文档内容
小学数学思维训练
----工程问题
一、知识讲解
在日常生活中，做某一件事、制造某种产品、完成某项任务、完成某项工
程等等，都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量。在小学数学中，
探讨这三个数量之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。
在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：
工作量=工作效率×工作时间，
工作时间=工作量÷工作效率，
工作效率=工作量÷工作时间。
当工作总量没有具体给出或者不需要给出时，一般的思路：
①假设工作总量为“1”（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最
小公倍数），利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间。
在解答工程问题时要注意以下几点：
1．有的工程问题，工作效率往往隐藏在条件中，工作过程也较为复杂，解
题时要细心辨析，层层梳理工作过程、灵活运用基本数量关系。
2．涉及到具体数量的工程问题，关键要找到已知的具体数量与对应分率之
间的关系，转化为分数应用题来解答。
3．对一些有循环周期的工程
问题，要注意弄清一个周期的工作量，还要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间。
4. 水管工程问题，注水量或排水量就是工作量，单位时间里的
注水量或排水量就是工作效率，
水管工程问题与一般工程问题的解题思路基本相同。解题时可以借鉴牛吃草问
题的解题思路。
二、例题解析
例1一项工程，甲乙两队合作需 12天完成，乙丙两队合作需 15天完成，
甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
分析：设这项工程为单位“1”，则甲乙合作的工作效率是 1/12，乙丙合
作的工作效率为1/15，甲丙合作的工作效率为1/20。因此甲乙丙三队合作的工
作效率的两倍为1/12＋1/15＋1/20，所以甲乙丙三队合作的工作效率为（1/12
＋1/15＋1/20）÷2＝1/10。因此三队合作完成这项工程的时间为 1÷1/10＝10
（天）。
我们通常把工作总量“一项
工程”看成单位“1”。工作效率=工作量÷工作时间=1÷工作时间，即工作时间的倒数。如例1中甲乙两队合作的工作时间为12天，那么工作效率为1/12，
它表示甲乙两队一天完成全部工程的1/12。
例2甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60分钟，乙需
40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5分钟。
甲再出发后多长时间两人 相遇？
分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能
用时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5分钟后返回，路上耽误10分
钟，再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：
完成一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还
需多少时间？由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。
审清题意，灵活改编，可以把复杂的、不熟悉的转化为简单的、熟悉的题
型，问题也就迎刃而解了。
例3师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一
个零件用9分钟，完成任务时，两人各加工零件多少个？
分析：师傅加工一个零件用5分钟，工作效率是每分钟加工1/5个零件；徒
弟加工一个零件用9分钟，工作效率是每分钟加工1/9个零件。师徒两人工作
效率的比是1/5：1/9，由于两人的工作时间一定，根据工作量÷工作效率＝工作时间（一定），工作量与工作效率成正比例。
168－x
＝168－108＝60（个）．
答：师傅加工108个，徒弟加工60个．
解法 2：由于师徒工作效率的比是 1/5：1/9，那么他们工作量的比也是
1/5：1/9，因此师傅工作量是徒弟工作量的1/5÷1/9＝9/5倍，徒弟的工作量
是单位1。
徒弟加工的个数：
168÷（1/5÷1/9＋1）
＝168÷14/5
＝60个
师傅加工的个数：60×（1/5÷1/9）＝108个
解法3：师傅每分钟加工1/5个，徒弟每分钟加工1/9个，合作的工作效率
就是：1/5＋1/9，工作时间=工作量÷工作效率，师徒各自加工的个数，即工作
量，等于各自的工作效率乘以工作时间。在工程问题中，工作量一定时工作时间和工作效率成反比，工作效率一定
时工作量与工作时间成正比，工作时间一定时工作量与工作效率成正比。利用
工程问题中三个基本数量之间的比例关系，从比例的角度思考，可以拓宽工程
问题的解题思路，使解题方法更加灵活，适用。
例4洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台，生产5天后由于改进技术，效
率提高25％，完成计划还要多少天？
分析：这是一道从比例角度求解的工程问题，工作效率和工作时间是变量，
不变量是计划生产 5 天后剩下的台数．从工作效率来看，有原来的效率
1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率 80×（1＋25％）＝100台/天．从工
作时间上看，有原来计划的天数，要求工作效率提高后还需要的天数．
根据工作效率和工作时间成反比例的关系，得：
提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法 2：此题还 可以转化成
正比例。根据实际效率是原来效率的1＋25％＝1.25倍，把原来效率看作单位
“1”，实际和原来效率之比是 5：4，因为工作效率和工作时间成反比例，所
以实际与原来所需时间的比是 4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数
是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可
以用正比例解答．
解法3：（按工程问题解）设完成计划还需x天。
1/20×（1＋25％）×x＝1－1/20×5
1/16×x＝1－1/4
x＝12
对比三种解法可以发现：解决工程问题的关键就是确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。有些工程问题数量关系比较复杂，可以考虑列方
程求解，思路更加简洁。
例5蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙丁两条排水管．要灌满一池水，单
开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要 4小
时，单开丁管需要 6小时．现在池内有1/6池水．如果按甲、乙、丙、丁、甲、
乙…的顺序，轮流各开一小时，多少时间后水开始溢出水池？
分析：把水池的容积（即工作量）看作单位“1”，甲、乙、丙、丁的工作
效率分别为1/3、1/4、1/5、1/6；可以先求按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流各
开一小时（即一个周期）水池进水多少；再求多少时间后水开始溢出水池；由
此解答即可．
池中已有水量为1/6，且空出1/3的容积：
（1－1/6－1/3）÷7/60＝4又2/7
[来源:学+科+网]
即需要5个周期后水池的水量才能达到2/3，。
第6个周期的进水量情况：
需 要 注 入 水 量 ： 1 － 1/6 － 5×7/60 ＝ 1/4甲管还需要注水时间：1/4÷1/3＝3/4（小时）
所以，从开始到水溢出共需时间：
4×5＋3/4＝20又3/4（小时）
答：20又3/4小时后水开始溢出水池。
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作
的。解答时，首先要弄清一个循环周期中的工作量、各个工作成员独自的工作
量即工作交替顺序，再利用周期规律，使复杂疑难问题变得简单明了。其次要
注意算清最后不满一个周期的工作量及所需的工作时间，从而正确解答。
三、巩固练习
（一）选择题
1．一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管 1/6小时能注满水池，单开乙
管1/10小时能注满水池。如果甲、乙两管同时开启，多少分钟后水池还有 1/5
尚未注满？ （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
2．一份稿件，甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是 20小时、24小
时、30小时，现在三人合打，但甲因中途另有任务提前撤出，结果用12小时完
成，甲只打了多少小时？（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
（二）填空题
1. 一项工作，甲乙两队合作9天完成，乙丙两队合作12天完成，甲丙两队
合作需18天完成，现在三队合作需 天完成.2. 轮船以相同的速度航行，从 A城到B城需3昼夜，从B城到A城需4昼
夜。小筏从A城漂流到B城，需要 昼夜.
3．修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天
可以完成。现在让甲、乙两队 合
修，要求2天完成，每天应修 小时.
4．某水池可以用甲、乙两水管注水，单放甲管需 12小时注满，单放乙管
需24小时注满。现在规定10小时内必须注满水池，那么甲、乙两管同时注水
时间至少要 小时.
5．一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，
还可以做 条裤子
（三）解答题
1、修一条路，甲队每天修 8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完
成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
2、一件工作 ，甲独做要 20
天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，
从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
3. 有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15
天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要 20天.如果每项工作都可以
由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
4．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就
把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
5．甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400元工资．按两队原计
划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了
1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要
多少天?
[来源:学科网ZXXK]
巩固练习答案：（一）选择：1.B（1－1/5）÷（1/10＋1/6）＝3（分钟）
2. A [1－（1/24＋1/30）×12]÷1/20＝2（天）
（二）填空；
1. 8
1÷[（1/9+1/12+1/18）÷2]=8(天)
[来源:Zxxk.Com]
2. 6.
1÷（ ）÷2=6（昼夜）
[来源:学科网ZXXK]
3. 7.5
1÷（+）÷2＝7.5小时
4. 4
（1－10×1/12）÷1/24＝4（小时）
5. 16
48－48÷30×20＝16条
（三）解答：
1、解：把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队
60小时完成”。则
1÷[15×8 +110×6 ]÷6=4（天）或1÷[（15×8 +110×6 ）×6]=4（天）
答 ： 4 天 可 以 完 成
。
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是×14，比总工作
量多了×14-1=，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=，因此甲做了
÷=5（天）
3、解：很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让
李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完
成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需
要 （ 60-4×8 ） ÷ （ 4+3 ） =4
（天）.
4、解：先计算1个水龙头每分钟放出水量.2小时半比1小时半多60分钟，多
流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水
量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水
池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开13个水龙头每分钟
可以放出水 8×13，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的
5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水
池要54分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考
虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
5、 解：开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效
比，即为 3360：5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为
(3360+960)：(5040—960)=18：17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为
“3”，设甲在提高工效后还需 天完成任务．有(2×4+4 )：(3×4+3 )=18：
17 ， 化 简 为 216+54 =136+68 ， 解 得 于 是 共 有 工 程 量 为
所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．
