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第 2 章 整式的加减全章复习攻略与检测卷
【目录】
倍速学习五种方法
【4个概念】
1.代数式
2.单项式
3.多项式
4.同类项
【2个法则】
1.合并同类项法则
2.去括号法则
【2个运算】
1.代数式的值
2.整式的加减
【3种思想】
1.转化思想
2.整体思想
3.分类讨论思想
【检测卷】
【倍速学习五种方法】
【4 个概念】
1.代数式
【例1】（2023秋·七年级课时练习）下列式子：① ；②5；③ ；④ ，其中属于代数式的是
（ ）
A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B
【分析】代数式是由数和字母组成，表示加、减、乘、除、乘方、开方等运算的式子，或含有字母的数学
表达式，注意不能含有=、＜、＞、≤、≥、≈、≠等符号．
【详解】解：① 含有“=”，所以不是代数式；
② 是代数式；
③ 含有“＞”，所以不是代数式；
④ 是代数式．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了代数式的定义，是基础题型．
2.单项式
【例2】（2022秋·四川泸州·七年级统考期末）单项式 的系数和次数分别为( )．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次
数可得答案．
【详解】单项式 的系数是 ，次数是3，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了单项式，关键是掌握单项式的相关定义．
3.多项式
【例3】（2023秋·全国·七年级课堂例题）下列式子： 中，多项式的个数是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据多项式的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知， ， 是多项式，符合要求；
故选：B．
【点睛】本题考查了多项式．解题的关键在于熟练掌握：几个单项式的和（或差）叫做多项式．4.同类项
【例4】（2023秋·全国·七年级课堂例题）已知 与 为同类项，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据同类项的定义求解即可，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项．
【详解】解：由题意得： ，
故选： ．
【点睛】本题考查了同类项．解题的关键是熟练掌握同类项的定义．
【2 个法则】
1.合并同类项法则
【例5】．（2023秋·全国·七年级课堂例题）合并下列各式的同类项：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（2）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（3）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（4）根据合并同类项的法则进行计算即可；
（5）根据合并同类项的法则进行计算即可．【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
；
（5）解：原式
．
【点睛】本题考查了合并同类项：把系数相加减，字母与字母的指数不变．
2.去括号法则
【例6】去掉下列各式中的括号：
(1). 8m-(3n+5)； (2). n-4(3-2m)；(3). 2(a-2b)-3(2m-n).
【答案】(1). 8m-(3n+5)＝8m-3n-5.
(2). n-4(3-2m)＝n-(12-8m)＝n-12+8m.
(3). 2(a-2b)-3(2m-n)＝2a-4b-(6m-3n)＝2a-4b-6m+3n.
【2 个运算】
1.代数式的值
【例7】（2023秋·全国·七年级课堂例题）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 ．
【答案】(1) ， ；(2) ， ．
【分析】（1）根据整式的加减运算法则计算即可化简，再将 代入化简后的式子求解即可；
（2）根据整式的加减运算法则计算即可化简，再将 代入化简后的式子求解即可．
【详解】（1）解：
，
当 时，原式 ；
（2）解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查整式加减中的化简求值．掌握整式的加减运算法则是解题关键．
2.整式的加减
【例8】（2023秋·全国·七年级课堂例题）如图是两种长方形铝合金窗框，已知窗框的长都是 米，宽都是
米，若一用户需①型的窗框2个，②型的窗框2个．
(1)该用户共需铝合金的长度为________________米（用含 的式子表示）；
(2)若1米铝合金的平均费用为 元，求当 时，该用户所需铝合金的总费用为多少元．
【答案】(1) ；(2)2400元．
【分析】（1）根据题意列出代数式并合并同类项即可；
（2）利用1米铝合金的平均费用乘以总的长度即可得到答案．
【详解】（1）解：该用户共需铝合金的长度为：
米．
故答案为： ．
（2）解：∵1米铝合金的平均费用为 元， ，
∴该用户所需铝合金的总费用为 （元）．
【点睛】此题考查了整式加减的应用，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
【3 种思想】
1.转化思想
【例9】如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．
解析：(1)窗户的宽为b＋＋＝2b，长为a＋，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；
(2)窗帘的面积是2个半径为的圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为的圆的
面积；
(3)利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．解：(1)窗户的面积是(b＋＋)(a＋)＝2b(a＋)＝2ab＋b2；
(2)窗帘的面积是π()2＝πb2；
(3)射进阳光的面积是2ab＋b2－πb2＝2ab＋(1－π)b2.
方法总结：解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计算公式列式即可．
2.整体思想
【例10】已知3a2-4b2＝5，2a2+3b2＝10．求：(1)-15a2+3b2的值；(2)2a2-14b2的值．
【答案与解析】显然，由条件不能求出a、b的值．此时，应采用技巧求值，先进行拆项变形．
解：(1)-15a2+3b2＝-3(5a2-b2)＝-3[(3a2+2a2)+(-4b2+3b2)]
＝-3[(3a2-4b2)+(2a2+3b2)]＝-3×(5+10)＝-45；
(2)2a2-14b2＝2(a2-7b2)＝2[(3a2-2a2)+(-4b2-3b2)]
＝2×[(3a2-4b2)-(2a2+3b2)]＝2×(5-10)＝-10．
【总结升华】求整式的值，一般先化简后求值，但当题目中含未知数的部分可以看成一个整体时，要用整
体代入法，即把“整体”当成一个新的字母，求关于这个新的字母的代数式的值，这样会使运算更简便．
【变式】（2022秋·福建三明·七年级校考期中）数学中，运用整体思想在求代数式的值时非常重要．例如：
已知 ，则代数式 ， ．
请根据以上材料解答下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)若整式 的值是8，求整式 的值；
(3)当 时，多项式 的值是5，求当 时，多项式 的值．
【答案】(1)9
(2)1
(3)
【分析】（1）将 变形为 ，再整体代入 ，进行计算即可；
（2）先由整式 的值是8得到 ，再将 变形为 ，整体代入
，进行计算即可；（3）先根据当 时，多项式 的值是5求出 ，再将 代入 得
，最后整体代入 ，进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
；
（2）解： 整式 的值是8，
，
，
；
（3）解： 当 时，多项式 的值是5，
，
，
当 时，
．
【点睛】本题考查了求代数式的值，熟练掌握整体代入的思想，准确进行计算是解此题的关键．
3.分类讨论思想
【例11】（2022秋•东莞市期中）若单项式8x|m+2|y与单项式﹣9x6y2的次数相同，求m2﹣2m+3的值．
【分析】根据两个单项式的次数相同可知：|m+2|+1＝6+2，从而可求得m的值，然后代入计算即可．
【解答】解：∵8x|m+2|y与单项式﹣9x6y2的次数相同，
∴|m+2|+1＝6+2，
解得：m＝5或﹣9，
∴当m＝5时，m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2＝（5﹣1）2+2＝18，
当m＝﹣9时，m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2＝（﹣9﹣1）2+2＝102．
【点评】本题主要考查的是单项式的定义、求代数式的值，由单项式的定义求得m的值是解题的关键．
【检测卷】
一、单选题1．（2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）下列说法中，正确的是（ ）
A．单项式x的系数是0，次数是1
B．单项式 的系数是 ，次数是4
C．单项式 的系数是2，次数是8
D．单项式 的系数是 ，次数是4
【答案】D
【分析】根据单项式的系数是单项式中的数字因数，次数是单项式中所有字母的指数和，即可解答．
【详解】解：单项式x的系数是1，次数是1，A错误，不符合题意；
单项式 的系数是 ，次数是3，B错误，不符合题意；
单项式 的系数是 ，次数是4，C错误，不符合题意；
单项式 的系数是 ，次数是4，D正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查的是单项式的系数和次数，解题的关键是要熟练掌握其概念，能正确区分单项式的系数
和次数．
2．（2023秋·湖北武汉·七年级统考阶段练习）下面是关于 和 的四种说法，其中错误的是（ ）
A． 是表示3个 相加的和 B． 是表示 的3倍
C． 是表示3个 相乘的积 D． 是表示3与 相乘的积
【答案】D
【分析】由代数式的代数意义逐一分析即可．
【详解】解： 是表示3个 相加的和，描述正确，故A不符合题意；
是表示 的3倍，描述正确，故B不符合题意；
是表示3个 相乘的积，故C不符合题意；故D符合题意；
故选D
【点睛】本题考查的是代数式的意义，理解代数式的代数意义是解本题的关键．
3．（2023秋·河南周口·七年级校考阶段练习）下列运算中，正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则和去括号法则逐项判断即可．
【详解】A、 ，故A错误；
B、 ，故B错误；
C、 ，故C错误；
D、 ，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查合并同类项以及去括号法则问题，熟记并灵活运用基本运算法则是解题关键．
4．（2023秋·河北邢台·七年级校考阶段练习）已知 ，则 （ ）
A．2 B．6 C．8 D．4
【答案】C
【分析】根据绝对值的非负性先求出m、n的值，然后代入式子计算解题．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 ， ，
∴ ，
故选C．
【点睛】本题考查绝对值的非负性，代入求值，掌握几个数绝对值的和为 ，则这几个数都为 是解题的
关键．
5．（2023秋·河南驻马店·七年级统考阶段练习）计算 时，下列去括号正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据去括号的性质内容进行作答即可的．【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查了去括号；括号前面是加号时，去掉括号，括号内的算式不变；括号前面是减号时，去
掉括号，括号内加号变减号，减号变加号．
6．（2023秋·安徽滁州·七年级校联考阶段练习）某树苗原始高度为 ，下图是该树苗的高度与生长的
月数的有关数据示意图，假设以后一段时间内，该树苗高度的变化与月数保持此关系，用式子表示生长
个月时，它的高度（单位： ）应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得树苗每个月增长的高度是 ，进而得出答案；
【详解】解：根据题意可得，树苗每个月增长的高度是 ，
故用式子表示生长n个月时，它的高度 （单位： ）应为： ．
故选：B．
【点睛】本题考查了列代数式，得出树苗每个月增长的高度是解答本题的关键．
7．（2023秋·广东珠海·七年级校考期中）当 ，则 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据非负数和为0，得出 的值，进而即可求解．
【详解】解：∵
∴ ，且 ，
∴ ，∴ ，所以 .
故选：C．
【点睛】本题考查了非负数的性质，代数式求值，有理数的的乘方运算，求得 是解题的关键．
8．（2023秋·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一三四中学校考阶段练习）若 ， 且 ，则
（ ）
A．3或 B． 或 C．7或3 D． 或7
【答案】C
【分析】首先根据绝对值的性质可得 ， ，然后由 ，求出x和y的值，分别代入 即可
求解．
【详解】解： ， ，
， ，
又
∴ ，
， ，或 ， ，
当 ， 时， ；
当 ， 时， ；
的值为 或 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查代数式求值、有理数的加法和绝对值的计算，根据题意分情况计算是解题的关键．
9．（2023秋·山西运城·七年级校考阶段练习）下列说法错误的是（ ）
A．代数式 ， ， 都是整式 B．单项式 的系数是 ，次数是2
C．多项式 的项是 ， D．多项式 是二次三项式
【答案】D
【分析】根据整式的定义，单项式的定义，多项式的定义，单项式的项和次数的定义，多项式的项和次数
的定义依次判断即可．
【详解】A. 是多项式， 是单项式， 是单项式，都是整式，故A选项正确，不符合题意；
B. 单项式 的系数是 ，次数是2，故B选项正确，不符合题意；C. 多项式 的项是 ， ，故C选项正确，不符合题意；
D. 多项式 是三次三项式，故D选项错误，符合题意．
故选：D
【点睛】本题主要考查了整式的相关概念：由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，几个单项式的和
叫做多项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，
多项式中每个单项式叫做这个多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，单项式
和多项式统称为整式．熟练掌握整式的相关概念是解题的关键．
10．（2023秋·江苏无锡·七年级无锡市民办辅仁中学校考阶段练习）分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布
罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科．分形是把整体以某种方式分成几个部分．按照如图甲所示
的分形规律（1个白圈分形为2个白圈1个黑圈，1个黑圈分形为1个白圈2个黑圈），可得如图乙所示的
一个树形图，则第7行中黑圈数量为（ ）
A．364 B．365 C．366 D．367
【答案】B
【分析】根据图形的变化规律归纳出第 行中黑圈的数量为 即可得出结论．
【详解】解：由题知，第一行的黑圈数量为1，
第二行的黑圈数量为2，
第三行的黑圈数量为5，
第四行的黑圈数量为14，
，
给每行的黑圈数量乘2，
则数量分别是2，4，10， ，
即 ， ， ， ，
第 行中黑圈的数量的2倍为 ，第 行中黑圈的数量为 ，
第7行中黑圈数量为 ，
故选B
【点睛】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第 行中黑圈的数量为 是解题的关键．
二、填空题
11．（2023秋·广东汕头·七年级校考阶段练习） 的各项分别为 ．
【答案】 ， ， ，
【分析】根据多项式的项的定义进行作答即可．
【详解】解：由题意知， 的各项分别为 ， ， ， ，
故答案为： ， ， ， ．
【点睛】本题考查了多项式的项．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12．（2023秋·河南郑州·七年级郑州中学校考阶段练习） ，则 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的非负性，得出 ，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键．
13．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）已知a，b都是实数，若 ，则 的值是 ．
【答案】
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【详解】解：∵
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a，b的值．
14．（2023秋·浙江杭州·七年级杭州市公益中学校考阶段练习）如果 ，那么 的值
等于 ．
【答案】
【分析】根据绝对值以及偶次幂非负得出 ， ，进而求出 ， ，问题随之得解．
【详解】∵ ，
又∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了绝对值以及偶次幂非负性，根据非负性求出 ， ，是解答本题的关键．
15．（2023秋·江苏南通·七年级南通市通州区育才中学校考阶段练习）若a，b互为相反数，且 ，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据相反数的定义得到 ，再由 ，则 ．【详解】解：∵a，b互为相反数，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，相反数的定义，熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反
数是0是解题的关键．
16．（2023秋·陕西延安·七年级校联考阶段练习）如图，这是由同样大小的○按一定的规律组成的，其中
第 个图形中共有 个○，第 个图形中有 个○，…，按此规律，第 个图形中○的个数是 ．
【答案】
【分析】由于图①〇有 个 ，图②〇有 个 ，图③〇有 ，第 个图形有的个
数是 ，把 代入求出即可．
【详解】解：∵图①〇有 个 ，
图②〇有 个 ，
图③〇有 ，
∴第 个图形有的个数是 ，
当 时， 个，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了图形的变化规律，是根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其
中的规律，然后利用规律解决一般问题．
17．（2023秋·安徽蚌埠·七年级蚌埠铁路中学校联考阶段练习）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，
万世不竭”的意思是说：一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根 米长的木棍，第
天截取它的一半，第 天截取剩余部分的一半，第 天再截取剩余部分的一半，…．（1）前 天共截取木棍的长度为 米；
（2）第 天截取后剩余部分的长度为 米．
【答案】 ； ．
【分析】（ ）根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半，然后把前 天相加求解即可；
（ ）根据每次截取剩余的长度都是前一次截取剩余长度的一半进行求解即可．
【详解】（ ）第一天截取了木棍的 ；
第二天截取了木棍剩下部分的一半： ；
第三天截取了木棍剩下部分的一半： ，
第四天截取了木棍剩下部分的一半： ，
∴前 天共截取木棍的长度为： ，
故答案为： ；
（ ）第一天截取了木棍的 ；
第二天截取了木棍剩下部分的一半： ；
第三天截取了木棍剩下部分的一半： ，
第四天截取了木棍剩下部分的一半： ，
，
第八天截取了木棍剩下部分的一半： ，
∴第 天截取后剩余部分的长度为：，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了数字类的规律，正确理解题意，列出算式是解题的关键．
18．（2023秋·江西南昌·七年级校考阶段练习）如图，在17个方格内填入任意整数，使得相邻三个方格里
的数之和都等于 ，若方格向右无限延伸，则第2023个方格内的数为 ．
【答案】9
【分析】根据相邻三个方格里的数之和都等于 ，通过计算得出方格内的数字每三个为一组循环出现，
再由 即可得到答案．
【详解】解：如图，
由题意得： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
补全方格内的数如图所示：
，由图可得：方格内的数字每三个为一组循环出现，
，
第2023个方格内的数为：9，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数的加法、数字类规律的探索，得出方格内的数字每三个为一组循环出现是解此
题的关键．
三、解答题
19．（2023秋·安徽滁州·七年级校联考阶段练习）（1）合并同类项： ；
（2）先化简，再求代数式的值： ，其中 ， ．
【答案】（1） ；（2） ， ．
【分析】根据题意，合并同类项，即可求解；
（2）先去括号，然后合并同类项，最后将字母的值代入进行计算即可求解．
【详解】解：（1） ；
（2） ，
∵ ， ，
∴原式 ．
【点睛】本题考查了整式的加减与化简求值，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解题的关键．
20．（2023秋·湖南永州·七年级校考阶段练习）已知 ， ，且 ，求 的值．
【答案】 或
【分析】先依据绝对值的性质求得 、 的值，然后依据 进行分类计算即可．
【详解】解： ， ，
， ．
，
， ，或 ， ．
或 ．
【点睛】本题主要考查的是绝对值的性质、有理数的减法，分类讨论是解题的关键．21．（2023秋·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）某校为了丰富学生的课余生活：计划购买一些乒乓球拍和
乒乓球，已知一副乒乓球拍的标价为50元，一盒乒乓球的标价是20元．现了解到两家文具店都在做促销
活动，甲文具店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙文具店：所有商品均打八折，若学校计划购买乒乓球
拍10副，乒乓球 盒．
(1)用含 的代数式分别表示在甲、乙两家文具店购买球拍和球的总费用；
(2)若学校计划购买乒乓球40盒，选择在甲、乙其中一家文具店购买，请问在哪家购买合算；
(3)在（2）的条件下，若还可以选择在甲、乙两家文具店同时购买，请你设计种最省钱的购买方案．
【答案】(1)甲文具店所需总费用为： ，乙文具店所需总费用为： ；
(2)在乙文具购买合算；
(3)最省钱的方案为：在甲文具店购买乒乓球拍 副，在乙文具店购买乒乓球 盒．
10 30
【分析】（1）根据甲文具店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙文具店：所有商品均打八折，列出代数
式即可得；
（2）将 分别代入（1）中甲乙总费用的代数式求解，然后比较即可得；
（3）根据题意，两家文具店均可购买，考虑各个优惠方案可得在甲文具店购买乒乓球拍 副，同时送
盒乒乓球，剩余的乒乓球到乙店购买即可，计算费用最少，即可得出此为最佳方案． 10 10
【详解】（1）解：根据题意可得：
甲文具店所需总费用为： ，
乙文具店所需总费用为： ，
甲文具店所需总费用为： ，
乙文具店所需总费用为： ；
（2）解：当 时，
甲文具店所需总费用为： （元），
乙文具店所需总费用为： （元），
，
∵在乙文具购买合算；
∴（3）解：考虑甲文具店：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球；乙文具店：所有商品均打八折，
在甲文具店购买乒乓球拍 副，同时送 盒乒乓球，剩余的乒乓球 （盒）到乙店购买即可，
∴ 10 10所需费用为：
（元），
，
∴最省钱的方案为：在甲文具店购买乒乓球拍 副，在乙文具店购买乒乓球 盒．
∴【点睛】题目主要考查代数式的应用及求代数1式0的值，理解题意，根据题意列30出代数式是解题关键．
22．（2023秋·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）请根据图示的对话解答下列问题．
(1) ， ．
(2)已知 ，求 的值．
【答案】(1) ．
(2)
【分析】（1）根据只有符号不同的两个数互为相反数和积为1的两个数互为倒数求解即可；
（2）根据非负数的性质求出 的值，再求出它们乘积即可．
【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，
∴ ，
∵b与 互为倒数，
∴ ．
故答案为： ， ．
（2）∵ ，即 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ．【点睛】本题考查了相反数和倒数的定义，非负数的意义，解题关键是根据相反数、绝对值和非负数的性
质求出字母的值．
23．（2023秋·湖南岳阳·七年级校考阶段练习）已知 、 互为相反数， 、 互为倒数，求
的值．
【答案】
【分析】利用相反数的性质得出 、 的值，根据倒数的定义得出 的值，代入原式计算即可．
【详解】解：∵ 、 互为相反数， 、 互为倒数，
∴ ， ， ，
∴
．
【点睛】本题考查了代数式求值、相反数的性质、倒数的定义，熟练掌握利用相反数的性质、倒数的定义
计算是解题的关键．
24．（2023秋·山西太原·七年级校考阶段练习）如图，数轴上的点A、B、C分别表示有理数a、b、c．
(1)点A、B之间的距离为___________；点A、C之间的距离为___________；点B、C之间的距离为
___________；
(2)若以点B为原点，化简： ．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离的定义进行解答即可；
（2）根据绝对值的定义进行解答即可．
【详解】（1）点A，B之间的距离为 ；点A，C之间的距离为 ；点B，C之间的距离为 ；
故答案为： ， ， ；（2）由题意可得： ， ，
∴
【点睛】本题考查了数轴的定义、绝对值的性质、数轴上任意两点间距离公式，掌握相关的定义和性质是
解题的关键．
25．（2023秋·山西运城·七年级校考阶段练习）如图，小红家装饰新家，小红为自己的房间选择了一款窗
帘(阴影部分表示窗帘)，请你帮她计算：
(1)窗户的面积是多大？
(2)窗帘的面积是多大？
(3)挂上这种窗帘后，窗户上还有多少面积可以射进阳光．
【答案】(1)2ab＋b2
(2) πb2
(3)2ab＋(1－ π)b2
【分析】（1）窗户的宽为 ，长为 ，根据长方形的面积计算方法求得答案即可；
（2）窗帘的面积是2个半径为 的 圆的面积和一个直径为b的半圆的面积的和，相当于一个半径为 的
圆的面积；
（3）利用窗户的面积减去窗帘的面积即可．【详解】（1）窗户的面积是 ；
（2）窗帘的面积是 ；
（3）射进阳光的面积是 ．
【点睛】本题考查了列代数式，以及整式的加减混合运算，解决问题的关键是看清图意，正确利用面积计
算公式列式即可．
26．（2023秋·安徽芜湖·七年级校联考阶段练习）探索性问题：
在数轴上，你会求任意两点之间的距离吗？知道这个距离与绝对值有什么关系吗？
请回答下列问题：
(1)在数轴上，表示数 的点和原点之间的距离（也就是 与 之间的距离）可以表示为 ．
①在数轴上，表示数 和 的点之间的距离是______，可以表示为______．
②在数轴上，表示数 和 的点之间的距离是______，可以表示为______．
③在数轴上，表示数 和 的点之间的距离可以表示为______．
④在数轴上，表示数 和 的点之间的距离可以表示为______．
(2)数轴上 、 两点对应的数为 、 ， 、 两点间的距离为 ，则 与 ， 有何数量关系；
(3)在数轴上标出所有符合条件的整数点P使它到 和 的距离之和为 ，并求出所有这些整数的和．
【答案】(1)① ； ；② ； ；③ ；④
(2)
(3)
【分析】（1）①在数轴上， 和 之间的距离是 ，可以表示为 和 的差的绝对值；
②在数轴上， 和 之间的距离是 ，可以表示为 和 的差的绝对值；
③在数轴上， 和 之间的距离可以表示为 和 的差的绝对值；
④在数轴上， 和 之间的距离可以表示为 和 的差的绝对值；
（2）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案；
（3）根据线段上的点到线段的两端点的距离的和最小值是线段的长度，可得点在线段上，再根据分母为的数是整数，可得答案．
【详解】（1）解：①在数轴上，表示数 和 的点之间的距离是 ，可以表示为 ，
故答案为： ； ；
②在数轴上，表示数 和 的点之间的距离是 ，可以表示为 ，
故答案为： ； ；
③在数轴上，表示数 和 的点之间的距离可以表示为 ，
故答案为： ；
④在数轴上，表示数 和 的点之间的距离可以表示为 ；
故答案为： ；
（2）∵数轴上 、 两点对应的数为 、 ， 、 两点间的距离为 ，
∴ ；
（3）所有符合条件的整数 ，使得 ，这样的整数 可以是 ， ， ， ， ，
， ，
∴ ，
即这些整数的和为 ．
【点睛】本题考查列代数式，绝对值，两点间的距离公式，绝对值方程．正确理解绝对值的几何意义是解
题的关键．
