文档内容
第 4 章 几何图形初步（知识清单+典型例题）
【知识导图】
【核心素养提升】
1. 分类讨论思想
本章的分类讨论思想主要体现在:(1)线段计算问题中,注意点的位置，位于已知线段上或延长线上;
(2)角度计算时注意两个角有无公共部分,即有一组边为公共边时,两个角的另外两边位于公共边的同侧或
两侧.如果题目中没有给出具体的图形,而根据题意又可能出现多种情况,就应不重不漏地分情况加以讨论.
1.将一副常规三角板按如图所示位置摆放,若O,C两点分别放置在直线AB上,求∠AOE的度数和∠COE的余
角的度数.2. 直观想象—运用数形结合的思想方法解决问题
本章的数形结合思想主要体现在:(1 在探究线段、直线的条数和性质时结合图形能更直观地得出结论;
(2)在研究角的性质和进行角的有关计算日要数形结合,便于问题的解决.
2.（2023上·四川成都·七年级统考期末）用一张边长为 的正方形纸，制成一个无盖的长方体盒子，需
在四个角上都剪去一个同样大小的正方形（如图中虚线所示），当剪去的正方形边长为 时，折成的无
盖的长方体的容积是 立方厘米；用你喜欢的方式探究，用这张正方形纸可制成的无盖的长方体盒子
的最大容积是 立方厘米．
3. 数学建模
1.利用“两点之间，线段最短”解立体图形表面的最短路线问题
2.构造方程模型解决问题
3．（2022上·河北沧州·七年级统考期末）下列现象：其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象是（
）
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段 架设；
③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
A．①③ B．①② C．②④ D．③④
4．（2023上·江苏·七年级校考周测）一项工作，如果由甲单独做，需 小时完成；如果由乙单独做．需
要5小时完成．如果让甲、乙两人一起做1小时，再由乙单独完成剩余部分，还需多长时间完成？
4. 数学运算—运用整体思想求角度或线段的长
本章的整体思想主要体现在求几条线段或几个角的和时,单条线段或单个角不易求出,往往把要求解的
几条线段或几个角当作一个整体;运用整体思想,这样能使问题的解决简单化.
6．（2012·四川绵阳·中考真题）如图，AB CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线，若
∠1=30°，∠2=40°，则∠BEF= 度．
【中考热点聚焦】
热点1.角的平分线
1．（2022上·山东菏泽·七年级校考阶段练习）如图，已知 ， ， ， 分别平
分 与 ．
(1)求 的度数；
(2)若 ， ，且 ，求 的度数2．如图，在 中，BD是∠ABC的角平分线，已知∠ABC=80°，则∠DBC= ．
热点2.余角和补角
3．（2022·广西·中考真题）如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么∠BAC
的大小为热点3.立体图形的展开图
4．将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与数字5所在的面相对的面上
标的数字为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5.如图是一个多面体的表面展开图，如果面 在前面，从左面看是面 （字母面在外面），那么从上面看
是面 （填字母）
【成果评定法】
一、单选题
1．（2020上·江苏南通·七年级统考期末）如图正方体纸盒，展开后可以得到（ ）
A． B．C． D．
2．（2020·内蒙古兴安盟·统考一模）如图，是一个正方体的展开图，则展开前与C面相对的面是 （ ）
A．A B．B
C．D D．F
3．（2015上·江苏盐城·七年级阶段练习）下列图形中，是棱锥展开图的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019上·陕西西安·七年级统考期中）如图所示的纸板上9个无阴影的正方形，从中选择1个，使其与
图中5个有阴影的正方形一起可以折成一个正方体的包装盒，不同的选法有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．6种
5．（2016上·江苏无锡·七年级阶段练习）下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020上·广西钦州·七年级统考期末）用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．A． B． C． D．
7．（2017上·七年级课时练习）如图，若 是锐角，则 的余角是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·全国·七年级课堂例题）下列四个平面图形中，不能折叠成无盖的长方体盒子的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2018·安徽黄山·七年级统考期末）如图是一个正方体的表面展开图，如果相对面上所标的两个数互为
相反数，那么 的值是
A．1 B．4 C．7 D．9
10．（2019上·山西运城·七年级校联考期末）如图，是一个正方体的表面展开图，将其折成正方体后，则
“扫”的对面是（ ）A．黑 B．除 C．恶 D．☆
二、填空题
11．（2019上·江苏常州·七年级常州市兰陵中学校考阶段练习）如图所示，将图沿虚线折起来得到一个正
方体，那么“1”的对面是 ，“2”的对面是 （填编号）．
12．（2020上·七年级课时练习）如图所示的平面纸能围成正方体盒子，请把与面 垂直的面用图中字母
表示出来是 ．
13．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是某些立体图形的展开图，请填这些立体图形的名称．
14．（2020·四川成都·统考模拟预测）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一个展开图，则在
原正方体中，与“想”字所在面相对的面上的汉字是 ．15．（2020上·七年级课时练习）下列图形中，不能折成正方体的有 （填序号）．
16．（2023上·全国·七年级课堂例题）一个正方体的展开图已有一部分（如图），还有一个正方形未画出，
现有10个位置可供选择，则画在哪些位置能围成正方体，画在哪些位置不能围成正方体？仔细观察图形，
或许你还要动手做做呢！
画在________________可围成正方体，画在________________不可以围成正方体．（填序号）
17．（2019·黑龙江大庆·统考二模）如图，把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近
似的长方体，下列关于两个几何体的结论：①表面积不变；②表面积变大；③体积不变；④体积变大．其
中结论正确的序号为 ．
18．（2020上·七年级课时练习）如图是一个正方体盒的展开图，若在其中的三个正方形 、 、 内分别
填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数，则填入正方形中 ， ， 内的三个数
依次为 ， ， ．三、解答题
19．（2020上·福建漳州·七年级统考期末）在学习《展开与折叠》这一课时，老师让同学们将准备好的正
方体或长方体沿某些棱剪开，展开成平面图形.其中，阿中同学不小心多剪了一条棱，把一个长方体纸盒剪
成了图①、图②两部分.根据你所学的知识，回答下列问题：
（1）阿中总共剪开了几条棱？
（2）现在阿中想将剪断的图②重新粘贴到图①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸
盒，他有几种粘贴方法？请在图①上画出粘贴后的图形（画出一种即可）；
（3）已知图③是阿中剪开的图①的某些数据，求这个长方体纸盒的体积.
20．（2020上·河北石家庄·七年级统考期末）已知下图为一几何体的三视图.
（1）写出这个几何体的名称；
（2）画出这个几何体的侧面展开图；
（3）若主视图的长为 ，俯视图中圆的半径为 ，求这个几何体的表面积和体积？（结果保留 ）主视图 左视图 俯视图
21．（2020上·福建莆田·七年级统考期末）如图是某长方体的展开图，它的棱长如图所示，请计算原长方
体的表面积和体积．（结果用含 的式子表示）
22．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是一个食品包装盒的展开图（图中的六边形的六条边相等）．(1)请写出这个包装盒的立体图形的名称；
(2)请根据图中所标的尺寸，求这个立体图形的侧面积．
23．（2019上·山西晋中·七年级统考期中）综合实践
问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动. 他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无
盖纸盒.
操作探究：
⑴若准备制作一个无盖的正方体形纸盒，如图1，下面的哪个图形经过折叠能围成无盖正方体形纸盒？
⑵如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体形纸盒后与“保”字相对的是哪个字？
⑶如图3，有一张边长为20cm的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长
方体形纸盒.
①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕.
②若四角各剪去了一个边长为xcm的小正方形，用含x的代数式表示这个纸盒的高为 cm，底面积为
cm2，当小正方形边长为4cm时，纸盒的容积为 cm3.
24．（2018上·福建龙岩·七年级统考期末）如图，这是一个长方体纸盒的平面展开图，已知纸盒中相对两个面上的数互为相反数．
（1）填空： a＝ ，b＝ ；
（2）先化简，再求值：（ab＋3a2）－2b2－5ab－2（a2－2ab），
25．（2019·山西太原·校联考一模）综合与实践：某“综合与实践”小组开展了“正方体纸盒的制作”实
践活动，他们利用长为 ，宽为 长方形纸板制作出两种不同方案的正方体盒子， 请你动手操作验证
并完成任务．(纸板厚度及接缝处忽略不计)
动手操作一：
如图1，若 ，按如图1所示的方式先在纸板四角剪去四个同样大小边长为 的小正方形，再沿虚线
折合起来就可以做成一个无盖的正方体纸盒．
问题解决：（1）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ．
动手操作二：
如图2，若 ，现在在纸板的四角剪去两个小正方形和两个小长方形恰好可以制作成一个有盖的正方体
纸盒，其大小与（1）中无盖正方体大小一样．
拓展延伸：（2）请你在图2中画出你剪去的两个小正方形和两个小长方形(用阴影表示)，折痕用虚线表示；
（3）此时，你发现 与 之间存在的数量关系为 ；若 ，求有盖正方体纸盒的表面积．
26．（2023上·全国·七年级课堂例题）如图是一个食品包装盒的展开图．请根据图中所标的尺寸，求这个
包装盒的表面积和体积．
