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培优专题 12 图形变换的四种作图
【要点提示】
平移、旋转、轴对称和中心对称这几种图形变换都可以改变图形的位置,而不改
变图形的形状和大小,注意作图时要弄清平移的方向和距离、旋转的方向和角度,
作图要求准确、明了。
◎类型一：平移作图
1．（2022·天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级期末）在平面直角坐标系中， 为原点，点
．
(1)如图①，则三角形 的面积为______；(2)如图②，将线段 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到平移后的线段 连接 ，
．
①求三角形 的面积；
② 是一动点，若 ，请直接写出点 坐标．
【答案】(1)3
(2)① ；②
【分析】（1）判断出 ， 的长，利用三角形面积公式求解．
（2）①利用分割法把三角形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．②利用三角形面积公式，
构建方程求解即可．
（1）
∵A(0，-3)，B(-2，0)，
∴OA=3，OB=2，
∴ ，
故答案为： ．
（2）
如图： ，
由题意， ，
，
∴P（-1，10）．【点睛】本题考查坐标与图形变化 平移，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用分割法求三角形
面积，学会利用参数构建方程解决问题．
2．（2022·江苏·江阴市青阳初级中学七年级阶段练习）如图，在边长为1个单位的正方形网格中，
经过平移后得到△ ，图中标出了点 的对应点 ． 根据下列条件，利用网格点和无刻度的直尺画
图并解答相关的问题（保留画图痕迹）：
(1)画出△ ；
(2)画出 的高 ；
(3)连接 、 ，线段 扫过的图形的面积为 ．
(4)在 的左侧确定不同于点C的格点 ，使 的面积和 的面积相等，这样的 点有 个．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
(3)10
(4)8
【分析】（1）分别作出A，B，C对应点 ， ， 即可．
（2）根据三角形高的定义画出图形即可．
（3）利用分割法求解即可．
（4）构造菱形 ，利用等高模型解决问题即可．
（1）
解：如图，根据题意可得，先将图形向下平移1个单位长度，然后向右平移6个单位长度，△ 即为
所求作．
（2）
解：如图，线段 即为所求作．（3）
线段 扫过的图形的面积为 ．
故答案为： 10．
（4）
解：满足条件的点 有8个，如下图：
故答案为：8．
【点睛】本题考查作图 平移变换，三角形的面积，三角形的高等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．
◎类型二：轴对称作图
3．（2021·黑龙江·肇源县第二中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，每格代表1个单位，三角形
的三个顶点都在格点上．(1)请写出A，B，C的坐标．
(2)求出三角形ABC的面积．
(3)点P是x轴上的一个动点，求PA＋PC的最小值
【答案】(1)A（－2，5）；B（－5，－2）；C（3，3）
(2)20.5
(3)
【分析】（2）由图可得点A，B，C的坐标．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（2）作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，与x轴的交点即为所求的点P，则PA+PC的最小值即为A'C
的长，由勾股定理可得出答案．
（1）
解：A（－2，5）；B（－5，－2）；C（3，3）．
（2）
解： ABC的面积=
△
（3）
解：作点A关于x轴的对称点A'，连接A'C，与x轴的交点即为所求的点P．∴PA+PC的最小值即为A'C的长，
∵A（－2，5），
∴A’（－2，-5），
由勾股定理得A'C= ．
∴PA+PC的最小值为 ．
【点睛】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
4．（2022·浙江·临海市书生实验学校八年级开学考试）如图，已知△ABC的三个顶点在格点上．
(1)作出与△ABC关于y轴对称的图形 ；
(2)直接写出点C关于x轴对称C 的坐标： ；
2
(3)在y轴上找一点P，使得△PAC周长最小．请在图中标出点P的位置．【答案】(1)见解析
(2)（﹣1，﹣1）
(3)见解析
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）直接利用关于直线对称点的性质得出答案；
（3）连接 ，与y轴的交点即为所求点P．
（1）
解：如图所示， 即为所求，
（2）
如图所示： （﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）；
（3）
如图所示：连接 ，与y轴的交点即为所求点P．
，
当 三点共线时，△PAC周长最小．
【点睛】本题考查了在画轴对称图形，根据轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的
关键．◎类型三：旋转作图
5．（2022·广东·深圳市龙岗区布吉中学八年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个
小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的 ．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的 ．
(3)直接写出点 的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）将三个顶点分别沿x轴方向向左平移6个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）将点B、C分别绕着点A顺时针旋转90°得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（3）结合图形可得答案．
（1）
解：如图所示， 即为所求．
（2）
解：如图所示， 即为所求．（3）
解：根据题意得： ．
【点睛】本题主要考查作图——平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握平移变换和旋转变换的定义与性
质．
6．（2022·江苏·靖江市滨江学校八年级阶段练习）如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（－3，4）、B
（－7，1）、C（－2，1）．
(1)请画出 关于坐标原点O的中心对称图形 ，并写出点A的对应点 的坐标：______；
(2)将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，直接写出点A的对应点P的坐标；______；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个项点D的坐标；______；【答案】(1)△ ，如图所示， （3，﹣4）；
(2)如图所示，P（4，3）；
(3)（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点 ， ， 即可．
（2）作出点A的对应点P即可解决问题．
（3）分三种情形，画出图形，写出坐标即可．
（1）
解：△ ，如图所示， （3，﹣4）；
故答案为：（3，-4），
（2）
如图所示，P（4，3）；
故答案为：（4，3），
（3）
满足条件的点D的坐标为（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．
故答案为：（﹣8，4）或（2，4）或（﹣6，﹣2）．
【点睛】本题考查旋转变换作图，平行四边形的判定等，解题的关键是熟练掌握旋转的基本作图方法．◎类型四：中心对称作图
7．（2022·辽宁沈阳·八年级期末）如图，在网格中建立平面直角坐标系，每个小正方形边长都是1，其顶
点叫做格点， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)将 经过平移得到 ，若点 的对应点 的坐标为 则点 的对应点 的坐标为
_________（直接填空）；
(2)直接在图中画出与 关于原点 成中心对称的 ；
(3)若将 绕原点 顺时针旋转 度后，点 的对应点为 ，则线段 的长度为_________（直接填
空）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用点 和 的坐标特征确定平移方向与距离，然后利用此平移规律得到 、 的坐标，
再描点即可；
（2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到 、 、 的坐标，然后描点即可；（3）利用勾股定理计算．
（1）
如图，△ 为所作；点 的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）
如图，△ 为所作；
（3）
如图， ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平移、中心对称、旋转作图，勾股定理，掌握平移、中心对称、旋转的性质是解题的
关键．
8．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和 关于点E成中心对称，
(1)在图中标出点E，且点E的坐标为______；(2)点P（a，b）是△ABC边AB上一点，△ABC经过平移后点P的对应点 的坐标为（a－6，b+2），请
画出上述平移后的 ，此时 的坐标为______， 的坐标为______；
(3)若 和 关于点F成位似三角形，则点F的坐标为______．
【答案】(1)图形见解析，（0，－1）
(2)图形见解析，（－3，4），（－2，2）
(3)（－3，0）
【分析】（1）根据中心对称的性质，任何一对对应点连线的中点即为对称中心E；
（2）将△ABC向左平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度，即可得到△A2B2C2，根据平移的规律，
可分别写出点A2和C2的坐标；
（3）根据位似三角形的定义求出点厂的坐标点评
（1）
解：如图，连接 ，则 的中点E即为所求；
∵点A（3，2）， ，
∴点E的坐标为（0，－1）；
故答案为：（0，－1）
（2）
解：∵点P（a，b）的对应点 的坐标为（a－6，b+2），∴△ABC先向左平移6个单位，再向上平移2个单位得到 ，
如图， 即为所求，
∵点A（3，2），C（4，0），
∴ 的坐标为（－3，4）， 的坐标为（－2，2）；
故答案为：（－3，4），（－2，2）；
（3）
解：连接 交于点F，点F即为所求，
∴点F（－3，0）．
故答案为：（－3，0）
【点睛】本题主要考查了中心对称、平移变换及位似变换的性质．中心对称的性质：①关于中心对称的两
个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．
平移的性质：平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，连接各组对应点的线段平行且相等．位
似图形的性质：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行．
