文档内容
小学数学思维训练
----不定方程
一、知识讲解
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，方程的解不能唯一确定
的方程或方程组。古希腊数学家丢番图于公元3世纪初就开始研究过不定方程，
因此常称不定方程为丢番图方程。中国是研究不定方程最早的国家。学习不定
方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技
能。
本讲主要学习二元一次不定方程和三元一次不定方程的解法，以及运用不
定方程解答一些简单实际问题的方法。
不定方程的解常常会附加一些限制条件，如要求是整数、自然数或正整数
等等，这些条件对不定方程的求解至关重要，解题过程中要认真分析，尤其是
要注重挖掘题中隐藏的一些限制条件。在解不定方程时，通常将原方程变形为
用含有一个未知数的 代数式表示
出另 一个未知数的形式，再根据
题中的限制条件，寻找合适的解。
在解不定方程时，常规方法有观察法、试验法、列举法。如果再能合理运
用以下几个技巧，就可以大大提高解题速度。
1.系数上的考虑（变形）
如求7x﹢2y =38的整数解，我们变形为：y=（38-7x）÷2=19-3x-（1/2）x。由于x、y都是自然数，由上述变形可知，x应是2的倍数，可以取2，4。
所以在解不定方程时，一定要注意未知数前面的系数，选择恰当的变形来解不
定方程。
2.尾数上的考虑（个位）
如求5x+4y=59的自然数解。和的个位数是 9，说明5x的个位数字一定是
5，那么x一定取奇数；4y的个位数字一定是 4，那么y只能是1、4、6、11、
14。这样解的过程就容易多了，速度也上来了。
3.奇偶性上的考虑
上道例题还可以从数的奇偶性入手考虑。59是一个奇数，4y一定是个偶数，
那么，5x就一定是个奇数，那么x取值只能取奇数，如1、3、5……，也能起到
简便解题过程的作用。
4.倍数关系上的考虑
如求不定方程2x+3y=21的自然数解。我们注意到，21是3的倍数，3y肯
定也是3的倍数，2x=21-3y，那么2x也应是3的倍数，这样x只能取是3的倍
数的数了，如：0、3、6等等，这样就能简化解题过程了。
二、例题解析
例1 求2x+5y=17的整数解。
分析：（一）观察法，并结合奇偶性或尾数上进行考虑。（1）17 是奇
数,2x一定是偶数，那么，5y就一定是个奇数，那么y取值只能取奇数，如1、
3 、 5… …解法一：观察2x+5y=17，17是奇数,2x一定是偶数，说明5y的个位数字一定是
5，那么y一定取奇数。当y=1时，x=6；当y=3时，x=1。
解法二：把2x+5y=17变形为：x=(17-5y)÷2，再列表试验求解。
y 1 2 3
x 6 3.5 1
所以，2x+5y=17的整数解为：
x=6 x=1
y=1 y=3
在解不定方程时，可将原方程变形，变为一个未知数用另一个未知数的代
数式表示出来，再根据题中的限制条件，寻找合适的解。
例2 将球装入两种盒子中, 每个大盒子装12个, 每个小盒子装5个，正好
装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，大盒和小盒各多少个？
分析：两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，
再求出它的自然数解。
结合奇偶性、尾数分析，99是奇数，12x是偶数，5y尾数是5，12x尾数是
4，x取2、7。经列举试验，x=2时，y=15；x=7时，y=3。
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
由例2可以看出，对于不定方程，要尽量缩小未知数的取值范围，再求解。
不定方程常常利用奇偶性和尾数来帮助解决
例3买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克
3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？
分析：该题共有三个未知量，可以设出两个未知数，再设法表示出第三个
未知量，列出不定方程。再根据条件求解。
解：设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。根
据
由 式 子 (1) 可 知 ： y<20 ； 由 式 子 (2) 可 知 ： y 必 须 是
2的倍数。所以y可取2、4、6、
8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：
苹果 9 8 7 6 5 4 3 2 1
橘子 2 4 6 8 10 12 14 16 18
[来源:Z_xx_k.Com]
梨 19 18 17 16 15 14 13 12 11
对不定方程适当变形，通过系数可以更快地看出未知数的特征，从而进一步缩小未知数的取值范围。
例4今年，祖父的年龄是小明的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明的5倍。
又 过 几 年 后 ， 祖 父 的 年 龄 是 小 明 的 4 倍 。 求 祖 父 今 年 多
少岁?
分析：这是一道有难度的年龄问题。题中除了两人的年龄的倍数关系,其
余一概未知。但题目中有三个等量关系。利用等量关系列出相应的方程，问题
就迎刃而解了。
把x=4y代入2x=3y+3m, …………(3)
得 8y=3y+3m 即 5y= 3m
y=(3/5)m
由于y是整数,所以 m=5、10、15、20……
可算出 y=3、6、9、12……
那么 x=12、24、36、48……
那祖父的年龄就是 72、144……
很明显，只有当m=5，y=3，x=12时，祖父的年龄是72岁才符合实际。含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所
以也叫做二元一次不定方程，如（1）。含有三个未知数的方程叫三元一次方程，
它的解也不唯一，如（2）。根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个
未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方
程解即可，如（3）。
例5某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为
一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三
等奖的学 生各有几人？
[来源:学_科_网]
分析：本题出现了三个未知数，并且这三个未知数之间没有直接的关系。
就可以设出三个未知数，列出不定方程组，再设法变成一个不定方程，继而求
出解。
y ＝
x＝1
x只能取1，所以y＝2，代入①得z＝5，原方程的解为 y＝2z＝5
故一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
解不定方程的步骤：1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；
5、确定特征；6、确定答案。
三、巩固练习
（一）选择题
1．方程x+2y=7在正整数范围内的解（ ）
A．有无数解 B.只有一组 C.只有三组 D.以上都不对
[来源:Z.xx.k.Com]
2 ． 方 程 1990x-1989y=1991 的 一 组 正 整 数 解 是 （ ）
A ． x=12785 ， y= 12768 ； B.x=1
2785 ，
y= 12770；
C.x=11936，y= 11941； D.x=13827，y= 12623
（二）填空题
1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, □是自然数,那么□= .
2.箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个
是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.
3．不定方程12x+17y=75的整数解是 .
4．采购员去超市买鸡蛋，每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋(盒子不能打开)，采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买 盒.
5．新学期开始了，几个老师带着一些学生去搬全班的 100本教科书，已知
老师和学生共 14 人，每 个老师
能搬12本，每个男生能搬8本，每个女生能搬5本，恰好一次搬完。搬书的老
师_______人，男生_______人，女生_______人
（三）解答题
1.甲种商品7元一份，乙种商品3元一份，小明用60元恰好买两种商品共
多少份?
2.某种考试已举行 24次，共出了 426道题，每次出的题目有 25题、或者
16题、或者20题，那么其中考25题的有多少次？
[来源:Z,xx,k.Com]
3. 甲 一 分 钟 能 洗 3 个 盘 子 或 9 个 碗 ， 乙 一 分
钟能洗2个盘子或7个碗，甲、
乙合做，20分钟洗了134个盘子和碗。有几个盘子几个碗?
4．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管
(加工损耗忽略不计)。问剩余部分的铝管至少是多少厘米?
5．小明玩套圈游戏，套中小鸡一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得
2分，小明共套10次，每次都套中了，每个小玩具都至少被套中一次，小明套
10次共得61分，小鸡至多被套中多少次？
6. 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的m位男生和11位女生的捐款
总数与乙班的9位男生和n位女生的捐款总数相等，都是（mn+9m+11n+145）元，
已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数。(其中：)
巩固练习答案：
（一）选择：C C
（二）填空：
1. 1998.
提示: △是小于4的奇数,检验△=1或3两种情况即可.
2. 260.
设箱子里共有n个乒乓球,二级品占 .依题意,得
整理得 ①
易知 15-4 a>0,所以a≤3.
[来源:学科网ZXXK]
将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).
3. x=2,y=3
4. 26
设买了x大盒，y小盒。23x+16y=500 解得：x=12,y=14;x+y=26.
5. 3 3 8
设老师x人，男生y人，女生z人。
x+y+z=14
12x+8y+5z=100
解得：x=3,y=3,z=8
（三）解答：1. 解：设小明买甲种商品x份，乙种商品y份，可以列不定方程如下：
7x+3y=60，由于 3、60均为3
的倍数，且60-7x≥0，x≤8，又因为7x一定能被3整除，
所以小明用60元买两种商品16份或12份。
本题关键是确定7x的取值范围。
2. 解：设考25题、20题依次为x次和y次，可列不定方程如下：
(25-16)x+(20-16)y=426-16×24
9x+4y=42
42-9x≥0，所以x≤4，且4和42均能被2整除，因此只能取0、2、4。
当x=0 时，y=10
当x=2时， y=6
当x=4时, y=
可以考25题的共有2次。
判断出x的范围小于或等于4，再确定不能取偶数是求解的关键。
3. 解：设甲用a分钟洗盘子，(20-a)分钟洗碗，乙用b分钟洗盘子，(20-b)分
钟洗碗。
由 上 式 知 ， b 为 偶 数 ， 所 以 a=l，6，ll或16。当a=1，6，ll时，
b>20不合题意。所以a=16，b=18。
共洗了盘子3a+2b=84(个)，洗了碗134-84=50(个)。
本题先用未知数分别表示甲、乙洗盘子和碗的时间，再列不定方程。
4. 解：设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是 x根和y根，则可以看
方程36x+24y=374 是否有解。由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所
以此方程无整数解。
若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372
即 3x+2y=31 当 x=1时，y=14。
因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分
最少为2厘米。
5. 解：设套中小鸡x次，小侯y次，小狗z次。
则 x+y+z=10
9x+5y+2z=61
解得：x=5,y=2,z=3
所以小鸡至多被套中5次。
