单元测试第二十一章一元二次方程（夯实基础培优卷）（解析版）_初中数学人教版_9上-初中数学人教版_06习题试卷_2单元测试_单元测试（第3套）

【高效培优】2022—2023学年九年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教 版） 【单元测试】第二十一章 一元二次方程（夯实基础培优卷） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________考 号：___________ 一、选择题（本大题共 10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程 根的情况为（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】直接利用根的判别式进而判断得出答案． 【详解】由题意可知：a=1，b=-2，c=3， 此方程没有实数根． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键． 2．（2022·山东淄博·八年级期中）方程 的解是（ ） A．x =1 B．x = 2 C．x = 0，x = 1 D．x = 0，x = 2 1 2 1 2 【答案】D 【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：x（x-1）=x， ∴x（x-1）-x=0， ∴x（x-1-1）=0， ∴x=0或x-1-1=0， ∴x=0，x=2． 1 2 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键． 3．（2022·浙江金华·八年级期中）已知一元二次方程 ，下列判断正确的是（ ）A．该方程有两个不相等的实数根 B．该方程有两个相等的实数根 C．该方程无实数根 D．该方程根的情况无法确定 【答案】C 【分析】把a=1，b=1，c=1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：在方程x2+x+1=0中，a=1，b=1，c=1， ∴Δ=12-4×1×1=-3＜0， ∴方程x2+x+1=0没有实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac的关 系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 4．（2022·湖南岳阳·七年级期中）已知方程 的两个根分别是2和－3，则 可分解为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次三项式的因式分解法以及根与系数的关系可得：2+（-3）=-1=-p，2×（-3） =-6=q，可知x2-px+q=x2-x-6，然后即可分解． 【详解】解：据题意得 2+（-3）=-1=-p，2×（-3）=-6=q， ∴p=1，q=-6， 可知x2-px+q=x2-x-6， ∴x2-x-6=（x+2）（x-3）． 故选：D． 【点睛】此题十字相乘法分解因式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练应用十字相乘法分解因式． 5．（2022·全国·九年级单元测试）一元二次方程 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A． 和 B． C． D．【答案】D 【分析】根据 的形式去判断即可． 【详解】一元二次方程 的二次项系数和一次项系数分别是 ， 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的基本概念，熟练化成一元二次方程的一般形式 是 解题的关键． 6．（2022·全国·九年级单元测试）已知关于x的一元二次方程（m－1）x2－2x＋1＝0，要使该方程有实数 根，则m必须满足（ ） A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠1 【答案】D 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式 ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围． △ 【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有实数根， ∴m-1≠0，且Δ=22-4×(m-1)×1≥0， 解得：m≤2且m≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式 ≥0，找出 关于m的一元一次不等式组是解题的关键． △ 7．（2022·江苏·九年级单元测试）如图，在 中， ，AB= ，BC= ．点 从点 开始沿 边 向点 以 的速度移动，同时点 从点 开始沿边 向点 以 的速度移动，当其中一点 到达终点时，另一点随即停止．当四边形 的面积为 时，点 的运动时间为( ) A． B． 或 C． D． 或【答案】C 【分析】先求出 的面积，得出当四边形 的面积为 时△BPQ的面积，设运动时间为t，则 ， ，根据三角形面积公式列出关于他t的方程，解方程即可． 【详解】解：∵在 中， ，AB= ，BC= ， ∴ ， ∴当四边形 的面积为 时， ， 设运动时间为t，则 ， ， ∴ ， 解得： ， ， ∵点P在AB上的运动时间为： ， ∴ ， ∴ 不符合题意， 即当四边形 的面积为 时，点 的运动时间为2s，故C正确，符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了动点问题，三角形的面积公式，解二元一次方程组，设运动时间为t，根据题意 列出关于t的方程，是解题的关键． 8．（2022·湖南·长沙市长郡双语实验中学七年级期末）某班50位同学在图书馆共借了132书，其中男生每 人借3本，女生每人借2本．设男生有x人，女生有y人，根据题意，列方程组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得等量关系：①男生人数＋女生人数=50；②男生借书本数+女生借书本数=132，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设男生有x人，女生有y人，根据题意得： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关 系，再列出方程． 9．（2022·四川宜宾·九年级期末）某口罩厂10月份的口罩产量为24万只，因预防疫情需要，11月份、12 月份均增大产量，使第四季度的总产量达到88万只．设该厂11、12月份的口罩产量的月平均增长率为 x，根据题意可列方程为（ ） A．88（1＋x）2＝24 B．88（1－x）2＝24 C．24（1＋x）2＝88 D．24＋24（1＋x）＋24（1＋x）2＝88 【答案】D 【分析】设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，再表示出该口罩厂11月、12月份的口罩的 产量，然后再根据等量关系“第四季度的总产量达到88万”列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设该厂11，12月份的口罩产量的月平均增长率为x，则11月份产量为24（1+x），12月份产 量为：24（1+x）2，根据题意可列方程为： 24+24（1+x）+24（1+x）2＝88． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意找准等量关系是正确列出一元二次方 程的关键． 10．（2022·辽宁大连·九年级期末）有一块矩形铁皮，长50cm，宽30cm，在它的四个角各切去一个同样的 正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，要制作的无盖方盒的底面积为 ．设切 去的正方形的边长为 ，可列方程为（ ）A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意求得底面的长为 ，宽为 ，即可求解． 【详解】设切去的正方形的边长为 ，则底面的长为 ，宽为 ，则 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 二、填空题（本大题共8个小题，每题2分，共16分） 11．（2022·河北保定·九年级期末）已知关于x的一元二次方程 的一个根是2，则另一个根为 ________，m的值是________． 【答案】 3 6 【分析】设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=5，2t=m，计算求解即可． 【详解】解：设方程另一个根为t， 则2+t=5，2t=m， 所以t=3，m=6， 方程的另一个根为3，即m的值为6； 故答案为3，6． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系． 12．（2022·浙江金华·八年级期中）已知x＝1是方程 的一个根，则2a－2b＋2024＝______． 【答案】2022 【分析】根据一元二次方程的解的定义可得 ，整体代入即可求解． 【详解】解：∵x＝1是方程 的一个根， ∴ ， 即 ，∴2a－2b＋2024 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义，代数式求值，理解一元二次方程解的定义是解题的关键． 13．（2022·江苏·九年级单元测试）已知方程（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）的根是x，x，则x+x 的值是 1 2 1 2 _____． 【答案】1 【分析】先将已知方程转化为一般式，然后利用根与系数的关系解答． 【详解】解：由方程（x−1）（x＋2）＝2（x＋2），得x2−x−6＝0， ∵方程（x−1）（x＋2）＝2（x＋2）的根是x，x， 1 2 ∴x＋x＝1． 1 2 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x 1 ＋x＝ ，x·x＝ ． 2 1 2 14．（2022·全国·九年级单元测试）某学习小组的成员互赠新年贺卡，共用去72张贺卡，则该学习小组 ________有名成员； 【答案】9 【分析】设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡，由该小组新年互送新年贺卡共 72张，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个小组有x名成员，则小组内每名成员需送出（x−1）张贺卡， 根据题意得：x（x−1）＝72， 解得：x＝9，x＝−8（不合题意，舍去）． 1 2 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在一块长17m、宽12m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互 垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使绿化面积为176m2，则修建的路宽应为________ m．【答案】1 【分析】设修建的路宽应为 ，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一 个长方形，根据绿化面积为 建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设修建的路宽应为 ， 由题意得： ， 解得 或 （不符题意，舍去）， 则修建的路宽应为 ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． 16．（2022·河南南阳·九年级期中）已知关于x的方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1）有一个根 是0，则m的值等于 _____． 【答案】1 【分析】将x=0代入方程求出m的值，再把m的值代入方程，就可以求出方程的另一个根． 【详解】解：把x=0代入方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1） 得：-m=-1 ∴m=1 把m=1代入方程（2x﹣m）（mx+1）＝（3x+1）（mx﹣1） 得：（2x﹣1）（x+1）＝（3x+1）（x﹣1） 整理得：x2-3x=0 因式分解:x（x-3）=0 ∴x=0，x=3． 1 2 故另一根为3，m的值为1． 故填1． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，先把方程的解代入方程求出字母系数的值，然后把字母系数代入就 可以求出另一个根． 17．（2021·江苏淮安·九年级期中）如图，某小区有一块长为 、宽为 的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为 ，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行 通道的宽度为________ ． 【答案】2 【分析】设人行通道的宽度为xm，由题意得（30-3x）（24-2x）=480，解方程即可． 【详解】解：设人行通道的宽度为xm， 由题意得（30-3x）（24-2x）=480， 解得x=2，x=20（舍去）， 1 2 ∴人行通道的宽度为2m， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键． 18．（2022·江苏泰州·九年级期末）随着退耕还林政策的进一步落实，某村从2017年底到2019年底林地面 积变化如图所示，则2018，2019这两年该村林地面积年平均增长的百分率为_______． 【答案】10% 【分析】设年平均增长率是x，根据题意列出一元二次方程即可求解． 【详解】设年平均增长率是x， 根据题意有： ， 解得：x=10%，（负值舍去）， 故年平均增长率是10%， 故答案为：10%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，明确题意列出一元二次方程是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共54分；第19-22每小题6分，23-24每小题7分，25-26 每小题8分） 19．（2021·辽宁锦州·九年级期中）用适当的方法解方程 (1)x2﹣2x﹣5＝0；（用配方法） (2)x2﹣2 x﹣4＝0；（用公式法） (3)（x+1）2＝3（x+1）；（用因式分解法） (4)2x2+3x＝1．（选择适当的方法） 【答案】(1)x＝1+ ，x＝1﹣ 1 2 (2)x＝ +3，x＝ ﹣3 1 2 (3)x=﹣1，x=2； 1 2 (4)x＝ ，x＝ 1 2 【分析】（1）配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可； （3）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （4）求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可． 【详解】（1）解：∵x2﹣2x﹣5=0，∴x2﹣2x=5，∴x2﹣2x+1=5+1，即（x﹣1）2=6，则x﹣1= ，∴x=1+ 1 ，x=1﹣ ； 2 （2）解：∵a=1，b=﹣2 ，c=﹣4，∴Δ=b2﹣4ac=（﹣2 ）2﹣4×1×（﹣4）=36＞0，方程有两个不等的 实数根，x= ，即x= +3，x= ﹣3； 1 2 （3）解：∵（x+1）2=3（x+1），∴（x+1）2﹣3（x+1）=0，∴（x+1）（x+1﹣3）=0，∴（x+1）（x﹣2） =0，∴x+1=0或x﹣2=0，∴x=﹣1，x=2； 1 2（4）解：方程化为2x2+3x﹣1＝0，∵a=2，b=3，c=﹣1，∴Δ=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0，∴x= ， ∴x= ，x= ． 1 2 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程． 20．（2022·全国·九年级单元测试）用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， (4) ， 【分析】（1）本题利用直接开平方法解方程即可； （2）本题将 移项到等号的左边，通过因式分解法解方程即可； （3）先将 移项到等号左边，化成一般式，利用公式法解方程即可； （4）将 移项到等号左边，利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：直接开平方得 ，解得 ， ； （2）解：由已知得 ，则 ，解得 ， ；（3）解：由已知得 ， ，∴ ，解得 ， ； （4）解：由已知得 ，利用因式分解法可得 ，解得 ， ． 【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，可以利用直接开平方法，公式法或因式分解法，选择恰当的方 法解方程是解题的关键． 21．（2021·湖南永州·九年级期中）已知 、 是关于x的一元二次方程 的两实根， (1)则 ______； ______； (2)若 ，求k的值． 【答案】(1)2k＋2，k2＋2 (2)1 【分析】（1）根据根与系数关系即可求解； （2）根据根与系数关系以及一元二次方程的判别式即可求出k的值． 【详解】（1）解：由跟与系数关系可知， ， ，故答案为：2k＋2，k2 ＋2； （2）解：解：（x＋1）（x＋1）＝8xx＋x＋x＋1＝8 xx＝k2＋2，x＋x＝2k＋2 k2＋2＋2k＋2＋1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ＝8k2＋2k－3＝0 K＝－3或k＝1 此一元二次方程有两实数根 ≥0即[－2（k＋1）]2－4×1×（k2＋2） ≥0k≥ ， k＝1． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键． 22．（2022·江苏·九年级单元测试）“你出地、我出苗，你种植、我培训”．在当地政府支持农业发展的 政策带领下，李大伯家种植了车厘子和水蜜桃，今年开始收成并批发出售，水蜜桃的产量是300斤，车厘 子的产量比水蜜桃产量的两倍多100斤，每斤车厘子批发价比水蜜桃多2元． (1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为多少元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元； (2)某水果店从李大伯家用（1）中的最低批发价购进车厘子销售．第一天每斤售价为40元，卖出了100斤，为了增加销量，水果店决定第二天每斤售价降低 m元，销量则在第一天的基础上上涨了2m斤，后结算 发现第二天比第一天多盈利320元，已知每天的售价均为整数．求m的值． 【答案】(1)李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元 (2)30 【分析】（1）设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，利用总价 ＝单价×数量，结合今年这两种水果的收入不低于23400元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其 中的最小值即可得出结论； （2）利用总利润＝每斤的销售利润×销售数量，结合第二天比第一天多盈利320元，即可得出关于m的一 元二次方程，解之即可得出m的值，再结合每天的售价均为整数，即可得出m的值为30． 【详解】（1）解：设李大伯把车厘子每斤批发价定为x元，则把水蜜桃每件批发价定为（x﹣2）元，依题 意得：（300×2+100）x+300（x﹣2）≥23400，解得：x≥24．答：李大伯把车厘子每斤批发价至少定为24 元，可使今年这两种水果的收入不低于23400元． （2）依题意得：（40﹣ m﹣24）（100+2m）﹣（40﹣24）×100＝320，整理得：m2﹣70m+1200＝0，解 得：m＝30，m＝40．又∵（40﹣ m）为整数，∴m＝30．答：m的值为30． 1 2 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量 之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 23．（2022·河南周口·九年级期末）因式定理：对于多项式 ，若 ，则 是 的一个因式， 并且可以通过添减单项式从 中分离出来．已知 ． (1)填空：当 时， ，所以 是 的一个因式．于是 ．则 ________________； (2)已知关于x的方程 的三个根是一个等腰三角形的三边长，求实数k的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）f（x）两项结合后，提取公因式，再提取x−1变形，计算即可求出g（x）；（2）由题易得1是方程 的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程 的 根，代入求得k的值，再求出x的值即为三角形的三边长，经验证不满足三角形的三边关系；若1为等腰 三角形的底边长，则方程 有两个相等实根，得出 =0，进而求出x的值，得到三角形的三边 △ 长，经验证满足三角形的三边关系． 【详解】（1）解：∵f（x）＝x³−x²−4x²＋4x＋kx−k＝x²（x−1）−4x（x−1）＋k（x−1）＝（x−1）（x²−4x＋ k）＝（x−1）g（x），∴g（x）＝x²−4x＋k． （2）∵ ，∴1是方程 的一个根．若1为等腰三角形的腰长，则1也是方程 的根．把1代入 ，得 ．∵方程 的两根为1和3，∴三角 形的三边为1，1，3．∵ ＜3，不成立；若1为等腰三角形的底边长，则方程 有两个相等 实根．由△ ，得 ．∵方程 的两个根为2，2，∴等腰三角形的三边为1， 2，2．∵ ＞2，成立．综上所述，实数 ． 【点睛】本题考查了平方差公式分解因式，方程两个相同解的情况下，Δ＝0这一条件，综合应用知识解题． 24．（2022·重庆市渝北区实验中学校九年级期中）某“5A”景区决定在“5.1”劳动节期间推出优惠套餐， 预售“亲子两人游”套票和“家庭三人行”套票，预售中的“家庭三人行”套票的价格是“亲子两人游” 套票的2倍． (1)若“亲子两人游”套票的预售额为21000元，“家庭三人行”套票的预售额为10500元，且“亲子两人 游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套，求“亲子两人游”套票的价格. (2)套票在出售当天计划推出“亲子两人游”套票1600张，“家庭三人行”套票400张，由于预售的火爆， 景区决定将“亲子两人行”套票的价格（1）中价格的基础上增加 元，而“家庭三人行”套票在（1） 中“家庭三人行”套票票价上增加了a元，结果“亲子两人游”套票的销量比计划少32a套，“家庭三人 行”套票的销售量与计划保持一致，最终实际销售额和计划销售额相同，求a的值． 【答案】(1)“亲子两人游”套票的价格为35元 (2)a的值为20 【分析】（1）设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元，根据“亲子两人游”的销售量比“家庭三人行”的套票多450套列出分式方程，计算即可； （2）根据实际销售额和计划销售额相同，列出关于a的一元二次方程，计算即可． 【详解】(1)解：设“亲子两人游”套票价格为x元，则“家庭三人行”套票的价格是2x元． 由题意得 解得 经检验， 是原方程的解，且符合题意 答：“亲子两人游”套票的价格为35元． (2) 化简得 解得 （舍去） 所以，a的值为20． 【点睛】本题考查了列分式方程解应用题、列一元二次方程解应用题，找准等量关系是解题的关键． 25．（2021·重庆渝中·九年级期末） 年是脱贫攻坚的关键年．为了让家乡早日实现脱贫目标，小伟利 用网络平台帮助家乡销售特产“留香瓜”．已知小伟的家乡每年大约出产“留香瓜” 吨，利用网络平 台进行销售前，人们主要依靠在本地自产自销和水果商贩上门收购，本地自产自销的价格为 元/千克， 水果商贩上门收购的价格为 元/千克；利用网络平台进行销售后，因受网上销售火爆的影响，网上每销售 吨“留香瓜”，水果商贩的收购价将提高 元/千克．设网上销售价格为 元/千克，本地自产自销的价 格仍然为 元/千克． （1）利用网络平台进行销售前，小伟的家乡每年本地自产自销的总收入不超过卖给水果商贩收入的 ， 求每年至少有多少吨“留香瓜”卖给了水果商贩？ （2）利用网络平台进行销售后，小伟的家乡每年销售“留香瓜”的总收入大约为 万元，其中本地自产 自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值计算，求每年在电商平台上销售了多少吨“留香瓜”？ 【答案】（1） 吨；（2）300吨 【分析】（1）设利用网络平台进行销售前，每年有 吨“留香瓜”卖给了水果商贩，根据题意列不等式即 可求解； （2）设每年在网络平台上销售了 吨“留香瓜”，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：（1）设利用网络平台进行销售前，每年有 吨“留香瓜”卖给了水果商贩．由题意，得 解之得： 答：利用电商平台进行销售前，每年至少有 吨“留香瓜”卖给了水果商贩． （2）本地自产自销“留香瓜”的销量按（1）问中的最大值为:600-500=100(吨) 设每年在网络平台上销售了 吨“留香瓜”．则 解得 （舍去）， ， 答：每年在网络平台上销售了 吨“留香瓜”． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解题关键是理清题目中的数量关系， 列出方程或不等式． 26．（2021·江苏南京·九年级期中）【阅读材料】 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式．求解二元一次方程组，把它转化为 一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组；求解一元二次方程， 把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生 增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转 化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因 式分解把它转化为 ，解方程 和 ，可得方程 的解． 【直接应用】 方程 的解是 ， ________， ________． 【类比迁移】 x2  x 解方程： ． 【问题解决】 如图，在矩形ABCD中，AD8，AB2，点P在AD上，若PBPC 10，求AP的长．5 5 5 5 4 4 【答案】（1）4，2；（2）x2或x1；（3） 3 或 3 【分析】（1）首先提出x，然后因式分解多项式，求解即可得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为x，根据勾股定理 可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式 方程，求解即可． x36x28x0 【详解】（1） ， x  x26x8  0 ， xx4x20 ， x 0 x 4 x 2 ∴ 1 或 2 或 3 ， 故答案为：4，2； x2  x （2） ， 方程的两边平方，得x2x2， 即x2x20， (x2)(x1)0， x 2 x 1 1 或 2 ， x2 x2  4 2 当 时， ， x2是原方程的解， x1 x2 1 当 时， ， x1是原方程的解， x2 x x2 x1 的解是 或 ； （3）因为四边形ABCD是矩形， AD90，ABCD2， 设APx，则PD8x， Rt△BAP BP AP2AB2  x24 在 中， ， Rt△CDP CP CD2PD2  4(8x)2 在 中， ，  PBPC 10，  x24 48x2 10 ，  48x2 10 x24 ， 48x2 10020 x24x24 两边平方得： ， 5 x24 4x9 整理得： ， 两边平方并整理得：9x272x190， 5 5 5 5 解得：x4 或x4 ， 3 3 5 5 5 5 的长为4 或4 ． AP 3 3 【点睛】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根，解决（3）时， 根据勾股定理和线段长，列出方程是关键．