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第 28 章 锐角三角函数 章节测试练习卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单选题
1．如图， ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，则cosA的值是( )
△
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求角的余弦值
【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，可得答案．
【详解】如图：
，
由勾股定理，得
AC= = =2 ，
由锐角三角函数的余弦等于邻边比斜边，得cosA= = = ，
故选D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，先求斜边，再求锐角三角函数的余弦．
2．如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求角的正切值
【详解】解：如图，在格点△ADC中，AD=2，DC=4，tanC= = ．
故选A．
3．式子 sin45°+ sin60°﹣2tan45°的值是（ ）
A．2 2 B． C．2 D．2
【答案】B
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.
【详解】解： sin45°+ sin60°﹣2tan45°
故选B
【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.
4．数字 ， ，π， ，cos45°， 中是无理数的个数有（ ）个．A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】∵ ，cos45°= ，
∴数字 ， ，π， ，cos45°， 中属于无理数的有： ，π，cos45°，共3个．
故选C．
5．如图，在 中， 是 上一点， 于 ，且 ，则
的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】由题意可知∠ ，即得 ，从而求出 ，再根据∠ 的正切函数即可求得
结果.
【详解】由题意得∠ ， ， ，
， ， ，解得 .
故选B.
6．如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长 m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动
到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为 m，则鱼竿转过的角度是（ ）A．60° B．45° C．15° D．90°
【答案】C
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【详解】∵sin∠CAB=
∴∠CAB=45°．
∵ ，
∴∠C′AB′=60°．
∴∠CAC′=60°-45°=15°，
鱼竿转过的角度是15°．
故选C．
7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形 绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边
形 ，则正六边形 的顶点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【知识点】正多边形和圆的综合、求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标、解直角三角形的相关计算
【分析】如图，以 为圆心， 为半径作 得到将边长为1的正六边形 绕点O顺时针旋转i
个45°，即把 绕点O顺时针旋转i个45°， 与 重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解
的坐标，利用 关于原点成中心对称，从而可得答案．
【详解】解：如图，以 为圆心， 为半径作
将边长为1的正六边形 绕点O顺时针旋转i个45°，
即把 绕点O顺时针旋转i个45°，
旋转后的对应点依次记为 ，
周角＝
绕点O顺时针旋转顺时针旋转 次回到原位置，
与 重合，
关于原点成中心对称，
连接
正六边形 ，
关于原点成中心对称，故选A．
【点睛】本题考查的是旋转的旋转，正六边形的性质，圆的对称性，锐角三角函数，掌握以上知识是解题
的关键．
8．如图，某飞机在空中A点处测得飞行高度h＝1000m，从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，则地
面指挥站与飞机的水平距离BC为( )
A．500m B．2000m C．1000m D．1000 m
【答案】D
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】首先根据图示，可得∠B=∠α=30°，然后在Rt ABC中，用AC的长度除以tan30°即可求出BC的
长． △
【详解】解：∵从飞机上看到地面指挥站B的俯角α＝30°，
∴∠B=∠α=30°，
在Rt△ABC中，BC= = = ．
故选D．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂
题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
9．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求角的正弦值
【分析】由垂直定义及锐角互余可得∠B＝∠ACD＝∠α，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，
即可得答案
【详解】∵AC⊥BC、CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝∠α，
在Rt ABC中，sinα＝ ；
△
在Rt BCD中，sinα＝ ；
△
在Rt ACD中，sinα＝ ；
△
故选C．
【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边
比斜边，正切为对边比邻边．
10．如图，已知直线l：y= x，过点A(0，1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴
于点A ；过点A 作y轴的垂线交直线l于点B ，过点B 作直线l的垂线交y轴于点A ；…按此作法继续下
1 1 1 1 2
去，点B 的坐标为( )
2013A．(42012× ，42012) B．(24026× ，24026) C．(24026× ，24024) D．(44024× ，
44024)
【答案】B
【知识点】根据特殊角三角函数值求角的度数、一次函数与几何综合、一次函数的规律探究问题
【分析】先根据题意找出A 的坐标，再根据A 的坐标与B 的纵坐标相同即可得出结论．
2013 2013 2013
【详解】∵直线l的解析式为：y x，∴l与x轴的夹角为30°．
∵AB∥x轴，∴∠ABO=30°．
∵OA=1，∴AB ．
∵AB⊥l，∴∠ABA=60°，∴AA=3，∴A（0，4），∴B（4 ，4），同理可得B（16 ，16），…，
1 1 1 1 1 2
∴A 纵坐标为：24026，∴A （0，24026），∴B （24026 ，24026）．
2013 2013 2013
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与x轴夹角是解决本题的突破
点；根据含30°的直角三角形的特点依次得到A、A、A、A…及B、B、B、B…的点的坐标是解决本题的
1 2 3 1 2 3
关键．
二、填空题
11． 的值是 ．
【答案】
【知识点】特殊角三角函数值的混合运算
【详解】分析：将特殊角的三角函数值代入计算即可： ．
12．计算： ．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数
【分析】根据特殊角的三角函数值即可求解.【详解】原式=2 - =
【点睛】此题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值.
13．在 中， ， ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】根据题意设 ，则 ，得出 ，再利用正切的定义求解即可．
【详解】解：∵在 中， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了一个锐角的正弦与正切值，解题关键是理解正弦与正切的定义．
14． ．
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数、实数的混合运算
【分析】根据 ， 代入运算即可．
【详解】解：
==
故答案为： ．
【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三角函
数值．
15．已知α为锐角,且sin (90°-α)= ,则cosα= .
【答案】
【知识点】特殊三角形的三角函数
【详解】根据规律：sin (90°-α)=cosα,易得cosα= .
16．如图是一个地铁站入口的双翼闸机．它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双
翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物
体的最大宽度为 cm．
【答案】64
【知识点】已知正弦值求边长
【分析】连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F，求出 CE , EF , DF 即可解决问题；
【详解】解：如图，连接AB，CD，过点A作AE⊥CD于E，过点B作BF⊥CD于F．∵AB//EF，AE//BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵∠AEF＝90°，
∴四边形AEFB是矩形，
∴EF＝AB＝10（cm），
∵AE//PC，
∴∠PCA＝∠CAE＝30°，
∴CE＝AC•sin30°＝27（cm），
同法可得DF＝27（cm），
∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），
故答案为64．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
17．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如果等腰三角形的腰
长为2，“内角正度值”为 ，那么该三角形的面积等于 ．
【答案】1或2
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】设最小角为x，则最大角为x+45°，再分情况讨论：当顶角为x+45°时，由三角形内角和可求得
x=45°，由此得到三角形为等腰直角三角形，从而求得三角形的面积；当顶角为x时，由三角形内角和定理
可求得x=30°，再求得CD的长度，再从而求得三角形的面积．
【详解】设最小角为 ，则最大角为 ，
①当顶角为 时，则 ，
解得 ，
∴三角形为等腰直角三角形，则三角形的面积 ；②当顶角为 时，则 ，
解得 ，
∴三角形为顶角为30度的等腰三角形，
如图所示：作 于 ，则 ， ，
，
，
三角形 的面积 ；
综上所述，三角形的面积为：1或2．
故答案是：1或2．
【点睛】考查了解直角三角形的应用，解题关键是利用解直角三角形的方法求得三角形的边长．
18．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝3，EF＝4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的
三角板的斜边DF上，则AE＝ .
【答案】3 －1
【知识点】利用平移的性质求解、解直角三角形的相关计算
【详解】试题分析：∵∠F＝45°，BC＝3，
∴CF＝3，又EF＝4，
则EC＝1，
∵BC＝3，∠A＝30°，∴AC＝ ，
则AE＝ －1．
故答案为 －1．
点睛：本题考查的是平移的性质，正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值是解题的关键．
三、解答题
19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝2cm，求sinA和sinB的值．
【答案】sinA＝ ，sinB＝ .
【知识点】求角的正弦值
【分析】先根据勾股定理求出AB的值再计算角的正弦函数值即可.
【详解】解：在Rt ABC中，由勾股定理，得
△
AB＝ ＝ ＝ (cm)，
∴sinA＝ ＝ ＝
sinB＝ ＝ ＝ .
即sinA＝ ，sinB＝ .
【点睛】本题考查了正弦函数的计算，根据勾股定理求AB是解题的关键.
20．如图，为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点 ，在河南岸选了相距100m的 ， 两点．
现测得 ， ，求这段河流的宽度（结果精确到0.1m）．
【答案】63.4m
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）【分析】过A作AD⊥BC于D，根据∠ABC＝60°，∠ACB＝45°即可求出BD、CD与AD关系，根据BC＝
100m，可以求得AD的长度．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，
在Rt△ADB中，∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴BD＝AD•tan30°＝ AD，
在Rt△ADC中，∠C＝45°，
∴CD＝AD，又BC＝100m，
∴BD+CD＝ AD+AD＝100．
解得AD≈63.4m．
答：这段河的宽约为63.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是恰当构建直角三角形，利用三角函数求解．
21．一艘轮船从西向东航行，上午10时航行到点A处，此时测得在船北偏东30°上有一灯塔B，到11时测
得灯塔B正好在船的正北方向，此时轮船所处位置为C点 (如图)，若该船的航行速度为每小时20海里，那
么船在C点时距离灯塔B多远？( 取1.73)
【答案】34.6(海里)
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)【分析】本题是求BC的长，在直角三角形ABC中，AB的长可根据路程=速度×时间求出，又知道了∠BAC
的度数，那么BC就能求出来了．
【详解】解：由题意知∠BAC=60°，∠C=90°,
AC=20×(11－10)=20(海里).
∴tan∠BAC= ,即tan60°= .
∴BC=20tan60°=20 ≈34.6(海里).
【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数是解题的关键.
22．如图，一艘缉私艇位于小岛 北偏东 的方向8海里的 处，一艘走私船从小岛 出发，沿北偏东
方向匀速驶离小岛 ，同时缉私艇从 处出发，恰好在 处截到走私船，若走私船与缉私艇的速度比
为 ，求缉私艇行驶的路程．
【答案】7海里
【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ．在 中，由 ，得
（海里）， （海里）．设 为 海
里，则 为 海里，在 中， ，即 ，解得
（舍）， （海里）．答：缉私艇行驶的路程为7海里．
【易错点分析】如何构造直角三角形是关键，过点 作 上的高， 这个特殊角被拆开了；过点
作 上的高， 的长度没法使用；只有过点 作 的高，才能充分利用 和 这两个已知条件．
23．在直角三角形ABC中，∠C=90°， ，∠B的平分线BD交AC于D，BD=16．求AB的长．
【答案】 ．
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】首先根据锐角三角形函数值的知识求出∠B的度数，进而求出BC的长度，在直角三角形中，利用
30°的角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长．
【详解】在直角三角形ABC中，∠C=90°，
∵cosA= ，
∴∠A=30°，
∴∠B=60°，
∵BD是∠B的平分线，
∴∠DBC=30°，
在直角三角形DBC中
cos30°= ，
∴BC=16× ＝8 ，
在直角三角形ACB中，
∵∠A=30°，
∴30°的角所对的直角边等于斜边的一半，∴AB=16 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的知识，解答本题的关键是掌握锐角三角形函数的定义以及含30°
角直角三角形的性质，此题难度不大．
24．计算：
(1)(－1)2－2cos30°＋ ＋(－2017)0；
(2) ＋4sin60°.
【答案】(1) 2；(2) 0.
【知识点】特殊三角形的三角函数
【详解】试题分析：(1)先求出式子每一项的值，然后相加即可.
(2)先计算每一个特殊角的三角函数值，然后代入式子求值即可.
试题解析：(1) 原式＝1－2× ＋ ＋1＝1－ ＋ ＋1＝2；
(2) 原式＝ ＋4× ＝－2 ＋2 ＝0.
25．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为
60°，热气球A与高楼的水平距离为120m，求这栋高楼BC的高度．
【答案】这栋高楼的高度是
【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】过A作AD⊥BC，垂足为D，在直角△ABD与直角△ACD中，根据三角函数的定义求得BD和CD，
再根据BC=BD+CD即可求解．【详解】过点A作AD⊥BC于点D,
依题意得， ， ，AD=120，
在Rt△ABD中 ，
∴ ，
在Rt△ADC中 ，
∴ ，
∴ ，
答：这栋高楼的高度是 .
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，难度适中．对于一般三角形的计算，常用的
方法是利用作高线转化为直角三角形的计算．
26．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP=r2，则称点P′是点P关于⊙O的
“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，
求A′B′的长．【答案】2
【知识点】解直角三角形的相关计算
【分析】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，根据新定义计算出OA′=2，OB′=4，则点A′为OC的中点，点
B和B′重合，再证明△OBC为等边三角形，则B′A′⊥OC，然后在Rt△OA′B′中，利用正弦的定义可求A′B′的长．
【详解】设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′•OA=42，
而r=4，OA=8，
∴OA′=2，
∵OB′•OB=42，
∴OB′=4，即点B和B′重合，
∵∠BOA=60°，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′= ，
∴A′B′=4sin60°= ．
