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第 6 章 实数 章节复习卷（12 个知识点+50 题练习）
知识点
知识点1．平方根
（1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
（2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“ ”，负的平方根表示为“﹣ ”．
正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作 ．零的算术平方根仍旧是零．
平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点2．算术平方根
（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数
x叫做a的算术平方根．记为 ．
（2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a
本身是非负数．
（3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平
方根时，可以借助乘方运算来寻找．
知识点3．非负数的性质：算术平方根
（1）非负数的性质：算术平方根具有非负性．
（2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也
是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求
值问题．
知识点4．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作： ．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、
负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平
方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，
0的立方根是0．
知识点5．计算器—数的开方
正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是：
当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或
向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍．
知识点6．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周
率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如 4＝4.0， ＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如 ＝
1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环
小数，③含有 的数，如分数 是无理数，因为 是无理数．
无理数常见的三π种类型 π
（1）开不尽的方根，如 等．（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有 的绝大部分数，如2 ．
注意：判断π一个数是否为无理数，π 不能只看形式，要看化简结果．如 是有理数，而不
是无理数．
知识点7．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点8．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数 a的绝对值就是在数轴上这
个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝
对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定
是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与
b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点9．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数
轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数 a
的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左
边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点10．实数大小比较实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于 0，负实数都小于0，正实数大于一切
负实数，两个负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比
左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点11．估算无理数的大小
估算无理数大小要用逼近法．
思维方法：用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
知识点12．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、
乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算
乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根
式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从
左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
练习卷
一．平方根（共4小题）
1．（2023春•商南县期末）若 与 是同一个数两个不同的平方根，则 的值
A． B．1 C． 或1 D．
2．（2023春•云浮期末）一个正数的平方根是 与 ，则 等于 ．
3．（2023春•普兰店区期中）一个正数 的两个平方根分别是 与 ，
求 的值和这个正数 的值．
4．（2023春•郯城县期中）若关于 的代数式 和 是某个正数的平方根，求这
个正数．二．算术平方根（共4小题）
5．（2023秋•江安县期中）下列说法正确的是
A． 的平方根是
B． 的算术平方根是
C． 的平方根是
D．0的平方根与算术平方根都是0
6．（2023秋•崂山区期中）有一个数值转换器，原理如图．当输入的 时，输出的
等于 ．
7．（2023春•肇源县期中）实数 的平方根是 ．
8．（2023秋•宝鸡期中）勤俭节约是中华民族传统美德，小亮的爸爸是能工巧匠，他把两
块废弃的正方形木板分割重新拼接成一张完整的正方形桌面，其面积为1.69平方米，其中
他用的一块木板的边长为0.5米，求另一块木板的边长是多少米？
三．非负数的性质：算术平方根（共5小题）
9．（2023春•绥阳县期中）已知实数 ， 满足 ，则 的值为
A．3 B． C．0 D．1
10．（2023春•新宾县期末）若 ，则 ．
11．（2023春•琼海期末）已知 为实数，且 ，则 的值为
A． B．1 C．2 D．
12．（2023秋•柯城区校级期中）若则 ， ．
13．（2023春•忠县期末）为便于夜间航行船只查看长江航道及河床两岸的情况，长江航
道管理局在如图所示 水域地带的两岸 、 处分别安置了一盏可以不断匀速旋转地探照灯．设 水域地带两岸 ，点 处探照灯射出的光线自 开始顺时针旋转，
点 处探照灯射出的光线自 开始顺时针旋转，当两灯射出的光线旋转至各自岸边时立
即反向旋转，旋转中常常出现交叉照射，若点 处射出的光线每秒旋转 度，点 处射出
的光线每秒旋转 度．且 ．
（1）求 ， 的值；
（2）如图2，设两灯同时开始旋转，点 处探照灯射出的光线在旋转到 之前，若两盏
探照灯射出的光线在点 处交叉照射，是否存在点 使得过 作 交 于点 ，
且 ，若存在，求 的度数；若不存在，说明理由；
（3）设点 处探照灯先旋转15秒后，点 处探照灯才开始一起旋转，记两盏灯一起旋转
的时间为 秒．当点 处探照灯射出的光线首次旋转至 位置之前，能否出现两盏探照
灯射出的光线互相平行，若能，直接写出所有 的值；若不能，说明理由．
四．立方根（共5小题）
14．（2023春•鹿泉区校级期中）（1） 的算术平方根是 ；
（2） 的值为 ．
15．（2023春•北屯市期中）求下列各式中的 的值：
（1） ；
（2） ．
16．（2023春•武都区期末）下列判断错误的是
A． 的立方根是 B．49的算术平方根是7
C． 的立方根是 D． 的平方根是
17．（2023春•平泉市期末）如果 ， ，那么 约等于A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
18．（2023秋•蒲城县期中）已知 的平方根是 ， 的立方根是3．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
五．计算器—数的开方（共3小题）
19．（2023春•路北区校级月考）甲同学利用计算器探索．一个数 的平方，并将数据记
录如表：
16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 17.0
262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 285.61 289
请根据表求出275.56的平方根是 ．
20．（2022春•连平县校级期末）用计算器求2017的算术平方根时，下列四个键中，必须
按的键是
A． B． C． D．
21．（2022春•江汉区期中）某计算器上的三个按键 的功能分别
是： 将屏幕显示的数变成它的算术平方根； 将屏幕显示的数变成它的倒
数； 将屏幕显示的数变成它的平方，小明输入一个数 后，依次按照如图所示的
三步循环重复按键，若第2021次按键后，显示的结果是4，则输入的数 是 ．
六．无理数（共4小题）
22．（2023春•乐陵市期中）如图是一个无理数筛选器的工作流程图．
（1）当 为16时， 值为 ；（2）是否存在输入有意义的 值后，却始终输不出 值？如果存在，写出所有满足要求的
值；如果不存在，请说明理由；
（3）如果输入 值后，筛选器的屏幕显示“该操作无法运行”，请你分析输入的 值可能
是什么情况？
（4）当输出的 值是 时，判断输入的 值是否唯一？如果不唯一，请写出其中的三个．
23．（2023春•海珠区校级期中）在实数 ，0， ， ， ， 中，无理数一共有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
24．（2023•雁塔区校级模拟）下列各数： ， ， ， ， ，其中是无理数的有
个．
25．（2023春•遵义期中）写一个小于 的无理数 ．
七．实数（共5小题）
26．（2023•龙华区二模）在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，
叫做“面”，这是中国传统数学对无理数的最早记载，下面符合“面”的描述的数是
A． B． C． D．27．（2023春•涵江区期中）把下列各数填入相应的空格内：
4， ， ， ，0.303003， ，0
（1）有理数： ；
（2）无理数： ；
（3）正实数： ；
（4）负实数： ．
28．（2023春•讷河市期末）下列说法正确的有
（1）带根号的数都是无理数；
（2）立方根等于本身的数是0和1；
（3） 一定没有平方根；
（4）实数与数轴上的点是一一对应的；
（5）两个无理数的差还是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
29．（2023春•潼南区期中）对于一个三位正整数 ，若各个数位上的数字都不为
0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数 叫“中
项两倍数”．把“中项两倍数” 的各个数字之和被3整除的商记为 ．其中，能被
21整除，且 为有理数的所有“中项两倍数” 的值为 ．
30．（2023春•绥阳县期中）已知，一个正数的两个平方根分别为 和 ．
（1）求 和这个正数；
（2）求 的算术平方根．
八．实数的性质（共4小题）
31．（2024•南岗区校级开学） 的绝对值是 ．
32．（2023春•庆阳期末）实数 的相反数是A． B． C． D．
33．（2023春•端州区校级期中）已知 的平方根是 ， 的立方根是3，
的相反数是 ．
（1）分别求出 ， ， 的值；
（2）求 的平方根．
34．（2023春•安阳期末）对于结论：当 时， 也成立，若将 看成 的
立方根， 看成是 的立方根，由此得出这样的结论：“如果两数的立方根互为相反数，
那么这两数也互为相反数”．
（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；
（2）若 与 的值互为相反数，求 的值．
九．实数与数轴（共4小题）
35．（2023春•海沧区校级期中）和数轴上的点一一对应的是
A．整数 B．无理数 C．实数 D．有理数
36．（2023春•鄂州期末）如图的数轴上，点 与点 关于点 对称， 、 两点对应的
实数是 和 ，则点 所对应的实数是
A． B． C． D．
37．（2023春•霍邱县期中）一只蚂蚁从点 沿数轴正方向爬了2个单位长度到达点 ，
点 表示 ，设点 所表示的数为 ．
（1） ；
（2）化简 ．
38．（2023秋•二七区校级期末）已知数轴上两点 、 对应的数分别为 ，6．（1） 、 两点间的距离为 ；
（2）如图①，如果点 沿线段 自点 向点 以每秒1个单位长度的速度运动，同时点
沿线段 自点 向点 以每秒2个单位长度的速度运动，运动时间为 秒．
Ⅰ．运动 秒时 对应的数为 ， 对应的数为 ；（用含 的代数式表示）
Ⅱ．当 、 两点相遇时，点 在数轴上对应的数是 ；
Ⅲ．求 、 相距3个单位长度时的 值；
（3）如图②，若点 在数轴上，点 在数轴上方，且 ， ，
现点 绕着点 以每秒转 的速度顺时针旋转（一周后停止），同时点 沿射线 自
点 向点 运动．当 、 两点相遇时，请直接写出点 的运动速度．
一十．实数大小比较（共4小题）
39．（2022秋•市北区校级期末）比较大小： ．
40．（2023春•朝天区期末）阅读下面的材料：
对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当 时， ， ，如：
， ， ， ．
根据上面的材料回答下列问题：
（1） ；
（2）当 时，求 的取值范围．
41．（2023春•南岗区期末）对于实数 ， ，我们定义符号 ， 的意义为：当时， ， ；当 时， ， ，如： ， ， ，
．
根据上面的材料回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）当 时，求 的取值范围．
42．（2022秋•隆回县期末）有理数 ， ， ， 在数轴上的对应点的位置如图所示，这
四个数中，绝对值最大的是
A． B． C． D．
一十一．估算无理数的大小（共4小题）
43．（2024•五华区校级模拟）设 为正整数且 ，则 的值为
A．5 B．6 C．7 D．8
44．（2023春•西和县期末）已知 ， ， ， ．若
为整数且 ，则 的值是 ．
45．（2023春•玉环市期末）实数 在哪两个相邻的整数之间
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
46．（2023春•曾都区期中）我们知道， 是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就
是小数部分．即 的整数部分是1，小数部分是 ，请回答以下问题：
（1） 的小数部分是 ， 的小数部分是 ．（2）若 是 的整数部分， 是 的小数部分．求 的平方根．
（3）若 ，其中 是整数，且 ，求 的值．
一十二．实数的运算（共4小题）
47．（2023春•莲池区期末）计算
A． B． C． D．
48．（2023 春•巨野县期末）对于任何实数 ， ， ， ，我们规定符号的意义是
，按照这个规定请你计算：当 时， 的值为 ．
49．（2023春•九龙坡区校级期中）在实数范围内定义运算“ ”： ，
若 ，则 的值是 ．
50．（2022秋•杭州期末）在实数范围内定义运算“※”： ※ ，例如：
3※ ．
（1）若 ， ，计算 ※ 的值．
（2）若 ※ ，求 的值．
（3）若 ，求 ※ ※ 的值．
