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第6 章 实数（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点一】平方根和立方根
类型
平方根 立方根
项目
被开方数 非负数 任意实数
符号表示 a 3 a
一个正数有两个平方根，且互为相反 一个正数有一个正的立方根；
数； 一个负数有一个负的立方根；
性质
零的平方根为零； 零的立方根是零；
负数没有平方根；
( a)2 a(a 0) (3 a)3 a
重要结论 a(a 0) 3 a3 a
a2 a
a(a 0)
3 a 3 a
【要点二】实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
有理数：有限小数或无限循环小数
无理数：无限不循环小数
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一 一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
3.实数的三个非负性及性质：
在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：
a a
（1）任何一个实数 的绝对值是非负数，即| |≥0；
a a2
（2）任何一个实数 的平方是非负数，即 ≥0；a 0 a0
（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 ( ).
非负数具有以下性质：
（1）非负数有最小值零；
（2）有限个非负数之和仍是非负数；
（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.
4.实数的运算：
a a
数 的相反数是－ ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对
值是0.
有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，
最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.
5.实数的大小的比较：
有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.
法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；
法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；
法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．无理数的发现引发了第一次数学危机，带来了一场数学革命，继而促进了几何学的发展．下列实
数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果 和 是同类项，那么 的算术平方根为（ ）
A．4 B． C．2 D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．实数分为正实数和负实数 B．无限小数都是无理数
C．带根号的数都是无理数 D．无理数都是无限不循环小数
4．一个正方形的面积是31，估计它的边长大小应该在（ ）．
A．5与5.5之间 B．5.5与6之间 C．6与6.5之间 D．6.5与7之间
5．“数轴上的点并不都表示有理数，如图所示，数轴上的点P所表示的数是 ”，这种说明问题的
方式体现的数学思想是（ ）A．方程思想 B．建模思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想
6．一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（ ）
A． m B． m C．25m D．125m
7．已知 ，下列结论错误的是（ ）
A． 是负数 B． 是27的立方根
C． 是无理数 D． 是7的算术平方根
8．若 ，则m与n的关系是（ ）．
A． B． C． D．
9．如图，在数轴上有三个点，其中两个点分别表示 ，则点A表示的数可能为（ ）
A． B． C． D．
10．根据下列表格，估计 的大小（ ）
x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65
2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225
A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间
C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11． 的立方根是 ．
12． ， 的相反数是 ．
13．已知 ，则 ＝ ．
14．若 ，则 的值为 ．15．若 ，则 ．
16．若 ，则 ．
17．当 时，对于实数 ，代数式 的最小值为 ．
18．定义一种运算：对于任意实数 ，都有 ，则 的值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）求下列各式中x的值：
（1） （2）
20．（8分）计算：
（1） （2）
21．（10分）结合数轴先化简，后求值：
22．（10分）已知 的立方根是2， 的算术平方根是4．（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．
23．（10分）已知七个实数 ， ，4， ， ，0， ．其中五个数已在数轴上分别用点
A、B、C、D、E表示．
（1）点A表示数 ，点B表示数 ，点C表示数 ，点D表示数 ；
（2）在数轴上准确地表示数 （提示：注意观察正方形APQR的面积），并将所有的数用“ ”连
接；
∴ ．
（3）将上面7个数分别填入相应括号的横线上：
整数：{ ⋯}；
分数：{ ⋯}；
无理数：{ ⋯}．24．（12分）阅读理解：
∵ ，即 ．
∴
∴ 的整数部分为1，
∴ 的小数部分为 ．
解决问题：
已知a是 的整数部分，b是 的小数部分．
（1）求 的值；
（2）求 的平方根，提示： ．
（3）若c是立方根等于本身的数，且 的倒数是2，求 的值．参考答案：
1．C
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
解：A． 是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
B．|-2|=2，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
C． 是无理数，故本选项符合题意；
D． =2，是有理数，不是无理数，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了立方根，算术平方根，绝对值，无理数的定义等要点，能熟记无理数的定义是解
此题的关键，注意：无理数是值无限不循环小数．
2．C
【解析】略
3．D
【分析】根据实数的分类以及有关概念逐一分析即可解决.
解：A.实数分为正实数、负实数和零，故此选项错误；
B.无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，故此选项错误；C.带根号的数不一定是无理数，如 ， 等，故此选项错误；
D.无理数都是无限不循环小数，故此选项正确；
故选：D
【点拨】此题考查了实数的分类以及有关概念，掌握实数的分类和相关概念是解答此题的关键.
4．B
【分析】设正方形的边长为 ，可得 ；估算算术平方根的取值范围即可．
解：设正方形的边长为 ，则
解得：
∵ ，且
∴
即
故选：B
【点拨】本题考查估计算术平方根的取值范围．注意计算的准确性．
5．C
【分析】本题考查的是数学思想方法，做这类题，可用逐个排除法，显然A、B、D所说方法不对．
解：∵数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数是 ，
这种利用图形直观说明问题的方式A、B、D的说法显然不正确，
∴本题是把数与数轴上的点相联系，是数形结合的思想方法．
故选：C．
6．B
【分析】根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．
解： × × ＝5（立方米），
答：这个正方体的棱长是 米，
故选：B．
【点拨】此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．
7．B【分析】通过实数的运算以及负数、立方根、平方根、无理数的定义逐项判断．
解：A． 的平方是7，3的平方是9,7比9小，因此 ，为负数，A项正确；
B．27的立方根是3，题中由 得 不是27的立方根，B项错误；
C．将 平方得 是无理数，C项正确；
D．题中由 得 ， 是7的算术平方根，D项正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了负数、无理数、立方根、算术平方根的概念，充分理解这些概念是解答本题的基
础．
8．C
【分析】根据立方根的性质即可的解．
解：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查立方根的性质．一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是
负数，0的立方根是0， ．
9．C
【分析】本题考查无理数的估算，先根据数轴得到 ，然后确定数值是解题的关键．
解：设点A表示的数为
根据数轴上点的位置可得 ，
即 ，
符合要求的为 ，
故选：C．
10．B【分析】确定 的范围即可求解．
解：∵
∴
由表格数据可知： 在 之间
故选：B
【点拨】本题考查算术平方根的估值．确定被开方数的范围是解题关键．
11．
【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根是解题的关键；因此此题可直接进行求解．
解： 的立方根是 ；
故答案为 ．
12． / /
【分析】根据绝对值及相反数的定义作答即可．
解： ，
，
，
的相反数是 ，即 ．
故答案为： ， ．
【点拨】本题考查绝对值和相反数，比较二次根式的大小，解题的关键是掌握绝对值和相反数的定义．
13．8
【分析】本题考查的是绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是熟练掌握“一个数的绝对值是一
个非负数，以及 ”．
解： ， ；，
解得： ，
，
故答案为：8．
14．
【分析】根据算术平方根的定义可得 ，进而代入 根据立方根的定义即可求解
解：∵
∴
即
故答案为：
【点拨】本题考查了算术平方根和立方根的定义，求得 的值是解题的关键．平方根：如果x2=a，则x
叫做a的平方根，记作“± ”（a称为被开方数）, 其中属于非负数的平方根称之为算术平方根；立方根：
如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“ ”（a称为被开方数）．
15．
【分析】由题意根据实数运算法则化简原式，变形后即可得出答案.
解： ，可知 ，解得 .
故答案为： .
【点拨】本题考查实数的运算，熟练掌握并利用幂运算法则变形是解题的关键.
16．7.16
解：∵ =0.716，
∴ =7.16.
故答案为7.16.
【点拨】本题考查了被开方数的变化与立方根的值的变化之间的变化规律．当被开方数的小数点每向
右（或向左）移动3位，它的立方根的小数点就相应的向右（或向左）移动1位．17．4
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的性质．分 和 两种情况讨论，利用绝对值的性
质和算术平方根的性质计算即可求解．
解： ，
由 ，所以 ，
令 .
当 时， .
当 时， ，
综上， 的最小值为4．
故答案为：4．
18．
【分析】根据题目所给的定义得到 ，据此求解即可．
解：∵ ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查利用平方根及立方根解方程，熟练掌握其定义是解题的关键．
（1）利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
（1）解：原方程变形得：，
则 ；
（2）由原方程可得： ，
解得： ．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）先根据乘方，立方根，绝对值化简，再进行加减运算；
（2）先根据乘方，立方根，绝对值化简，再进行加减运算．
（1）解：
；
（2）解：
．
【点拨】本题考查实数的混合运算，立方根，算术平方根，正确计算是解题的关键．
21． .
【分析】先由数轴可知c＜a＜0＜b，且|b|＞|a|，再根据绝对值的意义化简绝对值符号，求出立方根
和算术平方根，合并同类项即可
解：由图可知 ， ，
∴
.故答案为 .
【点拨】本题考查数轴，以及立方根和算术平方根，解题的关键是熟记定义以及绝对值的意义．
22．（1） ， ；（2）
【分析】（1）利用平方根、立方根定义确定出a与b的值即可；
（2）把a与b的值代入计算即可解答．
（1）解：∵ 的立方根是2，
∴ ，
解得： ，
∵ 的算术平方根是4，
∴ ，
解得： ，
∴ ， ；
（2）解： ，
，
∴ 的平方根为 ．
【点拨】本题考查了算术平方根和立方根的定义及代数式求值，熟练掌握算术平方根和立方根的定义
是解题的关键．
23．（1）0， ， ， ；（2）画图见分析， ， ，0， ， ，4， ；（3）
，0,4； ， ； ，
【分析】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，实数的分类，实数的大小比较，要点较多，比
较基础，要熟练掌握．
（1）根据各点在数轴上的位置，结合数的大小填写即可；
（2）结合正方形的边长，在数轴上表示其他数，再按照从左往右的顺序排列各数；
（3）根据实数的分类填写．
解：（1）
由图可知：点A表示数是0，点B表示数是 ，点C表示数是 ，点D表示数是 ；
故答案为：0， ， ， ；
（2）解：如图，
，
故答案为： ， ，0， ， ，4， ；
（3）解：整数：{ ，0，4，⋯}；
分数：{ ， ，⋯}；
无理数：{ ， ，⋯}．
故答案为： ，0，4； ， ； ， ．
24．（1） ， ；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得 的值；
（2）根据开平方运算，可得平方根；
（3）先根据题意求出 ，再代入 的值即可求解．
解： ，
∴ ，
∴ ，
， ；，
的平方根是： ．
是立方根等于本身的数，且 ，
∵d的倒数是2，
由 得， ， ．
【点拨】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出是解题关键．
