坐标为 ，对称轴是直线 ，
∴与 轴的另一个交点坐标为 ，
∴一元二次方程 的解为 ．
故答案为：
17．
【分析】本题综合考查了分式方程和抛物线与坐标轴的交点问题，对于分式方程求字母系数问题，先解方
程，根据解的情况列不等式，要注意分母不为 时的情况，结合抛物线与 轴交点在原点上方，从而得
的范围．
【详解】解：由题意， 分式方程 有非负实数解，
且 ．
且 ．
又二次函数 的图象与 轴交点在原点的上方，
∴当 时， ，
．
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查抛物线与 轴的交点、二次函数图象与几何变化．将这段抛物线 通过配方法求出顶点
坐标及抛物线与 轴的交点，由旋转的性质可以知道 与 的顶点到 轴的距离相等，且 ，照此类推可以推导知道抛物线 的顶点，即可求得抛物线 的解析式．
【详解】解： ，
配方可得 ，
顶点坐标为 ，
坐标为
由 旋转得到，
，即 顶点坐标为 ， ；
照此类推可得， 顶点坐标为 ， ；
顶点坐标为 ， ；
，
抛物线 的顶点坐标是 ， ， ．
抛物线 的解析式是 ．
故答案为： ．
19．（1） ，M (1，-2)；（2）
【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解；
（2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式．
【详解】解 （1）∵抛物线y=2x2+mx过点A(2，0)，
∴2×22+2m=0，解得 ，
∴y=2x2−4x，
=2(x−1) 2−2,
∴顶点M的坐标是(1，-2)；
（2）设直线AM的解析式为 ，∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，
{2k+b=0) { k=2 )
∴ ，解得 ，
k+b=−2 b=−4
∴直线AM的解析式为 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题．
20．(1)5
(2)抛物线 的表达式为 或 或
【分析】本题主要考查了用待定系数法求出二次函数解析式，利用勾股定理求出两点之间的距离．以及二
次函数平移的性质，注意分类讨论当抛物线沿x轴平移和当抛物线沿y轴平移是解题的关键．
（1）用待定系数法求出二次函数解析式，再求出点P的坐标，利用勾股定理求出A，P两点之间的距离．
（2）根据题意分两种情况，当抛物线沿x轴平移时，可得点 在x轴上，利用已知条件可得出抛物线L沿
x轴向左平移3个单位长度可得抛物线 ，利用平移的性质即可得出抛物线 的表达式，当抛物线沿y轴
平移时，可得点 在直线 上，利用已知条件可得出抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得
抛物线 ，利用平移的性质即可得出抛物线 的表达式，
【详解】（1）解：将 、 代入 中，
得
解得
抛物线L的表达式为 ．
顶点 ．
过点P作 轴于点D，则 ，， ， ，
， ，
．
（2）由题意知，四边形 是面积为12的平行四边形，
当抛物线沿x轴平移时，可得点 在x轴上，
由于 ，即要使 的面积为12，只需 ，
点P'在y轴左侧，
抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线 ，
此时，抛物线L'的表达式为 ；
当抛物线沿y轴平移时，可得点 在直线 上，
由于 ，要使 的面积为12，只需 ，
抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线 ，
此时，抛物线L'的表达式为 或 ．
综上，抛物线L'的表达式为 或 或 ．
21．(1)
(2)1或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和勾股定理的应用，求得顶点坐标是本题的关键．
（1）用待定数法求二次函数的解析式即可．
（2）先求出A，B两点之间的坐标，即可求出 ，根据 求出点P的坐标，再根据两点之间的距离求出 的长即可．
【详解】（1）解：∵抛物线 的顶点坐标为
∴
解得：
∴抛物线的解析式为 ．
（2）令 ，则 ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
①当 时，
②当 时，
综上： 的长为1或 ．
22．(1) ，
(2)当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利润为 ，则 ，转化为二次函数求最值即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为 ，由题意得：代入 得：
，
解得： ，
∴y与x之间的函数关系式为 ，
当 时， ，解得： ，
∴自变量的取值范围为： ．
（2）解：设利润为 ，
则 ，
∴当 时， ，
答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大为900元．
23．(1)
(2)该二次函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为
(3) ， 点 的坐标为
【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）；
（2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标；
（3）将点 代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象经过点 和点 ，
得： ，解得： ，
二次函数的解析式为： ；
（2）解： ，
二次函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；
（3）解： 点 函数图象上，
，
解得： ，
，
舍去，
，
点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线 ，
．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键．
24．(1)D
(2)见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）分析过程中主要运用的数学思想是函数思想；
（2）将右边配方，根据二次函数性质可得答案；
（3）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则另一个乘数的十位
上的数与个位上的数组成的数为 ，由题意得 ，
据二次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：分析过程中主要运用的数学思想是函数思想；
故答案为：D；（2）解：根据题意得 ，
整理得 ，
，
∴当 时，y的值最大， ，
∴积最大的是 ，最大积为625；
（3）解： ，
理由：设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则另一个乘数的十
位上的数与个位上的数组成的数为 ，
由题意得 ，
∴当 时，w的值最大，最大值为722500，
∴当 时， 的积最大．
【点拨】本题考二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出二次函数解析式．
