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第 28 章 锐角三角函数（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【知识清单】
一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，
正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ．
根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助
线来构造直角三角形.
注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，
其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。
【例1】（2023·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在 中，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】考查锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦，余弦的定义是解题的关键．
【详解】解： ， ，
故选A．
【变式】（2022·黑龙江哈尔滨·九年级校考专题练习）在直角三角形中，各边的长度都扩大到原来的3倍，
则锐角A的三角函数值（ ）
A．都扩大到原来的3倍 B．都缩小为原来的3倍
C．都保持原来的数值不变 D．有的变大，有的缩小
【答案】C
【分析】理解锐角三角函数的概念：锐角三角函数值即为直角三角形中边的比值．
【详解】解：根据锐角三角函数的概念，可知在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，锐角 的三角函
数值不变．故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数，要能理解锐角三角函数的概念，明白三角函数值与边的长度无关．
二、特殊角的三角函数值
α sinα cosα tanα
30°
45° 1
60°
【例2】（2023下·广东茂名·九年级统考期中）计算：
【答案】1
【分析】本题主要考查了计算特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式乘法等等，先计算
特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂，再计算二次根式乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解：原式
．
三、解直角三角形
1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：
（1）三边关系：a2+b2=c2；
（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；
（3）边与角关系：sinA=cosB= ，cosA=sinB= ，tanA= ；
（4）sin2A+cos2A=1．
3．科学选择解直角三角形的方法口诀：
已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；
已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.
【例3】（2023·福建泉州·九年级福建省泉州第一中学校考期中）如图1，在 中， ，
，将 绕点 逆时针旋转，得到 ，旋转角为 ，连接 交 于点 ．
(1)如图2，当 时，求证： ；
(2)在旋转过程中，
①问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
②连接 ，当 为直角三角形时，求 的值．
【答案】(1)见解析
(2)①成立，证明见解析；② 或
【分析】（1）首先证明 、 为等边三角形，得到 ，推出 ，再证明
，推出 即可解决问题；
（2）①如图1中，结论仍然成立．法一：由旋转性质得： ， ， ，则可证
明 ，可得 ，进而证明 ，得 ，则 ，从
而可得结论；法二：利用四点共圆证明 即可解决问题．
②分两种情形分别画出图形求解即可．
【详解】（1）如图2中，
∵ ， ， ，
∴ 、 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴∴ 、 、 三点共线，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）①解：如图1中，结论仍然成立．
理由：连接 ．
【法一】连接 ，设 与 的交点为 ，
∵ ， ， ，
∴ 、 为等腰三形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
即
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴∴ ，
∵ ，
∴ ．
【法二】∵ ，
∴ ， ， ， 四点共圆，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
②如图3－1中，当 时，连接 ，作 于 ．设 ．
∵由①得 且 ，
∴ 且 ，
∴ ，
则 ，
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
如图3－2中，当 时，连接 ，作 于 ．设 ．
∴ 且 ，
∴ ，
∵ ，
则 ， ， ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴综上所述， 的值为 或 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性
质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
四、仰角和俯角
仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．
俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．
【例4】（2023·湖南·九年级校联考阶段练习）如图，一学生站在A处，利用无人机测量大楼 的高度，
无人机在空中点 处，测得点 与地面上A点， 点处俯角分别为 和 ，且 ，
， .（点A， ， ， 在同一平面内）
(1)求无人机 到地面的距离；
(2)若 ，求大楼 的高度.（结果精确到 ）（参考数据： ， ）
【答案】(1)80
(2)68.5
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解仰角与俯角的含义是解本题的
关键．
（1）过点 作 ，垂足为 ，设 ，即 ，列出方程 ，求出a的值，
得出答案即可；
（2）过点 作 ，垂足为 ，先求出 ，从而求出 ，即可得答案．
【详解】（1）过点 作 ，垂足为 ，
设 ，即
， ，
， ，，
米
离地面的高度为80米；
（2）过点 作 ，垂足为 ，
由题意得： ，
，
在 中， ，
（米）．
【变式】（2023·浙江杭州·九年级校考期中）小王是一名摄影爱好者，新入手一台无人机用于航拍．在一
次航拍时，数据显示，从无人机 看建筑物顶部 的仰角为 ，看底部 的俯角为 ，无人机 到该建
筑物 的水平距离 为 米，求该建筑物 的高度．（结果保留根号）
【答案】 米．
【分析】此题考查了解直角三角形，先说明 是等腰直角三角形，用等腰三角形的性质求出 ，再在 中用直角三角形的边角间关系求出 ，最后利用线段的和差关系求出建筑物的高度，掌握直
角三角形的边角间关系及等腰三角形的性质是解决本题的关键．
【详解】由题意可知， ， ， ，
∴
∴ ，
∴ 米，
在 中， ，
∴ ，
∴ （米），
∴ 米．
五、坡度和坡角
坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i= ．
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．
【例5】（2023·福建泉州·九年级统考期中）如图，在一坡度 的斜面上，一木箱沿斜面向上推进了
米，则木箱升高了 米．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用−−坡度坡角问题，设木箱升高了 米，根据坡度的概念用 表示
出木箱前进的水平距离，再根据勾股定理计算即可得到答案，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比
是解题的关键．
【详解】解：设木箱升高了 米，
∵斜坡的坡度为 ，
∴木箱前进的水平距离为 米，由勾股定理得 ，
解得 （负值舍去），
故答案为： ．
【变式】（2023·上海松江·九年级校考阶段练习）已知斜坡的坡角为 ，坡度为 ，小明沿该斜坡行走，
上升了20米，则他行走的路程是 米．
【答案】52
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，根据坡度的定义求出水平方向走的距离，然后
再运用勾股定理解答即可，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．
【详解】解：∵坡度为 ，小明沿该斜坡行走，上升了20米，
∴水平方向走的距离为 ，
∴行走的路程是 米．
故答案为52．
六、方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)．
【例6】（2023·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）在公园里，同一平面内的五处景点的道路分
布如图所示，经测量，点 均在点 的正北方向且 米，点 在点 的正西方向，且
米，点 在点A的南偏东 方向且 米，点 在点A的东北方向．（参考数据：
）(1)求道路 的长度（结果保留根号）；
(2)若甲从A点出发沿 的路径去点 ，与此同时乙从点 出发，沿 的路径去点 ，在两人
速度相同的情况下谁先到达点E？（结果精确到十分位）
【答案】(1)道路 的长度约为 米
(2)乙先到达点E
【分析】本题考查了解直角三角形的应用 方向角问题，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图
形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点A作 ，交 的延长线于点 ，过点A作 ，垂足为 ，根据题意可得：
， ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 ， 的长，从而求出 的
长，再在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，即可解答；
（2）利用（1）的结论可求出 的长，再在 中，利用勾股定理可求出 的长，然后在
中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，从而求出甲和乙的路程，最后进行判定即可解答．
【详解】（1）解：过点A作 ，交 的延长线于点 ，过点A作 ，垂足为 ，如图所
示：
由题意得：
， ，
在 中， ， 米，
（米 ，
（米 ，
米，
米，（米 ，
米，
在 中， ，
（米 ，
道路 的长度约为 米；
（2）解： 米， 米，
（米 ，
在 中， 米，
（米 ，
在 中， ，
（米 ，
甲的路程 （米），
乙的路程 （米 ，
∵ ，两人速度相同，
∴乙先到达点E．
【变式】（2023·湖南娄底·九年级校考阶段练习）如图，一艘轮船航行到 处时，灯塔 在船的北偏东
的方向，轮船从 处向正东方向航行 后到达 处，此时灯塔 在船的正北方向，求此时 处与灯塔
的距离（结果保留根号）．
【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，先求出 的度数，然后在 中利用正切的定
义即可求解．
【详解】解∶由题意得∶ 是直角三角形， ， ，
∴ ，∵ ， ，
∴
即 处与灯塔 的距离为 ．
七、解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：
解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求
边，或通过公共边相等，列方程求解.
【例7】（2023·山东济南·九年级统考期中）如图，在高楼前 点测得楼顶的仰角为 ，向高楼前进 米
到 点，又测得仰角为 ，已知该高楼的高度为 米，则 米．
【答案】30
【分析】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意可得： ，然后在 中，利用锐角三角函数的定义求出 的长，再利用三角形的
外角性质可得 ，从而可得 米，即可解答．
【详解】由题意得： ，
在 中， ，
∴ (米)，
∵ 是 的一个外角， ，
∴ ，∴ ，
∴ 米，
∴ ，
故答案为：30．
【变式】（2022·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B处的仰角为
、底部C处的俯角为 ，此时航拍无人机A处与该建筑物的水平距离 为80米．该建筑物的高度
（精确到1米）．[参考数据： ， ， ]
【答案】 米
【分析】分别根据正切的定义求出 和 ，再根据 进行计算．
【详解】解：由题意得： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ 米，
故答案为： 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
八、解直角三角形实际应用的一般步骤
（1）弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；
（2）将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；
（3）选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；
（4）得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．
【例8】（安徽省亳州市2023-2024学年九年级上学期第三次月考数学试题）一船自西向东航行，在 得
到消息，在其北偏东53°方向，距离30海里的点 处，测得有一暗礁群在以点 为圆心， 海里为半径的圆内，问如果轮船继续沿正东方向航行有无触礁的危险?说明理由．（参考数据： ，
， ， ）
【答案】无触礁的危险，理由见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，关键是如何构造直角三角形并知道求哪一条线段的
长．作 于点 ，在 中，由 ，变形得 ，再求解即可．
【详解】无危险．
作 于点 ，
在 中， ，
，
，
轮船继续沿正东方向航行无触礁的危险．
【变式】（2023·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图为挖掘机某工作时刻的示意图，挖掘机的
底座高 米，大臂由 和 两部分构成，其中 米， 米， 与 的固定夹角，
，此时测得大臂的前部 与 的夹角 ，小臂 与地面 的夹角
．（参考数据： ， ， ， ）．(1)求点C到地面 的距离．（结果精确到 米）
(2)已知挖掘机A正前方 米外为禁止施工路段，请通过计算说明此时控掘机挖掘的地方是否为禁止施工路
段？（结果精确到 米）
【答案】(1) 米
(2)不是
【分析】（1）本题考查解直角三角形的应用，过点C，D分别作 ， ，F，M分别为垂
足，再过点B，C分别作 ， ，N，H为垂足，根据平行线得到 ，结合三角
函数求解即可得到答案
（2）本题考查解直角三角形的应用与等腰三角形的判定与性质，根据正余弦得到 、 ，再证出
为等腰直角三角形即可得到答案；
【详解】（1）解：过点C，D分别作 ， ，F，M分别为垂足，
再过点B，C分别作 ， ，N，H为垂足，如图所示：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ （米），
（米），∴ （米），
∴点C到地面AM的距离 米；
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，
∴ ，
在 中， 米，
， ，
∴ （米），
（米），
∴ （米），
∵ ， ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ （米），
∴ （米），
∵ ，
∴控掘机挖掘的地方不是禁止施工路段．
核心素养提升
1. 转化思想
1．（2023·重庆沙坪坝·九年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的
高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面 的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为 ，
无人机D测得教学楼 顶端点C处的俯角为 ，又经过人工测量测得操控者A和教学楼 之间的距离
为 ，点A，B，C，D都在同一平面上．
(1)求此时无人机D与教学楼 之间的水平距离 的长度（结果保留根号）；(2)求教学楼 的高度（结果取整数）．（参考数据： ， ， ，
）
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查三角函数的实际应用．根据题意建立直角三角形是解题关键．
（1）过点C作 ，在 中即可求解；
（2）在 中求出 ，可进一步求解．
【详解】（1）解：过点C作 ，如图所示：
由题意得： ， ， ， ， ， ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴
故：无人机D与教学楼 之间的水平距离 的长度是 ．
（2）解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故：教学楼 的高度为 ．
2. 数形结合思想2．（2023·广东茂名·九年级校考阶段练习）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口 处，测得正前方旗
杆顶部 点的仰角为37°，旗杆底部 点的俯角为45°，求国旗 高多少米？（参考数据： ，
， ）
【答案】15.75米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据等腰直角三角形的性质求出 ，根据正
切的概念计算即可．
【详解】解：如图，根据题意得， 米，
在 中， 米， ，则 米．
在 中， 米， ，
则 （米）．
则 米，
答：国旗 高15.75米．
3. 方程思想
3．（2023·陕西榆林·九年级校考阶段练习）如图，从水平面看一山坡上竖直的通讯铁塔 ，在点A处测
得塔顶端点P的仰角是 ，向前走9米到达点B处（ 米），此时测得塔顶端点P和塔底端点C的
仰角分别是 和 ．求该铁塔 的高度．（结果精确到0.1米；参考数据： ， ）【答案】 米
【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；延长 交直线 于点D；设 米，
则 米，根据 构建方程求出x即可．
【详解】解：如图，延长PC交直线AB于点D，则 ，
根据题意，得 ， ， ．
∴ ， ．
设 米，则 米．
在 中， 米， 米，
在 中， ，
即 ．解得 ．
∴ （米）．
即该铁塔 的高度约为14.2米．
4. 数学建模思想
4．（2023·重庆沙坪坝·九年级重庆市第七中学校校考期中）如图，在河流两边有甲、乙两座山，现在从甲
山 处的位置向乙山 处拉电线．已知甲山上 点到 的垂直高度 米；乙山 的坡比为 ，
乙山上 点到河边 的距离 米，从 处看 处的俯角为 ．（ 在同一平面内，参
考值： ）(1)求乙山 处到河边 的垂直距离；
(2)求河 的宽度（结果保留整数）．
【答案】(1)乙山B处到河边 的垂直距离为520米
(2)河 的宽度约为468米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题．
（1）过点B作 ，垂足为E，根据已知可设 米，则 米，然后在 中，利用
勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点A作 ，垂足为F，根据题意可得： 米， ，从而可得
，再利用（1）的结论可得 米，然后在 中，利用锐角三角函数的定
义求出 的长，从而求出 的长，进行计算即可解答．
【详解】（1）过点B作 ，垂足为E，
∵乙山 的坡比为 ，
∴ ，
∴设 米，则 米，
在 中， （米），
∵ 米，
∴ ，
∴ ，∴ 米， 米，
∴乙山B处到河边 的垂直距离为520米；
（2）如图：过点A作 ，垂足为F，
由题意得： 米， ，
∴ ，
∵ 米，
∴ （米），
在 中， （米），
∴ 米，
∴ （米），
∴河 的宽度约为468米．
中考热点聚焦
热点1.特殊角的三角函数值
1．（2023·四川甘孜·统考中考真题）(1)计算： ；
【答案】（1） ；
【分析】（1）根据零指数幂与绝对值的意义和特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
【详解】解：（1）原式 ．
【点睛】本题考查了实数的运算．
热点2.解直角三角形
2．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，已知点 ，，点C在x轴负半轴上，连接 ， ，若 ，以 为边作等边三角形 ，则点C
的坐标为 ；点D的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】过点C作 于点E，根据 ，设 ，则 ，根据勾股定理
可得求出 ，用等面积法推出 ，最后在 中，根据勾股定理可得：
，列出方程求出x的值，即可得出点C的坐标；易得 ，设 ，根据两点之间
的距离公式得出 ， ，根据等边三角形的性质得出 ，
即可罗列出方程组 ，求解即可．
【详解】解：过点C作 于点E，
∵ ，
∴ ，
设 ，
根据勾股定理可得： ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理可得： ，∵ ，
∴ ，整理得： ，
在 中，根据勾股定理可得： ，
∴ ，
解得： （舍去），
∴ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
则 ， ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，
即 ，
整理得 ，
得： ，则 ，将 代入①得： ，
解得： ， ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
故答案为： ； 或 ．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三
角形，掌握等边三角形三边相等，以及勾股定理．
热点3.仰、俯角问题
3．（2023·山东青岛·统考中考真题）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某
校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为 ，点O是
的中点， 是灯杆．地面上三点D，E与C在一条直线上， ， ．该校学生在D处
测得电池板边缘点B的仰角为 ，在E处测得电池板边缘点B的仰角为 ．此时点A、B与E在一条直
线上．求太阳能电池板宽 的长度．（结果精确到 ．参考数据： ， ，
， ）
【答案】
【分析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先证 和 均为等腰直角三角
形，四边形 为矩形， 为等腰直角三角形，设 ，则 ， ，
，然后在 中，利用 得 ，由此解出 ，再利用勾股定理求出 即可得 的长．
【详解】解：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，如图，
依题意得： ， ， ，
又
和 均为等腰直角三角形，
， ，
， ，
，
， ， ，
四边形 为矩形，
， ， ，
，
为等腰直角三角形，
，
设 ，则 ，
，
，
在 中， ，
即： ，
，
解得： ，
检验： 是原方程的根．，
在等腰 中，由勾股定理得： ，
点 为 的中点，
，
答：太阳能电池板宽 的长度约为 ．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形，理解题意，正确的作出辅助线构造直角三角形的，灵活运用锐角
三角函数及勾股定理进行计算是解答此题的关键．
热点4.方向角问题
4．（2023·山东潍坊·统考中考真题）如图，l是南北方向的海岸线，码头A与灯塔B相距24千米，海岛C
位于码头A北偏东 方向．一艘勘测船从海岛C沿北偏西 方向往灯塔B行驶，沿线勘测石油资源，勘
测发现位于码头A北偏东 方向的D处石油资源丰富．若规划修建从D处到海岸线的输油管道，则输油
管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
【答案】 千米
【分析】过点 作 于点 ，由垂线段最短可得 的长即为所求，先求出 ，再根据
等腰直角三角形的判定与性质可得 ，然后在 中，解直角三角形可得 的长，从而
可得 的长，最后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，由垂线段最短可知， 的长即为所求，
由题意得： ， 千米，
， ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
在 中， 千米， 千米，
千米，
在 中， 千米，
答：输油管道的最短长度是 千米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握解直角
三角形的方法是解题关键．
热点5.坡角、坡度问题
5．（2023·湖北·统考中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形
，斜面坡度 是指坡面的铅直高度 与水平宽度 的比．已知斜坡 长度为20米，
，求斜坡 的长．（结果精确到米）（参考数据： ）
【答案】斜坡 的长约为10米【分析】过点 作 于点 ，在 中，利用正弦函数求得 ，在 中，利用勾
股定理即可求解．
【详解】解：过点 作 于点 ，则四边形 是矩形，
在 中， ，
．
∴ ．
∵ ，
∴在 中， （米）．
答：斜坡 的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定
义是解题的关键．
热点6.与解直角三角形相关的综合性问题
6．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）一酒精消毒瓶如图1， 为喷嘴， 为按压柄， 为伸缩连杆，
和 为导管，其示意图如图2， ， ， ．当按压柄 按压
到底时， 转动到 ，此时 （如图3）．
（1）求点 转动到点 的路径长；
（2）求点 到直线 的距离（结果精确到 ）．
（参考数据： ， ， ， ， ，
）【答案】（1） ；（2）点 到直线 的距离约为7.3cm．
【分析】（1）根据题目中的条件，首先由 ， ，求出 ，再继续求出
，点 转动到点 的路径长，是以 为半径， 为圆心的圆的周长的一部分，根据 占
的比例来求出路径；
（2）求点 到直线 的距离，实际上是过点 作 的垂线交 于某点，连接两点所确定的距离即为
所求，但这样做不好求解．于是把距离拆成两个部分，放在两个直角三角形中，分别利用直角三角形中锐
角三角函数知识求出每段的距离，再求和即为所求．
【详解】解：（1）如图，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴点 转动到点 的路径长 ．
（2）如图，
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ．在 中，
．
在 中，
．
∴ ．
又∵ ，
∴点 到直线 的距离约为7.3cm．
