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培优专题 02 有理数混合运算的六种技巧
【专题精讲】
有理数的混合运算是加、减、乘、除乘方的综合应用,学会运算法则是基础,运算
的关键是运算的顺序,为了提高运算速度,要灵活运用运算律,还要能创造条件利
用运算律,如拆数,移动小数点等,对于复杂的有理数运算,要善于观察、分析、类
比与联想,从中发现可以简算的地方从而达到算得准、算得快的目的。计算复杂
算式,应遵循以下几个原则：
-1
❑
2021
(1)分段同时性原则:例如在计算一 0.25²÷（- ）-（ ） +(-2)²×(-3)²的过
1 4，
程中,应在第一步中计算0.25²，-（ ） ，（-1）2021，（-2）²,（-3）²以达
2
到高效的目的;
(2)整体性原则:例如乘除混合运算统一化为乘法,统一进行约分;
(3)简明性原则:计算步骤尽可能简明,能够一步计算出来的就同时算出来,不要拖
沓;
(4)心算原则:计算过程中,能用心算的都尽量运用心算,心算是提高运算速度的重
要方法。
有理数计算常用的技巧与方法有
①应用运算律;②裂项相消;③分解相约;
④巧用公式;⑤利用倒数;⑥借用图形面积
◎类型一：巧用凑整法计算
解题方法：多个有理数相加时,如果既有分数,也有小数,一般将存在数量少的形
式转化成数量多的形式,把能凑成整数的数结合在一起,可以使计算简便,这种方
法简称凑整法。
1．（2020·安徽·马鞍山市雨山实验学校七年级阶段练习）计算
(1)(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简绝对值、将分数化成小数，再利用有理数的加减运算法则和运算律进
行计算即可得；
（2）先将带分数拆分成两项，再利用有理数的加减运算法则和运算律进行计算即可得．
（1）
解：原式
．
（2）
解：原式
．
【点睛】本题考查了化简绝对值、有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减运算法
则和运算律是解题关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习）计算：
(1)
(2)
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）根据有理数加减法的交换律和结合律即可求解；
（2）根据有理数加法的交换律和结合律即可求解．
（1）解： ，
＝ ，
＝100+(﹣100)，
＝0；
（2）
（2） ，
＝ ，
＝0+1+ ，
＝ ．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解决本题的关键是掌握以上的运算法则，注意用
简便方法简化运算．
3．（2022·全国·七年级）计算下列各小题，能用简便方法的使用简便方法．
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)-13
(2)
【分析】（1）向去掉括号后，再根据法则计算即可求解；
（2）通过去括号化简之后，再采用同分母相结合计算即可求解．
(1)
解：原式＝﹣9+7﹣6﹣5
＝（﹣9﹣6﹣5）+7
＝﹣20+7
＝﹣13；
(2)
原式＝3 + ﹣ ﹣
＝（3 ﹣ ）+（ ﹣ ）
＝3﹣＝ ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最
后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
4．（2022·全国·七年级专题练习）（- 4 ）-（- 5 ）+（- 4 ）-3
【答案】
【分析】原式利用减法法则变形，结合后相加即可得到结果．
【详解】解：（-4 ）-（-5 ）+（-4 ）-3 ，
，
，
.
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．灵活运
用加法结合律进行凑整运算可以简化计算.
◎类型二：运用拆项法计算
解题方解答此类问题,先把带分数拆成整数和真分数两部分,再把整数部分和真分
数部分分别结合在一起,利用交换律，结合律得出答案。
5．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：
(1)3﹣（+63）﹣（﹣259）﹣（﹣41）；
(2) ；
(3)
(4) ．
【答案】(1)240
(2)﹣19(3)469
(4)﹣9903
【分析】（1）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；
（2）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；
（3）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果；
（4）原式利用减法法则变形后计算即可得到结果．
（1）
解：原式＝3﹣63+259+41＝﹣60+300＝240；
（2）
解：原式＝2 ﹣10 ﹣8 ﹣3 ＝﹣8﹣11 ＝﹣19 ；
（3）
解：原式＝598﹣84﹣（12 +31 ）＝514﹣44 ＝469 ；
（4）
解：原式＝（﹣8721﹣1279）+（53 +43 ）＝﹣10000+97＝﹣9903．
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（2021·河南周口·七年级阶段练习）计算：
【答案】
【分析】根据有理数加减混合运算法则以及运算律进行计算即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及加法交换律结合律，熟练掌握有理数加减运算
法则是解本题的关键，掌握运算律可以使计算变得简便．
7．（2022·全国·七年级课时练习）简便计算：
（1） ；
（2）
【答案】（1） ；（2）-60
【分析】（1）根据有理数的简便运算法则即可求解；（2）根据有理数的简便运算法则即可求解．
【详解】解：（1）原式＝（50﹣ ）×（﹣4）
＝﹣200+
＝ ；
（2）原式＝（﹣ ）×（78﹣11）﹣66×0.3
＝﹣0.6×67﹣66×0.3
＝﹣40.2﹣19.8
＝﹣60．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知其运算法则．
8．（2022·全国·七年级课时练习）用较为简便的方法计算下列各题：
（1） ；
（2）－8721＋53 －1279＋4 ；
（3） ．
【答案】（1） ；（2）-9942；（3）
【分析】（1）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（2）根据有理数的加法和减法可以解答本题；
（3）根据有理数的加法、减法和绝对值的性质可以解答本题；
【详解】解：（1）
=
=
= ；
（2）－8721＋53 －1 279＋4
＝(－8721－1279)＋
＝－10000＋58＝－9942；
（3）
=
=
=
【点睛】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
◎类型三：巧用组合法计算
解题方解答此类问题,直接计算比较麻烦,观察算式,找出算式分布规律,然后适当
分组,利用结合律将相加和为0的结合在一起简化计算。
9．（2020·甘肃·甘州中学七年级阶段练习）计算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8+…﹣2001+2002
﹣2003+2004
【答案】1002
【分析】根据算式特点，可将原式分组（−1＋2）＋（−3＋4）＋（−5＋6）…＋（−2003
＋2004），即可发现规律，算出结果．
【详解】解：−1＋2−3＋4−5＋6−7＋8＋…−2001＋2002−2003＋2004＝（−1＋2）＋（−3
＋4）＋（−5＋6）＋（−7＋8）＋…＋（−2003＋2004）＝1002
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，对于此类题型找出规律运用简便方法是解题的关
键．
10．（2021·全国·七年级课时练习）
．
【答案】0
【分析】每四个数之和是0，共有505个这样的0，计算即可．
【详解】解：∵2020 4=505，
∴1−2−3+4+5−6−7+8+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+2017−2018−2019+2020
=(1−2−3+4)+(5−6−7+8)+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2017−2018−2019+2020)
=0+0+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0
=0．
【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟练掌握运算法则并能灵活运用运算律是解题关
键．11．（2022·全国·七年级课时练习）计算题
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）1；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6）1002
【分析】（1）、（2）、（3）、（4）直接根据有理数加减混合运算法则求解即可；
（5）先根据绝对值的性质去绝对值符号，然后再结合有理数加减混合运算法则求解即可；
（6）先观察得出相邻两项之和为1，从而利用规律求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
；
（4）原式；
（5）原式
；
（6）原式=
．
【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的相关运算法则，并注意运算
规律与顺序是解题关键．
12．（2020·山东泰安·课时练习）计算 … ．
【答案】-100
【详解】原式
◎类型四：巧用裂项相消法计算
解题方法解答此类题目,根据算式特点,将各项变为两项,然后把互为相反数的两
项相加,只剩下首项和末项,相加得出结果。
13．（2022·全国·七年级课时练习）观察下列各式： ， ，
（1）猜想：
（2）你发现的规律是： ；（n 为正整数）（3）用规律计算：
.
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）观察题中规律得出答案即可
（2）根据题中规律进行总结即可
（3）根据（2）总结的式子将原式展开进行计算即可
【详解】（1）
（2）
（3） =
= =
【点睛】本题主要考查了有理数运算中的归纳总结问题，细读题目找到规律是解题关键
14．（2022·全国·七年级课时练习）观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
（1）若n为正整数，请你猜想
（2）计算：
（3）计算：
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【分析】（1）归纳总结得到拆项规律，写出即可；（2）根据（1）中规律，进行计算；
（3）根据（1）中规律，进行计算．
【详解】解：（1）猜想 ，故答案为 ；
（2） =1- =
（3）原式=
【点睛】此题考查分数的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（2022·湖南·羊角塘镇中心中学七年级阶段练习）计算题．
(1) ．
(2) ．
(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】（1）根据裂项求和进行简便运算即可；
（2）观察算式的分母，找到规律，进而裂项相消求和进行简便运算即可求解；
（3）观察算式的，令 ，则
，两式相加即可求解．
（1）
解：原式＝
；
（2）
解：∵
∴原式＝；
（3）
令
① ②得：
，故 ．
【点睛】本题考查了有理数的加法，乘法，乘方运算，将所求式子用裂项相消的方法进行
正确的分解是解题的关键．
16．（2021·湖南·永州市剑桥学校七年级阶段练习）观察下列有规律的数
…．根据其规律，则
（1）第7个数是________；
（2）第n个数是________；
（3） 是第 个数；
（4）计算： ．
【答案】（1） ；（2） ；（3）12；（4）
【分析】（1）根据已知数据的分母规律计算即可；
（2）由已知数据进行分析判断即可得解；
（3）由（2）列式即可得解；
（4）根据 计算即可；
【详解】（1）由题可知： ， ， ， ， ，
，
；
故答案是 ．
（2）由（1）可得：第n个数是 ；故答案是 ．
（3）根据题意可得： ，
∴ 是第12个数；
故答案是12．
（4）原式 ，
．
【点睛】本题主要考查了数字规律型，有理数混合运算，准确计算是解题的关键．
◎类型五：逆用分配律计算
分配律a(b+c)=ab+ac，在运算中可简化计算;反过来,ab+aca(b+c)同样成立,适当
运用也可使运算简便。
17．（2022·全国·七年级）计算：
（1） ；
（2） ．
【答案】(1) ；(2)
【分析】(1)将 拆分成 ，然后再使用乘法分配律与4相乘即可求解；
(2)逆用乘法分配律将 提取出来，然后按运算顺序进行计算即可．
【详解】解：(1)原式
(2)原式．
【点睛】本题考查了有理数的四则运算，有理数的乘法分配律，熟练掌握有理数的乘法法
则是解决本题的关键．
18．（2020·上海市民办华育中学期中）99 ×91＋8×99 ＋99.75
【答案】9975
【分析】利用乘法分配律的逆运算得 ，再利用乘法分配律计算即可得出结果．
【详解】解：原式= ，
，
，
，
=9975．
【点睛】本题考查乘法分配律及其逆运算，解题的关键在于熟练掌握运算律并能正确运算．
19．（2022·全国·七年级专题练习）利用适当的方法计算： ．
【答案】－14
【分析】逆用乘法的分配律，将 提到括号外，然后先计算括号内的部分，最后再算乘法
即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查的是有理数的乘法，解题的关键是逆用乘法分配律进行简便计算．
20．（2021·上海普陀·期中）计算： ．
【答案】﹣
【分析】先变形，然后逆用乘法分配律解答．
【详解】解：=
=
=
=﹣ ．
【点睛】本题考查了的有理数的混合运算，灵活逆用乘法分配律是解题的关键．
◎类型六：巧用倒数法计算
解答此类题目,交换被除数和除数的位置得到原式的倒数,先计算出倒数的值,然
后求出原数即可。
21．（2021·陕西·岚皋县城关九年制学校七年级期中）认真阅读材料后，解决问题：
计算： ．
分析：利用通分计算 的结果很麻烦，可以采用以下方法进行计算．
解：原式的倒数是
＝
＝
＝20﹣3+5﹣12＝10，
故原式＝ ．
仿照阅读材料计算： ．
【答案】
【分析】仿照阅读材料，先求原数的倒数，进而求解即可．
【详解】解：原式的倒数是，
故原式 ．
【点睛】本题主要考查了求一个数的倒数，有理数除法，有理数乘法的分配律，正确理解
题意是解题的关键．
22．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：计算 ．
解法一：原式＝ ＝550．
解法二：原式＝ ＝50÷ ＝50×6＝300．
解法三：原式的倒数为
＝ ．
故原式＝300．
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法______是错误的．请你选择合适的
解法解答下列问题：
计算： ．
【答案】一；
【分析】根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案；
根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案．
【详解】解：没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一．
原式＝
＝
＝ ．
【点睛】本题考查了有理数的除法，先算括号里面的，再算有理数的除法，注意没有除法
分配律．
23．（2021·广西南宁·七年级期中）阅读下列材料，根据材料计算：计算：
解：原式的倒数为
所以原式
根据以上材料计算：
【答案】
【分析】首先看懂例题的做法，先计算出 的倒数
的结果，再算出原式结果即可．
【详解】解：原式的倒数为
原式 ．
【点睛】本题主要考查了有理数的除法，看懂例题的解法是解决问题的关键．
24．（2022·全国·七年级）想一想：
下面两种计算正确吗?请说明理由：
(1)解：原式=
；
(2)解：原式=．
【答案】(1)不正确，理由见解析
(2)不正确，理由见解析
【分析】利用有理数的除法法则计算即可
(1)
解：不正确，除法没有结合律，正确运算方法如下：
原式=
；
(2)
不正确，除法没有交换律，正确运算方法如下：
解：原式
．
【点睛】本题主要考查有理数的除法，掌握有理数除法的运算法则是解题的关键．
【巩固训练】
1．（2022·全国·七年级课时练习）计算：
(1)4 ＋[8.6－ ＋ ＋ ]；
(2)－2－ ＋ － － ＋ ．
【答案】(1)5.6
(2)－2
【分析】（1）运用加法的交换律和结合律进行计算即可；
（2）运用加法的交换律和结合律进行计算即可．
(1)
解：4 ＋[8.6－ ＋ ＋ ]
＝＝1－4＋8.6
＝5.6；
(2)
－2－ ＋ － － ＋
＝
＝
＝－2．
【点睛】此题主要考查了有理数加法的交换律和结合律的应用，熟练掌握有理数加法的交
换律和结合律是解答此题的关键．
2．（2022·全国·七年级专题练习） ．
【答案】
【分析】原式利用加法交换律与结合律变形后，相加即可求出值．
【详解】解：原式 ，
，
．
【点评】此题考查了有理数的加法，解题的关键是熟练掌握加法法则．
3．（2022·全国·七年级课时练习）计算 的值．
【答案】
【分析】由题意，先把每个分数进行拆项，变成差的形式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意，则
=
=
= ．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行拆项，从而进行解题．
4．（2022·全国·七年级课时练习）阅读下面的计算方法：
计算：
解：原式=
=
=
=2
上面的解法叫拆项法．请你运用这种方法计算：
．
【答案】-2600
【分析】根据题意阅读材料中的拆项法及有理数的运算法则即可求解．
【详解】解：（﹣2010 ）﹣2013 +400 +1023
=﹣2010﹣ ﹣2013﹣ +400+ +1023+
=（﹣2010﹣2013+400+1023）+（﹣ ﹣ + + ）
=﹣2600．
【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是根据题意的方法进行求解．
5．（2012·江苏扬州·七年级阶段练习）阅读下题的计算方法．
计算 ．
解：原式=
=
=
=
上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：【答案】 ．
【详解】先将各个带分数进行拆分，然后再利用有理数的加法的法则和加法结合律继续计
算就可以了．
6．（2022·全国·七年级课时练习）综合与实践
阅读下面的计算过程，体会“拆项法”
计算：
解：原式
启发应用：
用上面的方法完成下列计算．
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）（2）原式根据阅读材料中的方法变形，计算即可得到结果．
【详解】解：（1）
=
=
=
=
= ；（2）
=
=
=
【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2020·安徽·阜南县中岗中学七年级阶段练习）观察分析：
（1）写出第四个式子和第五个式子；
（2）写出第2017个式子和第n个式子；
（3）结合上式所反映的规律，计算
【答案】（1） ； ；（2） ；
；（3） ．
【分析】（1）根据前三个式子即可得；
（2）根据前三个式子归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；
（3）结合（2）的结论，将式子中的各项进行拆分，再计算有理数的加减法即可得．
【详解】（1）观察前三个式子得：第四个式子为 ，
第五个式子为 ；
（2）第一个式子为 ，
第二个式子为 ，
第三个式子为 ，
归纳类推得：第n个式子为 ，
则第2017个式子为 ；
（3） ，，
，
．
【点睛】本题考查了列分式的规律性问题、有理数的乘法与加减法，观察已知式子，正确
归纳出一般规律是解题关键．
8．（2017·全国·七年级课时练习）找到规律是解题最重要的步骤！先观察下面的式子：
， ， ，…，
你发现规律了吗？下一个式子应该是： ．
利用你发现的规律，计算：
.
【答案】
【详解】试题分析:本题考查了有理数的巧算-----裂项相消,根据提示,把每一项分裂成两个数
的差,从而使相反数的项互相抵消,使运算简化.
下一个式子应该是： ．
+ …+ ．
点睛:分数的裂项法．注意每项等式左边分母和等式右边分母的关系，结合算式特点，把每
个分数拆成两个分数差的形式.
9．（2021·北京市平谷区峪口中学七年级期中）6.868×（－5）＋6.868×（－12）＋
6.868×17
【答案】0
【分析】利用乘法分配律合并计算即可．
【详解】解：原式=6.868×（-5-12+17）
=6.868×0
=0
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，注意简便方法的应用．
10．（2021·全国·七年级专题练习）
【答案】5
【解析】略
11．（2022·全国·七年级课时练习）数学老师布置了一道思考题“计算：”．小明仔细思考了一番，用下列方法解答了这个问题．
小明的解答：原式的倒数为 ，所以
．
(1)请你判断小明的解答是否正确，若正确，请你运用小明的解法解答下面的问题；若不正
确，请说明理由．
(2)计算： ．
【答案】(1)正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
(2)﹣
【分析】（1）正确，利用倒数的定义判断即可；
（2）求出原式的倒数，即可确定出原式的值．
（1）解：正确，理由为：一个数的倒数的倒数等于原数；
（2）解： 的倒数为 ， ＝
＝ ＝﹣8+4﹣9＝﹣13，则
＝﹣
【点睛】此题考查了有理数的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．（2022·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：
计算：50÷（ ）．
解法一：原式＝ ＝50×3﹣50×4＋50×12＝550
解法二：原式＝50÷（ ）＝50÷ ＝50×6＝300
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 解法是错误的，在学习正确的解
法后，请你解答下列问题：
（1）计算：（﹣ ）÷（ ）；
（2）在材料中，原式的倒数为（ ）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣ ）÷（
）的解吗？请写出具体解题过程．【答案】一；（1） ；（2） ，见详解.
【分析】（1）由题意根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得
答案；
（2）由题意根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案，注意最后要还原成倒
数.
【详解】解：因为没有除法分配律，故解法一错误；
故答案为：一；
（1）（﹣ ）÷（ ）
；
（2）
故（﹣ ）÷（ ）= .
【点睛】本题考查有理数的除法，注意掌握有理数的除法应先算括号里面的，再算有理数
的除法，同时注意没有除法分配律．
