文档内容
全等变化模型四 三垂直模型
【模型展示】
【模型图解】
【模型条件】 【模型结论】
图1
∠B=∠C=∠AED,AB=EC BC=AB+DC
图2
∠ABC=∠C=∠AFD,AB=BC AB=CD+EC
图3
∠ABC=∠ABE=∠AHD,AB=BC, BC=AD+BE
图4
∠ABC=∠C=∠AED,AB=BC AB=DE+DC
图5
∠ABC=∠D=∠AED,AB=BC AE=ED+DC
图6 ∠ABC=∠E=∠BDC,AB = BC CD=DE+AE
【结论证明】请选取图1、图3、图5分别证明【模型解析】从变化方式的角度分析，两个全等的直角三角形绕平面上一点
旋转而得；
从图形的结构分析，除一组对应边相等外，只需两直角三角形
一组非对应角互余即可得全等。
【知识链接】同角的余角相等、边的数量关系（等量代换）
【模型总结】
①三垂直模型中有很多边的数量关系，如图解表中所示；
②三垂直模型对应边的夹角相等，一般为90°（图4除外）；
③三垂直模型易形成等腰直角三角形，解题时要灵活运用。
【模型巩固】
【例4-1】如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝2.5cm，BE＝
1cm，求DE的长．
【例4-2】如图所示，直线MN一侧有一个等腰Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，CA＝CB．直线MN过
顶点C，分别过点A，B作AE⊥MN，BF⊥MN，垂足分别为点E，F，∠CAB的角平分线AG交
BC于点O，交MN于点G，连接BG，恰好满足AG⊥BG．延长AC，BG交于点D．
（1）求证：CE＝BF；
（2）求证：AC+CO＝AB．【例4-3】如图①，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．
（1）求证：AB+CD＝BC．
如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝45°，P是BC上一点，PA＝PD，∠APD＝90°．
（2）求证：点P是BC的中点.
【例 4-4】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB，M 是 AB 的中点，点 D 在 BM 上，
AE⊥CD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EM．
（1）求证：CE＝BF；（2）求证：∠AEM＝∠DEM．【例4-5】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．【模型拓展】
【拓展4-1】如图1，OA＝2，OB＝4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为
腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（3）如图 3，已知点 F坐标为（﹣2，﹣2），当 G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作
Rt△FGH，始终保持∠GFH＝90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于点
H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m﹣n为定值；
②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
【拓展4-2】如图：已知 、 ，且 、 满足 ．
（1）如图1，求 的面积；
（2）如图2，点 在线段 上（不与 、 重合）移动， ，且 ，猜想线段
、 、 之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若 为 轴上异于原点 和点 的一个动点，连接 ，将线段 绕点 顺时针旋转
至 ，直线 交 轴 ，点 ，当 点在 轴上移动时，线段 和线段 中，请判断哪条
线段长为定值，并求出该定值．
