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全等三角形综合训练（一）
1．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线PQ过点A且PQ//BC，过点B
为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线PQ上（不与点A重合）．
(1)如图1，DE与AC交于点M，若DF⊥PQ于点D交AB于点F，求证：△BDF≌△MDA；
(2)在图2中，DE与CA延长线交于点M，试猜想线段BD、ED、EM的数量关系，并证明
你的猜想．
(3)在图3中，DE与AC延长线交于点M，（2）中结论是否成立？如果成立，请给予证明；
如果不成立，请说明理由．
2．已知点 为 平分线上一点， 于 ， 于 ，点 ， 分别是射
线 ， 上的点，且 ．
(1)如图①，当点 在线段 上，点 在线段 上时，易证得 ；（要证明）
(2)如图②，当点 在线段 上，点 在线段 的延长线上时，（1）中结论是否还成
立？如果成立，请你证明，如果不成立，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，直接写出线段 ， 与 之间的数量关系______；
(4)如图③，当点 在线段 的延长线上，点 在线段 上时，若 ，且
，求四边形 的面积．
3．问题背景：
如图1：在四边形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC．
CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．(1)小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连接AG，先证明
ABE≌△ADG，再证明 AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；（直接写
结论，不需证明）
△ △
探索延伸：
(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F分别是BC，CD上的
点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长
线上的点，且∠EAF= ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成
立，请直接写出它们之间的数量关系．
4．如图（1），AB=4cm，AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以
1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动
的时间为 （s）．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当 =1时，△ACP△BPQ是否全等？PC与
PQ是否垂直？请分别说明理由；
(2)如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB于A，BD⊥AB于B”改为“∠CAB=∠DBA=60°”，
其他条件不变．设点Q的运动速度为 cm/s，是否存在实数 ，使得△ACP与△BPQ全等？
若存在，求出相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．
5．（1）【问题发现】如图1， ABC与 CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，
B、C、E三点在同一直线上，AB＝3，ED＝4，则BE＝_____．
△ △
（2）【问题提出】如图2，在Rt ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，过点C作CD⊥AC，且
CD＝AC，求 BCD的面积．
△
△（3）【问题解决】如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°， ACD面积
为12且CD的长为6，求 BCD的面积．
△
△
6．如图（1）~（3），已知 的平分线OM上有一点P， 的两边与射线OA、
OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设 ， ．
(1)如图（1），当 时，试猜想PC与PD， 与 的数量关系（不用说明
理由）；
(2)如图（2），当 ， 时，（1）中的两个猜想还成立吗？请说明理由．
(3)如图（3），当 时，你认为（1）中的两个猜想是否仍然成立，若成立，请直
接写出结论；若不成立，请说明理由．
7．在我们的数学课本上有这样一道练习题：
已知，如图1所示， ABC中∠BAC=90°，AB=AC，直线MN经过点A，BD⊥MN，
CE⊥MN，垂足分别为点D，E试判断BD+CE与DE的关系，并给出证明．
△(1)还记得是怎么做的吗？请你再做一遍．
(2)拓展探究：请从上面的练习题中获取灵感来解决下面的问题：
已知，如图2， ABC、 DEC均为等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，连接BE、
AD，过C点作CP⊥BE于P，延长PC交AD于Q，试判断Q点在AD上的位置，并说明理
△ △
由．
8．（1）模型的发现：
如图1，在 中， ， ，直线 经过点 ，且 、 两点在直线 的
同侧， 直线 ， 直线 ，垂足分别为点 ， ．请直接写出 、 和 的数
量关系．（2）模型的迁移1：位置的改变
如图2，在（1）的条件下，若 ， 两点在直线 的异侧，请说明 、 和 的关系，
并证明．
（3）模型的迁移2：角度的改变
如图3，在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即 ，其
中 ，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明 、
和 的关系，并证明．
9．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
(1)【模型呈现】如图，AD为 的中线， 交AD的延长线于点E，求证：
．(2)【模型应用】如图，在四边形ABCD中， ，E是BC中点，连接AE，DE，AE
平分 ，求证：DE平分 ．
(3)【拓展探索】如图，在 中， ， 于点D，过点B作 交
的平分线于点E，过点E作 交BC于点F，若 ，求证：
．
10．如图1，直线MN与直线AB，CD分别交于点E，F， ．(1)求证 ；
(2)如图2， 与 的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，过G作
交直线MN于点H，求证 ；
(3)如图3，点P为直线AB，CD之间一点，EQ，FQ分别平分 和 ，探究
与 之间的数量关系，并证明．
11．在 中， ，点 是直线 上一点，连接 ，以 为边向右作 ，使得 ， ，连接 ．
(1)如图1，当点 在 边上时，
①若 时，则 ____________°；
②若 时，则 ____________°；
③观察以上结果，猜想 与 的数量关系，并说明理由．
(2)当点 在 的延长线上时，请判断 与 的数量关系，并说明理由．
12．如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，
BD⊥AC，垂足为D．(1)求证： ；
(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速
运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时
间为t秒．
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且 ，求此时
t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个
时刻，使得 APB与 BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．
13．（1）如图1，在 中， ， ， 是 边上的中线，延长 到点
使 ，连接 ，把 ， ， 集中在 中，利用三角形三边关系可得
的取值范围是______；（2）如图2，在 中， 是 边上的中线，点 ， 分别在 ， 上，且
，求证： ；
（3）如图3，在四边形 中， 为钝角， 为锐角， ， ，
点 ， 分别在 ， 上，且 ，连接 ，试探索线段 ， ，
之间的数量关系，并加以证明．
14．在 ABC和 DEC中，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°．
△ △
(1)如图1，当点A、C、D在同一条直线上时，求证：AF⊥BD；
(2)如图2，当点A、C、D不在同一条直线上时．（1）中的结论是否仍然成立，请说明理
由；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接CF并延长CF交AD于点G，∠AFG是一个固定的值吗？
若是，直接写出∠AFG的度数，若不是，请说明理由．
